skkn bài toán tìm nghiệm riêng của phương trình vi phân trong toán học cao cấp

Đặt vấn đề Trong q trình giảng dạy mơn tốn lớp 11 – Chương Dãy số – Cấp số cộng, cấp số nhân, tơi nhận thấy có vấn đề thường gặp khó khăn cho học sinh lớp 11 số giáo viên tốn tìm số hạng tổng qt dãy số cho hệ thức truy hồi Như biết tốn tìm số hạng tổng qt dãy số cho hệ thức truy hồi thực chất “Bài tốn tìm nghiệm riêng phương trình vi phân toán học cao cấp” Nhưng làm để học sinh 11 nắm bắt giải tốn này? Vì dưa ngơn ngữ tốn học cao cấp tơi cố gắng tìm hiểu đưa cách giải tổng quát cho số tốn tìm số hạng tổng qt dãy số thường gặp ngơn ngữ tốn học sơ cấp, hy vọng giúp em học sịnh giải số tốn tìm số hạng tổng quát thường gặp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp Loại Dựa vào phương trình Vi phân tuyến tính cấp Bài tốn u1 cho tr­íc u n 1  un  d Cho dãy số (un) xác định bởi:  (1) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Dãy số (un) cấp số cộng với số hạng đầu u1 công sai d, nên theo công thức số hạng tổng quát cấp số cộng ta có un = u1 + (n - 1).d Bài tốn u1 cho tr­íc u n 1  qun , Cho dãy số (un) xác định bởi:  n  1, 2, (2) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mét sè bµi toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gỈp Lời giải Dãy số (un) cấp số nhân với số hạng đầu u1 công bội q, nên theo công thức số hạng tổng quát cấp số nhân ta có u n = u1.qn – Bài tốn u1 cho tr-íc u n 1  aun  b Cho dãy số (un) xác định bởi:  n  1, 2, (3) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Để tìm số hạng tổng quát dãy số (un) ta đưa vào dãy số phụ cho un = + k, n = 1,2,…Từ công thức xác định dãy suy ra: vn+1 + k = a(vn + k) + b Chọn k cho: k = ak + b  k  b 1 a Khi đó: vn+1 = avn, n = 1, 2,… v1 = u1 - k Nên theo tốn số hạng tổng quát dãy (vn) = v1.an - LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát d·y sè th-êng gỈp b Vậy: un = (u1 - k)an - + k, n = 1, 2,… k  1 a Bài tốn Cho dãy số (un) xác định bởi: u1 cho tr-íc  n u n 1  au n  bq , n  1,2, (4) Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Xét khả a) Nếu a = q: Ta có un+1 = qun + bqn, hay: Thì (4) trở thành un un1 un v    b , n = 1,2, Đặt , n q n q n1 q n 1 n = 1,2,… v  u 1  vn1   b Theo kết toán ta có số hạng tổng quát dãy (vn) là: = v1 + (n - 1).b, n = 1,2,… Vậy: un = vn.qn-1 = qn-1[u1 + (n – 1)b], n = 1,2,… LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp b) Nu a q: Đặt un = + qn-1, n = 1,2,… v1 = u1 -  từ cơng thức xác định dãy suy ra: vn+1 + qn = a(vn + qn-1) + bqn, n = 1,2,… Chọn  cho: qn = a.qn-1 + bqn, tức  = bq Khi đó: qa vn+1 = avn, n = 1,2,…  = v1.an-1 Vậy: un = v1an-1 + qn-1, n = 1,2,… với v1 = u1 - ,  = bq qa Bài tốn u cho tr­íc Cho dãy số (un) xác định bởi:  un 1  aun  nb, n  1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Xét khả a) Nếu a = 1: T a có: un = un-1 + (n -1)b, n = 2,3,…Do đó: un = (un - un-1) + (un-1 - un-2) + … + (u2 - u1) + u1 = LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mét số toán tìm số hạng tổng quát dÃy sè th-êng gỈp n (n  1) = (n-1)b + (n-2)b + … + b + u1 = b  u1 , n = 2,3,… Công thức n = Vậy: un  n(n  1) b  u1 , n = 1,2, … b) Nếu a  1: Đặt un    n   với   b ; 1 a  b (1  a)2 Từ công thức xác định dãy suy ra: = a vn-1, n = 1,2,… từ kết qủa tốn