NỘI DUNG
Môn Toán đóng vai trò quan trọng trong việc phát triển năng lực toán học cho học sinh, bao gồm các yếu tố chính như tư duy và lập luận toán học, mô hình hoá toán học, giải quyết vấn đề toán học, giao tiếp toán học, và sử dụng công cụ, phương tiện học toán hiệu quả.
Tạo hứng thú cho học sinh khi tiếp cận bài học của chương 1-Hình học lớp 11: Các phép biến hình trong mặt phẳng
Đặt vấn đề khi dạy học bài: Phép tịnh tiến
Bài toán 1 trong đề thi ĐGNL ĐHBK Hà Nội 2021 liên quan đến hai xã A và B, được đặt ở hai vị trí khác nhau, cách nhau bởi một con sông Trong bài toán này, hai bờ sông được xem như hai đường thẳng song song.
Người ta dự định xây dựng một chiếc cầu MN bắc qua con sông, với yêu cầu cầu phải vuông góc với bờ sông Đồng thời, cần thiết lập hai đoạn đường thẳng từ điểm A đến điểm M và từ điểm B đến điểm N Mục tiêu là xác định vị trí của cầu MN sao cho tổng chiều dài của hai đoạn đường AM và BN là ngắn nhất.
Sau khi hoàn thành tiết học hôm nay, học sinh sẽ có khả năng giải quyết bài toán thực tế này Việc đặt vấn đề một cách hấp dẫn giúp kích thích sự hứng thú và khuyến khích học sinh khám phá kiến thức một cách chăm chú hơn.
Cuối bài Giáo viên cần đi đến đích là hướng dẫn và cùng học sinh giải quyết được bài Toán đã đặt ra ở đầu tiết học
Khi thực hiện phép tịnh tiến theo véc tơ MN, điểm A sẽ trở thành A‟, và theo tính chất của phép tịnh tiến, ta có AM = A‟N Từ đó, suy ra rằng AM + NB ≥ A‟B Việc đặt cây cầu vuông góc với bờ sông ứng dụng tính chất hình học giúp tối ưu hóa chiều dài cầu, từ đó tiết kiệm nguyên vật liệu và chi phí xây dựng.
Vậy đường gấp khúc AMNB ngắn nhất thì A‟N+ NB ngắn nhất khi đó ba điểm A‟, N, B thẳng Từ đó suy ra cách tìm vị trí đặt cây cầu
Khi dạy phép tịnh tiến, giáo viên nên phân tích ứng dụng thực tiễn của hình học trong hội họa, chẳng hạn như bức tranh của họa sĩ Hà Lan M.C Escher với hình ảnh các chiến binh trên lưng ngựa Các hình này tạo thành một mặt phẳng đồng nhất, trong đó hai chiến binh và ngựa cùng màu tương ứng qua phép tịnh tiến, trong khi hai chiến binh và ngựa khác màu tương ứng qua phép đối xứng trục và phép tịnh tiến Nghệ thuật sử dụng hình bằng nhau để lấp đầy mặt phẳng đã phát triển mạnh mẽ từ thế kỷ XIII ở Italy và tiếp tục ảnh hưởng đến lĩnh vực đồ họa hiện nay.
Đặt vấn đề khi dạy học bài : Phép đối xứng trục
Trong cuộc thi chạy trên bãi biển, các vận động viên bắt đầu từ địa điểm A và phải đến đích B sau khi nhúng mình vào nước biển Để giành chiến thắng, ngoài tốc độ, vận động viên cần xác định vị trí M trên mép nước, từ đó tính toán quãng đường ngắn nhất để chạy từ A đến M và sau đó từ M đến B.
Sau khi hoàn thành bài học hôm nay, chúng ta sẽ có khả năng giải quyết bài toán thực tế này Việc này không chỉ kích thích sự hứng thú của học sinh mà còn khuyến khích các em tích cực khám phá và tiếp thu kiến thức.
