NỘI DUNG
Quan niệm về mô hình hóa toán học (MHH TH)
1.1 Quy trình mô hình hóa
Năm 1970, Pollak đã trình bày sơ đồ đầu tiên mô tả quá trình chuyển đổi giữa thực tiễn và toán học trong việc thực hiện mô hình hóa.
Sơ đồ 1 Sơ đồ quá trình mô hình hóa của Pollak
Từ sơ đồ, chúng ta thấy rằng tình huống thực tiễn ban đầu được chuyển đổi thành một mô hình toán học qua ngôn ngữ toán học Sau đó, bài toán được giải trong mô hình này và kết quả sẽ được áp dụng trở lại vào tình huống thực tiễn ban đầu Các mũi tên trong sơ đồ biểu thị cho quá trình chuyển đổi qua lại giữa thực tiễn và toán học nhiều lần.
Theo Swetz và Hartzler, quy trình mô hình hóa bao gồm 4 giai đoạn chủ yếu sau đây
Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng thực tiễn, xây dựng tình huống, tìm các yếu tố trọng tâm có ảnh hưởng đến vấn đề thực tiễn
Giai đoạn 2 bao gồm việc lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố bằng ngôn ngữ toán học Từ những giả thuyết này, chúng ta sẽ tiến hành xây dựng một mô hình toán học tương ứng.
Giai đoạn 3 bao gồm việc áp dụng các phương pháp và công cụ toán học phù hợp với tình huống thực tiễn nhằm mô hình hóa bài toán và tiến hành phân tích mô hình.
Giai đoạn 4: Đưa ra kết quả, đối chiều mô hình với thực tiễn và rút ra kết luận
1.2 Quy trình mô hình hóa toán học
Quy trình mô hình hóa toán học là quá trình thu thập, phân tích và hiểu các thông tin toán học để áp dụng vào việc mô hình hóa các tình huống thực tiễn.
Sơ đồ 2 Quy trình mô hình hóa trong dạy học môn Toán
Quy trình mô hình hóa cần được thực hiện một cách linh hoạt, trong đó giáo viên đóng vai trò quan trọng trong việc hướng dẫn học sinh hiểu rõ các yêu cầu cụ thể của từng bước trong quá trình này.
Bước đầu tiên trong quá trình toán học hóa là hiểu rõ vấn đề thực tiễn và xây dựng giả thuyết Sau đó, cần mô tả và diễn đạt vấn đề bằng công cụ và ngôn ngữ toán học Đây là một quá trình chuyển đổi tình huống thực tiễn thành toán học thông qua việc xây dựng mô hình toán học tương ứng.
Để giải bài toán đã được toán học hóa, bước quan trọng là áp dụng kiến thức toán học phù hợp Học sinh cần lựa chọn phương pháp thích hợp và sử dụng công cụ toán học tối ưu nhằm xây dựng và giải quyết vấn đề một cách hiệu quả.
Bước 3 (Thông hiểu) yêu cầu học sinh nắm bắt ý nghĩa của lời giải trong bối cảnh thực tiễn ban đầu Các em cần nhận diện được những ưu điểm và nhược điểm của kết quả toán học khi áp dụng vào tình huống thực tế.
Bước 4 trong quy trình nghiên cứu là đối chiếu và kiểm định kết quả, bao gồm việc so sánh giả thuyết ban đầu, phân tích các hạn chế của mô hình toán học và lời giải của bài toán Đồng thời, cần xem xét lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng để cải tiến mô hình hoặc xây dựng mô hình mới Trong bước này, có thể xảy ra hai trường hợp khác nhau.
Trong trường hợp mô hình và kết quả tính toán phù hợp với thực tiễn, cần tổng kết cách đặt vấn đề, mô hình toán học đã xây dựng, các công cụ toán học đã sử dụng, cũng như kết quả thu được.
