Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai

Bài viết Về nghiệm thứ hai của phương trình sai phân cấp hai trình bày về phương pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai của phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp 2. Hy vọng rằng, cách tiếp cận mới này có thể đòng góp thêm trong lý thuyết xấp xỉ phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hàm.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 VỀ NGHIỆM THỨ HAI CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP HAI Phạm Nam Giang1, Nguyễn Hữu Thọ1 Trường Đại học Thủy lợi, email:nhtho@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG Có nhiều phương pháp khác để tìm nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính phương trình sai phân tuyến tính cấp hai biết nghiệm nó, chẳng hạn như: 1) Phương pháp thác triển tích phân Cauchy 2) Phương pháp giảm bậc D’Alembert 3) Phương pháp lặp cách sử dụng kiện ban đầu cho trước… Trong báo cáo này, chúng tơi trình bày phương pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai phương trình sai phân tuyến tính cấp Ở mở rộng phương pháp giảm bậc D’Alembert (có thể xem thêm [1]) Đặt n   n1  n , sau (2) vào (1) ta  (3)  bn n  n  f n1  cnn f n  0, f n nghiệm (1) nên (3) trở thành   bn  n  f n1  Đặt: u n   n , ta nhận an  2un  un  f n  bn  un  f n1  an  un  un1  f n  bnun f n1  Ta thấy un thỏa mãn phương trình sai phân cấp (với giả thiết f n  0, n )  b f  un1   1  n n1  un  an f n    c f  un1   n n  un  an f n   2.1 Phương pháp giảm bậc cho nghiệm thứ hai phương trình sai phân Trong mục này, mô tả phương pháp giảm bậc để tìm nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính phương trình sai phân tuyến tính cấp hai tổng quát dạng: (1) an yn   bn yn 1  cn yn  , yn(1)  f n , đó, nghiệm thứ hai (độc lập tuyến tính với nghiệm thứ nhất) có dạng: (2) yn(2)  n f n , để xác định nghiệm thứ hai, cần xây dựng  n  an 2n   2n f n  NỘI DUNG BÁO CÁO an , cn  Giả sử ta biết nghiệm (1)  an n  2n   2n f n Qua phép lặp ta có n 1  c f  un    l l u0 l 0  al f l   f f1 k 1  cl   k    u0 f k f k 1 l 0  al  Lấy tổng k ta f f1 k 1  cl     k  f k f k 1 l   al  Sau ta vào (2) nhận nghiệm thứ hai (1) sau: 86 n 1  n  0  u  Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 k 1  cl  (4) y  f1 f n     k 1 f k f k 1 l 0  al  Tiếp sau đây, minh họa cách sử dụng công thức (4) để xác định nghiệm thứ hai số ví dụ cụ thể 2.2 Một số ví dụ Ví dụ Xét phương trình sai phân với hệ số (5) ayn  byn1  cyn  Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng b ar  br  c  có nghiệm bội r  2a Nghiệm thứ có dạng: yn(1)  r n Áp dụng công thức (4) n1 k 1  cl  yn(2)  f1 f n    k 1 f k f k 1 l 0  al  n 1 (2) n n 1  r n1  k 1 n 1  r n1  r k 1 r  r  2  b    b  c  b  b  c  r r           2a  2a  a  2a  2a  a     c  a ar  c r n c  n Nên ta có: y     r  a r  Ví dụ Xét phương trình sai phân cấp yn  ( n  1) yn 1  (n  1) yn  (6) (2) n Một nghiệm (6) là: yn(1)  n! Áp dụng công thức (3) k 1  cl  y  f1 f n    k 1 f k f k 1 l 0  al  k 1 n 1 yn(2)  n!  (1)(l  1) k 1 k !( k  1)! l 0 n 1 k 1 (2) n r2  l 0 n 1 r k  r n 1  ( n  1) r n k 1 r k 1 Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt k 1 b  b  c r      2a  2a  a Với yn(1)  rn , nghiệm thứ hai phương trình (5) xác định n 1 k 1  c  yn(2)  rn1  k 1    k 1 r l 0  a  n 1 k n 1 c  c  r  k    rn    k 1 r  a  k 1  a r  k n (1) k (1)l 1  n! ( k  1)! l ! k 1 l 2 Như vậy, nghiệm độc lập tuyến tính thứ hai (6) biểu diễn dạng n ( 1)l 2 yn(2)  n ! l! l 2 Ví dụ Xét phương trình sai phân cấp (n  2) yn  (2n  3) yn 1  (n  1) yn  (7) Đặt yn  yn 1  yn , (7) trở thành n 1 yn(2)  n ! n  n  ar   c  n   n  r    r   c  ar   a r    Ta lại có c  ar2  br  2c   b a (n  2) yn  yn  , qua dễ thấy (7) có nghiệm Bắt đầu nghiệm f k  , áp dụng công thức (3), nghiệm độc lập tuyến tính thứ k 1  cl    k 1 f k f k 1 l 0  al  n 1 k 1 n  l   n1     1    k 1 l 0  l   k 1 k  l 1 l n 1 yn(2)  f1 f n  b  b  c =  b     2c , 2a  2a  a 87 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 Và ta chọn nghiêm thứ hai n yn(2)   , l 1 l gọi số điều hịa Ví dụ Ta xét thêm ví dụ khác sau: xét phương trình sai phân tuyến tính cấp (n  1) yn  ( n  n  8) yn1  (8)  2( n  2)( n  3) yn  0, dễ thấy (8) có nghiệm: yn(1)  2n Áp dụng công thức (3) n 1 k 1  cl  (2) yn  f1 f n    k 1 f k f k 1 l 0  al  n 1 k 1  cl  (2) yn  f1 f n    k 1 f k f k 1 l 0  al  n 1  2n1  n 1 k 1 k 1 k 1 k 1  l 0 2(l  2)(l  3) (l  1) (k  1)(k  2)! k 1 k 1 yn(2)  2n1  n 1  n1     k (k  3)!  k 1 (k  2)! , k 1  k 1  thừa số thứ hai, đặt k  l  1, n 1 y (2) n 2 n1 n2  n1  ( k  3)!  ( l  3)!    2k  l l 0  k 1   (n  2)! 3.2n Do vậy, ta chọn nghiệm thứ hai độc lập tuyến tính phương trình (8) dạng yn(2)   n  ! KẾT LUẬN Báo cáo làm mở rộng phương pháp giảm bậc D’Alembert, cách tiếp cận để tìm nghiệm độc lập tuyến tính thứ hai phương trình sai phân tuyến tính cấp biết nghiệm Hy vọng rằng, cách tiếp cận địng góp thêm lý thuyết xấp xỉ phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số hàm TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] C Weixlbaumer (2001), Solutions of Difference Equations with Polynomial Coefficients Diplomarbeit, Research Institute for Symbolic Computation, (RISC), Johannes Kepler Universităat, Linz, Austria 88 ... cách sử dụng công thức (4) để xác định nghiệm thứ hai số ví dụ cụ thể 2.2 Một số ví dụ Ví dụ Xét phương trình sai phân với hệ số (5) ayn  byn1  cyn  Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng b... r n k 1 r k 1 Trường hợp 2: Phương trình đặc trưng có hai nghiệm phân biệt k 1 b  b  c r      2a  2a  a Với yn(1)  rn , nghiệm thứ hai phương trình (5) xác định n 1 k 1 ... ! KẾT LUẬN Báo cáo làm mở rộng phương pháp giảm bậc D’Alembert, cách tiếp cận để tìm nghiệm độc lập tuyến tính thứ hai phương trình sai phân tuyến tính cấp biết nghiệm Hy vọng rằng, cách tiếp