Cuối bài học, giáo viên cần hướng dẫn học sinh giải quyết bài toán đã được đề ra Để nâng cao khả năng chiến thắng trong cuộc thi, trước khi bắt đầu, chúng ta cần diễn đạt bài toán một cách rõ ràng và chính xác dưới dạng toán học thuần túy.
Cho hai điểm A và B nằm về 2 phía của đường thẳng d Hãy xác định vị trí M sao cho AM+BM bé nhất
Gọi A‟ là điểm đối xứng với A qua d Khi đó với mọi điểm M trên d ta có
Suy ra AM+MB nhỏ nhất khi A‟M+MB nhỏ nhất Điều đó xảy ra khi A‟, M,
B thẳng hàng và M thuộc đoạn A‟B
Do vậy điểm M cần tìm là giao điểm của đoạn A‟B và d Từ đó giải quyết được bài toán thực tiễn đã nêu
Giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận thức rằng toán học không chỉ là lý thuyết mà còn xuất phát từ thực tiễn, như hình dạng đối xứng của những chiếc lá và các loài động vật trong tự nhiên.
Tất cả các công trình xây dựng đều phải dựa trên kiến thức toán học như công trình dưới đây thể hiện rõ tính đối xứng trục
1.3 Đặt vấn đề khi dạy học : TÌM HIỂU PHÉP QUAY
Ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy giúp giáo viên tích hợp hình ảnh thực tiễn, làm cho bài giảng trở nên sinh động và thu hút hơn Điều này không chỉ giảm thiểu việc chỉ trình bày công thức và tính toán đơn thuần, mà còn kích thích hứng thú học tập của học sinh.
Giáo viên đặt vấn đề: Quan sát các loại chuyển động sau: sự dịch chuyển của kim đồng hồ, bán ren cưa, động tác xòe chiếc quạt
Khi quan sát chiếc vô lăng của người lái xe, ta nhận thấy rằng khi tay lái được quay một góc nhất định, hai điểm A và B trên tay lái cũng sẽ quay theo, mặc dù vị trí của chúng có thể thay đổi Tuy nhiên, khoảng cách giữa hai điểm A và B vẫn không thay đổi, từ đó có thể đưa ra định nghĩa và tính chất của phép quay.
Quan sát và nhận xét về chiều quay của hai bánh xe sau giúp học sinh phát triển tư duy trực quan và kỹ năng quan sát các hiện tượng trong thực tế.
Từ 12 giờ đến 15 giờ, kim giờ và kim phút trên đồng hồ đã quay một góc nhất định Để xác định góc quay này, học sinh cần hiểu rõ về phép quay và phát triển tư duy trực quan, đồng thời chia sẻ kiến thức của mình với người khác.
Đặt vấn đề cho bài học: Phép dời hình
Hãy quan sát 5 hình vẽ sau và đưa ra nhận xét về đặc điểm chung của chúng:
Hình tam giác dịch chuyển, chiếc nón kỳ diệu chuyển động, trò chơi đu quay dân gian và cầu trượt mang đến những hình ảnh sinh động về các phép dời hình, bao gồm đối xứng trục, phép quay và phép tịnh tiến.
\ Đồng hồ Bigben Chiếc nón kỳ diệu
Bánh xe Điện gió Bình Thuận
Sau khi học sinh quan sát hình ảnh, các em đã rút ra khái niệm và tính chất của phép dời hình, nhận thấy rằng sự dịch chuyển không làm thay đổi hình dạng và kích thước của các tam giác Những hình ảnh minh họa đã hỗ trợ học sinh hiểu rõ hơn về đặc điểm này.
Dạy học bài phép vị tự
Hình chiếu phối cảnh là phương pháp hữu ích để biểu diễn các vật thể lớn trên giấy, khi kích thước thực tế vượt quá khả năng của bề mặt vẽ Thay vì cố gắng thể hiện đúng tỷ lệ, chúng ta sử dụng tỷ lệ thu nhỏ để tạo ra hình ảnh rõ ràng và dễ hiểu Phép vị tự đóng vai trò quan trọng trong quá trình này, giúp người vẽ truyền đạt chính xác hình dáng và tỷ lệ của vật thể.
