Thông tin tài liệu
lOMoARcPSD|14734974 Đ¾I HàC QC GIA THÀNH PHà Hâ CHÍ MINH TR¯äNG Đ¾I HàC BÁCH KHOA ú û BÁO CÁO BÀI T¾P LâN MƠN GIÀI TÍCH LâP: L02, NHĨM: 01 GVHD: Huỳnh Thái Duy Ph°¢ng Tp.HCM, ngày 05 tháng 05 năm 2022 lOMoARcPSD|14734974 Đ¾I HàC QUàC GIA THÀNH PHà Hâ CHÍ MINH TR¯äNG Đ¾I HàC BÁCH KHOA ú û BÁO CÁO BÀI T¾P LâN MƠN GIÀI TÍCH NHĨM 1_Lãp L09: D°¢ng Ngác Ân MSSV: 2110030 TrÁn D°¢ng Tr°ång An MSSV: 2110714 Lê Võ Ngác Anh MSSV: 2112771 TrÁn Đāc Anh MSSV: 2112812 TrÁn Vi¿t Bình MSSV: 2112909 lOMoARcPSD|14734974 TĨM TÀT BÀI BÁO CÁO Đề tài tập lớn Giải tích nhóm gồm tập liên quan đến Vi phân hàm nhiều biến (3,19,10), Tích phân (4,8,22), Dãy chuỗi (6,10) ứng dụng sử dụng phần mềm công cụ để vẽ hình 2D (6) 3D (12) Trước hết tìm hiểu sở lý thuyết dạng toán áp dụng vào toán giao đồng thời sử dụng phần mềm ứng dụng Geogebra để vẽ hình 2D 3D lOMoARcPSD|14734974 LäI CÀM ¡N Qua trang viết này, nhóm chúng em xin tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc thầy Huỳnh Thái Duy Phương tận tình hướng dẫn, dạy vơ tâm huyết dù hồn cảnh dịch Covid-19 vơ khó khăn Nhờ bảo tận tình thầy mà nhóm hồn thành tập lớn giải vấn đề khó khăn mà nhóm gặp phải Với vốn kiến thức tiếp thu q trình học tập, khơng tảng cho trình nghiên cứu tập lớn mà hành trang quý báu để em ứng dụng vào sống Bài báo cáo mơn Giải tích kết q trình cố gắng khơng ngừng tất thành viên nhóm lớp L02 Trong trình làm đề tài này, chúng em nhận góp ý anh chị, bạn bè, nhóm chân thành cảm ơn giúp đỡ người Cuối cùng, nhóm chúng em chúc thầy bạn sức khỏe thành công công việc học tập lOMoARcPSD|14734974 LäI Mæ ĐÀU Giải tích mơn học đại cương có tầm quan trọng sinh viên ĐH Bách Khoa TPHCM nói riêng sinh viên ngành khối khoa học kỹ thuật – cơng nghệ nói chung Do đó, việc dành thời gian để nghiên cứu thực hành cho môn học điều tất yếu để giúp cho sinh viên có sở vững mơn KHTN làm tiền đề để học tốt môn khác chương trình đào tạo Sự đời ứng dụng toán tin hỗ trợ lớn trình phát triển mơn học tốn học hay vật lý Việc ứng dụng tin học trình giải thích sở lý thuyết, giải tốn thể hình ảnh 2D, 3D cách trực quan đại làm cho thời gian rút ngắn lại mang hiệu cao Như