Đang tải... (xem toàn văn)
www.facebook.com/hocthemtoan
GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 2 II. CÁC BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN 1: TÍNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Sử dụng hệ thức liên hệ của các giá trị lượng giác sau: 1) 2 2 sin cos 1 2) sin tan cos 3) cos cot sin 4) 1 cot tan (tan .cot 1) 5) 2 2 1 1 tan cos 6) 2 2 1 1 cot sin Mối liên hệ giữa hai góc bù nhau, phụ nhau và giá trị các góc : 7) 0 0 0 0 sin(180 ) sin cos(180 ) cos tan(180 ) tan cot(180 ) cot (sin – bù) 8) 0 0 0 0 sin(90 ) cos cos(90 ) sin tan(90 ) cot cot(90 ) tan (phụ – chéo) 9) 0 0 0 0 0 90 cos 0 0 sin 1 ; 0 180 1 cos 1 90 180 cos 0 CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Hãy tính các giá trị lượng giác còn lại của góc trong các trường hợp sau: 1) 1 sin 3 với 0 0 90 . 2) 2 cos 3 . 3) tan 2 . 4) cot 3 với là góc tù . Giải: 1) 1 sin 3 với 0 0 90 Ta có: 2 2 2 2 2 1 8 2 2 sin cos 1 cos 1 sin 1 cos 3 9 3 Mà 0 0 90 2 2 cos 3 . Khi đó sin 1 2 2 1 2 tan : cos 3 3 4 2 2 và 1 cot 2 2 tan . 2) 2 cos 3 . Ta có: 2 2 2 2 2 2 5 5 sin cos 1 sin 1 cos 1 sin 3 9 3 Mà 0 0 2 5 cos 0 90 180 sin 3 3 . Khi đó sin 1 5 1 5 tan : cos 3 3 5 5 và 1 cot 5 tan . GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 3 3) tan 2 . Ta có: 1 tan 2 cot 2 Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 5 1 tan cos cos cos 1 tan 1 2 5 5 Mà 0 0 5 tan 2 0 0 90 cos 5 . Khi đó 2 5 sin cos .tan 5 . 4) cot 3 với là góc tù . Ta có: 1 cot 3 tan 3 Ta có 2 2 2 2 2 1 1 1 1 10 1 cot sin sin sin 1 cot 1 3 10 10 Mà 0 10 90 180 sin 10 . Khi đó 3 10 cos sin .cot 10 . Ví dụ 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 2sin cos sin 3cos A biết tan 2 2) 11tan 5cot 34tan 2cot B biết 1 sin 4 3) 2 2 2 sin 3sin cos 2sin sin cos 3cos C biết cot 3 4) sin .cos D biết 5 sin cos 4 Giải: 1) 2sin cos sin 3cos A biết tan 2 Ta có: tan 2 cos 0 . Khi đó chia cả tử và mẫu của A cho cos ta được: 2sin cos 2sin cos 2tan 1 2.( 2) 1 3 cos sin 3cos sin 3cos tan 3 2 3 5 cos A . Vậy 3 5 A 2) 11tan 5cot 34tan 2cot B biết 1 sin 4 Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos 11. 5. 11tan 5cot 11sin 5cos 11sin 5(1 sin ) cos sin sin cos 34tan 2cot 34sin 2cos 34sin 2(1 sin ) 34. 2. cos sin B 2 2 2 2 1 16. 5 16sin 5 4 4 1 32sin 2 4 1 32. 2 4 . Vậy 1 B GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 4 3) 2 2 2 sin 3sin cos 2sin sin cos 3cos C biết cot 3 Ta có: cot 3 sin 0 . Khi đó chia cả tử và mẫu của C cho 2 sin ta được: 2 2 2 2 2 2 2 2 sin 3sin cos sin 3sin cos sin 2sin sin cos 3cos 2sin sin cos 3cos sin C 2 2 1 3cot 1 3.3 1 2 cot 3cot 2 3 3.3 4 . Vậy 1 4 C 4) sin .cos D biết 5 sin cos 4 Ta có: 2 2 2 5 25 25 sin cos sin cos sin cos 2sin cos 4 16 16 25 9 9 1 2sin cos 2sin cos sin cos 16 16 32 hay 9 32 D . Ví dụ 3: 1) Cho tan 3 x . Tính 2 2 sin 6sin cos 3cos A x x x x . 2) Cho 1 sin cos 8 x x và 0 0 0 90 x . Tính giá trị các biểu thức sau: a) sin cos M x x b) 3 3 sin cos N x x c) 4 4 sin cos P x x d) 6 6 sin cos Q x x Giải: 1) Cho tan 3 x . Tính 2 2 sin 6sin cos 3cos A x x x x . Ta có tan 3 cos 0 x x nên ta có: 2 2 2 2 sin 6sin cos 3cos cos cos A x x x x x x 2 2 (1 tan ) tan 6tan 3 A x x x 2 2 2 2 tan 6tan 3 ( 3) 6.( 3) 3 30 3 1 tan 1 ( 3) 10 x x A x Vậy 3 A . 