Toán tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

www.facebook.com/hocthemtoan

GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 2 II. CÁC BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Sử dụng hệ thức liên hệ của các giá trị lượng giác sau: 1) 2 2 sin cos 1     2) sin tan cos     3) cos cot sin     4) 1 cot tan    (tan .cot 1)    5) 2 2 1 1 tan cos     6) 2 2 1 1 cot sin     Mối liên hệ giữa hai góc bù nhau, phụ nhau và giá trị các góc : 7) 0 0 0 0 sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan cot(180 ) cot                           (sin – bù) 8) 0 0 0 0 sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan                        (phụ – chéo) 9) 0 0 0 0 0 90 cos 0 0 sin 1 ; 0 180 1 cos 1 90 180 cos 0                                CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Hãy tính các giá trị lượng giác còn lại của góc  trong các trường hợp sau: 1) 1 sin 3   với 0 0 90    . 2) 2 cos 3    . 3) tan 2   . 4) cot 3   với  là góc tù . Giải: 1) 1 sin 3   với 0 0 90    Ta có: 2 2 2 2 2 1 8 2 2 sin cos 1 cos 1 sin 1 cos 3 9 3                       Mà 0 0 90     2 2 cos 3   . Khi đó sin 1 2 2 1 2 tan : cos 3 3 4 2 2        và 1 cot 2 2 tan     . 2) 2 cos 3    . Ta có: 2 2 2 2 2 2 5 5 sin cos 1 sin 1 cos 1 sin 3 9 3                        Mà 0 0 2 5 cos 0 90 180 sin 3 3            . Khi đó sin 1 5 1 5 tan : cos 3 3 5 5           và 1 cot 5 tan      . GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 3 3) tan 2   . Ta có: 1 tan 2 cot 2      Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 1 tan cos cos cos 1 tan 1 2 5 5                 Mà 0 0 5 tan 2 0 0 90 cos 5           . Khi đó 2 5 sin cos .tan 5      . 4) cot 3   với  là góc tù . Ta có: 1 cot 3 tan 3      Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 10 1 cot sin sin sin 1 cot 1 3 10 10                 Mà 0 10 90 180 sin 10       . Khi đó 3 10 cos sin .cot 10      . Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 2sin cos sin 3cos A        biết tan 2    2) 11tan 5cot 34tan 2cot B        biết 1 sin 4   3) 2 2 2 sin 3sin cos 2sin sin cos 3cos C            biết cot 3   4) sin .cos D    biết 5 sin cos 4     Giải: 1) 2sin cos sin 3cos A        biết tan 2    Ta có: tan 2    cos 0    . Khi đó chia cả tử và mẫu của A cho cos  ta được: 2sin cos 2sin cos 2tan 1 2.( 2) 1 3 cos sin 3cos sin 3cos tan 3 2 3 5 cos A                            . Vậy 3 5 A  2) 11tan 5cot 34tan 2cot B        biết 1 sin 4   Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 11. 5. 11tan 5cot 11sin 5cos 11sin 5(1 sin ) cos sin sin cos 34tan 2cot 34sin 2cos 34sin 2(1 sin ) 34. 2. cos sin B                                   2 2 2 2 1 16. 5 16sin 5 4 4 1 32sin 2 4 1 32. 2 4                         . Vậy 1 B   GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 4 3) 2 2 2 sin 3sin cos 2sin sin cos 3cos C            biết cot 3   Ta có: cot 3 sin 0      . Khi đó chia cả tử và mẫu của C cho 2 sin  ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 3sin cos sin 3sin cos sin 2sin sin cos 3cos 2sin sin cos 3cos sin C                         2 2 1 3cot 1 3.3 1 2 cot 3cot 2 3 3.3 4              . Vậy 1 4 C   4) sin .cos D    biết 5 sin cos 4     Ta có:   2 2 2 5 25 25 sin cos sin cos sin cos 2sin cos 4 16 16                  25 9 9 1 2sin cos 2sin cos sin cos 16 16 32              hay 9 32 D  . Ví dụ 3: 1) Cho tan 3 x   . Tính 2 2 sin 6sin cos 3cos A x x x x    . 