(SKKN mới NHẤT) rèn luyện kỹ năng sử dụng một số tính chất của hàm số vào bài toán phương trình vô tỷ

1 Mở đầu Đất nước thời kỳ đổi hội nhập quốc tế, nhân tố định công đổi người, nguồn lực chất lượng cao Việc bắt nguồn từ giáo dục, cụ thể giáo dục THPT Mục tiêu đào tạo người động, sáng tạo biết cách giải vấn đề sống cơng việc Từ góp phần vào phát triển chung đất nước Thực nghị số 29-NQ/TW năm 2013 đổi toàn diện giáo dục, hướng trọng tâm đến hình thành lực, phẩm chất người học Với mong muốn không truyền tải kiến thức đến học sinh mà sau học em ngồi việc nắm vững kiến thức đó, cịn biết vận dụng để giải tốn khác, qua dẫn đến hình thành lực giải vấn đề thực tiễn sống 1.1 Lý chọn đề tài Phương trình vơ tỷ nội dung quan trọng chương trình tốn học THPT, chủ đề xuất đề thi cao đẳng, đại học, THPT quốc gia đặc biệt kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh Bên cạnh phương pháp giải đại số, để giải số phương trình vơ tỷ công cụ đại số không hiệu lời giải dài, phương trình phương pháp giải tích mà cụ thể sử dụng tính đơn điệu hàm số tỏ thực hiệu quả, cách giải khoa học Để vận dung phương pháp giải tích phương trình vơ tỷ học sinh phải nắm cơng thức tính đạo hàm, tính đơn điệu hàm số tốn tìm GTLN, GTNN hàm số đơn vị kiến thức tập trung cuối lớp 11 đầu lớp 12, phương trình vơ tỷ lại tốn lớp 10, cách giải gặp bất cập chưa nhiều giáo viên, học sinh quan tâm mức, phương trình vơ tỷ lại tốn khó xuất nhiều kỳ thi Vậy nhiệm vụ giáo viên phải hướng dẫn cho học sinh nắm, hiểu rõ chất phương pháp, biết cách nhận dạng, vận dụng linh hoạt vào toán cụ thể, biết cách khai thác kiến thức để giải toán, từ thấy hiêu phương pháp Vì lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "RÈN LUYỆN KỸ NĂNG SỬ DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO BÀI TỐN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỶ" 1.2 Mục đích nghiên cứu + Rèn luyện kỹ vận dụng số tính chất hàm số vào tốn giải phương trình vơ tỷ + Rèn luyện tư logic + Rèn luyện tính sáng tạo + Rèn luyện kỹ phân tích, phát vấn đề 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU + Một số tính chất hàm số như: Tính đơn điệu hàm số, GTLN, GTNN hàm số TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com + Một số dạng phương trình vô tỷ giải cách sử dụng số tính chất hàm số như: Tính đơn điệu hàm số, GTLN, GTNN hàm số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp + Nghiên cứu lý luận chung: + Khảo sát điều tra từ thực tế dạy học + Áp dụng thực nghiệm đối chiếu + Tổng hợp so sánh đúc rút kinh nghiệm Cách thực Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến; Tham khảo số đầu sách đề thi đại học qua năm; Liên hệ với thực tế nhà trường, áp dụng đúc rút kinh nghiệm trình giảng dạy 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm + Vận dụng kiến thức học sau để giải vấn đề khó trước + SKKN hệ thống tóm tắt nội dung vấn đề cần lưu ý nghiên cứu phương trình vơ tỷ + Qua SKKN này, học sinh nắm phương pháp mới, cách giải gặp phương trình vơ tỷ + SKKN đưa