Ông Bình đã vẽ bản đồ Việt Nam trên một tờ giấy hình chữ nhật kích thước 5 cm x 10 cm và sau khi tô màu, ông đo được diện tích khoảng 11,36 cm² Ông dự định chuyển bản đồ này lên một bức tường lớn và sẽ thực hiện phép vị tự tâm O với tỉ số k để đảm bảo hình ảnh trên tường đúng như thiết kế ban đầu Kích thước của hình chữ nhật mới bao quanh bản đồ trên tường là 115 cm x 230 cm.
Gọi S' là diện tích của bản đồ Việt Nam trên bức tường Tính
Cuối bài giáo viên hướng dẫn để học sinh tìm ra câu trả lời của bài toán trên
Bản đồ Việt Nam treo trên tường có tỉ lệ k = 23, tương tự như bản đồ trên giấy, giúp học sinh nhận xét hình dạng, kích thước và vị trí của hình (H) và hình (H') so với điểm O Qua đó, học sinh có cơ hội tiếp cận kiến thức về phép vị tự thông qua việc quan sát trực tiếp hình ảnh.
Tạo sự vui vẻ và hứng thú trong học tập giúp học sinh nhận ra các vấn đề thực tế liên quan đến phép đồng dạng, đồng thời kích thích sự tò mò và háo hức của các em khi học chủ đề này.
Quan sát hình vẽ để tìm phép đồng dạng:
Áp dụng phép biến hình vào giải một số bài toán trong mặt phẳng tọa độ
Ngoài việc truyền đạt kiến thức lý thuyết, việc phát triển năng lực giải toán là một nhiệm vụ quan trọng của giáo viên Bài viết này sẽ trình bày một số cách khai thác biểu thức tọa độ trong phép biến hình để giải quyết các bài toán tọa độ trong mặt phẳng, từ cấp độ vận dụng vừa đến vận dụng cao.
Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng d và d1 cắt nhau cùng với hai điểm A và B không nằm trên hai đường thẳng này, điều kiện là đường thẳng AB không song song hoặc trùng với d hay d1 Nhiệm vụ là xác định điểm M trên đường thẳng d.
M‟ trên d 1 để tứ giác ABMM‟ là hình bình hành
Điểm M' là ảnh của M sau khi thực hiện phép tịnh tiến theo véc tơ BA Khi đó, M' thuộc cả hai đường thẳng d1 và d', đồng thời d' cũng là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA Từ đó, ta có thể dựng d' là ảnh của d thông qua phép tịnh tiến này.
+ Điểm M‟ là giao của d‟ và d 1
+ Từ M‟ kẻ đường thẳng song song với AB cắt d ở M Suy ra M, M‟ cần dựng
Việc hiểu và áp dụng các bài toán cơ bản trong học toán là rất quan trọng đối với học sinh Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho ứng dụng của phép biến hình trong các bài toán cơ bản Khi đưa bài toán 1 vào mặt phẳng tọa độ, chúng ta sẽ có một bài toán cụ thể để giải quyết.
Ví dụ 1.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho A(1;2), B(2;-5) và hai đường thẳng d
1: x + y = 0 và d 2: -2x + y – 5 = 0 Tìm M trên d1 và N trên d 2 để ABNM là hình bình hành
Ta có điểm N là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo d1
BA véc tơ AB Khi đó N vừa thuộc d 2 vừa thuộc d 1 ‟ là ảnh của d 1 qua phép tịnh tiến theo AB Phương trình d 1 ‟ : x + y + 6 = 0 nên tọa độ N là nghiệm của hệ
Nhận xét: Trong bài toán trên ta có thể thay một trong hai đường thẳng bằng phương trình đường tròn ta có bài toán sau
Trong mặt phẳng Oxy, với các điểm A(1;4) và B(5;4), chúng ta cần xác định điểm M nằm trên đường tròn (C): x² + y² - 4x = 0 và điểm N trên đường thẳng d: x - y = 0, sao cho tứ giác ABNM tạo thành hình bình hành.