2) Cho 1 sin cos 8 x x  và 0 0 0 90 x  . Tính giá trị các biểu thức sau: a) sin cos M x x   b) 3 3 sin cos N x x   c) 4 4 sin cos P x x   d) 6 6 sin cos Q x x   Giải: 1) Cho tan 3 x   . Tính 2 2 sin 6sin cos 3cos A x x x x    . Ta có tan 3 cos 0 x x     nên ta có: 2 2 2 2 sin 6sin cos 3cos cos cos A x x x x x x    2 2 (1 tan ) tan 6tan 3 A x x x      2 2 2 2 tan 6tan 3 ( 3) 6.( 3) 3 30 3 1 tan 1 ( 3) 10 x x A x               Vậy 3 A  . 2) Cho 1 sin cos 8 x x  và 0 0 0 90 x  . Tính giá trị các biểu thức sau: a) sin cos M x x   2 2 2 1 5 sin cos 2sin cos 1 2sin cos 1 2. 8 4 M x x x x x x          5 2 M   Mà 0 0 0 90 x  sin 0 sin cos 0 cos 0 x x x x          suy ra 5 2 M  . GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 5 b)     3 3 3 3 5 1 5 20 3 5 sin cos sin cos 3sin cos sin cos 3. . 2 8 2 16 N x x x x x x x x                   c)   2 2 4 4 2 2 2 2 1 31 sin cos sin cos 2sin cos 1 2. 8 32 P x x x x x x               . d)     2 3 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 1 61 sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin cos 1 3. 8 64 Q x x x x x x x x x x                  Ví dụ 4: Không dùng máy tính và bảng số hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 20 sin 12 sin 70 sin 78 A     2) 0 0 0 0 0 cos72 .cot18 tan18 tan162 .sin108 B   3) 0 0 0 0 0 0 (cot 44 tan 46 ).sin136 cot 23 .cot67 cos44 C    4) 0 0 0 0 0 cos20 cos40 cos60 cos160 cos180 D       5) 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .tan 20 .tan30 .tan 40 .tan50 .tan60 .tan 7 0 .tan80 E  6) 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 cos 1 cos 2 cos 3 cos 179 cos 180 F       Giải: 1)     2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 20 sin 12 sin 70 sin 78 sin 20 sin 70 sin 12 sin 78 A             2 0 2 0 2 0 2 0 sin 20 cos 20 sin 12 cos 12 1 1 2        Vậy 2 A  . 2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos18 sin18 . cos72 .cot18 cos72 .cot18 sin18 tan72 tan 72 tan72 sin18 tan162 .sin108 tan18 .sin 72 .cos18 cos18 B         0 0 0 0 0 cos18 cot18 cot18 cot18 0 sin18        Vậy 0 B  3) 0 0 0 0 0 0 (cot 44 tan 46 ).sin136 cot 23 .cot67 cos44 C    0 0 0 0 0 0 (cot 44 cot 44 ).sin44 cot23 .tan 23 cos44    0 0 0 0 2cot 44 .tan 44 cot 23 .tan 23 2 1 1      Vậy 1 C  . GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 6 4) 0 0 0 0 0 cos20 cos40 cos60 cos160 cos180 D       Cách 1:         0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos20 cos160 cos40 cos140 cos60 cos120 cos80 co s100 cos180 D                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos20 cos20 cos40 cos40 cos60 cos60 cos80 cos80 cos180          0 0 0 0 ( 1) 1         . Vậy 1 D   . Cách 2: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos(180 160 ) cos(180 140 ) cos(180 120 ) cos( 180 20 ) cos180 D           0 0 0 0 0 cos160 cos140 cos120 cos20 cos180        Khi đó : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos20 cos 40 cos60 cos160 cos180 cos20 cos40 cos60 cos160 cos180 D D                   0 0 2 2cos180 cos180 1 D D       Vậy 1 D   . 5) 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .tan 20 .tan30 .tan 40 .tan50 .tan60 .tan 7 0 .tan80 E  Cách 1:     0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .tan 20 .tan30 tan40 . cot40 .cot30 .cot 20 .cot10 E            0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .cot10 tan10 .cot10 tan20 .cot 20 tan30 .c ot30 tan 40 .cot 40  1.1.1.1 1   . Vậy 1 E  . Cách 2: 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .tan 20 .tan30 .tan 40 .tan50 .tan60 .tan 7 0 .tan80 E  0 0 0 0 0 0 0 0 cot80 .cot 70 .cot 60 .cot50 .cot 40 .cot 30 .cot 2 0 .cot10 E            2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .cot10 tan10 .cot10 tan 20 .cot 20 tan30 .c ot30 tan80 .cot80 E  1  1 E    Do 0 0 0 0 tan10 ,tan20 , tan30 , ,tan80 0  nên 1 E  . 