Trong trường hợp mô hình và kết quả không phản ánh đúng thực tiễn, cần xác định nguyên nhân và những hạn chế tồn tại Cần xem xét xem mô hình toán học đã được xây dựng có phù hợp và có đầy đủ tính chất thực tiễn hay không Nếu chưa, việc điều chỉnh hoặc xây dựng lại mô hình là cần thiết để đảm bảo tính chính xác và khả năng ứng dụng trong thực tế.
Ví dụ: Từ một tấm bìa có hình dạng là nửa hình tròn bán kính 1m Hãy cắt ra một hình chữ nhật có diện tích lớn nhất
Bước 1 (Toán học hóa, hiểu tình huống thực tiễn):
Mô phỏng bằng hình vẽ
Gọi các điểm A, B, O, D như hình vẽ Diện tích hình chữ nhật là S = AB.BD
Bước 2 (Giải bài toán): Đặt AB = x, ( 0 x 1 ), BD 2 OB 1 x 2
Diện tích hình chữ nhật là S 2x 1x 2
Ta có S lớn nhất khi g (y) lớn nhất với 0 y 1, mà g (y) lớn nhất khi 1 y 2 nên
Bước 3 (Thông hiểu): Học sinh hiểu được vì diện tích S lớn nhất khi 2 x 2 nên cần cắt tấm bìa sao cho cạnh 2
AB 2 Để thực hiện ta chỉ cần dựng đoạn OA sao cho góc AOBˆ 45 O
Dựng AC song song với OB (C thuộc nửa đường tròn), Từ C dựng CD song song với AB Hình chữ nhật cần cắt là ABDC
Bước 4 (Đối chiếu, kiểm định kết quả):
Hình dạng của miếng bìa cắt có thể khác nhau, và việc tìm mối liên hệ giữa các cạnh của hình chữ nhật sẽ trở nên khó khăn hơn.
Quy trình mô hình hóa toán học là một chu trình lặp đi lặp lại, được coi là khép kín, nhằm mô tả các vấn đề thực tiễn Kết quả từ bài toán mô hình hóa không chỉ giúp giải thích mà còn cải thiện những vấn đề trong thực tiễn.
Trong thực tế dạy học, quy trình mô hình hóa cần có cơ chế điều chỉnh để đơn giản hóa và giúp học sinh dễ hiểu hơn Cơ chế này thể hiện qua mối liên hệ chặt chẽ giữa toán học và các vấn đề thực tiễn.
Sơ đồ 3 Cơ chế điều chỉnh quá trình mô hình hóa
Cơ chế điều chỉnh trên bao gồm các bước cụ thể như sau:
Một số biện pháp sư phạm giúp phát triển năng lực mô hình hóa toán học của học sinh thông qua việc bài toán ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số ở toán
học của học sinh thông qua việc bài toán ứng dụng GTLN, GTNN của hàm số ở toán THPT
Dựa trên việc phân tích những khó khăn trong việc dạy học nhằm phát triển năng lực mô hình hóa cho học sinh, chúng tôi đề xuất một số biện pháp cụ thể để khắc phục những hạn chế này.
Biện pháp 1: Rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các vấn đề trong tình huống thực tiễn dưới dạng ngôn ngữ toán học
-Cơ sở của biện pháp
Mô hình hóa toán học là quá trình sử dụng công cụ toán học để mô tả các tình huống thực tiễn, chuyển đổi chúng thành ngôn ngữ toán học Quá trình này tuân theo quy trình và quy tắc nhất định nhằm xây dựng giả thuyết toán học, giúp học sinh dễ dàng nhận diện các vấn đề thực tế Hoạt động này phức tạp, yêu cầu sự chuyển đổi linh hoạt giữa toán học và thực tiễn Do đó, rèn luyện kỹ năng chuyển đổi các vấn đề thực tiễn thành ngôn ngữ toán học là rất cần thiết.