nhiều tập mẫu, tập tương tự nhằm mục tiêu giúp học sinh rèn luyện kỹ phát triển tư trước phương trình vơ tỷ + Qua SKKN này, học sinh tích lũy thành kinh nghiệm cho thân để sáng tạo giải tốn phương trình vơ tỷ đa dạng Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận 2.1.1 Các định nghĩa tính chất liên quan đến tính đơn điệu hàm số *Định nghĩa 1: + Hàm số y = f(x) đồng biến (a; b) + Hàm số y = f(x) nghịch biến (a; b) *Định nghĩa 2: + Số M gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D , tồn + Số N gọi giá trị lớn hàm số y = f(x) D , tồn *Tính chất 1: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) (a; b) thì: Nhận xét: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com + Vận dụng tính chất trên, từ phương trình ẩn x, ta đưa phương trình dạng: , với y=f(t) hàm đơn điệu đặc trưng [a;b] + Một số phép biến đổi bản: *Tính chất 2: Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) (a; b) thì: Phương trình f(x)=0 có nhiều nghiệm (a; b) * Tính chất 3: Cho hàm số y= f(x) xác định liên tục [a;b] Phương trình f(x) = m có nghiệm thuộc [a;b] 2.1.2 Giới thiệu tốn, tình có vấn đề, tạo hấp dẫn khả kích thích hoạt động học tập tích cực học sinh Tình có vấn đề tình đặt cho học sinh khó khăn lý luận thực tiễn mà học sinh cần thiết có khả vượt qua, dựa quy tắc, hay thuật tốn cụ thể, mà phải trải qua q trình tích cực suy nghĩ, suy luận logic Vì địi hỏi tính sáng tạo, biết cách nhận biết vấn đề, biến đổi, suy luận logic sở điều chỉnh kiến thức sẵn có Bài tốn cần làm cho học sinh thấy chưa có lời giải cụ thể, với vốn kiến thức sẵn có kỹ giải phương trình vơ tỷ tích cực suy nghĩ, tư linh hoạt em giải toán 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trước thực đề tài này, khảo sát chất lượng số học sinh khá, giỏi thông qua việc kiểm tra việc giải phương trình vơ tỷ, nhận thấy: Kỹ giải phương trình vơ tỷ đa số học sinh yếu Nguyên nhân thực trang là: + Học sinh chưa biết phân tích, tư logic + Tiếp thu thụ động, chưa linh hoạt + Định hướng chưa rõ + Trong kiểm tra cịn đối phó nhiều hình thức Đặc biệt kỳ thi THPT quốc gia, thi hình thức nghiệm nên khả tư logic em cịn Từ ảnh hưởng lớn đến kết quả, củng chất lượng học tập mơn tốn trường THPT, dẫn đến: + Đa số học sinh chưa hứng thú với mơn tốn + Học trước qn sau + Chưa biết cách phân tích 2.3 Nội dung 2.3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số, để giải phương tình vơ tỷ Bài tập 1: Giải phương trình sau: a b TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com c d Hướng dẫn giải: a Phân tích tìm lời giải + ĐKXĐ: + Nếu bình phương hai vế, ta phải bình phương hai lần dẫn đến phương trình bậc cao phức tạp Nhận thấy tăng ĐKXĐ phương trình vế trái tăng, từ dự đốn hàm số vế trái phương trình đồng biến, cịn vế phải hàm số Đây điều kiện thích hợp cho việc sử dụng tính đơn điệu để giải phương trình Xét tính đơn điệu hàm số vế trái phương trình, nhẩm nghiệm kết luận nghiệm Lời giải: a Xét hàm: Đk: Hàm số đồng biến TXĐ Vậy phương trình có nghiệm Nhận thấy nghiệm *Nhận