6) 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 cos 1 cos 2 cos 3 cos 179 cos 180 F               3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 cos 1 cos 179 cos 2 cos 178 cos 3 cos 177 cos 89 co s 91 cos 90 cos 180                    3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 2 cos 3 cos 3 cos 89 cos 89 cos 90 cos 180            0 0 0 0 0 1 1          . Vậy 1 F   . Ví dụ 5: Tìm góc  biết 0 0 0 180    và thỏa mãn: 1) 0 0 sin(90 ) cos(180 ) 1       2) 0 1 3 tan(90 ) 3    3) 2 2sin 3cos 0     4) 0 2 2 cos(90 ) 1 1 tan       Giải: GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 7 1) 0 0 0 1 sin(90 ) cos(180 ) 1 cos cos 1 cos 60 2                  (vì 0 0 0 180    ) 2) 0 0 1 3 1 3 3 tan 30 tan(90 ) 3 cot 3 3             (vì 0 0 0 180    ) 3) 2 2 2sin 3cos 0 2(1 cos ) 3cos 0           2 2cos 3cos 2 0 cos 2          (loại) hoặc 1 cos 2    0 120    (vì 0 0 0 180    ) 4) 0 2 2 2 2 cos(90 ) 1 2cos sin 1 2(1 sin ) sin 1 1 tan                  2 2sin sin 1 0       sin 1     (loại) hoặc 0 1 sin 30 2      (vì 0 0 0 180    ) BÀI LUYỆN Bài 1: Hãy tính các giá trị lượng giác còn lại của góc  trong các trường hợp sau: 1) 2 sin 5   với với  là góc tù . 2) 1 cos 4   . 3) tan 3    . 4) cot 3   với 0 0 90    . Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 3sin 2cos sin cos A        biết cot 2   . 2) tan 8cot 10tan cot B        biết 1 cos 3   3) 3 2 3 2 2sin sin cos cos 3sin cos C          biết tan 2    4) 4 4 sin cos D     biết 1 sin .cos 6    . Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89 A       . 2) 0 0 0 0 0 tan5 .tan10 .tan15 tan80 .tan85 B  . 3) 0 0 0 0 0 tan1 .tan 2 .tan3 tan88 .tan89 C  4) 2 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 sin 23 sin 67 2sin 157 cos 157 cos 23 2cos 23 D       Bài 4: Tìm góc  biết 0 0 0 180    và thỏa mãn: 1) 0 0 sin(180 ) cos(90 ) 2       2) 2 0 tan 2cot(90 ) 1 0 x      3) 2 0 0 2sin (180 ) 3 2 cos(90 ) 2        4) 2 0 2 3 cos (90 ) 1 1 cot       GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 8 BÀI TOÁN 2 : CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức A(sin,cos,tan,cot) B(sin,cos,tan,cot)  ta có các cách tiếp cận sau: Cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản 1 2 1 2 A A A B B B B A            Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu 1 2 1 2 A A A A B B B B C C              Cách 3: Biến đổi tương đương 1 1 2 2 A B A B A B A B n n         (luôn đúng) Cách 4: Xuất phát từ một đẳng thức đúng 1 1 1 1 A B A B A B A B n n n n          Chú ý: Các kiến thức bổ trợ : 1) 2 2 sin cos 1     2) sin tan cos     3) cos cot sin     4) 1 cot tan    (tan .cot 1)    5) 2 2 1 1 tan cos     6) 2 2 1 1 cot sin     CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho  là góc bất kì. Chứng minh rằng: 1) 4 4 2 sin cos 1 2cos       2) 1 sin cos cos 1 sin        3) 2 2 (sin cos ) (sin cos ) 4sin cos           4) 1 2sin cos sin cos (1 tan )(1 cot )           5) 2 2 2 1 sin 1 2tan 1 sin        6) 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot             Giải: 1) 4 4 2 sin cos 1 2cos       Cách 1: VT       4 4 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos 1 cos cos .1 1 2cos                     VP Cách 2:     4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 1 2cos sin cos 2cos sin cos                                4 4 2 sin cos 1 2cos        Cách 3: 4 4 2 4 2 4 sin cos 1 2cos sin 1 2cos cos                2 4 2 4 4 sin 1 cos sin sin          (luôn đúng) Cách 4: Với  bất kì ta luôn có: 2 2 2 2 sin cos 1 sin 1 cos            2 4 2 2 4 4 4 2 sin 1 cos 1 2cos cos sin cos 1 2cos                  (đpcm). GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 9 2) 1 sin cos cos 1 sin        (*) Ta có: (*) 2 2 2 2 2 (1 sin )(1 sin ) cos 1 sin cos cos cos                 đúng   (đpcm) 3) 2 2 (sin cos ) (sin cos ) 4sin cos           VT = 2 2 (sin cos ) (sin cos )        2 2 2 2 (sin cos 2sin cos ) (sin cos 2sin cos )               (1 2sin cos ) (1 2sin cos ) 4sin cos            = VP (đpcm). 