Để thực hiện biện pháp này trong giảng dạy, giáo viên cần lựa chọn các hoạt động thành phần phù hợp thông qua hệ thống bài tập, nhằm giúp học sinh phát triển khả năng chuyển đổi các tình huống thực tế thành mô hình toán học.
Một tấm sắt tây hình chữ nhật kích thước 30 cm x 48 cm được sử dụng để tạo ra một hộp không nắp bằng cách cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc và gấp lên Thể tích lớn nhất của hộp có thể được tính toán dựa trên kích thước và hình dạng đã cắt.
Chúng tôi giúp học sinh nắm bắt tình huống thực tế và chuyển đổi nó thành mô hình toán học bằng cách giao nhiệm vụ cụ thể.
Nhiệm vụ 1 yêu cầu mỗi nhóm sử dụng một tờ giấy A4, cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc và sau đó gấp tờ giấy để tạo thành hình hộp (Có hình ảnh kèm theo)
Nhiệm vụ : Vẽ mô hình vừa thực hiện trên giấy ( hình vẽ)
Nhiệm vụ 3: Thể hiện mối liên hệ giữa 3 kích thước của hình hộp thu được và thể tích
Nhiệm vụ 4: Bài toán thực tế quy về bài toán toán học nào
Học sinh học cách chuyển đổi bài toán thực tế thành bài toán toán học bằng cách tìm khối hộp chữ nhật thỏa mãn các điều kiện đã cho để đạt được thể tích lớn nhất.
Gọi x ( 0 x 15) là độ dài cạnh hình vuông bị cắt Khi đó, 3 kích thước của khối hộp là x, 30-2x, 48-2x nên thể tích khối hộp là V x 30 2 x 48 2 x
Xét hàm số f x x 30 2 x 48 2 x với x 0;15 Ta có
Dựa và bảng biến thiên, suy ra f x đạt giá trị lớn nhất bằng
Cho tấm nhôm hình chữ nhật ABCD với cạnh AD dài 60 cm, gấp tấm nhôm theo hai cạnh MN và PQ vào phía trong cho đến khi hai cạnh AB và DC trùng nhau, tạo thành một hình lăng trụ khuyết hai đáy Cần tìm giá trị x để đạt được thể tích khối lăng trụ lớn nhất.
Chúng tôi tổ chức cho học sinh hiểu tình huống thực tế từ đó chuyển đổi qua mô hình toán học bằng các hoạt động
Hoạt động 1 Từ 1 tờ A4 cho trước, mỗi nhóm hãy gấp lại thành hình lăng trụ khuyết 2 đáy như hình vẽ.( có hình ảnh kèm theo)
Hoạt động 2 Vẽ mô hình vừa thực hiện trên giấy ( ở hình vẽ sau)
Hoạt động 3 Tìm mối liên hệ giữa 3 cạnh của tam giác biết chu vi đáy bằng 60cm
Hoạt đông 4 Bài toán thực tế quy về bài toán toán học nào
Từ các hoạt động đó giúp học sinh biết chuyển bài toán thực tế sang bài toán
“ tìm độ dài cạnh đáy thỏa mãn điều kiện cho trước để thể tích lăng trụ lớn nhất”
Ta có AN AP x , 0 x 30 nên PN 60 2 x , gọi H là trung điểm của
PN thì HP30 x Xét tam giác vuông APH ta có
AH AP HP x (để tồn tại AH thì x 15)
Diện tích tam giác APN
Do chiều cao của khối lăng trụ không đổi nên thể tích khối lăng trụ max khi
max f x Xét hàm số f x 60 2 x 15 x 225 trên 15;30 ta có
Từ bảng biến thiên ta cómax f x 100 3 khi x 20 Đáp án A
Để tối ưu hóa nguyên liệu cho một hộp sữa hình trụ có thể tích 1 lít, cần tính toán bán kính đáy r và chiều cao h Việc tìm ra kích thước tối ưu sẽ giúp giảm thiểu lượng vật liệu sử dụng trong sản xuất.