ta có = v1.an-1 v1 = u1 -    Vậy un = +  n   Loại II Dựa vào phương trình Vi phân tuyến tính cấp Bài tốn u1 , u2 cho tr­íc Cho dãy số (un) xác định bởi:  un 2  aun1  bun  0, n  1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải Xét trường hợp sau: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp a) Nếu a2 - 4b > 0: Phương trình x2 + ax + b = có nghệm phân biệt x 1, x2 x1 + x2 = -a, x1x2 = b Từ công thức xác định dãy suy ra: un+2 - (x1 + x2)un+1 + x1x2un = 0, n = 1,2,… Hay: un+2 - x1un+1 = x2(un+1 - x1un) (*) Đặt un+1 - x1un = vn, n = 1,2, …  v1 = u2 - x1u1 từ (*) ta có vn+1 = x2vn, n = 1,2,…  = v1.x2n-1, n = 1,2,… Do từ: un+1 - x1un =  un+1 = x1un + v1x2n-1, n = 1,2,… Đây dãy có n 1 dạng xét tập Từ suy ra: un  C1 x1 với C1   C2 x2n1 , n = 1,2,… u1x  u u  u1x1 , C2  x  x1 x  x1 b) Nếu a2 - 4b = 0: Khi phương trình x2 + ax + b = có nghiệm kép a x0   Làm tương tự ta suy ra: un+1 = x0un + v1x0n-1, n = 1,2,…, v1 = u2 - x0u1 Từ n 1 theo Suy ra: un  x0 (C3  C4 n) , n = 1,2,… LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp u u Vi C3  2u1  , C   u1 x0 x0 c) Nếu a2 - 4b < 0: Phương trình x2 + ax + b = vô nghiệm 4b  a  Đặt cos    , sin    b b b a a       ) (Ta đặt vì:      b b     Khi phương pháp quy nạp toán học ta chứng minh được: un   b n 1 [C5 cos(n  1)  C6 sin(n  1) ] , n = 1,2,… với C5  u1 , C  2u  au  Bài toán u1 , u cho tr-íc u n   aun1  bun  c, n  1, 2, Dãy số xác định bởi:  Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Lời giải LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp Xột cỏc trường hợp sau: a) Nếu a + b = -1 (a = -1 - b): Từ công thức xác định dãy suy ra: un+2 - un+1 - b(un+1 - un) = c, n = 1,2,… Đặt = un+1 - un, n = 1,2,…ì v1 = u2 – u1 vn+1 = bvn + c, n = 1,2,… Theo Suy ra: Nếu b = thì: = v1 + (n – 1)c; b  thì: = C1bn-1 + C2, với C1  u  u1  c c  bu1 Từ đó: , C2  b 1 1 b +) Khi b = 1(a = -2): un+1 – un = v1 + (n – 1)c, n = 1,2,… Theo mục ta tìm được: un = K1 + K2n + K3n2, n = 1,2,…, với K1 = 2u1 - u2 + c, 3 c K  v1  c  u  u1  c , K  2 +) Khi b  1: Ta có: un+1 - un = C1bn-1 + C2, n = 1,2,…Cũng từ toán Ta suy ra: un  C3  C4 n  C5bn1 , n = 1,2,… đó: C3 = u1 - C4 - C5, C  c  bu1 u  c  , C5  u2   1 b b  1 b 1  10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp c b) Nu a + b  -1: Đặt un = + , với  = , n = 1,2,… a  b 1 Từ công thức xác đinh dãy suy ra: vn+2 + avn+1 + bvn = 0, n = 1,2,…Từ theo mục Tìm suy un Cụ thể sau: c  n 1 n 1 C x  C x  , nÕu x  ax  b  cã nghiÖm x  x 1 2  a  b 1  c  u n  (C  C n ) x 0n 1  , nÕu x  ax  b  cã nghiÖm kÐp x a  b 1  n 1 c  b [C cos(n  1)  C sin( n  1)]  , nÕu x  ax  b  VN  a  b 1    4b  a  ( cos    ) với , sin    b b b a C1  u1x  u u  u1x1 u u 2u  au1 , C2  , C  2u  , C   u , C  u , C  x  x1 x  x1 x0 x0  u  1, u  Ví dụ Cho dãy số xác định:  u n 2  4u n 1  u n  5, n  1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) 5 5 Giải: Đặt u n  v n  , n = 1,2,…  v1  u1   , v  u   2 2 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát cđa d·y sè th-êng gỈp Từ cơng thức xác định dãy suy ra: vn+2 – 4vn+1 + = 0, n = 1,2,… Phương trình đặc trưng x2 – 4x + = có nghiệm x1   3, x   , đó: v n  C1 (2  3) n 1  C2 (2  3) n 1 , n = 1,2,… Khi n = n = 2, ta có:  9  C  C  v  C1   12   C (2  )  C (2  )  v  C   2   12 