Về phương trình vi phân không địa phương trên không gian Hilbert

Bài viết Về phương trình vi phân không địa phương trên không gian Hilbert trình bày những nét chính về hướng nghiên cứu có tính thời sự này, đi tìm điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm địa phương cho bài toán.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 VỀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN KHƠNG ĐỊA PHƯƠNG TRÊN KHÔNG GIAN HILBERT Nguyễn Văn Đắc Trường Đại học Thủy lợi, email: nvdac@tlu.edu.vn nghiên cứu có tính thời này, tìm điều kiện đủ cho tồn nghiệm địa phương cho toán (1)-(2) GIỚI THIỆU CHUNG Cho trước T  , ta xét toán Cauchy: d  dt  u  k *[u  u (0)]   Au  f  t , u (t )  , t  (0, T ] (1)  u (0)  u , (2)   PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU với u lấy giá trị không gian Hilbert tách H ,   0, k  L1loc (  ) , A tốn tử tuyến tính H f : (0, T ]  H  H hàm phi tuyến, kiện đầu u0  H d Trong vế trái (1),  k *[u  u (0)] dt đạo hàm theo biến thời gian, lấy qua tích chập k *[u  u (0)] , nghĩa khơng tính trực tiếp thời điểm cụ thể hàm trạng thái mà cần thông tin từ thời điểm đầu thời điểm lấy đạo hàm Do đó, gọi đạo hàm khơng địa phương Phương trình (1) xuất cách tự nhiên mơ hình hóa nhiều q trình, chẳng hạn q trình truyền nhiệt vật liệu có nhớ; q trình hóa dịng pha mơi trường xốp (xem [2] tài liệu trích dẫn) Trong trường hợp tuyến tính, tính đặt toán cho vài trường hợp riêng quan tâm số tác giả (xem [1] [2]) Gần đây, [3], tác giả trình bày kết đặt móng cho hướng nghiên cứu hệ tổng quát nói   Tiếp đó, [5] nghiên cứu tính hút khoảng thời gian hữu hạn cho lớp phương trình (1)-(2)   hàm ngoại lực f phụ thuộc vào u Từ đó, tơi đặt vấn đề trình bày nét hướng Sử dụng lí thuyết phương trình tích phân Volterra, ước lượng tiên nghiệm nguyên lí ánh xạ co KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Kiến thức chuẩn bị Trong mục này, ta kí hiệu E khơng gian Banach với chuẩn ||  || 1.1 Tích chập: Định nghĩa Tích chập hai hàm k  với k  L1 (  ),   L1 (  , E ) hàm kí hiệu xác định sau: t k  (t )   k (t  s)( s)ds, tích phân hiểu theo nghĩa Bochner 1.2 Đạo hàm phân thứ Caputo bậc : Định nghĩa Cho f  C N [0, T ], E  - Đạo hàm bậc   ( N  1; N ) theo nghĩa Caputo xác định t C  D0 f (t )  (t  s) N  1 f N ( s)ds ( N   ) 0 - Đạo hàm phân thứ có trọng theo nghĩa Caputo xác định C D0 , f (t )  e  t dN (t  s ) N  1 N  e s f ( s)  ds  ( N   ) ds t Nhận xét:   , đạo hàm phân thứ có trọng đạo hàm phân thứ 45 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 1.3 Phương trình tích phân Volterra: Cho   0, l  L1loc   hàm liên  d d  t s  [u(t  s)  u(0)]ds   k *[u  u(0)]    dt dt  (1   )    s  d t  [u (0)  u (0)] u (t  s )ds  (1   )  (1   ) dt t = (t  s) u(s)ds  C D0 u  (1   ) t tục (0, ) , xét phương trình Volterra s(t )    l  s  (t )  (3)  r (t )    l  r  (t )  l (t ) (4) [4] tác giả tồn nghiệm Tuy nhiên tính dương nghiệm s (,  ) r (,  ) đòi hỏi cần thêm giả thiết nhân l Cụ thể, nhân l gọi hoàn toàn dương s (,  ) r (,  ) nhận giá trị không âm với   Năm 1981, Clément Nohel rằng: l hoàn toàn dương tương đương với việc tồn   k  L1loc   tức toán trở thành hệ vi phân phân thứ kiểu Caputo Tương tự , k (t )  e  t g1 (t ), ta đạo hàm phân thứ có trọng  Khi k (t )   g  (t ) d  ta phương trình mơ tả phương trình mơ tả q trình khuếch tán siêu chậm    k (t )   i g1i (t ), i  (0,1), i  ta hàm không âm, không tăng thỏa mãn  l  l  k  Từ đó, để nghiên cứu hệ cho, ta cần giả thiết sau (K) Hàm k  L1loc   không âm khơng có phương trình phân thứ đa hạng tử Các lớp phương trình thu hút quan tâm đáng kể nhà toán học     tăng, tồn hàm l  L1loc   cho  l  l  k  (0, ) Xét phương trình vơ hướng:  u  k * u  u  h(t ) (5) Chập hai vế với hàm l , ta ( l  k * l )  u   u  l  h  l   u  u  l  h  l  u   u  l  u (0)  h  l Từ đó, nghiệm phương trình vơ hướng u (t )  s ( , t )u (0)   r ( , )  h  (t ) Tính chất quan trọng s (,  ) r (,  ) trình bày Mệnh đề 2.1 [3] m i 1 Công thức