(SKKN mới NHẤT) khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải một số bài toán liên quan tới lũy thừa và lôgarit – giải tích lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HOẰNG HỐ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM ĐẶC TRƯNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI LŨY THỪA VÀ LƠGARIT – GIẢI TÍCH LỚP 12 Người thực hiện: Thịnh Thị Hồng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc mơn: Tốn THANH HÓA, NĂM 2020 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1 Các kết hàm đặc trưng .4 2.3.2 Một số ví dụ việc tìm hàm đặc trưng cách khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải số toán liên quan đế lũy thừa lôgarit ………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 14 2.4.1 Trước thực sáng kiến kinh nghiệm…… …………… …… …14 2.4.2 Sau thực sáng kiến kinh nghiệm…………………………… ….15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15 TÀI LIỆU THAM KHẢO .16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Tốn học mơn học khó, học sinh muốn học tốt cần phải hiểu chất vấn đề, biết định hướng khai thác tính chất đặc trưng tốn để vận dụng giải tập Mặt khác tập toán đa dạng phong phú, phân phối chương trình số tiết ôn tập lại không nhiều so với nhu cầu luyện tập dạng tập cho học sinh Chính thế, giáo viên giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác giả thiết cách tốt nhất, hiệu nhằm giúp em có định hướng việc giải tập Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác giả thiết tạo cho học sinh có cảm giác giải toán, tạo cho học sinh niềm say mê, hứng thú u thích mơn học Trong đề thi trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi năm gần đây, câu hỏi có liên quan tới tính chất đơn điệu hàm đặc trưng đa dạng phong phú, đặc biệt câu hỏi liên qua tới lũy thừa lơgarit, đồng thời nhóm câu hỏi thường nằm câu hỏi thuộc nhóm câu hỏi vận dụng hay vận dụng cao Gặp câu hỏi liên quan đến chủ đề học sinh thường lúng túng việc tìm hàm đặc trưng, cách khai thác tính chất hàm đặc trưng Giúp học sinh việc tìm hàm đặc trưng, cách khai thác tính chất hàm đặc trưng phương pháp giảng dạy hiệu qủa giúp học sinh tự tìm tòi sáng tạo việc giải tập liên quan tới vấn đề Qua thực tế 13 năm giảng dạy trường trung học phổ thông tìm tịi nghiên cứu tính chất hàm đặc trưng cách khai thác tính chất nhằm giúp học sinh giải dạng tập khó có liên quan tới lũy thừa lơgarit Vì chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để nghiên cứu là: “Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải số toán liên quan tới lũy thừa lơgarit – Giải tích lớp 12” 1.2 Mục đích nghiên cứu TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mục đích đề tài giúp em học sinh tìm tịi hàm đặc trưng cách khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải tốn có liên quan tới lũy thừa lơgarit (như: biện luận số nghiệm phương trình; giải phương trình hai ẩn; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) Từ em phân loại đưa phương pháp giải tập liên qua tới lũy thừa lôgarit cách nhanh nhất, xác đạt hiệu cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài “Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải số toán liên quan tới lũy thừa lơgarit – Giải tích lớp 12” tập trung nghiên cứu số kỹ hàm đặc trưng cách khai thách tính đơn điệu hàm đặc nhằm tìm định hướng giải số toán lũy thừa loogarit chương trình giải tích lớp 12 THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.4.1 Nghiên cứu lí luận -Nghiên cứu sở lí luận để làm sáng tỏ cách hàm đặc trưng khai thác tính chất hàm đặc trưng nhằm tìm định hướng giải tốn, áp dụng để giải dạng tập liên quan tới lũy thừa lơgarit nói riêng tập tốn nói chung 1.4.2 Nghiên cứu thực tiễn - Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa tìm hiểu chương trình giải tích lớp 12 THPT, nghiên cứu tài liệu tham khảo có liên quan để xác định các dạng tập có liên quan tới lũy thừa lơgarit, cách hàm đặc trưng Từ xác định cách tìm hàm đặc trưng để vận dụng giải tập nhanh xác 1.4.3 Thực nghiệm sư phạm - Tiến hành giảng dạy song song với việc tìm hiểu học sinh lớp 12 trường THPT Hoằng Hoá – Hoằng Hoá – Thanh Hoá Trên sở phân tích định tính định lượng kết thu quá trình thực nghiệm sư phạm để đánh TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com giá tính khả thi tính hiệu biện pháp đề tài sáng kiến đưa ra.  - Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm: Từ tháng năm 2019 đến tháng 06 năm 2020 - Địa điểm: Trường THPT Hoằng Hoá – Hoằng Hoá – Thanh Hoá   1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm - Đề tài “Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải số toán liên quan tới lũy thừa lơgarit – Giải tích lớp 12” đưa số phân tích định hướng việc tìm hàm đặc trưng để giải tốn liên quan tới lũy thừa lôgarit - Từ phân tích định hướng giúp em học sinh phân loại đưa phương pháp giải phù hợp để giải số dạng tập thường gặp lũy thừa lôgarit đề thi THPT quốc gia NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Việc dạy học tốn học nhà trường phổ thơng khơng giúp học sinh hiểu sâu sắc đầy đủ kiến thức tốn học phổ thơng mà cịn giúp em vận dụng kiến thức giải nhiệm vụ tập toán Để đạt điều đó, học sinh phải có định hướng đắn việc giải toán Kỹ biến đổi giả thiết để tìm định hướng giải tốn thước đo độ sâu sắc vững vàng kiến thức toán mà học sinh học 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua thực tế khảo sát học sinh lớp trực tiếp giảng dạy học sinh khối lớp trường tơi nhận thấy việc định hướng tìm lời giải học sinh tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viên giảng dạy, đặc biệt việc giải tốn khó cịn hạn chế Khi gặp dạng tập toán học sinh thường lúng túng q trình phân tích, phân loại dạng tập sử dụng kiến thức liên quan để giải tốn Các tài liệu tham khảo có thường giải số tập cụ thể, học sinh không áp dụng cho dạng tập TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com dạng tương tự Các năm gần đây, để phân loại học sinh giỏi,trong đề thi thường xuyên xuất số câu hỏi khó lũy thừa lơgarit có sử dụng tính chất hàm đặc trưng để giải Khi gặp dạng tập đòi hỏi học sinh phải sử dụng nhiều kỹ biến đổi toán học kết hợp với chất hàm đặc trưng đưa cách giải nhanh xác Xuất phát từ thực trạng tơi viết đề tài “Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải số toán liên quan tới lũy thừa lơgarit – Giải tích lớp 12” nhằm giúp học sinh có nhìn tổng quan dạng tốn này, phân loại đưa phương pháp giải phù hợp với dạng tập, giúp học sinh khắc sâu kiến thức vận dụng để giải câu hỏi mức độ vận dụng vận dụng cao đề thi THPT quốc gia 2.3 Các giải pháp thực 2.3.1.[3] Các kiến thức trọng tâm hàm đặc trưng Kết 1: Nếu hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) liên tục tập D, ta có : Kết 2: Nếu hàm số đồng biến liên tục tập D, ta có : Kết 1: Nếu hàm số nghịch biến liên tục tập D, ta có : 2.3.2 Một số ví dụ việc tìm hàm đặc trưng cách khai thác tính chất hàm đặc trưng việc giải số toán liên qua tới lũy thừa lơgarit Ví dụ 1.[9]: Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện m để phương trình Tìm có nghiệm Phân tích tốn: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com +) Vấn đề khó tốn cách tìm hàm đặc trưng từ phương trình tốn cho, để đơn giản ta đặt: , từ +) Khi phương trình trở thành ta chọn hàm đặc trưng +) Tuy nhiên tốn khó việc tìm hàm đặc trưng tốn cho dạng Bài giải: Ta có phương trình Vì Xét hàm đặc trưng Suy hàm số đồng biến ,có Khi Kết hợp với điều kiện Vì Ta có TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Nhận thấy hàm số nghịch biến có nghiệm phương trình (2) có nghiệm thuộc Phương trình cho , tương đương với Ví dụ 2.