Điểm M là hình ảnh của điểm N qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA, do đó M nằm trên đường tròn (C) và cũng thuộc đường thẳng d' Đường thẳng d có phương trình x - y = 0, nên đường thẳng d' có phương trình x - y + 4 = 0 Tọa độ của điểm M là nghiệm của hệ phương trình này.
Vậy không tồn tại điểm M, N thỏa mãn yêu cầu của bài toán
*Nhận xét: Tương tự ta có thể thay phương trình đường thẳng d bằng phương trình đường tròn (C‟) ta sẽ có cách giải tương tự
Ví dụ 1.3 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho A(1;4), B(5;4) Tìm điểm M trên đường tròn (C) x 2 y 2 4 x 0 và điểm N trên đường tròn (C‟)
2 8 0 x y x sao cho tứ giác ABNM là hình bình hành
Điểm M là hình ảnh của điểm N thông qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA, do đó M thuộc cả đường tròn (C) và đường thẳng (C‟‟), là hình ảnh của (C‟) qua phép tịnh tiến này Đường tròn (C‟) có tâm I' tại tọa độ (2; 0) và bán kính R = 2, từ đó xác định được tâm của đường tròn (C‟‟).
I và R‟‟=2 nên tọa độ M là nghiệm của hệ
* Nhận xét: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x;y) và đường thẳng d có phương trình ax+by+c=0 ( a 2 b 2 0 ) Gọi M’(x’;y’) là điểm đối xứng với M qua đường thẳng d Ta có
Chứng minh: Ta có véc tơ chỉ phương của đường thẳng d là u ( ; b a ) Điểm
M‟ đối xứng với M qua đường thẳng d nên
' ' 2 bx ay bx ay ax by c ax by
Ta có các định thức D = a 2 b 2
Vận dụng (2) giúp ta có thể giải nhanh các bài toán sau
Bài toán 2: Cho hai điểm A và B nằm về cùng một phía của đường thẳng d Hãy xác định điểm M trên d sao cho AM + MB bé nhất
Gọi A‟ là điểm đối xứng với A qua d Khi đó Md ta có
Bởi vậy MA+MB nhỏ nhất khi MA‟+MB nhỏ nhất Điều đó xảy ra khi
M,A,B thẳng hàng Vậy M là giao của d và A‟B
(Có thể tìm M là giao của d và B‟A với B‟ là điểm đối xứng với B qua d)
Từ bài toán trên ta mở rộng các bài toán sau:
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường trẳng d: x – y + 2 = 0 và hai điểm O(0; 0) , A(2;0) Tìm tọa độ điểm M thuộc d sao cho MO +
Ta thấy O và A cùng phía so với d (Bài toán này nếu các em nhớ tới bài toán cơ bản 2 ở phần trước thì bài giải trở nên dễ dàng)
Gọi O‟ là điểm đối xứng với O qua đường thẳng d Áp dụng công thức (2) ta có: O‟(-2;2) Khi đó MO + MA = MO‟ + MA O‟A
Dấu “=” xảy ra khi M là giao điểm của O‟A và d
Ta có, đường thẳng O‟A có phương trình x + 2y – 2 = 0
Toạ độ M là nghiệm của hệ phương trình
+6 = 0 Tìm điểm M trên d sao cho
Ta thấy A và B nằm về hai phía so với đường thẳng d nên gọi A‟ đối xứng với A qua d Gọi C là giao của d và A‟B Khi đó MA MB MA ' MB A ' B Dấu
“=” xảy ra khi M trùng với điểm C Áp dụng công thức (2) ta có A‟(
22 ) , đường thẳng A‟B có phương trình: 2x – 15y + 10 = 0
Toạ độ M là nghiệm của hệ
Vận dụng công thức (2) giúp ta có thể giải nhanh các bài toán sau k d M
Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC với điểm A tọa độ (-1; 3) Đường cao BH có phương trình y = x, trong khi phân giác trong dC của góc C có phương trình x + 3y + 2 = 0 Nhiệm vụ là tìm phương trình cạnh BC của tam giác này.
