Trong bài viết này, tác giả xây dựng công thức tổng quát cho các biên khung dưới và trên tốt nhất này và đưa ví dụ áp dụng. Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết hơn nội dung nghiên cứu.
Tăng Tấn Đông 96 VỀ BIÊN KHUNG TỐT NHẤT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT ON THE OPTIMAL FRAME BOUNDS IN A HILBERT SPACE Tăng Tấn Đơng HVCH Tốn giải tích K34, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Đà Nẵng; tangtandong@gmail.com Tóm tắt - Một dãy vectơ = { fk }k =1 không gian gọi khung không gian tồn B, A B số cho A 2 A ‖ f ‖ | f , fk | B || f || f Các số k =1 Hilbert = { fk }k =1 of elements in Hilbert space Abstract - A sequence is a frame for if there exist constants 2 that A ‖ f ‖ | f , fk k =1 | B || f || B , A B so A and f The numbers A, B tương ứng gọi biên khung biên khung Ta gọi biên khung tốt supremum tất biên khung dưới, biên khung tốt infimum tất biên khung Các biên khung tốt có ý nghĩa quan trọng Trong báo này, tác giả xây dựng công thức tổng quát cho biên khung tốt đưa ví dụ áp dụng A, B are called lower frame bound and upper frame bound The optimal lower frame bounds are in the supremum over all lower frame bounds, and the optimal upper frame bounds are in the infimum over all upper frame bounds Evidently frame bounds optimal have very important meaning In this article, we construct formulae of the optimal bounds for a frame in a Hilbert space and give an example to apply these formulae Từ khóa - Khung không gian Hilbert; khung; biên khung; Không gian Hibert; biên khung tốt Key words - Frame in a Hilbert space; Frame; Frame bound; Hilbert space; optimal frame bounds Mở đầu Một khái niệm quan trọng không gian vectơ sở, vectơ khơng gian biểu diễn dạng tổ hợp tuyến tính phần tử thuộc sở Chẳng hạn như, ta xét không gian N vectơ hữu hạn chiều Nếu { f k }k =1 sở khơng biên khung dưới, cịn biên khung tốt (the optimal upper frame bound) infimum tất biên khung Hiển nhiên, biên khung tốt có ý nghĩa quan trọng, mặt ta thu hệ số tính tốn "tiết kiệm" nhất, mặt khác giá trị cho biết dãy = { f k }k =1 khơng gian Hilbert có khung hay , vectơ f gian có biểu diễn dạng N f = ck ( f ) f k (1) k =1 hệ số ck ( f ) nhất, chúng phụ thuộc f Chính vậy, hệ vectơ sở khơng gian tuyến tính thường xem khối xây dựng (elementary building blocks) Tuy nhiên, yêu cầu hệ vectơ tạo thành sở lại chặt chẽ, mà đòi hỏi phải độc lập tuyến tính Thậm chí khơng gian Hilbert người ta đòi hỏi chúng phải sở trực chuẩn, từ sở (hệ độc lập tuyến tính cực đại) ta sử dụng phương pháp trực giao hóa Schmidt chuẩn hóa để sở trực chuẩn Khái niệm "khung" xuất nhằm làm giảm thiểu yêu cầu khắt khe độc lập tuyến tính hệ vectơ, nhờ mà có nhiều ứng dụng Ta nói dãy vectơ = { f k }k =1 không Thật vậy, ta kí hiệu biên khung tốt biên khung tốt up low hai điều kiện dãy 2 A ‖ f ‖ | f , f k | B ‖ f ‖ , f k =1 (2) Các số