Sử dụng tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm trong đánh giá trình độ toán

Bài viết đề xuất phương pháp tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm trong đánh giá trình độ toán đồng thời trình bày hai phương pháp tiếp cận theo quan điểm này đang được thực hiện và đạt được hiệu quả trong việc hiểu khái niệm toán.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HNKHT 2018 SỬ DỤNG TIẾP CẬN ĐA CHIỀU ĐỂ HIỂU KHÁI NIỆM TRONG ĐÁNH GIÁ TRÌNH ĐỘ TỐN PHAN DUY HÙNG Học viên Cao học, Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm, Đại học Huế Email: phanduyhungspt@gmail.com Tóm tắt: Phát triển hiểu biết tốn cho học sinh mục đích việc dạy toán (National Council of Teachers of Mathematic - NCTM, 2000) Hiểu khái niệm thành thạo quy trình tốn hai mục tiêu quan trọng mà hoạt động dạy học toán hướng đến Nhiều nhà giáo dục toán giới kêu gọi xây dựng chương trình dạy tốn đánh giá có cân hai trình Trong báo này, đề xuất phương pháp tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm đánh giá trình độ tốn đồng thời trình bày hai phương pháp tiếp cận theo quan điểm thực đạt hiệu việc hiểu khái niệm toán Từ khóa: Hiểu khái niệm, tiếp cận đa chiều hiểu tốn, đánh giá trình độ tốn GIỚI THIỆU Học tốn để hiểu cách sâu sắc, tồn diện khái niệm tốn mà giáo viên muốn mang lại cho học sinh nhằm giúp em tự tin sử dụng chúng cách thành thạo vào sống Hiểu biết nội dung toán mục tiêu quan trọng mà tất học sinh cần nắm bắt Điều đặt thách thức không nhỏ cho giáo viên tìm đường tốt để đưa kiến thức vào trí óc học sinh Nhiều nhà giáo dục toán nhận tầm quan trọng việc sử dụng nhiều quan điểm để đánh giá việc học nội dung toán, chẳng hạn: - Freudenthal (1983) xem xét cách khác chủ đề sử dụng quan điểm khác dẫn đến hiểu biết toán khác - Krutetskii (1976) cho thấy, số học sinh có khả tốn học, số học sinh thường sử dụng phương pháp đại số giải tích để giải vấn đề, số khác lại sử dụng hình học lượng giác - Hội đồng Giáo viên Toán Quốc gia (NCTM, 2000) phát triển tài liệu giảng dạy khung chương trình, phác thảo cách nhìn cho học sinh với việc nhấn mạnh tầm quan trọng cân thành thạo quy trình hiểu khái niệm Sự phân biệt thành thạo quy trình hiểu khái niệm đóng vai trò quan trọng việc xác định kiến thức mà học sinh thu nhận Hiện nay, có nhiều hình thức đánh giá tốn học khác theo bối cảnh xã hội giáo dục nước, nhiên phạm vi báo này, nhấn mạnh việc sử dụng phương pháp tiếp cận đa chiều để hiểu trình độ tốn học sinh Trên sở phân tích việc hiểu tốn, việc ứng dụng quan điểm đa chiều đánh giá, báo đưa đề xuất để giúp cho đội ngũ giáo viên có hướng cơng tác giảng dạy đánh giá học sinh Đồng thời, qua việc phân tích ví dụ thực tế, viết làm bật lên q trình tiếp thu kiến thức tốn học sinh cho thấy tích cực, hiệu quan điểm NỘI DUNG 2.1 Quan điểm hiểu toán Trong giáo dục toán, thường nghe thấy học sinh “làm” tốn em “khơng hiểu” làm gì, cho dù làm mục đích em 208 KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2018 | 11/2018 học lý thuyết để làm gì? Vậy lúc học sinh xem “hiểu toán”? Chúng ta xem xét vài định nghĩa hay giải thích “hiểu toán”: - Skemp (1976) xác định hai loại hiểu mang tính quan hệ cơng cụ, việc hiểu có tính quan hệ “biết hai đặc trưng làm sao” trình học toán với mối quan hệ “xây dựng cấu trúc khái niệm” - Nickerson (1985) xác định kết việc hiểu khả thấy sâu đặc trưng khái niệm, nhanh chóng tìm thơng tin cụ thể tình huống, có khả biểu diễn, hình dung tình cách sử dụng mơ hình trí tuệ - Hiebert Carpenter (1992) xác định việc hiểu toán cách cụ thể gắn liền với việc xây dựng nên “bối cảnh khái niệm” hay “cấu trúc” - Sierpinska (1994) phân loại việc hiểu theo ba dạng khác nhau: Hành động Việc hiểu Các trình Hình Sơ đồ phân loại “việc hiểu” Sierpinska (1994) Sierpinska thấy trình việc hiểu “hoạt động nhận thức xảy theo khoảng thời gian dài hơn” - Barmby nnk, (2007) đề xuất định nghĩa hiểu toán sau: + Hiểu toán tạo liên kết biểu diễn trí tuệ khái niệm + Hiểu mạng lưới biểu diễn thu kết hợp với khái niệm tốn học - Duffin Simpson (2000) phát triển phạm trù Sierpinska phân biệt thành ba thành phần việc hiểu: Xây dựng Có Tham gia vào Hình Cấu trúc thành phần “việc hiểu” theo Duffin Simpson (2000) Trên sở giáo viên, nhà giáo dục toán, xem “việc hiểu” học sinh việc em hoàn thành nhiệm vụ giao, biết em nghĩ thực nhiệm vụ phải trình bày làm Trong báo quan tâm đến hướng tiếp cận đa chiều việc đánh giá 209 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HNKHT 2018 học sinh thông qua hệ thống tập phần kiến thức “hàm số” biên soạn không theo hướng chiều cũ mà thay vào nhiều mảng khác nhau, từ lý thuyết, tập với thủ thuật đơn giản, tập thực tế… Từ đây, chúng tơi có cách nhìn tồn diện “việc hiểu” học sinh 2.2 Tiếp cận đa chiều hiểu toán Toán học mơn học gắn liền với thực tế, mục đích việc học toán giải vấn đề nảy sinh sống Đáp ứng với nhu cầu hội nhập phát triển, nước xây dựng phát triển chương trình giáo dục tốn phù hợp với xu tình hình đất nước Quan điểm tiếp cận đa chiều dạy học toán quan điểm nhiều nước phát triển giới áp dụng cho thấy hiệu Freudental (1983) xem xét cách khác mà chủ đề toán học vận dụng tiếp cận khác dẫn đến hiểu toán khác Toán học Quan điểm Hiểu Hình Sơ đồ hình thành việc hiểu toán theo quan điểm Freudental (1983) Trong lớp học, học sinh có mạnh riêng, có em nghiêng đại số, giải tích có em lại mạnh hình học… Mỗi khái niệm, kiến thức toán học truyền tải nhiều đường khác tùy thuộc vào kinh nghiệm lực giáo viên Điều đòi hỏi giáo viên tiết học cần lựa chọn cách dạy cho phù hợp Để phát triển việc hiểu toán học sinh, chương trình tốn bậc trung học phổ thơng cần phải trọng đến kỹ toán học, khái niệm q trình tốn học Đó yếu tố việc học tốn áp dụng toán học vào giải vấn đề sống (1) Thành thạo quy trình (5) Phương án giải (2) Suy luận thích ứng (4) Kế hoạch giải (3) Hiểu khái niệm Hình Sơ đồ trình độ tốn học theo Hội đồng Nghiên cứu Quốc gia Hoa Kỳ (NRC, 2001) Để xây dựng khung chương trình khơng phải dễ thực Tư học sinh sau trình dài đặt môi trường giáo dục cũ theo cách dạy học đánh giá truyền thống làm cho em thích