Chúng tôi tổ chức cho học sinh tìm hiểu bài toán bằng các nhiệm vụ:
1 Xác định mô hình toán học trong bài toán ( sản phẩm ở hình ảnh sau)
2 Chuyển đổi từ tình huống thực tế: diện tích nguyên liệu cần để sản xuất 1 vỏ hộp
3 Thể hiện mối liên hệ giữa 2 kích thước (bán kính đáy r; chiều cao h ) của hình trụ với thể tích
4 Quy về bài toán toán học (Tính bán kính đáy r, chiều cao h của hình trụ biết hình trụ có V 1dm 2 sao cho dện tích toàn phần của hình trụ nhỏ nhất)
5 Giải bài toán và kết luận
Lời giải: Gọi bán kính đáy của vỏ hộp sữa là x cm( ), x 0
Theo đề bài ta có, thể tích của vỏ hộp sữa là: 1 lít 1000 cm 3
Khi đó chiều cao của vỏ hộp sữa là: 1000 2 h x Mà
có giá trị nhỏ nhất 3 500
Vậy vỏ hộp sữa tốn ít nguyên liệu nhất khi có kích thước bán kính đáy r5, 4dmvà chiều cao h1,08dm
Một người có nhu cầu xây dựng một bể chứa nước hình khối hộp chữ nhật không nắp với thể tích 288dm³ Đáy bể có chiều dài gấp đôi chiều rộng Giá thuê nhân công để xây dựng bể là 500.000 đồng/m² Nếu xác định được các kích thước hợp lý, chi phí thuê nhân công sẽ được tối ưu hóa Chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây dựng bể này là điều mà người đó mong muốn đạt được.
A 1,08 triệu đồng B 0,91 triệu đồng C 1,68 triệu đồng.D 0,54 triệu đồng
Xác định giai đoạn toán học hóa là yếu tố quan trọng giúp học sinh hiểu rõ vấn đề thực tiễn Học sinh cần xác định giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề và sử dụng công cụ cùng ngôn ngữ toán học để mô tả và thể hiện nó Do đó, chúng tôi tổ chức các hoạt động giúp học sinh nhận thức tình huống thực tế và chuyển đổi chúng thành mô hình toán học thông qua các câu hỏi.
H1? Cách tính chi phí? (Chi phí = giá x diện tích cần xây )
H2? Giá không đổi nên chi phí thấp nhất thì diện tích xây phải như thế nào ? (nhỏ nhất)
Để giải bài toán tìm ba kích thước của hình hộp chữ nhật, ta biết rằng thể tích của hình hộp được xác định và chiều dài đáy gấp đôi chiều rộng Mục tiêu là tối thiểu hóa tổng diện tích các mặt của hình hộp, không bao gồm nắp Cụ thể, ta cần xác định chiều dài, chiều rộng và chiều cao sao cho diện tích bề mặt được giảm thiểu trong điều kiện đã cho.
• Gọi x x 0 chiều rộng của đáy bể
Ta có: Chiều dài của đáy bể là: 2x Chiều cao của bể là: 0,144 2 x
Từ bảng biến thiên ta có min f x 2,16 khi x = 0.6 cm
Vậy chi phí thấp nhất để thuê nhân công xây bể là: 2,16.500000 1080000 đồng Đáp án A
Biện pháp 2: Rèn luyện kỹ năng giải các bài toán thực tế bằng quy trình các bước rõ ràng
Trong môi trường thực tế, các tình huống mô hình hóa thường phức tạp và có nhiều phương án giải quyết "mở", yêu cầu học sinh huy động kiến thức đa dạng Để giúp học sinh giải quyết bài toán hiệu quả, chúng tôi hướng dẫn họ thực hiện theo các bước cụ thể.
Bước 1 trong quá trình toán học hóa là hiểu rõ vấn đề thực tiễn và xây dựng giả thuyết Sau đó, học sinh cần mô tả và diễn đạt vấn đề bằng ngôn ngữ và công cụ toán học Điều này bao gồm việc biểu diễn các yếu tố trong tình huống thông qua các biến, tham số và mối liên hệ giữa chúng.