2) Cho 1 sin cos 8 x x và 0 0 0 90 x . Tính giá trị các biểu thức sau: a) sin cos M x x 2 2 2 1 5 sin cos 2sin cos 1 2sin cos 1 2. 8 4 M x x x x x x 5 2 M Mà 0 0 0 90 x sin 0 sin cos 0 cos 0 x x x x suy ra 5 2 M . GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 5 b) 3 3 3 3 5 1 5 20 3 5 sin cos sin cos 3sin cos sin cos 3. . 2 8 2 16 N x x x x x x x x c) 2 2 4 4 2 2 2 2 1 31 sin cos sin cos 2sin cos 1 2. 8 32 P x x x x x x . d) 2 3 6 6 2 2 2 2 2 2 2 2 1 61 sin cos sin cos 3sin cos sin cos 1 3sin cos 1 3. 8 64 Q x x x x x x x x x x Ví dụ 4: Không dùng máy tính và bảng số hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 20 sin 12 sin 70 sin 78 A 2) 0 0 0 0 0 cos72 .cot18 tan18 tan162 .sin108 B 3) 0 0 0 0 0 0 (cot 44 tan 46 ).sin136 cot 23 .cot67 cos44 C 4) 0 0 0 0 0 cos20 cos40 cos60 cos160 cos180 D 5) 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .tan 20 .tan30 .tan 40 .tan50 .tan60 .tan 7 0 .tan80 E 6) 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 cos 1 cos 2 cos 3 cos 179 cos 180 F Giải: 1) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 20 sin 12 sin 70 sin 78 sin 20 sin 70 sin 12 sin 78 A 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 20 cos 20 sin 12 cos 12 1 1 2 Vậy 2 A . 2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos18 sin18 . cos72 .cot18 cos72 .cot18 sin18 tan72 tan 72 tan72 sin18 tan162 .sin108 tan18 .sin 72 .cos18 cos18 B 0 0 0 0 0 cos18 cot18 cot18 cot18 0 sin18 Vậy 0 B 3) 0 0 0 0 0 0 (cot 44 tan 46 ).sin136 cot 23 .cot67 cos44 C 0 0 0 0 0 0 (cot 44 cot 44 ).sin44 cot23 .tan 23 cos44 0 0 0 0 2cot 44 .tan 44 cot 23 .tan 23 2 1 1 Vậy 1 C . GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 6 4) 0 0 0 0 0 cos20 cos40 cos60 cos160 cos180 D Cách 1: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos20 cos160 cos40 cos140 cos60 cos120 cos80 co s100 cos180 D 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos20 cos20 cos40 cos40 cos60 cos60 cos80 cos80 cos180 0 0 0 0 ( 1) 1 . Vậy 1 D . Cách 2: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos(180 160 ) cos(180 140 ) cos(180 120 ) cos( 180 20 ) cos180 D 0 0 0 0 0 cos160 cos140 cos120 cos20 cos180 Khi đó : 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 cos20 cos 40 cos60 cos160 cos180 cos20 cos40 cos60 cos160 cos180 D D 0 0 2 2cos180 cos180 1 D D Vậy 1 D . 5) 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .tan 20 .tan30 .tan 40 .tan50 .tan60 .tan 7 0 .tan80 E Cách 1: 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .tan 20 .tan30 tan40 . cot40 .cot30 .cot 20 .cot10 E 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .cot10 tan10 .cot10 tan20 .cot 20 tan30 .c ot30 tan 40 .cot 40 1.1.1.1 1 . Vậy 1 E . Cách 2: 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .tan 20 .tan30 .tan 40 .tan50 .tan60 .tan 7 0 .tan80 E 0 0 0 0 0 0 0 0 cot80 .cot 70 .cot 60 .cot50 .cot 40 .cot 30 .cot 2 0 .cot10 E 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 tan10 .cot10 tan10 .cot10 tan 20 .cot 20 tan30 .c ot30 tan80 .cot80 E 1 1 E Do 0 0 0 0 tan10 ,tan20 , tan30 , ,tan80 0 nên 1 E . 