Sự tồn tại toàn cục cho hệ vi phân không địa phương trên không gian Hilbert

Bài viết Sự tồn tại toàn cục cho hệ vi phân không địa phương trên không gian Hilbert chứng minh được sự tồn tại nghiệm nhẹ toàn cục với các giả thiết phù hợp đặt cho toán tử và phần phi tuyến. Cụ thể, sử dụng nguyên lí ánh xạ co ta thu được sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục khi phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện (F1).

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 SỰ TỒN TẠI TOÀN CỤC CHO HỆ VI PHÂN KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn GIỚI THIỆU CHUNG PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Hệ vi phân khơng địa phương mơ hình tốn dùng để mơ tả q trình truyền nhiệt vật liệu có nhớ; q trình hóa dịng pha môi trường xốp (xem [4] tài liệu trích dẫn) Việc nghiên cứu hệ vi phân khơng địa phương thu hút quan tâm nhiều nhà toán học, đề cập [2] Trong tài liệu [2], tác giả phân tích chi tiết tính trừu tượng, ý nghĩa việc nghiên cứu hướng nghiên cứu cho toán sau: Cho trước T  , ta xét toán Cauchy d  dt  u  k *[u  u (0)]   Au  f  t , u (t )  , t  (0, T ] (1)  u (0)  u , (2)   với u lấy giá trị không gian Hilbert tách H ,   0, k  L1loc (¡  ) , A tốn tử tuyến tính H f : (0, T ]  H  H hàm phi tuyến, kiện đầu u0  H Sử dụng lí thuyết phương trình tích phân Volterra, ước lượng tiên nghiệm, nguyên lí ánh xạ co Định lí điểm bất động Shauder Lớp tốn với phần phi tuyến khơng phụ thuộc vào thời gian, nghiên cứu [5], tác giả nghiên cứu tính hút khoảng thời gian hữu hạn Trong báo này, tơi trình bày kết nghiên cứu tồn nghiệm nhẹ toàn cục cho hệ (1)-(2) hai trường hợp:  Phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện Lipschitz  Phần phi tuyến có tăng trưởng tuyến tính KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU 3.1 Kiến thức chuẩn bị Để nghiên cứu tốn (1)-(2), chúng tơi cần giả thiết sau hàm k toán tử A: (K) Hàm k  L1loc  ¡   không âm không tăng, tồn hàm l  L1loc  ¡   cho  l  l  k  (0, ) (A) Tốn tử A tốn tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với giải thức compact Cho   0, l  L1loc  ¡   hàm liên tục (0, ) , xét phương trình Volterra s (t )    l  s  (t )  (3) r (t )    l  r  (t )  l (t ) Với giả thiết (K), Clément [1]) hệ (3)-(4) có nghiệm s(,  ) r (,  ) , có tính dương (4) Nohel (xem nghiệm nghiệm 3.2 Công thức nghiệm nhẹ Nhằm đưa cơng thức nghiệm nhẹ tốn, ta cần giả thiết sau toán tử A : (A) Tốn tử A tốn tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với giải thức compact Khi đó, ta xét sở H gồm hàm riêng trực chuẩn {en }n 1 toán tử A 59  Av   n en , Aen  n en , n  n 1 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0  1  2  L  n   n   Dựa vào hàm s (,  ) , r (,  ) giá trị riêng A , ta định nghĩa hai toán tử Đặt v   sup et v(t ) với v  C  0, T  ; H  , 0,T  S (t )v   s (t , n )vn en , t  0, v  H , ta thu chuẩn tương đương với chuẩn sup không gian C  0, T  ; H  Xét ánh xạ sau: R (t )v   r (t , n )vn en , t  0, v  H F (u )(t ) : S (t )u0   R(t   ) f ( , u ( )) d  n 1  t n 1 Các toán tử tuyến tính Một số tính chất quan trọng hai tốn tử trình bày Mệnh đề 2.3 [4] Bằng phương pháp xấp xỉ dãy toán tử compact, ta chứng minh Bổ đề sau (xem [5]) Bổ đề Q Giả sử giả thiết (A) (K) thỏa mãn Khi tốn tử Q :C [0, T ]; H   C [0, T ]; H  xác định Q  g  (t )  R  g (t ) , toán tử compact Định nghĩa.([2]) Hàm u  C [0, T ], H  gọi nghiệm nhẹ (1)-(2)  0,T  C ([0, T ], H ) Mỗi điểm bất động ánh xạ nghiệm tốn Để chứng minh tốn có nghiệm nhất, ta ánh xạ co Thật vậy, với u1 , u2  C ([0, T ], H ) ta có F  u1  (t )  F  u2  (t ) t   r (t   , 1 ) f ( , u1 ( ))  f ( , u1 ( )) d t   r (t   , 1 ) a   u1 ( )  u2 ( ) d t   r (t   , 1 )a   sup u1 ( )  u2 ( ) d   e r (t   , 1 ) a   sup e  u1 ( )  u2 ( ) d u (t )  S (t )u0   R(t   ) f ( , u ( ))d t  u1  u2 loc v1 , v2  H , a  L   e r (t   , 1 ) a   d Từ suy ra: sup e t F  u1  (t )  F  u2  (t ) t 0,T  f  t , v1   f  t , v2   a (t ) v1  v2 , t   0, T  , t  u1  u2  ¡  hàm cho  trước không âm cho  sup  e  ( t  ) r (t   , 1 ) a   d t0,T  Tức là: t F  u1   F  u2     u1  u2  , lim sup  e  ( t  ) r (t   , 1 )a ( )d  (*) t Chú ý Nếu r (t  , 1 )a()  L  ¡  , (*) thỏa mãn (xem Bổ đề 2.7 [3]) Bằng nguyên lí ánh xạ co, ta có kết sau Định lí Giả sử giả thiết (K), (A) (F1) thỏa mãn tốn (1)-(2) có nghiệm tồn cục Chứng minh: Từ giả thiết (*) , ta chọn số   cho loc  t sup  e ( t  ) r (t   , 1 ) a( ) d  t 0,T   0,  3.3 Sự tồn toàn cục nghiệm nhẹ Để thu tồn nghiệm tập compact, ta đặt giả thiết cho phần phi tuyến: (F1) Hàm liên tục f :  0; T   H  H thỏa   t 0,T    0,  t t với:   sup  e  ( t  ) r (t   , 1 )a( )d  Ta t ,T  F ánh xạ co C ([0, T ]; H ) Vậy tốn có nghiệm [0, T ] Tiếp theo, xét phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tuyến tính sau: (F2) Hàm liên tục f :  0; T   H  H thỏa f  t , v   b(t ) v2  c(t ), t   0, T  , v  H b, c  L1loc  ¡ không âm 60   hàm cho trước Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2021 ISBN: 978-604-82-5957-0 Ta thu tồn nghiệm tồn cục, vậy, tính nghiệm khơng cịn đảm bảo Chúng tơi sử dụng Định lí điểm bất động Shauder để thu kết mong muốn Nội dung phát biểu định lí sau Định lí Giả sử giả thiết (K), (A) (F2) thỏa mãn tốn (1)-(2) có nghiệm tồn cục Chứng minh: Ta xét ánh xạ F Định lí Với u  C  0, T ; H  t   0, T  ta có: t F  u  (t )  S (t )u0   R (t   ) f  , u ( )  d t0,T  t   r (t   , 1 )b( ) ( )d   (t ) nên F  u    , tức F      Như vậy, ta xét toán tử F ::    Do f hàm liên tục nên ánh xạ liên tục Mặt khác, từ F  u   S ()u0  Q o N f  u  , với N f  u  (t )  f  t , u (t )  , t   0, T  ta thấy F : tốn tử compact Q compact (Bổ đề Q) Theo nguyên lí điểm bất động Shauder, ta điều phải chứng minh KẾT LUẬN t  s (t , 1 ) u0   r (t   , 1 ) f  , u ( )  d t  u0   r (t   , 1 ) b( ) u ( )  c( ) d  u0  sup  r (, 1 )  c  (t )  t 0,T  t   r (t   , 1 )b( ) sup u ( ) d   0,  sup F  u  ( )  u0  sup  r (, 1 )  c  (t )    0,t  Hàm g ( )  sup u ( ) hàm không   0,  giảm r (t  , 1 )b() nhận giá trị khơng âm, nên tích phân cuối hàm khơng giảm Do sup F  u  ( )  u0  sup  r (, 1 )  c  (t )  Bài báo chứng minh tồn nghiệm nhẹ toàn cục cho hệ (1)-(2) với giả thiết phù hợp đặt cho toán tử phần phi tuyến Cụ thể, sử dụng nguyên lí ánh xạ co ta thu tồn nghiệm toàn cục phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện (F1) Khi phần phi tuyến thỏa mãn điều kiện tăng trưởng tuyến tính ta thu tồn nghiệm toàn cục cách dùng Định lí điểm bất động Shauder TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ph Clément, J A Nohel (1981), Asymptotic behavior of solutions of nonlinear Volterra   0,t  t0,T  equation with completely positive kernerls, t SIAM J.Math Anal., 514-525   r (t   , 1 )b( ) sup u ( ) d [2] N.V Dac (2020), Về phương trình vi  0,  phân khơng địa phương khơng gian Ta kí hiệu Hilbert, Tuyển tập hội nghị khoa học   {u  C [0, T ]; H  | thường niên Đại học Thủy lợi 45-47 sup u ()   (t ), t   0, T } [3] K Ezzinbi, S.Ghnimi, M.-A Taoudi,  0,t  (2019) Existence results for some nonlocal partial integro differential equations without  nghiệm compactness or equicontinuity, J Fixed  (t )  u0  sup  r (, 1 )  c  (t )  t 0,T  Point Theory Appl 21, no t [4] T.D Ke, N.N Thang, L.T.P Thuy, (2020),   r (t   , 1 )b( ) ( )d Regularity and stability analysis for a class of semilinear nonlocal differential equations Khi  tập lồi, đóng bị chặn in Hilbert spaces, J Math Anal Appl., 483, Ta chứng minh toán tử nghiệm F giữ No.2, 123655 bất biến tập  Thật vậy, với u   [5] N.N Thang, T.D Ke, N.V Dac (Preprint), Stability analysis for nonlocal evolution sup u ()   ( ),    0, t  nên  0,  equations involving infinite delays, Submitted 61 ...  r (t   , 1 )b( ) sup u ( ) d [2] N.V Dac (2020), Về phương trình vi  0,  phân không địa phương không gian Ta kí hiệu Hilbert, Tuyển tập hội nghị khoa học   {u  C [0, T ]; H ... có nghiệm toàn cục Chứng minh: Từ giả thiết (*) , ta chọn số   cho loc  t sup  e ( t  ) r (t   , 1 ) a( ) d  t 0,T   0,  3.3 Sự tồn toàn cục nghiệm nhẹ Để thu tồn nghiệm... chứng minh tồn nghiệm nhẹ toàn cục cho hệ (1)-(2) với giả thiết phù hợp đặt cho toán tử phần phi tuyến Cụ thể, sử dụng nguyên lí ánh xạ co ta thu tồn nghiệm toàn cục phần phi tuyến thỏa mãn điều