Nghiệm S-tiệm cận tuần hoàn cho hệ vi phân không địa phương tuyến tính

Bài viết Nghiệm S-tiệm cận tuần hoàn cho hệ vi phân không địa phương tuyến tính trình bày về công thức nghiệm, tính chính quy và tính ổn định của nghiệm. Mục đích của bài viết là tìm hiểu về tính S-tiệm cận tuần hoàn của hệ

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 NGHIỆM S - TIỆM CẬN TUẦN HOÀN CHO HỆ VI PHÂN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG TUYẾN TÍNH Nguyễn Văn Đắc1, Lê Thị Minh Hải1 Trường Đại học Thủy lợi, email: lethiminhhai@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU Trong báo này, xét hệ: d   k *(u  u0 )   Au  f (t ), t  (1)  dt u (0)  u0 Trong đó: u nhận giá trị khơng gian Hilbert khả li H , nhân k  L1loc     , A tốn tử tuyến tính khơng bị chặn, f :  0,    H hàm cho trước * kí hiệu tích chập Laplace, t  k * v  (t )   k (t  s)v( s)d s Điều đáng ý (1) t  k (t)  g1 (t )  ,   0,1 , hạng (1   ) d tử  k *(u  u0 )  đạo hàm phân thứ kiểu dt Caputo bậc  hàm trạng thái Bằng cách chọn nhân k phù hợp, ta thu số kiểu phương trình khác phương trình với đạo hàm phân thứ có trọng, đạo hàm phân thứ đa hạng tử… Nói khác đi, hệ mơ hình tổng qt số lớp hệ vi phân thu hút quan tâm số nhà toán học Hệ nghiên cứu tác giả [2], họ trình bày cơng thức nghiệm, tính quy tính ổn định nghiệm Mục đích chúng tơi tìm hiểu tính Stiệm cận tuần hồn hệ (1) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Chúng dùng ước lượng cơng thức nghiệm, sử dụng tính chất nghiệm phương trình Volterra loại với nhân hồn tồn dương KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Phần đầu trình bày số kiến thức cở, sau cơng thức nghiệm, chúng tơi chứng minh nghiệm có tính S-tuần hồn tiệm cận hàm ngoại lực có tính tuần hồn tiệm cận Cuối ví dụ minh họa Trong phần này, ta kí hiệu J : [0, ) Định nghĩa (xem [1]) Một hàm f  BC  J , H  gọi S - tiệm cận tuần hoàn chu kỳ  tồn   cho lim f  t     f (t )  t  Khi  gọi tiệm cận chu kỳ f Trong [1] tập SAP ( H ) gồm hàm S - tiệm cận tuần hoàn chu kỳ  không gian Banach không gian BC  J , H  Để đưa công thức nghiệm, cần giả thiết (K): Hàm k  L1loc     không âm không tăng, tồn hàm l  L1loc     cho k * l   0,  Gọi s r nghiệm phương trình Volterra loại s (t )    l * s  (t )  1, t0 r (t )    l * r  (t )  l (t ), t  Mệnh đề 1.(xem [2]) Giả sử (K) thỏa mãn Khi s  ,   , r  ,    L1loc     với   Thêm nữa, ta có tính chất: 51 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 (a) Hàm s  ,   không âm không tăng t   s  t ,   1    l   d   1, t  ,    l  L    , lim s (t ,  )  t  (b) r  ,   Hàm không âm t dễ thấy S (t) R (t) tốn tử tuyến tính thỏa mãn tính chất trình bày mệnh đề sau: Mệnh đề (xem [2]) i) Có S (.)v  C ([0, T ]; H ) ,với v  H T  Hơn nữa: S (t )v  s (t , 1 ) v , t   0, T  ii) Với g  C  0,T ; H  thì: s  t ,       r  ,   d  k * r  ,   t  , t  t nên  r  ,   d   1 , t  Hơn nữa: ( R * g )(t)   r (t   , 1 ) g ( ) d , t   0, T  Định nghĩa ([2]) Hàm u  C  0, T  ; H    r  t ,   khơng tăng Để có cơng thức nghiệm cho toán, ta cần giả thiết sau cho toán tử A: Giả thiết (A): Toán tử A toán tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với giải thức compact Khi đó, ta xét sở H gồm hàm riêng trực chuẩn {en }n 1 A  Av   nvnen , Aen  nen , n  n 1 với  1  2    n   n   Giả sử:    n 1 n 1 n 1 gọi nghiệm nhẹ toán (1)  0,T  nếu: t u (t )  S (t )u0   R(t   ) f ( )d , t   0, T  Nhận xét: Nếu f  C  0, T ; H  tốn có nghiệm Định lí sau nội dung Định lí Giả sử (K) (A) thỏa mãn Nếu f  SAP ( H ) u  SAP ( H ) Chứng minh Ta có u (t   )  u (t )   S (t   )  S (t )  u0  t    S (t   )  S (t )  u   R (t     ) f ( ) d t   S (t   )  S (t )  u0   R(t     ) f ( ) d  t u (t )   sn (t , n )u0,n en    r (t   ,n ) hn ( ) d  en t   R (t   )  f (   )  f ( )  d n 1 Dẫn đến định nghĩa toán tử S (t) R (t) sau: n 1  R (t)v   r (t, n )  v, en  en , t  0, v  H n 1  Từ đó, ta được: S (t)v   s (t, n )  v, en  en , t  0, v  H t   R(t   ) f (   )d   R(t   ) f ( )d   Thay vào hệ (1), ta thấy un nghiệm du phương trình vơ hướng k * n  nu  f n (t ) , dt t tức un (t )  s(t , n )u0   r (t   , n ) f n ( )d  t  R(t     ) f ( ) d   R(t   ) f ( ) d  u (t )   un (t )en , u0   u0,n en , f (t )   f n (t )en n 1 R (t)v  r (t , 1 ) v , t   0, T    (c) Với t  , hàm số   s  t ,     t Nếu l  L ( ) ,thì  r  ,   d   1,    R(.)v  C   0,T ; H  R * g  C  0, T ; H 0 Với   , tồn số dương L thỏa mãn f (t   )  f (t)   , t  L Từ với khẳng định Mệnh đề Mệnh đề 2, ta có ước lượng sau: 52 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 u (t   )  u (t )  S (t   )  S (t ) u0  xác định Au   n u ,e n en , giả thiết  n 1   R (t     ) f ( ) d  n  n Như trình bày [3], k thỏa mãn kiện tồn nhân l cho k  l  (0, ) trường hợp (1  l )(t )  g (t ) t   Do điều (A) L en ( y )    R (t   )( f (   )  f ( )) d t   R (t   )( f (   )  f ( ) d  s (t , 1 ) u  f   R (t     ) d 2 f L   t R (t   ) d    R (t   ) d t  r ( ,  ) d   r ( , 1 ) d   t  L  s (t , 1 ) u   f 1  t  L  r ( , 1 ) d  f 1   s(t , 1 )  s(t   , 1 )  s(t  L , 1 )  s(t , 1 )   1 Bằng ước lượng công thức nghiệm nhẹ, kiến thức nghiệm phương tình Volterra loại với nhân hồn tồn dương, chúng tơi chứng minh tốn (1) có nghiệm S- tuần hoàn tiệm cận ngoại lực có tính chất  c 13 c  Dt u(t , y)  Dt u(t , y)  2   u(t , y)  cos2 t , t  J , y  0,   y   u(t ,0)  u(t , )  0, t  J  u(0, y)  u ( y), y  0,    Đặt H  L2  0,   Định nghĩa toán tử Au   d 2u dy 2 KẾT LUẬN Từ Mệnh đề 1(a), ta suy ra: u (t   )  u(t)  t   Ví dụ minh họa Xét phương trình đạo hàm riêng sau: A : D( A)  H  H k (t )  g (t )  g (t )  t   ,với  1  l  (t )   Cuối f (t )  cos 2 t hàm tuần hồn liên tục Theo kết lí thuyết tốn có nghiệm S-tiệm cận tuần hồn với   t 2 f sin ny Nhân s (t ,  )  t   với L  s (t , 1 ) u  f  mãn L  thỏa với miền xác định:   du d 2u D( A)  u  H ,  H , u(0)  u( )  0 dy dy   Khi đó, theo [4], A tốn tử sinh C0 nửa nhóm S (t)t 0 compact H A TÀI LIỆU THAM KHẢO [1 ] Hernán R Henríquez, Michelle Pierri, Plácido Táboas (2008) On S-asymptotically ω-periodic functions on Banach spaces and applications J Math Anal Appl., 343, 1119-1130 [2] T.D Ke, N.N Thang, L.T.P Thuy, (2020), Regularity and stability analysis for a class of semilinear nonlocal differential equations in Hilbert spaces, J Math Anal Appl., 483, No.2, 123655 [3] V Vergara, R Zacher (2015) Optimal decay estimates for time-fractional and other nonlocal subdiffusion equations via energy methods, SIAM J Math, Anal 47, 210-239 [4] I I Vrabie, (2003) C0 -semigroups and Applications, North-Holland Publishing Co., Amsterdam 53 ... ước lượng công thức nghiệm nhẹ, kiến thức nghiệm phương tình Volterra loại với nhân hồn tồn dương, chúng tơi chứng minh tốn (1) có nghiệm S- tuần hồn tiệm cận ngoại lực có tính chất  c 13 c...  ; H    r  t ,   khơng tăng Để có cơng thức nghiệm cho toán, ta cần giả thiết sau cho toán tử A: Giả thiết (A): Toán tử A tốn tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp, xác định trù mật... ,   không âm không tăng t   s  t ,   1    l   d   1, t  ,    l  L    , lim s (t ,  )  t  (b) r  ,   Hàm không âm t dễ thấy S (t) R (t) toán tử tuyến tính thỏa