[9]: Tìm m để phương trình có nghiệm Phân tích toán: +) Đối với tập trước hết ta biến đổi phương trình mũ cách sử dụng tính chất lơgarit +) Khi ta sử dụng phép đặt để tìm hàm đặc trưng Bài giải: Ta có Xét hàm số đặc trưng khoảng Nhận thấy hàm số đồng biến Khi phương trình Đặt , phương trình (2) trở thành Vậy phương trình cho có nghiệm phương trình (3) có nghiệm bảng biến thiên hàm số khoảng Lập ta có giá trị m cần tìm Ví dụ 3.[9]: Tìm m để phương trình sau có nghiệm TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Phân tích tốn: +) Đây tốn vừa chứa lũy thừa lơgarit, định hướng ta chuyển số +) Sau ta sử dụng phép đặt để tìm hàm đặc trưng Bài giải: Ta có phương trình Xét hàm số đặc trưng có nghịch biến khoảng , (1) trở thành Suy hàm số Khi phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) (3) có nghiệm TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vậy phương trình ln có nghiệm với giá trị m Ví dụ 4.[9]: Cho phương trình cặp số Hỏi có với thỏa mãn phương trình cho ? Phân tích tốn: +) Đây tốn có kết hợp lũy thừa lôgarit số, nhiên việc tìm hàm đặc trưng tương đối khó +) Khi trước hết ta đặt để chuyển hết biểu thức lũy thừa để thuận tiện cho việc tìm hàm đặc trưng Bài giải: Ta có phương trình Đặt Khi phương trình (1) trở thành Xét hàm đặc trưng hàm số đồng biến , có Suy Khi Xét hàm số Ta có bảng biến thiên hàm số TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Suy Dựa vào bảng biến thiên hàm số ta nhận thấy phương trình có nghiệm thuộc khoảng nghiệm đơi khác Vậy có cắp số thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ 5.[9]: Cho phương trình cặp số nguyên với Hỏi có thỏa mãn phương trình cho ? Phân tích tốn: +) Đây ví dụ tương tự ví dụ +) Ví dụ giúp em học sinh củng cố thêm cách để hàm đặc trưng Bài giải: Đặt Khi phương trình cho trở thành Xét hàm đặc trưng , có Suy hàm số ln đồng biến Khi TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Mà Lại y số nguyên nên ta có , có 10 giá trị nguyên y Do suy có 10 giá trị nguyên tương ứng x Vậy có 10 cắp số nguyên thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 6.[9]: Cho phương trình cặp số nguyên trình cho ? Hỏi có cho thỏa mãn phương Phân tích tốn: +) Đây tập khó việc xác định hàm đặc trưng, khó chỗ biểu thức loogarit đơn giản ?? +) Chúng ta biến đổi để biểu thức lôgarit “ phức tạp hơn” +) Từ giả thiết toán cho ta biến đổi Và gợi ý giả thiết cho cách giải tốn Bài giải: Điều kiện: Ta có nên Xét hàm đặc trưng Suy hàm số đồng biến ,có 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Khi (do ) suy Do Do suy có 10 số nguyên y Với giá trị nguyên y cho ta giá trị nguyên x, có 10 cặp số mãn yêu cầu tốn thỏa Ví dụ 7.[9]: Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức Phân tích tốn: +) Khi qua sát toán nhiều học sinh nhầm tưởng hàm đặc trưng toán , nhiên lựa chọn sai lầm +) Ý tưởng lấy lôgarit hai vế sử dụng tốn +) Thơng thường ta hay lấy lơgarit số hai vế Bài giải: Ta có Xét hàm số đặc trưng 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Có Suy hàm số khoảng nghịch biến Khi Đặt Vậy giá trị nhỏ P t = hay x = 3y Ví dụ 8.[9]: Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức Phân tích tốn: +) Đây tốn tìm giá trị nhỏ biểu thức, mấu chốt vấn đề việc khai thác điều kiện toán cho +) Ta sử dụng tích chất lơgarit để biến đổi sau sử dụng phép đặt để tìm hàm đặc trưng Bài giải: Ta có Xét hàm số đặc trưng Có , suy hàm số đồng biến 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Khi Ví dụ 9.