nghi Một câu hỏi đặt làm để tạo chương trình tốn theo quan điểm có nhiều tiến hiệu 210 KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2018 | 11/2018 Một chương trình giáo dục tốn học theo quan điểm tiếp cận đa chiều tạo cân phù hợp với đối tượng học sinh Nếu đổi phương pháp dạy học theo quan điểm tiếp cận đa chiều đánh giá cần tuân theo tiếp cận 2.3 Tiếp cận SPUR Usiskin (1985) có quan điểm hiểu toán độc lập Skemp (1976) Usiskin đồng ý với Skemp “hiểu công cụ” “hiểu quan hệ” khác không đồng ý chúng hai chủ đề khác Thompson Kaur (2011) đề xuất tiếp cận đa chiều mô từ mơ hình gốc sử dụng phát triển chương trình (Usiskin, 1985) để đánh giá chất lượng hiểu tốn học sinh thơng qua bốn chiều chính: kỹ năng, tính chất, vận dụng, biểu, đó: - Kỹ năng: Chỉ quy trình mà học sinh cần phải thực thành thạo, kỹ việc áp dụng thuật toán tiêu chuẩn việc khám phá thuật toán bao gồm quy trình với cơng nghệ - Tính chất: Chỉ nguyên tắc toán học, bao gồm tính chất sử dụng đến kiểm chứng kết luận đạt chứng minh - Sử dụng: Chỉ việc áp dụng khái niệm toán học vào giới thực tế hay vào khái niệm khác toán học, bao gồm từ “các toán lời” quen thuộc đến việc phát triển sử dụng mơ hình tốn học - Biểu diễn: Chỉ đồ thị, hình vẽ thể trực quan khác khái niệm toán học, bao gồm biểu diễn thống khái niệm mối quan hệ đến khám phá cách để biểu diễn khái niệm Tiếp cận đa chiều biết với tên viết tắt SPUR (Skills, Properties, Uses, Representations), cung cấp cho giáo viên thông tin hữu ích chiều sâu hiểu biết toán học sinh Kỹ Tính chất Vận dụng Biểu diễn Hình Bốn chiều việc hiểu Toán theo tiếp cận SPUR Đầu tiên, SPUR dùng để thiết kế chương trình tốn tốn phổ thơng, sau nhà giáo dục sử dụng SPUR công cụ đầy sức mạnh hoạt động đánh giá việc hiểu tốn học sinh Khi học sinh có hiểu biết sâu sắc toán học em thu việc hiểu bốn chiều kỹ năng, tính chất, vận dụng biểu diễn Hiện nay, với cách dạy truyền thống đánh giá quan tâm chiều, giáo viên thơng qua kiểm tra cho điểm đưa nhận xét trình học hiểu học sinh Tuy nhiên, cách đánh có phải đánh giá phản ánh hết thực tế hay khơng Chẳng hạn, kiểm tra tốn mà học sinh bị điểm thấp, giáo viên vội kết luận khả tốn học học sinh thấp liệu có phải quan điểm đúng? 211 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HNKHT 2018 Nếu đánh giá quan tâm đến bốn chiều giáo viên nhận thông tin đầy đủ điểm mạnh, điểm yếu kiến thức khái niệm học sinh, điều đem lại định hướng cho việc lên kế hoạch học Nếu mục đính giáo dục phát triển học sinh với hiểu biết sâu sắc linh hoạt tốn học khơng thể đánh giá kiến thức, kỹ em Việc viết câu hỏi để đo lường kiến thức, kỹ thường dễ dàng Để kiểm tra kiến thức chiều khác việc hiểu toán, giáo viên cần phải điều chỉnh câu hỏi kỹ đó, hay viết câu hỏi hoàn toàn để thu thập khía cạnh khác việc hiểu tốn học sinh Những phản hồi việc hiểu khái niệm tốn học sinh sử dụng để đổi cách dạy, để học sinh xây dựng tảng vững kiến thức toán học 2.4 Phân loại tư MATH Theo Schoenfeld (1988), số học sinh đưa “lời giải” cho câu hỏi khơng hiểu lời giải mà đưa Trên