Vậy: v n  9 9 (2  3) n 1  (2  3) n 1 , n = 1,2,… 12 12 Suy ra: u n  9 9 (2  3) n 1  (2  3) n 1  , n = 1,2,… 12 12 u  0, u  1 Ví dụ Xét dãy:  u n 2  2u n 1  4u n  6, n  1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Giải: Đặt un = + 2, n = 1,2,…  v1 = u1 – = -2; v2 = u2 – = -3 Từ công thức xác định dãy suy ra: vn+2 = 2vn+1 – 4vn, n = 1,2,… 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp Phng trỡnh c trưng x2 = 2x – vô nghiệm ( = -12) Ta có: cos    a b  2    , sin     2 b   Do đó: v n  n 1[C1 cos(n  1)  C sin( n  1) ] , n = 1,2,… 3 C1  2 C1  v1  2   Khi n = 1, n =      2(C1 cos  C sin )  v  1 C   3     Vậy: v n  n 1[2 cos(n  1)  sin( n  1) ] , n = 1,2,… 3   Suy ra: u n  n 1[2 cos(n  1)  sin( n  1) ]  , n = 1,2,… 3 u  u  Ví dụ Xét dãy:  u n 2  3u n 1  2u n  1, n  1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Giải: Từ cách xác định dãy suy ra: un+2 - un+1 - 2(un+1 - un) = -1 (*) Đặt un+1 – un = + 1, n = 1,2,…  v1 = u2 - u1 -1 = -1 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp T (*) vn+1 + - 2(vn + 1) = -1  vn+1 = 2vn, n = 1,2,…  (vn) cấp số nhân với cơng bội q = Ta có: với n = 2,3,… :un = (un - un-1 - 1) + (un-1 - un-2 - 1) +… + (u2 - u1 - 1) + u1 + (n-1) = vn-1 + vn-2 + … + v1 + n  u n  v1 n 1   n   n 1  n 1 Công thức n = Vậy: un = n + – 2n-1, n = 1,2,… u  u   Ví dụ Xét dãy số (un):  u  u  u n , n  1,2, n  n   Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Giải: Phương trình đặc trưng: x  x  1 un    2 1 có nghiệm kép x  Do đó: n 1 (C1  C n ) , n = 1,2,… Trong C1, C2 xác định: 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát cđa d·y sè th-êng gỈp C1  C  u  n 1 C1   1 Vậy: u n  n  , n = 1,2,…  1 C  ( C  C )  2  2  Bài toán u1 , u  cho tr-íc Cho dãy số (un) xác định bởi:    u n 2  u n 1u n , n  1,2, Tìm số hạng tổng quát dãy số (un) Giải: Từ công thức xác định dãy ta có un > n = 1,2,… Ta có: ln u n 2   ln u n 1   ln u n , n = 1,2,… Đặt lnun = vn, n = 1,2,… v1 = lnu1, v2 = lnu2 vn+2 = vn+1 + vn, n = 1,2,… Do đó: a) Nếu 2 + 4 > 0: Phương trình x2 = x +  có nghiệm phân biệt x1, x2 Khi v n  C1x1n 1  C x n2 1 , n = 1,2,… đó: C1  v1x  v v  v1 x1 , C2  x  x1 x  x1 15 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mét số toán tìm số hạng tổng quát dÃy sè th-êng gỈp u n  e C1  x1n 1 Từ suy ra: e C2  x n2 1 , n = 1,2,… b) Nếu 2 + 4 = 0: Phương trình x2 = x +  có nghiệm kép x  v n  (C3  nC4 )x 0n 1 , n = 1,2,… đó: C3  2v1    Từ suy ra: un  e C3 x0n1 e C4  n x0n1  Khi v2 v , C   v1 x0 x0 , n = 1,2,… c) Nếu 2 + 4 < 0: Phương trình x2 = x +  vơ nghiệm Khi     n 1 [C5 cos(n  1)  C6 sin( n  1)] , n = 1,2,…    4   đó: cos   ; , sin       Từ suy ra: un  e(   )n1 C5 cos( n 1) e(   )n1 C5 sin( n 1) , n = 1,2,… 16 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát d·y sè th-êng gỈp u1  1, u  Ví dụ Cho dãy số (un) xác định bởi:  u n   u n 1u n , n  1,2, Tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy (un) Giải     , phương trình  1 x1   , x  Do đó: v n  ln u n  C1     2 1 x2  x  2 có nghiệm n 1  C , Với C1, C2 xác định C1  C  C1   ln  để phù hợp với u1, u2 sau:    C  C  ln C  ln  Vậy un = e   1 C1      n 1   e C2  4.   