A, B (2) tương ứng gọi biên khung biên khung Rõ ràng biên khung không Ta gọi biên khung tốt (the optimal lower frame bound) supremum tất = low = xảy ra, lúc khung Trong nhiều tài liệu, chẳng hạn [2] [3], đưa định nghĩa biên khung tốt nhất, chưa thấy tài liệu xây dựng công thức cho biên khung tốt dạng tổng quát Trong nghiên cứu này, tác giả giới thiệu công thức tổng quát cho biên khung tốt đưa ví dụ áp dụng Biên khung tốt Ta thấy rằng, biên khung tốt up phải thỏa mãn hai điều kiện sau hai điều kiện gọi hai điều kiện đặc trưng biên khung tốt không gian Hilbert gọi khung (frame) không gian này, tồn số A B , A B cho up (a) | f , f j | j =1 up ‖ f ‖ f ; (b) Nếu có B thỏa mãn | f , f j | B ‖ f ‖ j =1 f Như vậy, biên khung tốt up = inf{B : | f , f j | B ‖ f ‖ j =1 up up B dãy khung f } ISSN 1859-1531 - TẠP CHÍ KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG, VOL 17, NO 1.1, 2019 97 Tiếp theo, biên khung tốt dãy khung low , phải thỏa mãn hai điều kiện sau hai điều kiện Nếu bất đẳng thức (6) đúng, từ tính chất (b) đặc trưng biên khung tốt up , ta suy B up gọi hai điều kiện đặc trưng biên khung tốt (5) thực đẳng thức, ta có đẳng thức (3) cần chứng minh f ‖ | f , f j | low ‖ (c) f j =1 Như vậy, ta cần kiểm tra tính chất (6) Nếu f = ; bất đẳng thức (6) hiển nhiên, f ta có (6) (d) Nếu có A thỏa mãn A ‖ f ‖ | f , f j | A f j =1 low f j =1 j =1 ‖ f ‖ (b) Theo (c) ta có low ‖ | f , f j | =‖ f ‖ | Và ta có biên khung tốt khung low = sup{ A : A ‖ f ‖ | f , f j | f j =1 ={f Định lý Nếu gian Hilbert j } j =1 } f j =1 = sup up ‖ f ‖ f 0 low ( 3) f =1 j =1 low low = inf f 0 ‖ f ‖ f 1 j =1 ( 4) Chứng minh: (a) Theo tính chất (a) đặc trưng cận tốt nhất, j =1 up ‖ f ‖ | f , f j | ‖ f ‖ ‖ f ‖ ( 7) || f || =1 j =1 j =1 f (8) Nếu bất đẳng thức (8) đúng, từ tính chất (d) đặc trưng biên khung tốt low ta suy A low (7) thực đẳng thức, ta có đẳng thức (4) cần chứng minh 2 j =1 f j =1 ‖ f ‖ 2 , fj | A‖ f ‖ Như vậy, định lý chứng minh hoàn toàn sup | f , f j | j =1 ‖ f ‖ f 0 2 sup 0 f 1 | f , f j | f 1 j =1 f =1 j =1 Kỹ thuật tìm biên khung tốt Từ cơng thức tính biên khung tốt (3) (4) ứng với up low nói trên, ta thu thuật toán j =1 ‖ f ‖ sup | f , f j | sup | f , f j | 2 ( 5) Lấy B = sup | f , f j | Ta kiểm tra bất đẳng thức f =1 j =1 | f , f j | B ‖ f ‖ j =1 j =1 || f ||1 | f , f j | = ‖ f ‖ | f inf A ‖ f ‖ | f , f j | j =1 Vì up 2 đẳng thức (8) hiển nhiên, f ta có (8) up ‖ f ‖ | f , f j | Vậy ta cần kiểm tra công thức (8) Nếu f = bất Từ f 0 f =1 j =1 ta có | f , f j | j =1 inf f =1 j =1 = inf { | f , f j | } | f , f j | f Lấy A = inf | f , f j | ta kiểm tra bất đẳng thức = inf { | f , f j | } ‖ f ‖ || f ||1 j =1 2 j =1 inf | f , f j |2 inf | f , f j |2 (b) Biên khung tốt khung j =1 | f , f j | = sup{ | f , f j | } j =1 Vì = sup{ | f , f j | } f 1 j =1 | f , f j | f ‖ | f , f j | với (a) Biên khung tốt khung Từ khung khơng , thì: | f , f j | , fj | B‖ f ‖ tính chúng sau 3.1 Tìm up Để chứng minh up = ta thường làm sau (i) Trước hết ta chứng minh f (6) | f , f j | ‖ f ‖ j =1 2 f , Tăng Tấn Đơng 98 Theo (b) ta có (ii) Tiếp up theo ta g tìm | g , f j | , từ (3) ta suy up j =1 thức ta thu 3.2 Tìm Từ hai bất đẳng low = ta thường làm sau low ‖ f ‖ | f , f j | 2 ‖ h ‖ = mà | h, f j | , từ (4) suy low Từ hai bất đẳng j =1 1/2 e1 , e2 , e2 , e3 , 23/2 n /2 {ek }k =1 e3 , en , }, F chứa Do tập thực F khung Ta có k =1 k k =1 2 | f , ek | k =1 = | f , ek | + k =1 k =1 k =1 k =‖ f ‖ + 2 k | f , ek | 2 | f , ek | ‖ f ‖ | f , f k | k =1 , Tiếp theo, f = en với n 2 ‖ f ‖ = n (9) ta có Flow = Kết luận Trong báo xây dựng công thức tường minh cho biên khung tối ưu, biên khung tối ưu không gian Hilbert tổng qt đưa ví dụ áp dụng cho cơng thức Lời cám ơn: Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS.TS Nguyễn Nhụy, Đại học Quốc gia Hà Nội, đưa dẫn để viết báo TÀI LIỆU THAM KHẢO Rõ ràng | en , en | = + n 2 Do đẳng thức với n nên từ định | f , fk | = | f , ek | + | f , f k | với (9) ta suy Fup = / k =1 sở trực chuẩn k =1 | f , fk | = | en , en | + , en , nghĩa infimum ta suy Flow Vậy kết hợp với F = { f k }k =1 = {e1 , sở này, nên Ta biên tốt Flow = biên = low Ví dụ áp dụng Giả sử sở trực chuẩn (9) nên theo định nghĩa supremum ta có Fup / kết hợp với k =1 h thức ta thu với biên ‖ f ‖ = | f , f k | = | e1 , e1 | + | e1 , e1 | = low (ii) Tiếp theo ta tìm {ek }k =1 Nghĩa F = { f k }k =1 khung f j =1 từ (d) suy ‖ f ‖ tốt Fup = / Thật vậy, với f = e1 (i) Trước hết chứng minh k =1 Flow Fup Để chứng minh khung và / tương ứng Vậy = up ‖ f ‖ | f , f k | ‖ g ‖ = mà với = | f , ek | + k =1 k =1 ‖ f ‖ + k | f , ek | 2 | f , ek | = ‖ f ‖ k =1 [1] Christensen, H., What is a Frame?, Notices the AMS, Volume 60, Number 6, 2016 [2] Christensen, O., An Introduction to Frame and Riesz Bases, Second Edition, Birkhaeuser, 2015 [3] Hernandez, E., Weiss, G., A First Course on Weiveles, Boca Raton, New York, 1996 [4] Heuser, H., Functional Analysis, Wiley, New York, 1982 [5] Nguyễn Nhụy, Giáo trình Giải tích Fourier, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2015 [6] Hoàng Tụy, Hàm thực Giải tích hàm, Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 (BBT nhận bài: 24/12/2018, hoàn tất thủ tục phản biện: 25/01/2019) ... (b) Biên khung tốt khung j =1 | f , f j | = sup{ | f , f j | } j =1 Vì = sup{ | f , f j | } f 1 j =1 | f , f j | f ‖ | f , f j | với (a) Biên khung tốt khung. .. en với n 2 ‖ f ‖ = n (9) ta có Flow = Kết luận Trong báo xây dựng công thức tường minh cho biên khung tối ưu, biên khung tối ưu không gian Hilbert tổng quát đưa ví dụ áp dụng cho cơng thức... 1.1, 2019 97 Tiếp theo, biên khung tốt dãy khung low , phải thỏa mãn hai điều kiện sau hai điều kiện Nếu bất đẳng thức (6) đúng, từ tính chất (b) đặc trưng biên khung tốt up , ta suy B up