6) 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 cos 1 cos 2 cos 3 cos 179 cos 180 F 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 cos 1 cos 179 cos 2 cos 178 cos 3 cos 177 cos 89 co s 91 cos 90 cos 180 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 0 cos 1 cos 1 cos 2 cos 2 cos 3 cos 3 cos 89 cos 89 cos 90 cos 180 0 0 0 0 0 1 1 . Vậy 1 F . Ví dụ 5: Tìm góc biết 0 0 0 180 và thỏa mãn: 1) 0 0 sin(90 ) cos(180 ) 1 2) 0 1 3 tan(90 ) 3 3) 2 2sin 3cos 0 4) 0 2 2 cos(90 ) 1 1 tan Giải: GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 7 1) 0 0 0 1 sin(90 ) cos(180 ) 1 cos cos 1 cos 60 2 (vì 0 0 0 180 ) 2) 0 0 1 3 1 3 3 tan 30 tan(90 ) 3 cot 3 3 (vì 0 0 0 180 ) 3) 2 2 2sin 3cos 0 2(1 cos ) 3cos 0 2 2cos 3cos 2 0 cos 2 (loại) hoặc 1 cos 2 0 120 (vì 0 0 0 180 ) 4) 0 2 2 2 2 cos(90 ) 1 2cos sin 1 2(1 sin ) sin 1 1 tan 2 2sin sin 1 0 sin 1 (loại) hoặc 0 1 sin 30 2 (vì 0 0 0 180 ) BÀI LUYỆN Bài 1: Hãy tính các giá trị lượng giác còn lại của góc trong các trường hợp sau: 1) 2 sin 5 với với là góc tù . 2) 1 cos 4 . 3) tan 3 . 4) cot 3 với 0 0 90 . Bài 2: Tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 3sin 2cos sin cos A biết cot 2 . 2) tan 8cot 10tan cot B biết 1 cos 3 3) 3 2 3 2 2sin sin cos cos 3sin cos C biết tan 2 4) 4 4 sin cos D biết 1 sin .cos 6 . Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau: 1) 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 sin 1 sin 2 sin 3 sin 88 sin 89 A . 2) 0 0 0 0 0 tan5 .tan10 .tan15 tan80 .tan85 B . 3) 0 0 0 0 0 tan1 .tan 2 .tan3 tan88 .tan89 C 4) 2 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 sin 23 sin 67 2sin 157 cos 157 cos 23 2cos 23 D Bài 4: Tìm góc biết 0 0 0 180 và thỏa mãn: 1) 0 0 sin(180 ) cos(90 ) 2 2) 2 0 tan 2cot(90 ) 1 0 x 3) 2 0 0 2sin (180 ) 3 2 cos(90 ) 2 4) 2 0 2 3 cos (90 ) 1 1 cot GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 8 BÀI TOÁN 2 : CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp: Để chứng minh đẳng thức A(sin,cos,tan,cot) B(sin,cos,tan,cot) ta có các cách tiếp cận sau: Cách 1: Biến đổi từ vế phức tạp sang vế đơn giản 1 2 1 2 A A A B B B B A Cách 2: Sử dụng tính chất bắc cầu 1 2 1 2 A A A A B B B B C C Cách 3: Biến đổi tương đương 1 1 2 2 A B A B A B A B n n (luôn đúng) Cách 4: Xuất phát từ một đẳng thức đúng 1 1 1 1 A B A B A B A B n n n n Chú ý: Các kiến thức bổ trợ : 1) 2 2 sin cos 1 2) sin tan cos 3) cos cot sin 4) 1 cot tan (tan .cot 1) 5) 2 2 1 1 tan cos 6) 2 2 1 1 cot sin CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho là góc bất kì. Chứng minh rằng: 1) 4 4 2 sin cos 1 2cos 2) 1 sin cos cos 1 sin 3) 2 2 (sin cos ) (sin cos ) 4sin cos 4) 1 2sin cos sin cos (1 tan )(1 cot ) 5) 2 2 2 1 sin 1 2tan 1 sin 6) 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot Giải: 1) 4 4 2 sin cos 1 2cos Cách 1: VT 4 4 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos 1 cos cos .1 1 2cos VP Cách 2: 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 sin cos sin cos sin cos sin cos 1 2cos sin cos 2cos sin cos 4 4 2 sin cos 1 2cos Cách 3: 4 4 2 4 2 4 sin cos 1 2cos sin 1 2cos cos 2 4 2 4 4 sin 1 cos sin sin (luôn đúng) Cách 4: Với bất kì ta luôn có: 2 2 2 2 sin cos 1 sin 1 cos 2 4 2 2 4 4 4 2 sin 1 cos 1 2cos cos sin cos 1 2cos (đpcm). GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 9 2) 1 sin cos cos 1 sin (*) Ta có: (*) 2 2 2 2 2 (1 sin )(1 sin ) cos 1 sin cos cos cos đúng (đpcm) 3) 2 2 (sin cos ) (sin cos ) 4sin cos VT = 2 2 (sin cos ) (sin cos ) 2 2 2 2 (sin cos 2sin cos ) (sin cos 2sin cos ) (1 2sin cos ) (1 2sin cos ) 4sin cos = VP (đpcm). 