Hướng dẫn giải :Gọi A‟(x‟ ;y‟) là điểm đối xứng với A qua đường thẳng d C thì A‟ nằm trên đường thẳng BC Áp dụng công thức trên ta có
A‟(-3 ;-3) Đường thẳng AC qua A(-1 ;3) và vuông góc với BH nên có phương trình
Tọa độ C là nghiệm của hệ 2 0
Khi đó đường thẳng BC là đường thẳng A‟Cnên có phương trình
Khi giải bài toán liên quan đến phương trình đường phân giác, chúng ta cần lưu ý đến một tính chất quan trọng: mỗi điểm trên đường phân giác luôn cách đều hai cạnh kề Điều này thể hiện tính đối xứng của các cặp điểm trên hai cạnh kề qua đường phân giác Cụ thể, nếu d là đường phân giác của góc xOy, thì mỗi điểm M thuộc trục Ox sẽ có điểm đối xứng với nó qua d nằm trên trục Oy.
Ví dụ 2.4 : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy,cho tam giác ABC, biết A(2;-1)
Phương trình hai đường phân giác trong góc B và C lần lượt là
Viết phương trình cạnh BC
Theo tính chất của đường phân giác, điểm A' và A'' là các điểm đối xứng của A qua đường phân giác của góc B và góc C, và cả hai điểm này đều nằm trên đường thẳng BC Áp dụng công thức tương ứng, ta có thể chứng minh điều này.
A‟ đối xứng với A(2;-1) qua d B : x-2y+1=0 nên A'(0;3)
A” đối xứng với A(2;-1) qua d C : x+y+3=0 nên A‟‟(-2 ;-5)
Phương trình đường thẳng BC là 2 5 4 3 0
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, để xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC, ta biết rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1, -1) Đường phân giác trong góc A có phương trình x - y + 2 = 0, trong khi đó đường cao từ B có phương trình 4x + 3y - 1 = 0.
Hướng dẫn giải: Gọi H‟ là điểm đối xứng H(-1 ;1) qua đường phân giác trong góc A có phương trình x
– y + 2 = 0 thì áp dụng công thức trên ta có
H‟(-3 ;1) Khi đó theo tính chất đường phân giác thì
H‟ sẽ thuộc đường thẳng AC
Phương trình đường thẳng AC đi qua H‟(-3 ;1) và vuông góc với đường cao kẻ từ B nên có phương trình 3x-4y+13=0
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ 3 4 13 0 (5; 7)
Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ 3 4 7 0 10 3 ;
Ví dụ 2.6.( ĐH B-2011) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh B ( 4;1) , trọng tâm G (1;1) và đường phân giác trong góc A có phương trình
1 0 x y Tìm tọa độ các đỉnh A và C
Hướng dẫn giải : Gọi d A là đường phân giác trong góc A
Gọi B‟ là điểm đối xứng với B qua d A thì B‟ sẽ thuộc đường thẳng AC Áp dụng công thức (V)
Gọi M là trung điểm của AC, theo tính chất trọng tâm tam giác ABC ta có 3
BM 2 BG hay M là ảnh của G qua phép vị tự tâm B ( 4;1) tỷ số 3 k 2 nên 7 ;1
Đường thẳng AC đi qua
nên có phương trình 4 x y 1 3 0 Vậy tọa độ A là nghiệm của hệ 1 0 4;3
Đỉnh C đối xứng với A qua M nên C 3; 1
Bài vận dụng tương tự :Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác
ABC có A(0;2); B(2;6), C thuộc đường thẳng d: x-3y+1=0 Tìm tọa độ đỉnh C sao cho phân giác xuất phát từ đỉnh A song song với đường thẳng d
Ví dụ 2.7 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho 3 đường thẳng a: 2x + y + 3 0; b: 3x – 2y - 1 = 0 và c : 7x – y + 8 = 0 Tìm toạ độ điểm P thuộc a, điểm Q thuộc b sao cho c là trung trực của PQ
Hướng dẫn giải: Ta có phép đối xứng trục c biến điểm P thành Q mà P thuộc a nên Q nằm trên đường thẳng a‟ đối xứng với a qua đường thẳng c
Suy ra, toạ độ điểm Q cần tìm là nghiệm của hệ
Gọi d là đường thẳng qua Q và vuông góc c thì d có phương trình: x + 7y – 31 = 0 Toạ độ P thoả mãn
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x - y = 0 và d2: 2x + y - 1 = 0, bài toán yêu cầu tìm tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD Đỉnh A nằm trên đường thẳng d1, đỉnh C nằm trên đường thẳng d2, và các đỉnh B, D nằm trên trục hoành.