ta biết, có nhiều phần mềm đời hỗ trợ cho học tập nghiên cứu (Matlab, Maple, Geogebra ), việc tìm hiểu ứng dụng việc thực hành môn đại cương quan trọng cấp thiết lOMoARcPSD|14734974 MĀC LĀC TÓM TÀT BÀI BÁO CÁO LäI CÀM ¡N LäI Mæ ĐÀU MĀC LĀC NàI DUNG CH¯¡NG 1: C¡ Sỉ LÝ THUY¾T Đ¿o hàm vi phân Nhân tử Lagrange 10 Đßnh lý Stokes 11 Chußi sá 12 CH¯¡NG 2: BÀI T¾P 13 Phép tính vi phân hàm nhiÁu bi¿n 13 Phép tính tích phân 15 Dãy chußi 17 CH¯¡NG 3: ĀNG DĀNG PHÀN MÀM CÔNG CĀ 18 2D 18 3D 19 K¾T LU¾N 20 TÀI LIÞU KHAM THÀO 21 lOMoARcPSD|14734974 CH¯¡NG 1: C¡ Sỉ LÝ THUY¾T Đ¿o hàm vi phân 1.1 Đ¿o hàm riêng 1.1.1 Khái niệm đạo hàm riêng: - Cho hàm số f : �㔷 ⊂ ý2 , lấy điểm (ą0 , Ć0 ) ⊂ ý Khi cho x thay đổi y cố định (Ć = Ć0 ), ta hàm biến ą: Ā(ą) = ÿ(ą, Ć0 ) Nếu hàm có đạo hàm ą = ą0 đạo hàm gọi đạo hàm riêng hàm ÿ(ą, Ć) điểm (ą0 , Ć0 ) theo biến ą kí hiệu l: ý (0 , ) hay (ý0 ,ỵ0 ) �㔕ý Ā(ą0 + ∆ą ) Ā(ą0 ) �㔕ÿ(ą0 , Ć0 ) = ∆ý→0 �㔕ą ∆ą lim - Đạo hàm riêng theo biến Ć (ą0 , Ć0 ) kớ hiu l ỵ (0 , ) hay 1.1.2 Quy tc tỡm o hm riờng: (ý0 ,ỵ0 ) ỵ - tỡm ý ta xem Ć số lấy đạo hàm ÿ(ą, ) theo bin - tỡm ỵ ta xem ą số lấy đạo hàm ÿ(ą, Ć) theo biến Ć 1.1.3 Đạo hàm riêng cấp cao: Với hàm hai biến ć = ÿ(ą, Ć) o hm riờng cp ý v ỵ ′ ′ ′ hàm hai biến Do đạo hàm riêng chúng (ÿý ′ )ý , (ý )ỵ , (ỵ )ý , (ỵ )ỵ l o hm riờng cp hai ca hàm ÿ 1.2 Vi phân hàm nhiÁu bi¿n 1.2.1 Sự khả vi vi phân cấp 1: ÿ khả vi (ą0 , Ć0 ) tồn số A, B cho: f ø x, y ù f ( x0 , y0 ) A ø x x0 ù B ø y y0 ù o ø ù =>ø f ( x0 , y0 ) Ax By o ø ù ù Với o( ) o ø ù x y VCB bậc cao ą, Ć lOMoARcPSD|14734974 Vi phân ÿ (ą0 , Ć0 ): df ( x0 , y0 ) Ax By ĐiÁu kißn cÁn đÿ cÿa khÁ vi: a Điều kiện cần: ÿ khả vi (x0, y0) ÿ liên tục (x0, y0) ÿ khả vi (x0, y0) ÿ có đạo hàm riêng (x0,y0) f x ( x0 , y0 ) A, f y ( x0 , y0 ) B Vi phân hàm biến thường viết dạng: df ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 )dx f y ( x0 , y0 )dy f ø x0 , y0 ù df ( x0 , y0 ) f x( x0 , y0 ) ø x x0 ù f y( x0 , y0 ) ø y y0 ù f ø x, y ù f ø x0 , y0 ù f x( x0 , y0 ) ø x x0 ù f y( x0 , y0 ) ø y y0 ù Chiều cao tiếp diện (x0,y0) lOMoARcPSD|14734974 z z0 f x( x0 , y0 ) ø x x0 ù f y( x0 , y0 ) ø y y0 ù b Điều kiện