xét: Trong ví dụ ta vận dụng kiến thức: " Nếu y = f(x) đơn điệu D, phương trình f(x) = k(k=const), có nghiệm nghiệm nhất" Vậy vấn đề phải nhẩm nghiệm (Đồng biến) (Nghịch biến) b Phân tích tìm lời giải + Pt Đối với phương trình trên, ta đặt ẩn phụ bình phương hai vế dẩn đến kết quả, khuôn khổ sáng kiến để hình thành cho học sinh nhiều cách làm khác ta hướng dẫn học sinh nhận xét hai vế phương trình tìm cách giải khác Nhận thấy Vì đặt: hai biểu thức hai vế có Phương trình trở thành: + Nếu tăng giá trị hai vế sau: vế trái tăng, vế phải giảm Vì dự đốn hàm số hai vế phương trình đơn điệu ngược chiều từ ta dùng định lý: "Nếu y=f(x) y=g(x) liên tục đơn điệu ngược chiều D, số nghiệm D phương trình: f(x)=g(x) khơng nhiều một" ta có cách làm sau: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải: Đặt Xét hàm: Hàm số đồng biến Hàm số nghịch biến Vậy phương trình có nghiệm Nhận thấy t = nghiệm c Phân tích tìm lời giải Đối với phương trình cách giải cơng cụ đại số khơng hiệu lời giải dài Vì định hướng định hướng cho học sinh sử dụng đạo hàm Nếu nhẩm nghiệm hai tam thức bậc ta được: Từ ta xác định nhân tử chung chuyển vế trái phương trình tích hai hàm đồng biến, ta hàm đồng biến Lời giải: ĐKXĐ Pt Ta có: +Xét có Vậy g(x) đồng biến +Xét (1) , có Vậy h(x) đồng biến (2) Từ (1),(2) đồng biến Mặt khác: f(7)=4 nên x =7 nghiệm *Nhận xét: Trong ví dụ ta sử dụng kiến thức " Tích hai hàm số dương đồng biến (nghịch biến) D hàm đồng biến (nghịch biến) D" d TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Phân tích tìm lời giải +ĐKXĐ: D = R +Đối với phương trình hầu hết cách giải khơng cho kết Vì biến đổi để sử dụng kết sau: "Nếu hàm số y= f(x) đơn điệu D tồn U(x) V(x) hàm số nhận giá trị thuộc D, ta ln có f(U(x))=f(V(x)) U(x)=V(x)" từ đưa khái niệm:" Hàm đặc trưng" Quan trọng cách giải toán xây dựng hàm đặc trưng hàm đặc trưng phải đơn điệu chiều D.Biến đổi đưa phương trình dạng: Hàm đặc trưng là: Lời giải: ĐKXĐ: D = R Pt Xét hàm: , xác định liên tục R Vậy phương trình cho Vậy nghiệm Một số dang việc giải phương trình sử dụng hàm đặc trưng Dạng 1: ( hàm đặc trưng: ) Dạng 2: ( hàm đặc trưng: ) Dạng 3: ( hàm đặc trưng: ) Bài tập 2: Giải phương trình sau: a ( Đề thi thử ĐH khối A- THPT Tuy phước-Bình Định) b (Đề thi olympic 30/04 năm 2009) Hướng dẫn giải: a Phân tích tìm lời giải TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Xuất phát từ tạo hướng phân tích vế trái Lời giải: ĐK: , có chứa -2x nên chuyển vế nhân hai vế với từ định Phương trình Xét: đồng biến Kết hợp với đk nghiệm b Phân tích tìm lời giải +Sử dụng đồng thức ta chuyển phương trình dạng Ta có: Ta thu hệ phương trình: +Thế vào ta phương trình: + Hàm đặc trưng: Lời giải: Xét R Hàm số đồng biến R TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Bài Tập Rèn Luyện: Giải phương trình sau: a b Đại học Quốc Gia Hà Nội khối B, D 2001 Học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2009-2010 c Học sinh giỏi Trường Chuyên Đồng Bằng Bắc Bộ 2010 d Đề thi olympic 30/04 năm 2009 2.3.2 Sử dụng GTLN, GTNN hàm số vào tốn có chứa tham số Bài tốn: Tìm m để phương trình f(x;m) =0 có nghiệm (hoặc có k nghiệm) Trên tập D Phương pháp: + Tách m khỏi biến x đưa phương trình dạng f(x) = A(m) + Khảo sát biến thiên hàm số y= f(x) D + Dựa vào bảng biến thiên để xác định giá trị m, để đường thẳng y=A(m) cắt đồ thị hàm số y=f(x) + suy giá trị m để phương trình f(x)=A(m) vơ nghiệm, có nghiệm có k nghiệm D *Chú ý:+ Nếu hàm số y=f(x) đạt GTLN, GTNN Trên D, phương trình có nghiệm + Nếu tốn u cầu: Tìm m để phương trình có k nghiệm phân biệt, ta dựa vào bảng biến thiên để xác định cho đường thẳng nằm ngang y=A(m) cắt đồ thị k điểm phân biệt Loại 1: Khảo sát trực tiếp Bài Tập 3: a Tìm m để phương trình: Có nghiệm ( Đề thi thử Đại học năm 2014- THPT Chuyên Quốc Học Huế) b Tìm m để phương trình: có nghiệm thuộc [-1;1]? ( Đề thi thử Đại học khối B-2014 Sở GD& ĐT Vĩnh Phúc) c Tìm m để phương trình: có nghiệm phân biệt? d Tìm m để phương trình: có nghiệm thực phân biệt? Hướng dẫn giải: Câu a, b,c Phân tích tìm lời giải - Cô lập m -Biện luận số giao điểm: (C): y=f(x) Và (d):y=m - Từ suy giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, hai nghiệm Lời giải: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com a TXĐ: D=R Pt Xét hàm: , xác định liên tục R , cho Ta có: Bảng biến thiên x f’(x) + -6 - + - f(x) Dựa vào bảng biến thiên, suy ra: * Nhận xét: + Hình dạng đồ thị tương đồng với hình dạng biểu diển bảng biến thiên, phương trình: f(x)=A(m) có k nghiệm phân biệt hai đồ thị y=f(x) đường thẳng y=A(m) cắt k điểm phân biệt Từ đó, ta tìm giới hạn A(m) thích hợp suy m + Ngồi ta cịn trả lời câu hỏi sau: - Tìm m để phương trình vơ nghiệm - Tìm m để phương trình có hai nghiệm b.Xét hàm: [-1;1] TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Cho Bảng biến thiên x f’(x) -1 + f(x) -2 -4 Vậy phương trình cho có nghiệm thuộc [-1;1] c ĐK: Xét hàm: [-2;5] Cho Phương trình có nghiệm Bảng biến thiên x -2 f’(x) f(x) + Từ bảng biến thiên suy phương trình có hai nghiệm phân biệt d Phân tích tìm lời giải - Cơ lập m -Biện luận số giao điểm: (C): y=f(x) Và (d):y=m - Từ suy giá trị m để phương trình vơ nghiệm, có nghiệm, có nghiệm, hai nghiệm - Nhận thấy (3x+1)-(2-x)=4x-1, có chung hạng tử với vế phải Vì ta sử dụng phép nhân liên hợp để lập m, đưa phương trình dạng tích lúc phương trình ln có nghiệm 10 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lời giải: d ĐK: Pt Phương trình cho có hai nghiệm thực phân biệt phương trình (*) có nghiệm Xét hàm: Trên Cho Bảng biến thiên x f’(x) + + - f(x) Dựa vào bảng biến thiên suy Nhận xét: Hình dạng đồ thị tương đồng với hình dạng biểu thị f(x) bảng biến thiên, để phương trình: f(x)=A(m) có k nghiệm phân biệt đồ thị hàm số y=f(x) đường thẳng nằm ngang y=A(m) cắt k điểm phân biệt Loại 2: Khảo sát hàm số, sau đặt ẩn phụ Bài Tập 4: Cho phương trình: a Giải phương trình m=2 b Tìm m để phương trình có nghiệm Giải: Điều kiện: 11 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Đặt: Phương trình trở thành: (1) a) Khi m = phương trình (1) Thay t vào ta được: b) Đặt: -1 + - 2 điều kiện có nghiệm x Đặt , xét Để phương trình (1) có nghiệm phương trình (2) có nghiệm Bài Tập 5: Tìm m để: có nghiệm? ( Đề thi thử Đại học khối A-2014 Sở GD& ĐT Vĩnh Phúc) Hướng dẫn: + Phương trình có dạng đẳng cấp: Do đó, ta chia cho lượng g(x)>0, sau xét g(x)=0 Cơ lập tham số m, tìm GTLN, GTNN hàm số vế trái suy giá trị m Lời giải: ĐK: , + x=0, nghiệm + , chia hai vế cho x, pt 12 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Đặt: , Xét hàm: pt (2) Trên [-2; trở thành: ] Bảng biến thiên t f’(t) f(t) - + Vậy , phương trình cho có nghiệm 2.3.3 Vận dụng kiến thức học, tư định hướng lời giải tốn Việc hình thành kỹ định hướng giải tốn mang tính chất quan trọng Nhưng việc hình thành kỹ định hướng, từ tìm lời giải tốn bước có tính chất định việc giải tốn học sinh Vì dạy học người giáo viên cần định hướng, giúp cho học sinh biết cách tư duy, suy nghĩ tìm phương pháp hợp lý để giải tốn Trong q trình giải toán cụ thể, học sinh cần phải biết vận dụng đơn vị kiến thức hợp lý, cần tìm mối liên hệ đơn vị kiến thức để tìm lời giải tối ưu cho tốn Bài Tập 6: Tìm m để phương trình: Có nghiệm Với tập trên, học sinh cô lập m từ đầu sẻ gặp khó khăn toán phức tạp trường hợp giáo viên cần có câu hỏi gợi mở, dẫn dắt học sinh địi hỏi học sinh phải tích cực suy nghĩ, phát huy tính sáng tạo để tìm lời giải phù hợp Đó mối liên hệ hai biểu thức Ta có: ( từ lương giác hóa phương trình Bằng cách đặt: Lời Giải: ĐK: Đặt Khi Pttt: Đặt , Pt (1) trở thành: 13 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com nghịch biến [0;1] Để phương trình có nghiệm thì: *CHú ý: Khi giải tập trên, giáo viện cần có hệ thống câu hỏi dẫn dắt học sinh phát giải bước toán Từ tạo ch học sinh phải tư duy, tìm tòi dẫn đến tạo nhu cầu học tập tích cực học sinh Bài tập 7: Tìm m để phương trình : m(  x   x  2) 2  x   x   x (1) có nghiệm (Trích đề thi Đại học -Cao đẳng khối B ,2004) Định hướng Khi nhìn vào toán học sinh hoang mang tốn chứa cịn có chứa tham số nên việc giải khó khăn, song giáo viên hướng dẫn cho học sinh đặt ẩn phụ t=  x   x biết quy toán tương đương tốn lại trở nên quen thuộc Lời Giải : Điều kiện : -1  x 1 Đặt t=  x   x Khi t 0 Ta có: t =2-2  x 2 Vậy t   t    x 2  t Phương trình (1)có dạng : m(t+2) = 2-t +t (2)  t2 t  Vì t  Nên ta có t+2 >0 PTTT: m t 2 Bài toán quy tìm điều kiện tham số m để phương trình :  t2 t  m có nghiệm t  t 2  t2 t  Xét hàm số y  f (t )  t  t 2  t  4t / f ( t )  Ta có 0 nên phương trình (2) PT (1) có nghiệm   Phương trình (3) có nghiệm f (t ) m max f (t )  1;  1;       m 2  Vậy phương trình có nghiệm m 2   f (1) m  f ( 2)  Bài Tập Rèn Luyện: 1.Tìm m để phương trình : x  mx  2 x  có nghiệm phân biệt Tìm m để phương trình có nghiệm :  x   x  (2  x)(2  x) m 3.Tìm m để phương trình có nghiệm : x  x   x  x   xm KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 3.1 Kết luận : Trong năm học 2018-2019 thực nghiệm đề tài lớp 12C10, 12C11, 12C13 kết cụ thể sau: Loại