4) 1 2sin cos sin cos (1 tan )(1 cot )           VP sin cos (1 tan )(1 cot )        sin cos sin cos 1 1 cos sin                   cos sin sin cos sin cos . . cos sin            2 2 2 (sin cos ) sin cos 2sin cos 1 2sin cos                = VT (đpcm). 5) 2 2 2 1 sin 1 2tan 1 sin        Cách 1: VT = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin 1 tan 1 tan tan 1 2 tan 1 sin cos cos                     = VP (đpcm) Cách 2: 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin 1 2tan 1 2tan 1 sin 1 sin                2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin (1 sin ) 2sin 2sin 2tan 1 sin cos cos                 (luôn đúng) (đpcm) 6) 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot             Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 1 cot tan 1 tan . . 1 .(tan 1) tan 1 tan cot 1 tan cot 1 tan 1 tan tan .cot tan tan .(tan cot ) tan tan cot tan cot tan cot                                                         Suy ra 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot             (đpcm). Ví dụ 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào  . 1) 4 2 2 2 cos sin cos sin A        2) 4 4 6 6 sin cos 1 sin cos 1 B          3) 4 2 4 2 sin 4cos cos 4sin C         GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 10 Giải: 1) 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin cos (cos sin ) sin cos sin 1 A                    Vậy A không phụ thuộc vào  (đpcm) 2) 4 4 6 6 sin cos 1 sin cos 1 B          Áp dụng hằng đẳng thức:     2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 6 2 2 2 2 6 6 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b                         Ta có: 4 4 2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 2 3 2 2 2 2 2 2 sin cos (sin cos ) 2sin cos 1 2sin cos sin cos (sin cos ) 3sin cos (sin cos ) 1 3sin cos                                     Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2sin cos 1 2sin cos 2 1 3sin cos 1 3sin cos 3 B                  . Vậy B không phụ thuộc vào  (đpcm) 3) 4 2 4 2 sin 4cos cos 4sin C             2 2 2 2 2 2 1 cos 4cos 1 sin 4sin           2 4 2 4 1 2cos cos 1 2sin sin                 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 sin 1 cos 1 sin 2 sin cos 2 1 3                     Vậy C không phụ thuộc vào  (đpcm) BÀI LUYỆN Bài 1: Cho  bất kì. Chứng minh rằng: 1) 4 4 2 2 sin cos 1 2sin cos        2)   6 6 2 2 1 sin cos 3sin cos        3) sin 1 cos 2 1 cos sin sin          4) cos 1 tan 1 sin cos        5) 2 2 2 2 tan sin tan .sin       6) 2 2 tan cot 1 . 1 1 tan cot        Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào  . 1) 4 4 2 cos sin 2sin A       2) 6 6 4 4 2(sin cos ) 3(sin cos ) B         3) 4 2 2 4 cos 2cos 1 1 2sin sinC           [...]... Tính diện tích và độ dài các cạnh của tam giác có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 15; 21; 24 Bài 4 Chứng minh rằng: cos 750  BÀI TOÁN 7: TÌM QUỸ TÍCH (TẬP HỢP ĐIỂM) Phương pháp: Bằng các phép biến đổi vectơ (quy tắc 3 điểm, hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm…) cùng với phép toán tích vô hướng ta đưa bài toán về một trong các loại sau: +) Loại 1: MA2  k  0 ( A cố định) thì quỹ tích điểm... vuông cân đỉnh A là ABD và ACE Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM  DE 2) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M Gọi P là trung điểm của       đoạn AD Chứng minh rằng MP  BC khi và chỉ khi MA.MC  MB.MD Giải: hình 1 hình 2 1) (hình 1)            Vì M là trung điểm của BC nên AB  AC  2 AM và EAC  DAB  90... 