sở giáo viên, cần xác định học sinh nên biết hiểu sau học mơn tốn, điều nên chuyển thành mục tiêu mục đích đánh giá Thứ bậc Nhiệm vụ Đánh giá Tốn có tên viết tắt MATH (Mathematical Assessment Task Hierarchy), đặc biệt thiết kế để phát triển đánh giá hiểu biết toán nhằm đảm bảo rằng, học sinh đánh giá theo nhiều dạng kiến thức kỹ khác (Darlington, 2013) Phân loại MATH xác định tám phạm trù kỹ kiến thức xếp chúng vào ba nhóm A, B C Tám phạm trù xếp thứ tự theo chất hoạt động tư tốn khơng phải theo mức độ khó hoạt động địi hỏi để hồn thành tốt nhiệm vụ Phân loại tư MATH có ba nhóm: A (Tái tạo); B (Liên kết) C (Suy luận) Các phạm trù MATH thiết kế để mô tả “bản chất” hoạt động khơng phải “mức độ khó” Điều có nghĩa nhiệm vụ nhóm A xem khó nhiệm vụ nhóm C, tùy thuộc vào độ khó, thách thức cụ thể gắn liền với nhiệm vụ Chúng ta xem nhóm A, B, C tương ứng với ba mức A, B, C xếp theo thứ bậc từ thấp đến cao cách phù hợp theo bối cảnh Các kỹ toán học gắn liền với nhóm C “những mà gán với nhà toán học thực hành công việc người giải vấn đề” (Pountney, Leinbach Etchells, 2002) Nhóm A chủ yếu nhớ lại cơng thức để giải tốn quen thuộc (Ball nnk., 1998; Smith nnk., 1996) Một số người đặt câu hỏi liệu có nên cho phép đánh cho đạt học sinh có kỹ nhóm A B Họ đề xuất rằng, nên dành điểm cao cho học sinh với kỹ nhóm C Pountney, Leinbach Etchells (2002) đề xuất: “Những kỹ nhóm B C nên giới thiệu vận dụng thường xuyên theo cách phát triển sâu sắc q trình giải vấn đề tốn học thực tế cho cá nhân học sinh nhóm A để tạo lời giải trực tiếp cho vấn đề” Việc nâng dần kỹ từ A đến B từ A B lên C nhà giáo dục tốn tìm kiếm biện pháp cụ thể thực hành cho lớp học 2.5 Cấu trúc đánh giá hiểu toán theo SPUR kết hợp với phân loại tư MATH Usiskin (2012) cụ thể hóa chiều hiểu toán thành bốn lĩnh vực hiểu khái niệm: kỹ – thuật tốn, tính chất - chứng minh, sử dụng - áp dụng, biểu diễn - sơ đồ nhận thức Đơi khi, bốn chiều viết lại gọn kỹ năng, tính chất, sử dụng biểu diễn 212 KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2018 | 11/2018 Chúng ta kết hợp tiếp cận đa chiều SPUR với phân loại tư MATH để xây dựng cấu trúc đề kiểm tra nhằm đánh giá việc hiểu toán mức tư khác Trong thực hành đánh giá, ứng dụng phân loại để mô tả công cụ xem xét yêu cầu nhận thức toán học sinh, xét sáu mức nhận thức toán gồm A1, A2, A3, B1, C1, C2 Phạm trù B2 áp dụng vào tình C3 đánh giá khơng có cơng cụ Các câu hỏi yêu cầu áp dụng đưa vào phạm trù A3 sử dụng Các câu hỏi chương trình tốn trung học địi hỏi mức nhận thức đánh giá Các phân loại tư tạo làm khung lý thuyết để xây dựng, thiết kế dạy, đánh giá phụ hợp Điều quan trọng làm để chuyển mơ tả theo nội dung tốn cụ thể vào phân loại tư Phân loại tư MATH tiếp cận đa chiều SPUR công cụ phát triển mang lại kết thực Điều địi hỏi nhà giáo dục tốn phải ln tìm tịi, nghiên cứu để tạo khung chương trình dạy học kiểm tra đánh giá phù hợp đáp ứng với nhu cầu xã hội 2.6 Kết nghiên cứu Sau đây, chúng tơi trình bày số câu hỏi phần đánh giá kiến thức học sinh “hàm số” lớp lớp 12, gồm