[9]: Cho x, y hai số thực dương thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ biểu thức Phân tích tốn: +) Ý tưởng giải ví dụ tương tự ví dụ 8; nhằm mục đích giúp em củng cố thêm cách tìm hàm đặc trưng Bài giải: Ta có Xét hàm số đặc trưng Có , suy hàm số đồng biến Khi Do 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Vậy Ví dụ 10.[9]: Cho x, y hai số thực thuộc đoạn thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Phân tích tốn: +) Đây ví dụ khó việc tìm hàm đặc trưng, tốn địi hỏi học sinh phải linh hoạt sáng tạo cách biến đổi điều kiện +) Ý tưởng biến đổi “cô lập” biến x biến y Bài giải: Ta có Xét hàm số đặc trưng Có , suy hàm số đồng biến Khi Do Xét hàm số 14 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Ta có Vậy 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Khi áp dụng đề tài q trình giảng dạy mơn tốn trường trung học phổ thơng Hoằng Hố 4, thấy học sinh nắm bắt vận dụng nhanh cách phân tích, biến đổi để tìm hàm đặc trưng để áp dụng vào toán liên qua tới lũy thừa lơgarit Ngồi học sinh cịn vận dụng kỹ tìm hàm đặc trưng để sử dụng toán giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình vơ tỉ Kết năm trực tiếp giảng dạy chương trình giải tích 12 cụ thể sau: 2.4.1.Trước thực sáng kiến kinh nghiệm * Kết đạt năm học 2017 - 2018 sau: - Kết tổng kết cuối năm lớp giảng dạy Lớp Sĩ số 12A2 41 Kết học tập mơn Tốn Khá Trung bình Yếu 10 10 24% 21 52% 24% 0% 2.4.2.Sau thực sáng kiến kinh nghiệm * Kết đạt năm học 2018-2019 sau: - Kết tổng kết cuối năm lớp giảng dạy Lớp Sĩ số Kết học tập mơn Tốn Khá 12A3 43 32 76% 11 24% Trung bình Yếu 0 0% 0% 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Trong đề tài với khả hạn chế thời gian khơng cho phép, tơi đưa số ví dụ điển hình dạng tập, số lượng tập chưa nhiều phong phú Qua thực tế giảng dạy, thấy giới thiệu đề tài cho học sinh em tự tin việc tìm hàm đặc trưng nhanh cho kết xác toán liên quan tới lũy thừa lơgarit 3.2 Kiến nghị Đề tài phát triển bổ sung thêm ứng dụng hàm đặc trưng việc giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình vơ tỉ, mở rộng cho dạng tập khác chương trình tốn học phổ thơng năm Tuy có nhiều cố gắng kinh nghiệm giảng dạy hạn chế nên tin đề tài cịn có thiếu sót Tơi mong nhận xét góp ý chân thành hội đồng khoa học ngành, đồng chí đồng nghiệp em học sinh để đề tài hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 21 tháng 06 năm 2020 HIỆU TRƯỞNG Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Thịnh Thị Hồng TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Sách giáo khoa giải tích 12 (Đồn Quỳnh) [2] Sách tập giải tích 12 (Nguyễn Huy Đoan) [3] Tài liệu chun tốn giải tích 12 (Đồn Quỳnh) [4] Tài liệu chun tốn tập giải tích 12 (Đồn Quỳnh) [5] Rèn luyện luyện tư qua việc giải tập tốn (Nguyễn Thái Hịe) [6] Sáng tạo toán học (G.POLYA) [7] Toán học suy luận có lý (G.POLYA) [8] Giải tốn (G.POLYA) [9] Các đề thi thi thử THPT Quốc gia trường THPT Sở GD&ĐT [10] Đề thi THPT Quốc gia năm 2019, đề minh họa thi Tốt nghiệp THPT Quốc gia năm 2020 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... tài ? ?Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải số tốn liên quan tới lũy thừa lơgarit – Giải tích lớp 12? ?? đưa số phân tích định hướng việc tìm hàm đặc trưng để giải tốn liên quan tới lũy thừa. .. có liên quan tới lũy thừa lơgarit Vì tơi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để nghiên cứu là: ? ?Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải số toán liên quan tới lũy thừa lơgarit – Giải tích lớp 12? ??... đổi toán học kết hợp với chất hàm đặc trưng đưa cách giải nhanh xác Xuất phát từ thực trạng tơi viết đề tài ? ?Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải số toán liên quan tới lũy thừa lơgarit – Giải