Loại Loại trung Loại giỏi Loại yếu bình Đối tượng Áp dụng thường xuyên 10 % 50 % 30 % 10 % lớp 12C10 Không áp dụng thường % 30 % 50 % 25 % 15 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com xuyên lớp 12 C11 Không áp dụng thường 0% 10 % 65 % 25% xuyên lớp 12 C13 Đề tài áp dụng số lớp kết đạt tương đối tốt, học sinh giải nhiều tốn, em thích dần với tập loại này, hăng say tích cực nhiều việc gải toán, tạo cho em có niềm tin giải tốn, góp phần nâng cao kết thi đại học bồi dưỡng học sinh giỏi, khắc phục hạn chế việc học sinh sợ phải giải phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có chứa tham số, đồng thời tạo hứng thú cho học sinh góp phần cao chất lượng dạy học phát huy tính tích cực học sinh, khơi nguồn cho em tìm tịi, sáng tạo q trình giải tốn có chứa tham số So với cách làm cũ khơng giải phương trình bình thường, mà giúp cho em thấy dạng quen thuộc, kỹ cần thiết Nếu trang bị cho em kỹ cần thiết nhìn vào toán em định hướng cách giải, giải nhanh thành thạo Trên số kinh nghiệm thực tiễn thân qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn phần phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có chứa tham số, mà đặc biệt sử dụng tính chất hàm số tính đơn điệu, GTLN, GTNN giải tốn Với đề tài tơi hy vọng giúp cho em học sinh biết cách sử dụng đạo hàm vào giải toán cải tiến phương pháp giải phương trình vơ tỷ nói chung phương trình vơ tỷ chứa tham số nói riêng 3.2 Kiến nghị Cơng tác nghiên cứu khoa học cấp cần phát huy nữa, để công tác dạy học ngày đạt hiệu cao Để có giảng hay, sáng kiến đổi giảng dạy mơn Tốn, góp phần nâng cao chất lượng dạy học, phù hợp với phát triển Đất nước Cần tăng cường cơng tác sinh hoạt tổ nhóm chun môn để trao đổi chuyên môn, xây dựng tiết dạy phù hợp với đối tượng học sinh, phải xem sinh hoạt tổ nhóm chun mơn cơng việc để trau dồi chuyên môn, tự học tập lẫn giúp tiến Để đề tài thực tốt cần có buổi sinh hoạt toán học để em học sinh bày tỏ quan điểm tự giúp em phát sai lầm thông qua giải Đề tài chắn không tránh khỏi thiếu xót để hồn thiện tác giả mong bổ sung góp ý chân thành đồng nghiệp XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Vĩnh lộc, ngày 29 tháng 06 năm 2020 Tôi xin cam đoan sáng kiến kinh nghiệm viết, không chép nội dung người khác 16 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Người viết sáng kiến kinh nghiệm Mai Văn Tuấn 17 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ...+ Một số dạng phương trình vơ tỷ giải cách sử dụng số tính chất hàm số như: Tính đơn điệu hàm số, GTLN, GTNN hàm số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp + Nghiên cứu... số kinh nghiệm thực tiễn thân qua nhiều năm giảng dạy mơn tốn phần phương trình vơ tỷ phương trình vơ tỷ có chứa tham số, mà đặc biệt sử dụng tính chất hàm số tính đơn điệu, GTLN, GTNN giải toán. .. phương trình cho Vậy nghiệm Một số dang việc giải phương trình sử dụng hàm đặc trưng Dạng 1: ( hàm đặc trưng: ) Dạng 2: ( hàm đặc trưng: ) Dạng 3: ( hàm đặc trưng: ) Bài tập 2: Giải phương trình