N  37 em tham gia khảo sát Câu hỏi 1: Nêu định nghĩa hàm số y  f ( x) theo cách hiểu em? Không làm Làm không Làm 16,2% 83,8% 0% Câu hỏi mức kỹ thuộc phạm trù A1 mức nhận thức toán Đây mức gần đánh giá học sinh Khái niệm “hàm số” khái niệm toán học, học sinh học từ cấp trung học sở (THCS) đầu cấp trung học phổ thông (THPT), nhiên học sinh nêu định nghĩa cách trọn vẹn theo quan điểm sách giáo khoa (SGK) Câu trả lời chiếm đa số: “Là phép đặt cho x cho y” Kết thu phản ánh thực tế học sinh nắm phần chất định nghĩa hàm số, chí có phận học sinh khơng nhớ định nghĩa hàm số Câu hỏi 2: Cho biết f ( x) hàm số bậc hai Hãy viết biểu thức f ( x) biết f (1) =0, f (0)  f (1)  ? Bài toán tăng độ phức tạp thực hiện, xếp mức tính chất thuộc phạm trù A3 thực quy trình hay thuật tốn dựa theo tính chất Khơng làm 2,7% Làm không 8,1% Làm 89,2% Đối với tốn có tính quy trình hay thuật tốn, đa số học sinh thực cách thành thạo cho kết đúng, kết đáng mong đợi kiểm tra Nhưng xét logic toán, số học sinh nắm chưa vững khái niệm hàm số bậc hai phương trình bậc hai Chẳng hạn, 27,0% học sinh cho rằng, hàm số bậc hai có dạng ax2  bx  c  , số em cịn khơng quan tâm đến điều kiện tham số a Nếu đánh giá kết quả, đặc biệt thi trắc nghiệm khách quan gần 100% câu trả lời em xác để thực xét việc hiểu sâu khái niệm rõ ràng bỏ qua Điều quan trọng cần có đánh giá thực phù hợp kỹ giải việc hiểu toán 213 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HNKHT 2018 Câu hỏi 3: Hàm số f ( x) có đồ thị hình vẽ, xác định: a) f (0) , f (1) f (1) ? b) Số nghiệm phương trình f ( x)   ? Đây toán dựa vào hiểu biết học sinh đồ thị hàm số kiến thức tương giao hai đồ thị Câu hỏi xếp mức kỹ năng, phạm trù B1 nhận công thức, phương pháp phù hợp cho bối cảnh cụ thể Kết thu từ làm học sinh sau: Không làm 2,7% Làm không 32,4% Làm 64,9% Trong số 32,4% học sinh làm không có 29,7% làm câu a) câu b) cách làm hay làm kết luận sai Trong 64,9% học sinh làm kết câu, số em lại sử dụng phương pháp đại số để giải câu b) không sử dụng phương pháp đồ thị hàm số Đa số em kết luận nghiệm lại khơng giải thích lại có kết Điều chứng tỏ rằng, lớp có phân hóa học sinh, có em nghiêng mảng đại số, có em lại nghiêng mảng hình học, đồ thị Một kiểm tra nhận đa dạng câu trả lời học sinh thu nhiều chiều hướng tích cực, từ đánh giá cách tồn diện so với tốn có cách giải mang tính thủ thuật có sẵn mà học sinh học SGK Câu hỏi 4: Cho hàm số f(x) có đồ thị hinh vẽ Hãy vẽ đồ thị hàm số f ( x ) f ( x ) ? Bài toán thiết kế nhằm đo lường hiểu biết học sinh cách vẽ đồ thị hàm số trị tuyệt đối thông qua đồ thị hàm số cho trước Câu hỏi thuộc mức biểu diễn với phạm trù A3 biểu diễn thông tin theo dạng yêu cầu Kết thi cho thấy có 29,7% học sinh vẽ đồ thị hai hàm số Kiến thức hàm số chứa trị tuyệt đối em học nội dung quan trọng chương trình, thường xuyên xuất kiểm tra thi học sinh lớp 12 Tuy nhiên, toán lại tất 37 em thực hiện, chứng tỏ mức độ nhớ kiến thức em cịn tốt, q trình tiến hành lại phản ánh mức độ nắm vững kiến thức em q trình học cịn nhiều hạn chế Điều địi