Bài toán này có thể được giải bằng cách biểu diễn tọa độ A và C theo ẩn, sau đó áp dụng tính chất hình vuông để lập hệ phương trình Tuy nhiên, nếu gặp phải bài toán mà phương trình BD không đặc biệt, cách này sẽ trở nên phức tạp Thay vào đó, sử dụng phép đối xứng trục sẽ giúp giải quyết vấn đề một cách nhanh chóng.
Do ABCD là hình vuông nên C là ảnh của A qua phép đối xứng trục BD mà
A thuộc d 1 nên C thuộc d 1 ‟ là ảnh của d 1 qua phép đối xứng trục BC tức là trục
Oy d 1 có phương trình x - y = 0 nên d 1 ‟ có phương trình x + y = 0 Vậy tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình
Ngược lại A đối xứng với C qua trục Ox nên A(1;1)
Khi đó B, D là giao của đường tròn đường kính AC với trục hoành nên tọa độ của
1 2 2 y y x Suy ra B(0;0) và D(2;0) hoặc B(2;0) và
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đoạn thẳng AB với tọa độ (x, y) không bằng 0 và góc lượng giác α, điểm B’ được gọi là ảnh của B qua phép quay tâm A với góc quay α nếu AB’ và góc lượng giác giữa AB và AB’ bằng α Nếu đặt AB’ có tọa độ (x’, y’), ta sẽ có các mối quan hệ toán học liên quan đến phép quay này.
Gọi M, M‟ là các điểm sao cho ( ; )
Góc (OM,OM‟)= d 1 và đặt góc (Ox,OM) = β suy ra cos sin x r y r
Theo hệ thức Charle , ta có (Ox,OM‟)=(Ox,OM)+(OM,OM‟) = β +
' cos cos sin sin ' sin cos cos sin
* Trong trường hợp góc quay bằng 90 0 hoặc bằng 90 0 ta có hệ thức sau
+ Nếu 90 0 thì thay vào hệ thức (I) ta có
(II) + Nếu 90 0 thì thay vào hệ thức (I) ta có
Bài toán 3 Cho hình vuông ABCD Các điểm M,N lần lượt thuộc các cạnh
CD, BC sao cho AM=BN Chứng minh rằng CM DN
Hướng dẫn giải bài toán này liên quan đến phép quay góc định hướng giữa đường thẳng ảnh và việc tạo ảnh bằng góc quay Dựa trên giả thiết và kết luận của bài toán, ta cần xem xét phép quay Để chứng minh điều cần chứng minh, chúng ta cần xác định phép quay 90 độ để biến đổi CM thành hình dạng mong muốn.
Từ đó ta có định hướng giải sau:
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD
Do bảo toàn tỉ số các đoạn thẳng nên
Suy ra CM DN và CM = DN (đcm)