4) 1 2sin cos sin cos (1 tan )(1 cot ) VP sin cos (1 tan )(1 cot ) sin cos sin cos 1 1 cos sin cos sin sin cos sin cos . . cos sin 2 2 2 (sin cos ) sin cos 2sin cos 1 2sin cos = VT (đpcm). 5) 2 2 2 1 sin 1 2tan 1 sin Cách 1: VT = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin 1 tan 1 tan tan 1 2 tan 1 sin cos cos = VP (đpcm) Cách 2: 2 2 2 2 2 2 1 sin 1 sin 1 2tan 1 2tan 1 sin 1 sin 2 2 2 2 2 2 2 2 1 sin (1 sin ) 2sin 2sin 2tan 1 sin cos cos (luôn đúng) (đpcm) 6) 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot Ta có: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 tan 1 cot tan 1 tan . . 1 .(tan 1) tan 1 tan cot 1 tan cot 1 tan 1 tan tan .cot tan tan .(tan cot ) tan tan cot tan cot tan cot Suy ra 2 2 4 2 2 2 2 tan 1 cot 1 tan . 1 tan cot tan cot (đpcm). Ví dụ 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào . 1) 4 2 2 2 cos sin cos sin A 2) 4 4 6 6 sin cos 1 sin cos 1 B 3) 4 2 4 2 sin 4cos cos 4sin C GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 10 Giải: 1) 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos sin cos sin cos (cos sin ) sin cos sin 1 A Vậy A không phụ thuộc vào (đpcm) 2) 4 4 6 6 sin cos 1 sin cos 1 B Áp dụng hằng đẳng thức: 2 4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 6 6 2 2 2 2 6 6 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 ( ) 3 ( ) ( ) 3 ( ) a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b Ta có: 4 4 2 2 2 2 2 2 2 6 6 2 2 3 2 2 2 2 2 2 sin cos (sin cos ) 2sin cos 1 2sin cos sin cos (sin cos ) 3sin cos (sin cos ) 1 3sin cos Khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2sin cos 1 2sin cos 2 1 3sin cos 1 3sin cos 3 B . Vậy B không phụ thuộc vào (đpcm) 3) 4 2 4 2 sin 4cos cos 4sin C 2 2 2 2 2 2 1 cos 4cos 1 sin 4sin 2 4 2 4 1 2cos cos 1 2sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 1 cos 1 sin 1 cos 1 sin 2 sin cos 2 1 3 Vậy C không phụ thuộc vào (đpcm) BÀI LUYỆN Bài 1: Cho bất kì. Chứng minh rằng: 1) 4 4 2 2 sin cos 1 2sin cos 2) 6 6 2 2 1 sin cos 3sin cos 3) sin 1 cos 2 1 cos sin sin 4) cos 1 tan 1 sin cos 5) 2 2 2 2 tan sin tan .sin 6) 2 2 tan cot 1 . 1 1 tan cot Bài 2: Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào . 1) 4 4 2 cos sin 2sin A 2) 6 6 4 4 2(sin cos ) 3(sin cos ) B 3) 4 2 2 4 cos 2cos 1 1 2sin sinC [...]... Tính diện tích và độ dài các cạnh của tam giác có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 15; 21; 24 Bài 4 Chứng minh rằng: cos 750 BÀI TOÁN 7: TÌM QUỸ TÍCH (TẬP HỢP ĐIỂM) Phương pháp: Bằng các phép biến đổi vectơ (quy tắc 3 điểm, hình bình hành, tính chất trung điểm, trọng tâm…) cùng với phép toán tích vô hướng ta đưa bài toán về một trong các loại sau: +) Loại 1: MA2 k 0 ( A cố định) thì quỹ tích điểm... vuông cân đỉnh A là ABD và ACE Gọi M là trung điểm của BC Chứng minh rằng AM DE 2) Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại M Gọi P là trung điểm của đoạn AD Chứng minh rằng MP BC khi và chỉ khi MA.MC MB.MD Giải: hình 1 hình 2 1) (hình 1) Vì M là trung điểm của BC nên AB AC 2 AM và EAC DAB 90... 