hỏi giáo viên phải tìm kiếm phương pháp dạy học hiệu để giúp em hiểu rõ chất dạng toán đồ thị 214 KỶ YẾU HỘI NGHỊ KHOA HỌC TRẺ 2018 | 11/2018 Câu hỏi 5: Một sợi dây kim loại dài 100 cm cắt thành hai đoạn Đoạn thứ uốn thành tam giác đều, đoạn thứ hai uốn thành hình vng (hình dưới) Hỏi phải chia đoạn dây kim loại để tổng diện tích hai hình bé nhất? Một tốn có bối cảnh thực tế đưa vào đánh giá Bài toán phản ánh mối quan hệ toán học sống Bài toán xếp mức sử dụng với phạm trù B1 áp dụng khái niệm vào tình thực tế hay khái niệm khác Để giải quyết, học sinh việc hiểu ý nghĩa vấn đề phải biết vận dụng kiến thức học vào tình Kết khảo sát cho thấy 35,2% học sinh tham gia giải toán thực tế Số khác hỏi trả lời câu hỏi q khó, số em khơng biết cách giải tốn có 10,8% giải toán Số khác đưa kết sai lập luận, giải sai hướng Đặc biệt, có 35,2% học sinh có vị trí gần nhau, có nghĩa số em trội lớp giúp đưa ý tưởng cho bạn lại Thực tế phản ánh rằng, việc đưa tập thực tế vào đánh giá gây nhiều khó khăn cho học sinh, em bất ngờ thủ tục hay kiến thức để áp dụng Đây vấn đề đáng lưu tâm mục tiêu giáo dục tốn đáp ứng yêu cầu thực tế sống khơng phải giải tốn mang tính thủ tục suốt q trình học Giáo viên toán cần trọng sử dụng toán thực tế sử dụng cách phù hợp kiểm tra đánh giá để giúp học sinh dần làm quen với việc sử dụng học để giải vấn đề nảy sinh sống hàng ngày Cả năm câu hỏi có nội dung toán “hàm số” thiết kế với mức độ phức tạp, độ quen thuộc khác theo thang mức nhận thức toán tiếp cận đa chiều SPUR với phân loại tư MATH Hiện nay, học sinh đánh giá theo phương pháp Để hướng đến việc sử dụng kiến thức, kỹ toán vào giải vấn đề, học sinh cần dạy đánh giá theo hệ thống tập đa chiều để em có hội làm quen dần với mức độ “hiểu khái niệm” tốn học cách rõ ràng, xác, đặc biệt việc học toán em đánh giá cách công khách quan KẾT LUẬN Sử dụng tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm đánh giá trình độ tốn tạo khung chương trình dạy học kiểm tra đạt hiệu quả, đặc biệt thể mục đích giáo dục gắn liền với sống Qua phân tích kết khảo sát, chúng tơi thấy rằng, nay, học sinh chủ yếu thực tốt tốn có tính quy trình thuật tốn lại gặp nhiều khó khăn tốn địi hỏi phải sử dụng định nghĩa giải vấn đề Học tốn địi hỏi phải có cân thành thạo quy trình hiểu khái niệm phải không nghiêng mảng kiến thức cụ thể Học sinh đánh giá chủ yếu theo cách kiểm tra truyền thống, điều tạo q trình kiểm tra thiếu khách quan xác Do đó, cần đổi cách thức dạy học đánh giá kết học tập học sinh Chúng tơi hy vọng báo có đóng góp phần xác định sở lý luận giúp giáo viên có ý tưởng cơng tác dạy học đánh giá học sinh 215 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC HUẾ | HNKHT 2018 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Ball, N., Smith, G., Wood, L., Coupland, M & Crawford, K (1998) Creating a diversity of mathematical experiences for tertiary students International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 29(6): 27 – 41 [2] Barmby, P., Harries, T., Higgins, S & Suggate, J (2007) How can we