4  1    2 n 1 , n = 1,2,… u  1, u   Ví dụ Cho dãy số (un) xác định bởi:  u 2n 1 u n   u , n  1,2,  n Tìm un theo n Giải  = 2,  = -1, phương trình x2 = 2x - có nghiệm kép x0 = Do đó: v n  ln u n  C1  C2 n , với C1, C2 xác định: 17 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp C1 C  C   ln   C1  2C  ln C  ln n Vậy u n  e C1 e C2   n  n 1 , n = 1,2,… u  1, u   Ví dụ Cho dãy số (un) xác định bởi:  u  , n  1,2, n  2  ( u u )  n 1 n Tìm cơng thức số hạng tổng quát un Giải  =  = -2 Phương trình x2 = -2x – vơ nghiệm ( = -4) Ta có: cos   2 3  , sin     2 2 2 Do đó: v n  ln u n   2 n 1 [C1 cos(n  1) 3 3  C sin( n  1) ] , với C1, C2 4 C1  C1   xác định:   3 3 (C1 cos  C sin )  ln C  ln   4 Vậy u n   n 1 sin( n 1) 34 , n = 1,2,… 18 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp u 1, u   Ví dụ Cho dãy số (un) xác định bởi:  2u 2n 1 u n 2  u , n  1,2,  n Tìm un theo n Giải Dãy có dạng 2), với C = ln2,  = 2,  = -1 ( +  = 1) Đặt lnun = vn, n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 vn+2 = 2vn+1 - + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 = vn+1 - + ln2 Đặt vn+1 - = wn , n = 1,2,…w1 = ln2 wn+1 = wn + ln2, n = 1,2,…(wn) CSC công sai d = ln2 Ta có: = (vn - vn-1) + (vn-1 - vn-2) + ….v2 - v1) + v1 = = wn-1 + wn-2 + …w1 = Vậy u n  e 2 n 1 n (n  1) ln [2w1  (n  2)d]  , n = 2,3,… 2 n ( n 1) , n = 1,2,… u  1, u   Ví dụ Cho dãy số (un) xác định bởi:  2u 2n u n   u , n  1,2,  n 1 19 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát d·y sè th-êng gỈp Tìm un theo n Giải ta có C = ln2,  = -1,  = ( +  = 1) Đặt lnun = vn, n = 1,2,…ì v1 = lnu1 = 0, v2 = lnu2 = ln2 vn+2 = -vn+1 + 2vn + ln2, n = 1,2,…vn+2 - vn+1 - Đặt vn+1 – - ln ln = -2(vn+1 - ) 3 ln ln 2 ln = wn, n = 1,2,…w1 = v2 – v1 = và: 3 wn+1 = -2wn, n = 1,2,…(wn) CSN cơng bội q = -2 Ta có: = (vn - vn-1 - 1) ln ln ln ) + (vn-1 - vn-2 )+ …+(v2 - v1 )+v1 + (n3 3 (2) n 1  ln ln ln = wn-1 + wn-2 + …w1 + (n - 1) = w1 + (n – 1) = 3 3 ln (2) n 1  ln + (n – 1) , n = 2,3,… 3 Công thức n = Vậy  ln ln [1  (2) n 1 ]  (n  1) , n = 1,2,… đó: 20 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp un e 2 1 [1( 2 ) n 1 ] ( n 1) , n = 1,2,… Trên số tốn tìm số hạng tổng quát dãy số thường gặp chương trình tốn THPT mà kết thực chất nghiệm riêng “Phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp 2” toán học cao cấp q trình giảng dạy tơi cố gắng tìm hiểu trình bày lại ngơn ngữ tốn học sơ cấp Mặc dù cố gắng điều kiện thời gian hiểu biết tơi phương trình vi phân cịn hạn chế dừng lại ứng dụng kết phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp Hy vọng thời gian tới giải lớp tốn rộng hơn, phong phú Rất mong nhận góp ý, giúp đỡ thầy, tổ Tốn – Tin Trường THPT Vũ Quang 21 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... nghiệm riêng ? ?Phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp 2” toán học cao cấp trình giảng dạy tơi cố gắng tìm hiểu trình bày lại ngơn ngữ tốn học sơ cấp Mặc dù cố gắng điều kiện thời gian hiểu biết phương. .. điều kiện thời gian hiểu biết phương trình vi phân cịn hạn chế dừng lại ứng dụng kết phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp Hy vọng thời gian tới tơi giải lớp toán rộng hơn, phong phú Rất mong...Một số toán tìm số hạng tổng quát d·y sè th-êng gỈp LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số toán tìm số hạng tổng quát dÃy số th-ờng gặp Loi Da vào phương trình Vi phân