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 BÀI TOÁN 3: CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ VÀ TÍCH VÔ HƯỚNG Phương pháp:         cos(a, b)   cos(  a, b)   cos( a, b)  cos( a, b)  Chú ý:          sin( a, b)  sin(  a, b)  sin( a, b)  sin(  a, b)  CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a , trọng tâm G Tính các tích vô hướng sau:           ... http://www.facebook.com/giaidaptoancap3   Ví dụ 2: Hãy tính góc giữa hai hai vectơ a, b trong các trường hợp sau:       1) a  (3; 2) và b  (5; 1) 2) a  (3; 4) và b  (4; 3) 3) a  (2; 2 3) và b  (3; 3) Giải:   1) a  (3; 2) và b  (5; 1)      a.b 3.5  2.( 1) 13 2 Ta có: cos a, b        a, b  450 2 a b 32  2 2 52  ( 1) 2 13 2       2) a  (3; 4) và b  (4; 3)      a.b 3.4  4.(...    3) a  (2; 2 3) và b  (3; 3)    a.b 2.3  (2 3) 3 Ta có: cos a, b     2 a.b 22  2 3 32  3       2    12 3   a, b  1500 2 8 3   Ví dụ 3: Cho điểm A(2; 4) , B (1;1) , C (8; 2) 1) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng 2) Chứng minh rằng ABC vuông tại A 3) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC 4) Tính góc B của tam giác ABC 5) Chứng minh rằng tứ giác ABCD... đến đỉnh của tam giác là lớn nhất, nhỏ nhất sin A sin   Bài 5 Cho tam giác ABC , trung tuyến CM , ACM   , BCM   Chứng minh rằng: sin B sin  sin A Bài 6 : Cho ABC Chứng minh rằng: ABC cân tại A khi 2 sin B cos C Trang 29 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 BÀI TOÁN 5: CHỨNG MINH YẾU TỐ VUÔNG GÓC Phương pháp:    *) Chứng minh 2 vectơ vuông... nên : BC  HB  HC a a 2 a 6 6 2 6 2  1  sin 750  (đpcm) 0 0 0 4sin 75 4sin 75 4sin 75 4 Ví dụ 5: Tính diện tích tam giác ABC trong các trường hợp sau: 1) ma  51, mb  15 và a  42 2) ma  15 , mb  18 và mc  27 Giải: 1) ma  51, mb  15 và a  42 Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm ABC 1 1 1 1 1 AM  S BGM  S BAM  S ABC  S ABC  SABC  6 SBGM 3 3 3 2 6 1 1  GM  3... 15  10  Khi đó ta có: GM  (*) Suy ra S BGM  24.(24  17).(24  21).(24  10)  84 thay vào (*) ta được: S ABC  6.84  504 Trang 35 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2) ma  15 , mb  18 và mc  27 Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm ABC và N đối xứng với G qua M 2   BN  GC  3 mc  18  2  Khi đó BGCN là hình bình hành nên ta có: ... chân đường cao A ' của A trên BC 7) Tìm tọa độ điểm K sao cho : a) K thuộc trục hoành và tam giác KAB cân tại K b) K thuộc trục tung và tam giác KAB vuông tại K c) tam giác ABK vuông cân tại B   8) Một điểm M di động trên trục hoành Tìm giá trị nhỏ nhất của MA  MB và tìm tọa độ điểm M khi đó 9) Cho L (3; 2) Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H , tâm đương tròn ngoại tiếp I của ABL Từ đó...   a 2 a 2.1  0 Vậy BK AC  0  BK  AC (đpcm) BK AC  a 2  2 Ví dụ 3: Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R ) Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm của tam giác ADC Chứng minh rằng OE  CD Giải: Vì E là trọng tâm của tam giác ADC nên ta luôn có:  1    1   1          OE  OA  OD  OC  OA  OA  OB  OC  3 3 2        . 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968. http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 11 BÀI TOÁN 3: CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ VÀ TÍCH VÔ HƯỚNG. Phương pháp: Chú ý: cos( , ) cos( , ) cos(