assess mathematical understanding? In Woo, J H., Lew, H C., Park, K S & Seo, D.Y (Eds.) Proceedings of the 31 st Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education, Vol 2, pp 41 – 48 Seoul: PME [3] Duffin, J M & Simpson, A P (2000) A Search for Understanding Journal of Mathematical Behaviour, 18(4), 415 – 427 [4] Freudenthal, H (1983) Didactical phenomenology of mathematical structures Dordrecht, The Netherlands: Reidel [5] NRC (2001) National Research Council (Mathematics Learning Study: Center for Education, Division of Behavioral and Social Sciences and Education), Adding it up: Helping children learn mathematics, edited by J Kilpatrick et al., Washington, DC: National Academy Press [6] Pountney, D., Leinbach, C, & Etchells, T (2002) The issue of appropriate assessment in the presence of CAS International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 33(1): – 44 [7] Schoenfeld, A H (1988) When good teaching leads to bad results: The disasters of ‘well – taught’ mathematics courses Educational Psychologist, 23(2), 145 – 166 [8] Sierpinska, A (1994) Understanding in Mathematics London: The Falmer Press [9] Skemp, R (1976) Relational Understanding and Instrumental Understanding Mathematics Teaching, 77, 20-26 [10] Thompson, D R., & Kaur, B (2011) Using a multi – dimensional approach to understanding to assess student’ mathematical knowledge In B Kaur & K Y Wong (Eds.), Assessment in the mathematics classroom, (pp 17 – 32) Singapore: World Scientific Publishing [11] Trần Vui (2018) Đánh giá chất lượng hiểu khái niệm thành thạo kỹ giải vấn đề toán NXB Đại học Huế Title: MULTI-DIMENSIONAL APPROACH TO CONCEPTUAL UNDERSTANDING FOR ASSESSING MATHEMATICAL PROFICIENCY Abstract: The main purpose of teaching mathematics is to make learners understand mathematics (National Council of Teachers of Mathematic - NCTM, 2000) Conceptual understanding is the main focus that the education of mathematics tends to be along with the proficiency of the procedures Many educators in the world have appealed to build the teaching and evaluation program which satisfies the balance of these two aims In this paper, we propose to use a multidimensional approach to understand mathematical concepts with examples of two methods that applied and show their efficiency Keywords: conceptual understanding, multi-dimensional approach to understanding mathematics, assessing mathematical proficiency 216 ... dục toán học theo quan điểm tiếp cận đa chiều tạo cân phù hợp với đối tượng học sinh Nếu đổi phương pháp dạy học theo quan điểm tiếp cận đa chiều đánh giá cần tuân theo tiếp cận 2.3 Tiếp cận. .. công khách quan KẾT LUẬN Sử dụng tiếp cận đa chiều để hiểu khái niệm đánh giá trình độ tốn tạo khung chương trình dạy học kiểm tra đạt hiệu quả, đặc biệt thể mục đích giáo dục gắn liền với sống... kỹ toán vào giải vấn đề, học sinh cần dạy đánh giá theo hệ thống tập đa chiều để em có hội làm quen dần với mức độ ? ?hiểu khái niệm? ?? tốn học cách rõ ràng, xác, đặc biệt việc học toán em đánh giá