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 BÀI TOÁN 3: CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ VÀ TÍCH VÔ HƯỚNG Phương pháp: cos(a, b) cos( a, b) cos( a, b) cos( a, b) Chú ý: sin( a, b) sin( a, b) sin( a, b) sin( a, b) CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ 1: Cho tam giác đều ABC cạnh a , trọng tâm G Tính các tích vô hướng sau: ... http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Ví dụ 2: Hãy tính góc giữa hai hai vectơ a, b trong các trường hợp sau: 1) a (3; 2) và b (5; 1) 2) a (3; 4) và b (4; 3) 3) a (2; 2 3) và b (3; 3) Giải: 1) a (3; 2) và b (5; 1) a.b 3.5 2.( 1) 13 2 Ta có: cos a, b a, b 450 2 a b 32 2 2 52 ( 1) 2 13 2 2) a (3; 4) và b (4; 3) a.b 3.4 4.(... 3) a (2; 2 3) và b (3; 3) a.b 2.3 (2 3) 3 Ta có: cos a, b 2 a.b 22 2 3 32 3 2 12 3 a, b 1500 2 8 3 Ví dụ 3: Cho điểm A(2; 4) , B (1;1) , C (8; 2) 1) Chứng minh ba điểm A, B, C không thẳng hàng 2) Chứng minh rằng ABC vuông tại A 3) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC 4) Tính góc B của tam giác ABC 5) Chứng minh rằng tứ giác ABCD... đến đỉnh của tam giác là lớn nhất, nhỏ nhất sin A sin Bài 5 Cho tam giác ABC , trung tuyến CM , ACM , BCM Chứng minh rằng: sin B sin sin A Bài 6 : Cho ABC Chứng minh rằng: ABC cân tại A khi 2 sin B cos C Trang 29 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 BÀI TOÁN 5: CHỨNG MINH YẾU TỐ VUÔNG GÓC Phương pháp: *) Chứng minh 2 vectơ vuông... nên : BC HB HC a a 2 a 6 6 2 6 2 1 sin 750 (đpcm) 0 0 0 4sin 75 4sin 75 4sin 75 4 Ví dụ 5: Tính diện tích tam giác ABC trong các trường hợp sau: 1) ma 51, mb 15 và a 42 2) ma 15 , mb 18 và mc 27 Giải: 1) ma 51, mb 15 và a 42 Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm ABC 1 1 1 1 1 AM S BGM S BAM S ABC S ABC SABC 6 SBGM 3 3 3 2 6 1 1 GM 3... 15 10 Khi đó ta có: GM (*) Suy ra S BGM 24.(24 17).(24 21).(24 10) 84 thay vào (*) ta được: S ABC 6.84 504 Trang 35 GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 2) ma 15 , mb 18 và mc 27 Gọi M là trung điểm của BC và G là trọng tâm ABC và N đối xứng với G qua M 2 BN GC 3 mc 18 2 Khi đó BGCN là hình bình hành nên ta có: ... chân đường cao A ' của A trên BC 7) Tìm tọa độ điểm K sao cho : a) K thuộc trục hoành và tam giác KAB cân tại K b) K thuộc trục tung và tam giác KAB vuông tại K c) tam giác ABK vuông cân tại B 8) Một điểm M di động trên trục hoành Tìm giá trị nhỏ nhất của MA MB và tìm tọa độ điểm M khi đó 9) Cho L (3; 2) Tìm tọa độ trọng tâm G , trực tâm H , tâm đương tròn ngoại tiếp I của ABL Từ đó... a 2 a 2.1 0 Vậy BK AC 0 BK AC (đpcm) BK AC a 2 2 Ví dụ 3: Tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O; R ) Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm của tam giác ADC Chứng minh rằng OE CD Giải: Vì E là trọng tâm của tam giác ADC nên ta luôn có: 1 1 1 OE OA OD OC OA OA OB OC 3 3 2 . 0925509968 http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 1 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG I. KIẾN THỨC CƠ BẢN GV: THANH TÙNG 0947141139 – 0925509968. http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 Trang 11 BÀI TOÁN 3: CÁC PHÉP TOÁN VỀ VECTƠ VÀ TÍCH VÔ HƯỚNG. Phương pháp: Chú ý: cos( , ) cos( , ) cos(