Thực nghiệm sư phạm
3.1 Mục đích thực nghiệm Đánh giá hiệu quả của việc áp dụng 7 biện pháp dạy học đã nêu trên vào quá trình dạy học trong việc phát triển năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh ở trường THPT
Với thực tế 12 T2 và 12 A2 định hướng khối A và A1; 12 D2 và 12 D3 có định hướng khối D là 2 cặp lớp có năng lực tương đương vì vậy chúng tôi chọn 4 lớp
12 T2, 12 A2, 12 D2, 12 D3 trường THPT Lê Viết Thuật để thực nghiệm
Trong giai đoạn từ 15/9/2021 đến 15/02/2022, chúng tôi đã tiến hành dạy thực nghiệm cho các lớp 12 T2 và 12 D2 Chương trình giảng dạy bao gồm các biện pháp đã đề cập trong chủ đề hàm số, thông qua các tiết luyện tập, ôn tập và thực hành STEM.
Chúng tôi đã tiến hành kiểm tra và đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh ở lớp thực nghiệm (TN) 12 T2, 12 D2 và lớp đối chứng (ĐC) 12 A2, 12 D3 Cả hai nhóm học sinh đều làm bài kiểm tra với cùng một đề và thời gian Chi tiết đề kiểm tra có thể tham khảo trong PHỤ LỤC IV - TRANG Pl-21.
Bảng 3.1 Bảng thống kê điểm số qua bài kiểm tra
Bảng 3.2 Bảng phân loại trình độ qua các lần kiểm tra:
Bảng 3.3 Bảng điểm trung bình của TN và ĐC
Lớp 12 T2 (TN) 12A2(ĐC) 12 D2 (TN) 12D3(ĐC) Điểm TB
Bảng 3.4 Bảng đánh giá năng lực mô hình hóa toán học biểu hiện qua bài làm phần tự luận của học sinh
Hiểu vấn đề thực tế và xây dựng mô hình phỏng thực tế
Biết thiết lập mô hình toán học
Biết giải quyết vấn đề toán học
Biết phiên dịch kết quả toán học
3.4.1 Kết quả về mặt định lượng
Qua kết quả kiểm tra đã được xử lý và được trình bày trong các bảng ở phần trên, chúng tôi rút ra được một số nhận xét sau:
Quá trình thực nghiệm đã được tiến hành trên các cặp lớp có chất lượng tương đương, tuy nhiên kết quả cho thấy lớp TN có điểm trung bình và các năng lực thành phần trong biểu hiện mô hình hóa toán học cao hơn so với lớp ĐC.
- 100% học sinh của lớp TN đã thiết lập được mô hình toán học trong bài toán thực tế
3.4.2 Kết quả về mặt định tính
Thông qua việc dự giờ, quan sát và trao đổi với học sinh, cũng như phân tích các bài kiểm tra, chúng ta có thể đưa ra đánh giá tổng quát về tình hình học tập và sự tiến bộ của học sinh.
Lớp TN cho thấy số lượng học sinh tham gia phát biểu xây dựng bài vượt trội hơn so với lớp ĐC Các hoạt động độc lập của học sinh trong lớp TN đạt hiệu quả cao, đồng thời kỹ năng thực hành và kỹ năng làm việc nhóm cũng được cải thiện rõ rệt hơn so với lớp ĐC.
Trong lớp TN, không khí học tập rất sôi nổi với sự hợp tác tích cực của học sinh, đặc biệt trong việc khám phá các mô hình toán học trong thực tế Điều này cho thấy các biện pháp giảng dạy đã khuyến khích sự tích cực và sáng tạo của học sinh, giúp các em trở thành những người chủ động trong việc tiếp thu kiến thức và áp dụng toán học vào các tình huống thực tiễn.