nghiệm nhẹ số hướng nghiên cứu Trong mục này, ta xét hệ tuyến tính d   u  k *[ u  u (0)]   Au  h (t ), t  (0, T ](6)  dt  u (0)  u , (7) Nhằm đưa công thức nghiệm nhẹ toán, ta cần giả thiết sau toán tử A: (A) Toán tử A tốn tử tuyến tính xác định dương, tự liên hợp, xác định trù mật với giải thức compact Khi đó, ta xét sở H gồm hàm riêng trực chuẩn {en }n 1 toán tử A  Av   nvnen , Aen  nen , n  Tính trừu tượng tốn Tính tổng qt mơ hình thể thông d qua hạng tử  u  k *[u  u (0)] dt  Khi k  , hệ trở thành hệ Parabolic nửa tuyến tính; d  Khi   , hạng tử  k *[u  u (0)] cho dt ta đạo hàm phân thứ Caputo chọn nhân k đặc biệt Cụ thể, k (t )  g1 (t ),  (0,1) thì: n 1  1  2    n   n   Giả sử:    n 1 n 1 n 1 u (t )   un (t )en , u0   u0,n en ,h(t )   hn (t )en Thay vào hệ (6)-(7), ta thấy un nghiệm phương trình vơ hướng (5) Từ đó, ta được: 46   t u (t )   sn (t , n )u0,n en    r (t   ,n ) hn ( ) d  en n 1 n 1 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 Do vậy, ta định nghĩa hai toán tử Chứng minh: Xét ánh xạ sau  t S (t )v   s (t , n )vn en , t  0, v  H ,  (u )(t ) : S (t )u0   R (t   ) f ( , u ( )) d n 1 C ([0, T ], H ) Lấy   || u0 || u  B hình  R(t )v   r (t , n )vn en , t  0, v  H cầu tâm gốc bán kính  , ta có: n 1 Các tốn tử tuyến tính Một số tính chất quan trọng hai tốn tử trình bày Mệnh đề 2.3 [3] Dựa vào tốn tử này, ta có định nghĩa sau Định nghĩa Hàm u  C [0, T ], H  gọi nghiệm nhẹ toán (3)-(4) t 0,T  u (t )  S (t )u0   R(t   )h( )d t  (u )(t )  s(t , 1 ) || u0 ||   r (t   , 1 ) f ( , u ( )) d  || u0 ||   L (  )   sup f (t ,0)  với B  C ([0, t0* ], H ) Tiếp theo, với t  [0, t0* ] , ta có:  (u1 )(t )   (u2 )(t ) t   r (t   , 1 ) f ( , u1 ( ))  f ( , u1 ( )) d t   r (t   , 1 ) L(  ) u1  u2 d  L(  ) u1  u2 nghiệm nhẹ toán (1)-(2)  0,T  u (t )  S (t )u0   R(t   ) f ( , u ( ))d L(  )  s (t , 1 ) 1 t  (0, t0* ] * Lấy t cầu đóng tâm gốc bán kính  Khi tồn số t *  (0, T ) cho toán (1)-(2) 1 tồn t0*  (0, T ) cho  ( B )  B , với Nhận xét: Từ định nghĩa, ta thấy với hàm h  C [0, T ], H  tốn có nghiệm nhẹ Trong [3], tác giả nghiên cứu tính qui nghiệm Dựa vào Định nghĩa 4, ta có khái niệm nghiệm nhẹ cho toán phi tuyến Định nghĩa u  C [0, T ], H  gọi Một số hướng nghiên cứu:  Nghiên cứu tồn nghiệm;  Nghiên cứu tính qui nghiệm;  Nghiên cứu đặc điểm nghiệm (tính phân rã, tính tuần hồn tiệm cận);  Nghiên cứu tính ổn định nghiệm (tính ổn định, ổn định yếu, hút, tán xạ) Trong vấn đề trên, ta nghiên cứu cho tốn với trễ khác Bằng ngun lí ánh xạ co, ta có kết sau Định lí Giả sử giả thiết (K) (A) thỏa mãn hàm phi tuyến liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz địa phương: || f (t , v1 )  f (t , v2 ) ||  L(  ) || v1  v2 ||, với v1 , v2  B , t  , B hình  s (t , 1 ) s (t , 1 ) hàm giảm s (0, 1 )  , nên có nghiệm [0, t * ]  s(t , 1 ) 1 cho  1, t  [0, t ] Ta  * ánh xạ co B  C([0, t* ]; H ) Vậy tốn có nghiệm [0, t * ] KẾT LUẬN Sử dụng lí thuyết phương tình tích phân Volterra đặc điểm khơng gian Hilbert khả li, chúng tơi có biểu diễn nghiệm nhẹ cho hệ vi phân không địa phương- hệ vi phân có chứa nhữn lớp hệ vi phân phân thứ quan trọng, thu kết tồn nghiệm địa phương cách sử dụng nguyên lí ánh xạ co Trình bày số hướng nghiên cứu cho lớp hệ TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Ashyralyev, (2011), Well-posedness of the Basset problem in spaces of smooth functions, Appl Math Lett., 24, 1176-1180 47 ... lí thuyết phương tình tích phân Volterra đặc điểm khơng gian Hilbert khả li, chúng tơi có biểu diễn nghiệm nhẹ cho hệ vi phân không địa phương- hệ vi phân có chứa nhữn lớp hệ vi phân phân thứ...   không âm khơng có phương trình phân thứ đa hạng tử Các lớp phương trình thu hút quan tâm đáng kể nhà toán học     tăng, tồn hàm l  L1loc   cho  l  l  k  (0, ) Xét phương trình. .. hàm phân thứ có trọng  Khi k (t )   g  (t ) d  ta phương trình mơ tả phương trình mơ tả q trình khuếch tán siêu chậm    k (t )   i g1i (t ), i  (0,1), i  ta hàm không âm, không