đủ: Cho ÿ xác định miền mở chứa (x0, y0), đạo hàm riêng ý , ỵ liờn tc ti (x0,y0) thỡ khả vi (x0, y0) Vi phân hàm n bi¿n: z f ø x1, x2 , , xn ù dz f x1 dx1 f x2 dx2 f xn dxn 1.2.1.1 Vi phân cấp cao: Vi phân cấp ÿ vi phân Ăÿ(ą, Ć) xem Ăą, ĂĆ số dx f xy dxdy f yy dy d f ( x, y ) f xx Công thāc tổng quát cho vi phân c¿p cao: d n f ø x, y ù d ø d n1 f ø x, y ù ù lOMoARcPSD|14734974 Nhân tử Lagrange 2.1 Đßnh nghĩa cực trß có điÁu kißn Hàm hai biến ÿ(ą, Ć) đạt cực đại có điều kiện điểm với điều kiện �㔑(ą0 , Ć0 ) = ÿ(ą, Ć) ⩽ ÿ(ą0 , Ć0 ), với (ą, Ć) thỏa �㔑(ą0 , Ć0 ) = 0, nằm lân cận (ą0 , Ć0 ) Giá trị ÿ(ą0 , Ć0 ) gọi giá trị cực đại có điều kiện Nếu ÿ(ą, Ć) g ÿ(ą0 , Ć0 ) với (ą, Ć) thỏa �㔑(ą0 , Ć0 ), nằm lân cận (ą0 , Ć0 ) ÿ đạt cực tiểu có điều kiện (ą0 , Ć0 ) giá trị ÿ(ą0 , Ć0 ) gọi giá trị cực tiểu có điều kiện Hàm ÿ (ą, Ć) lúc gọi hàm mục tiêu, điều kiện �㔑(ą, Ć) = gọi điều kiện ràng buộc 2.2 ĐiÁu kißn cÁn đÿ để hàm sá Ą = �㖇(Ă, ă) có cực trß có điÁu kißn ĐiÁu kißn cÁn: Nếu hàm số ć = ÿ (ą, Ć) có cực trị có điều kiện điểm (ą0 , Ć0 ) với điều kiện �㔑(ą, Ć) = �㗻�㔑((ą0 , Ć0 ) b= tồn số λ thỏa mãn hệ: ĐiÁu kißn đÿ: Cho hàm số ć = ÿ (ą, Ć) có cực trị có điều kiện điểm (ą0 , Ć0 ) với điều kiện �㔑(ą, Ć) = Lập hàm Lagrange �㔿(ą, Ć, �㔆) = ÿ (ą, Ć) + �㔆 �㔑(ą, Ć) Khi đó: Nếu Ă �㔿(ą0 , Ć0 , �㔆0 ) > �㕃(ą0 , Ć0 ) điểm cực tiểu có điều kiện Nếu Ă �㔿(ą0 , Ć0 , �㔆0 ) < �㕃(ą0 , Ć0 ) điểm cực đại có điều kiện Nếu Ă �㔿(ą0 , Ć0 , �㔆0 ) không xác định dấu �㕃(ą0 , Ć0 ) khơng điểm cực trị 10 lOMoARcPSD|14734974 Đßnh lý Stokes Nguãn gác đåi: Định lý Stokes định lý tìm William Thomson, người sau viết thư cho George Stokes vào tháng năm 1850 thông báo kết Stokes đưa định lý câu hỏi đề thi Giải thưởng Smith năm 1854, mà kết mang tên ơng Đßnh lý Kelvin-Stokes: đưa liên quan tích phân mặt Curl trường véc tơ mặt Σ không gian Euclid chiều với tích phân đường trường vec tơ dọc theo biên mặt Định lý phát biểu: Đường cong theo tích phân đường tính, ∂Σ, phải định hướng dương, nghĩa dr phải theo hướng ngược kim đồng hồ vectơ chuẩn mặt, dΣ, phía người xem, theo quy tắc bàn tay phải Minh háa cÿa đßnh lý Kelvin-Stokes, vãi mặt �㔮 , đ°ång biên �㕏�㔮 vecto "chuẩn" n Công thức viết lại là: 11 lOMoARcPSD|14734974 Với P, Q R thành phần F Chußi sá 4.1 Chußi hái tā chußi phân kỳ Cho {ÿ�㕛 }: ÿ1 + ÿ2 + ⋯ + ÿ�㕛 + ⋯ = ∑∞ �㕛=1 ÿ�㕛 gọi chuỗi số ÿ�㕛 gọi sá h¿ng tổng quỏt th ỵ = + + ⋯ + ÿ�㕛 = ∑�㕛ý=1 ÿý gọi tổng riờng phn th - Nu lim ỵ tn ti hu hn ( lim ỵ = ỵ) thỡ ta gi ∑∞ �㕛=1 ÿ�㕛 chuỗi hội tụ �㕛→∞ Khi =1 = ỵ - Ngc li, nu giới hạn không tồn hữu hạn (∄ lim þ�㕛 lim þ�㕛 = ∞) ta gọi ∑∞ �㕛=1 ÿ�㕛 �㕛→∞ phân kỳ �㕛→∞ 4.2 Bán kính hái tā �㕛 Đßnh nghĩa: ý g gọi bán kính hội tụ chuỗi ∑∞ �㕛=1 ÿ�㕛 ą chuỗi hội tụ ∀ą ( (2ý, ý) phân kỳ ∀ą ( (2∞, 2ý) *( (ý, +∞) Cách tìm bán kính hái tā: �㕎�㕛+1 �㕛 Cho chuỗi ∑∞ �㕛=1 ÿ�㕛 ą Xét Ā = lim | �㕛→∞ �㕎�㕛 �㕛 | Ā = lim √|ÿ�㕛 | Ta có: �㕛→∞ Nếu Ā = ý = ∞, chuỗi hội tụ ∀ą ( (2∞, ∞) Nếu Ā = ∞ ý = 0, chuỗi hội tụ ą = Nếu < Ā < ∞ ý = , chuỗi hội tụ ∀ą ( (2ý, ý) �㔌 12 Downloaded by quang tran (qt738189@gmail.com) lOMoARcPSD|14734974 CH¯¡NG 2: BÀI T¾P Phép tính vi phân hàm nhiÁu bi¿n (3,19,10) Câu 3: Chāng tò hm sỏ x2 y2 thòa phÂng trỡnh xux yuy 3u x y GiÁi u x2 y x y ux u y xy ø x y ù x y ø x yù 2 yx ø x y ù x y ø x yù Vế trái xu x yu y = 2x y ø x y ù x y ø x yù 2x y ø x y ù y x ø x yù 4x y ø x y ù x y ø x y ù ø x yù 3x y ø x y ù ø x yù 3x y x y 3u Vế phải Câu 10: GiÁ sử nhißt đá ÿ t¿i điểm (Ă, ă) mặt phẳng Oxy đ°ÿc cho bỗi hm sỏ (, ) = ThÁ mát bá cÁm āng nhißt t¿i điểm (ÿ, Ā) mặt phẳng, xác đßnh quỹ đ¿o di chuyển cÿa bá để nhißt đá tăng nhanh nh¿t GiÁi Ta có: Ă(ą, Ć) = ą 2 Ć ý = ỵ = 22 Nhit độ tăng nhanh chiều vecto gradient 13 Downloaded by quang tran (qt738189@gmail.com) lOMoARcPSD|14734974 'Ă(ą, Ć) = ( ý , ỵ ) = (2, 22) Ban đầu bọ điểm (ÿ, Ā) ⇒ Để nhiệt độ tăng nhanh bọ phải theo hướng vecto (2ÿ, 22Ā) Quỹ đạo di chuyển bọ qua điểm (ÿ, Ā) có vecto phương (2ÿ, 22Ā): { Hay Phương trình: Āą + ÿĆ = ą = ÿ + 2ÿā Ć = Ā 2Āā { ą = ÿ + ÿā Ć = Ā Āā Câu 19: Sử dāng nhân tử Lagrange chāng tß hàm sá f ø x, y, z ù x y z không đ¿t cực đ¿i cực tiểu đ°ång cong phÁn giao cÿa mặt x2 y 2x z GiÁi L f ø x, y, z ù g ø x, y, z ù h ø x, y, z ù x y z ø x y 1ù ø x z 1ù ü Lx ÿ ÿ Ly ÿ ý Lz ÿ h x, y , z ù ÿ ø ÿ g ø x, y , z ù ỵ ỹ1 x ÿ ÿ1 2 y ÿ ý1 ÿ x2 y2 ỵ2 x z ù 2 , 1, x ,y , z 1 ú 2 ú ú , 1, x ,y , z 1 ú 2 û Trường hợp : 14 Downloaded by quang tran (qt738189@gmail.com) lOMoARcPSD|14734974 ü Lxx ÿ ÿ Lxy ÿ ÿ Lxz ý ÿ Lyy ÿ L ÿ yz ỵ Lzz Lp ma trn Hess: ÷ ÷ ÷ ÷ ø 0ư ÷ 0÷ ÷ 0÷ ø Ta thấy phần tử a12 , a13 , a21 , a23 , a31 , a32 , a33 nên kết luận cực trị Tương tự với trường hợp cịn lại Phép tính tích phân (4,8,22) Câu 4: Trình bày cách nh¿n d¿ng mặt cong đ°ÿc tham sá húa bỗi = (, ) = (, (), ()) vãi ÿ g ÿ, ÿ f Ā f ā�㕅 GiÁi ą=Ă Ta có: {Ć = 2ĂāĀĀ(ă) ć = 3ĂĀÿÿ(ă) ą = Ă2 ⇒ {Ć = 22 Ă2 āĀĀ (ă) ć = 32 Ă2 Āÿÿ2 (ă) ⇒ ą2 Ć2 ć2 + + = Ă2 (1 + āĀĀ (ă) + Āÿÿ2 (ă)) 2 ą2 Ć2 ć2 ⇒ + + = 2Ă2 Mà ą = Nờn ý2 12 + ỵ2 22 + 32 Ć2 ć2 + = ą2 = 2ą Vậy hình nón theo trục Ox (ą > 0) 15 Downloaded by quang tran (qt738189@gmail.com) lOMoARcPSD|14734974 Câu 8: Trong ýĂ, S mát phÁn cÿa mặt trā Ăā + ăā Ąā = 2Ā có hình chi¿u vng góc xng mặt Oxy miÁn �㕫 = { 2Ā f Ă f Ā Trình bày cách tham sá 2ā f ă f ā hóa S thành ÿ(ÿ, Ā) = (ÿ, Ā, ? ) giãi h¿n cÿa ÿ, Ā GiÁi Ta có: ą + Ć 2 ć = 21 ⇔ 2(ą + Ć ) + ć = Đặt { Āÿÿ/2 Ă = ą + Ć (vì āĀĀ/2 Ă Āÿÿ/2 Ă = 1) 2 āĀĀ/ Ă = ć ą = sinh(Ă)sin(ă) ⇒ {Ć = sinh(Ă)cos(ă) ć = cosh(Ă) ⇒ ÿ(Ă, ă ) = (sinh(Ă) sin(ă ) , sinh(Ă) cos(ă ) , cosh(Ă)) Giới hạn 21 f ą f ⇔ 21 f sinh(Ă)sin(ă) f ⇔ 21 f sinh(Ă) f ⇔ 20,88 f Ă f 0,88 22 f Ć f ⇔ 22 f sinh(Ă)cos(ă) f ⇔ 22 f sinh(Ă) f ⇔ 21,44 f Ă f 1,44 Vậy Ă ( [20,88; 0,88] ă ( ý Câu 22: Cho dw = 3ydx – xzdy + yĄā dz S mát phÁn mặt cong 2z = Ăā + ăā bên d°ãi mặt phẳng z = Tớnh + ỵ bng cỏch s dng ònh lí Stoke GiÁi Đặt P = 3Ć, Q = -ąć, R = Ćć Ta có ć’ą = 0, ć’Ć = Ta có vector pháp tuyến: ÿ⃗ = (0, 0, -1) �㔕ā �㔕ÿ �㔕ÿ �㔕ā �㔕Ā �㔕ÿ , ĂĄ S = ,(�㔕ý - �㔕ÿ )dydz + ( �㔕ÿ - ý )dxdz +( ý - ỵ)dxdy = ,(0 0) + (0 0)ĂąĂć + (2ć 3)ĂąĂĆ 16 Downloaded by quang tran (qt738189@gmail.com) lOMoARcPSD|14734974 = ,(0, 0, 2ć 3) ÿ⃗dS = ,(ć + 3) √1 + (ć′ą)2 + (ć ′ Ć)2 dxdy = ,(ć + 3) ĂąĂĆ = ,(2 + 3) ĂąĂĆ = , ĂąĂĆ = 5SD = 20ÿ Dãy chußi (6,10) Câu 6: KhÁo sát hái tā cÿa chußi ∑ ∞ �㖍ÿ(ÿ) ā (+ ) Gii = ỵ() ỵ(3+2 ) Ta có nhận xét sau: Với n g Suy n dương thỏa mãn điều kiện đề đưa Với n2 g n2 suy + ÿ2 g ÿ2 Khi ln(3 + ÿ2 ) g ln(ÿ2 ) Theo đề ta có: ∑∞ ln(�㕛) ln(3+�㕛2 ) = lim �㕛→∞ ln(1) ln(3+12 ) + ln(2) ln(3+22 ) +⋯+ ln(�㕛) ln(3+�㕛2 ) ∞ ÿ Ă ā Ā ÿ GiÁi �㕛 Với chuỗi ∑∞ �㕛=1 ÿ�㕛 ą ⇒ ÿ�㕛 = Ta có: �㕛→∞ ⋅ ln(2) ln(22 ) + ⋯+ = lim + ⋯ + = lim �㕛→∞ Vậy chuỗi chuỗi phân kì Câu 10: Tìm bán kính hái tā cÿa chi ∑ f lim + ln(�㕛) ln(�㕛2 ) �㕛21 �㕛→∞ =∞ Ā āÿ �㕛 ⋅2�㕛 ÿ�㕛+1 ÿ2 ⋅ 2�㕛 ÿ2 ⋅ 2�㕛 ÿ Ā = lim | | = lim | | = lim | | = lim |( ) ⋅ | ÿ�㕛 (ÿ + 1)2 ⋅ 2�㕛+1 (ÿ + 1)2 ⋅ 2�㕛 ⋅ ÿ+1 Ā= 17 Downloaded by quang tran (qt738189@gmail.com) lOMoARcPSD|14734974 Vì < Ā < ∞ ⇒ ý = �㔌 =2 Vậy bán kính hội tụ chuỗi ∑ 2D ∞ �㕛 ý �㕛 ⋅ 2�㕛 CH¯¡NG 3: ĀNG DĀNG PHÀN MÀM CƠNG CĀ Câu 6: K¿t q trích từ Geogebra 18 Downloaded by quang tran (qt738189@gmail.com) lOMoARcPSD|14734974 3D Câu 12: Ăā + ăā + Ąā f ă, Ăā + ăā g Ā K¿t quÁ trích từ Geogebra 19 Downloaded by quang tran (qt738189@gmail.com) lOMoARcPSD|14734974 K¾T LU¾N Trong báo cáo nhóm trình bày lý thuyết tập thuộc dạng tốn Vi phân, Tích phân, Dãy chuỗi định luật học chương trình Giải tích Qua đó, nhóm chúng em làm quen với công cụ phần mềm vơ tiện ích hỗ trợ cho việc vẽ hình 2D, 3D ứng dụng Geogebra 20 Downloaded by quang tran (qt738189@gmail.com) lOMoARcPSD|14734974 TÀI LIÞU THAM KHÀO [1] Wikipedia https://vi.wikipedia.org/ [2] Nguyễn Đình Huy (Chủ biên) - Lê Xuân Đại - Ngô Thu Lương - Nguyễn Bá Thi - Trần Ngọc Diễm - Đậu Thế Phiệt (2018), Giáo trình Giải tích 2, NXB Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh [3] Tài liệu slide giảng BkeL 21 Downloaded by quang tran (qt738189@gmail.com) ... {Ć = 2? ?āĀĀ(ă) ć = 3ĂĀÿÿ(ă) ą = ? ?2 ⇒ {Ć = 22 ? ?2 āĀĀ (ă) ć = 32 ? ?2 Āÿ? ?2 (ă) ⇒ ? ?2 ? ?2 ? ?2 + + = ? ?2 (1 + āĀĀ (ă) + Āÿ? ?2 (ă)) 2 ? ?2 ? ?2 ? ?2 ⇒ + + = 2? ?2 Mà ą = ? ?2 Nên ⇒ ? ?2 12 + ? ?2 22 + 32 2 + = ? ?2 = 2? ? Vậy... ⇔ 21 f sinh(Ă) f ⇔ 20 ,88 f Ă f 0,88 22 f Ć f ⇔ 22 f sinh(Ă)cos(ă) f ⇔ 22 f sinh(Ă) f ⇔ 21 ,44 f Ă f 1,44 Vậy Ă ( [20 ,88; 0,88] ă ( ý Câu 22 : Cho dw = 3ydx – xzdy + yĄā dz S mát phÁn mặt cong 2z... cÿa chi ∑ f lim + ln(�㕛) ln(�? ?2 ) �? ?21 �㕛→∞ =∞ Ā āÿ �㕛 ? ?2? ??㕛 ÿ�㕛+1 ? ?2 ⋅ 2? ??㕛 ? ?2 ⋅ 2? ??㕛 ÿ Ā = lim | | = lim | | = lim | | = lim |( ) ⋅ | ÿ�㕛 (ÿ + 1 )2 ⋅ 2? ??㕛+1 (ÿ + 1 )2 ⋅ 2? ??㕛 ⋅ ÿ+1 Ā= 17 Downloaded by
Ngày đăng: 04/07/2022, 13:53
Xem thêm:
