Chủ đề 2 tích có hướng của hai véc tơ

CHỦ ĐỀ 2 TÍCH CÓ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1) Công thức định thức 2) Định nghĩa tích có hướng của 2 vectơ Cho 2 vectơ Khi đó tích có hướng của 2 vectơ ký hiệu là một vectơ và được tính như sau 3) Tính chất Độ dài của vectơ tích có hướng Hai vectơ cùng phương Ba vectơ đồng phẳng khi Từ đó suy ra 4 điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện khi 3 vectơ không đồng phẳng hay và 4 điểm A, B, C, D đồng phẳng khi 4) Ứng dụng Diện tích hình bình hành Diện tích tam giác Thể tích khối hộp Thể tích tứ diện ABCD Ví.

CHỦ ĐỀ 2: TÍCH CĨ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG 1) Công thức định thức: a b = ad − bc c d r r 2) Định nghĩa tích có hướng vectơ: Cho vectơ: u = ( x1 ; y1 ; z1 ) ; v = ( x2 ; y2 ; z ) r r r r Khi tích có hướng vectơ u = ( x1 ; y1 ; z1 ) ; v = ( x2 ; y2 ; z ) ký hiệu: u, v  vectơ tính r r  y1 z1 z1 x1 x1 y1  ; ; sau: u, v  =  ÷ = ( y1 z2 − y2 z1 ; z1 x2 − z2 x1 ; x1 y2 − x2 y1 )  y2 z2 z2 x2 x2 y2  r r r r r r r r r r 3) Tính chất: u, v  ⊥ u; u, v  ⊥ v; u , v  = − v, u  r r r r r r Độ dài vectơ tích có hướng u, v  = u v sin(u, v) r r r r r Hai vectơ u; v phương ⇔ u , v  = (0;0;0) r r r r r r Ba vectơ a; b; c đồng phẳng  a, b  c = uuur uuuu r uuuu r Từ suy điểm A, B, C, D đỉnh tứ diện vectơ AB; AC ; AD không đồng phẳng uuu r uuur uuur hay  AB, AC  AD ≠ điểm A, B, C, D đồng phẳng uuu r uuur uuur  AB, AC  AD =   4) Ứng dụng: uuu r uuur  Diện tích hình bình hành ABCD : S ABCD =  AB, AD   Diện tích tam giác ABC : S ABC = uuur uuur  AB, AC   2 uuu r uuur uuur  Thể tích khối hộp ABCD A ' B ' C ' D ' : VABCD A ' B 'C ' D ' =  AB, AD  AA '  Thể tích tứ diện ABCD: VABCD = r uuur uuur uuu  AB, AC  AD  6 Ví dụ 1: Tính tích có hướng cặp vectơ sau: r r a) a = ( 1;0; −2 ) ; b = ( 0;1;3) r r c) a = ( −3;1; ) ; b = ( 1; −1; ) r r b) a = ( 3;1; −1) ; b = ( 2;1; −2 ) r r d) a = ( 1;3;5 ) ; b = ( 2; −1;3 ) Lời giải: r r  −2 −2 1  ; ; a)  a, b  =  ÷ = ( 2; −3;1) 3 0   r r  −1 −1 3  ; ; ÷ = ( −1; 4;1)  −2 −2 2  r r  4 −3 −3  ; ; ÷ = ( 6;10; )  −1 2 1 −1  b)  a, b  =  c)  a, b  =  r r d)  a, b  = ( −4;13; −7 ) Ví dụ 2: r r ur a) Cho vectơ u = ( 2; −1;1) ; v = ( m;3; −1) ; w = ( 1; 2;1) Tìm m để vectơ đồng phẳng r r ur b) Cho vectơ u = ( 1; 2;3) ; v = ( 2;1; m ) ; w = ( 2; m;1) Tìm m để vectơ khơng đồng phẳng Lời giải: r r r r ur a) Ta có: u , v  = ( −2; m + 2; m + ) ⇒ u , v  w = −2 + 2m + + m + = 3m + r r ur Ba vectơ u; v; w đồng phẳng ⇔ 3m + = ⇔ m = − r r r r ur 2 b) Ta có: u, v  = ( 2m − 3;6 − m; −3 ) ⇒ u , v  w = 4m − + 6m − m − = −m + 10m − r r ur r r ur m ≠ Để vectơ u; v; w khơng đồng phẳng u , v  w ≠ ⇔ −m + 10m − ≠ ⇔  m ≠ Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm: A (1;0;1); B (−1;1; 2); C (−1;1;0); D (2; −1; −2) a) Chứng minh A, B, C, D đỉnh tứ diện b) Tính thể tích tứ diện ABCD Suy độ dài đường cao tứ diện qua đỉnh A Lời giải: uuur uuuu r uuuu r a) Ta có: AB = (−2;1;1); AC = (−2;1; −1); AD = (1; −1; −3) uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuur uuur Suy  AB, AC  = (−2; −4;0) ⇒  AB, AC  AD = ≠ ⇒ AB; AC ; AD khơng đồng phẳng Do A, B, C, D đỉnh tứ diện uuur uuur uuur = ( ) b) Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD =  AB, AC  ADđvtt uuur uuur uuur uuur Lại có: BC = (0;0; −2); BD = (3; −2; −4) ⇒  BC , BD  = (−4; −6;0) ⇒ S ∆BCD = 3V uuur uuur 13  BC , BD  = 13 ⇒ d ( A, ( BCD)) = ABCD =   S∆BCD 13 Ví dụ 4: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm: A (−3;5;15), B (0;0;7), C (2; −1; 4), D (4; −3;0) Chứng minh AB CD cắt Lời giải: uuur uuuu r uuur uuur Ta có: AB = (3; −5; −8); AC = (5; −6; −11); AD = (7; −8; −15) CD = (2; −2; −4) uuu r uuur uuu r uuur uuur uuur uuuu r uuuu r Do  AB, AC  = (7; −7;7) ⇒  AB, AC  AD = ⇒ AB; AC ; AD đồng phẳng (1) uuur uuur uuu r uuur Mặt khác AB ≠ k CD ⇒ AB CD không phương (2) Từ (1) (2) suy AB CD cắt r r ur Ví dụ 5: Cho vectơ u = (3;7;0); v = (2;3;1); w = (3; −2; 4) r r ur a) Chứng minh vectơ u; v; w không đồng phẳng r r r ur b) Biểu thị vectơ a = (−4; −12;3) theo vectơ u; v; w Lời giải: r r r r ur r r ur a) Ta có: u , v  = (7; −3; −5) ⇒ u , v  w = ≠ ⇒ vectơ u; v; w không đồng phẳng r r r ur b) Giả sử a = m.u + n.v + p.w ⇔ (−4; −12;3) = (3m;7 m;0) + (2n;3n; n) + (3 p; −2 p; p) 3m + 2n + p = −4 m = −5 r r r ur   ⇔ 7 m + 3n − p = ⇔ n = Vậy a = −5.u + 7.v − w n + p =  p = −1   Ví dụ 6: Cho điểm A (1;1;0); B (0; 2;1); C (1;0; 2); D (1;1;1) a) Chứng minh điểm cho đồng phẳng, tính thể tích tứ diện ABCD b) Tính diện tích mặt tứ diện ABCD c) Tính độ dài đường cao tứ diện ABCD Lời giải: uuur uuur uuur a) Ta có: AB = (−1;1;0); AC = (0; −1; 2); AD = (0;0;1) uuu r uuur uuur uuu r uuur uuur Suy  AB, AC  AD = (3; 2;1).(0;0;1) = ⇒ AB; AC ; AD không đồng phẳng Do điểm A, B, C, D không đồng phẳng r uuur uuur 1 uuu Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD =  AB, AC  AD = 6 b) Ta có: S ∆ABC = S ∆ADB = uuur uuur 14 uuur uuur  AB, AC  =  AC , AD  = ; S = ∆ACD     2 2 uuur uuur uuur uuur  AD, AB  =  BC , BD  = ; S = ∆ BCD   2 2 3V Gọi hA ; hB ; hC ; hD độ dài đường cao hạ từ A, B, C, D tứ diện c) Ta có V = Sh ⇒ h = S ta có: hA = 3V 3V 3V 3V = ; hB = = 1; hC = = ; hD = = S BCD S ACD S ABD S ABC 14 Ví dụ 7: Cho điểm A (1;0;0); B (0;0;1) C (2;1;1) a) Chứng minh điểm A, B, C đỉnh tam giác, tính diện tích tam giác b) Tính độ dài đường cao hA kẻ từ đỉnh A tam giác ABC Lời giải: uuur uuur uuur uuur uuur uuur a) AB = (−1;0;1); AC = (1;1;1) ⇒  AB, AC  = (−1; 2; −1) ≠ ⇒ AB; AC không phương hay điểm A, B, C đỉnh tam giác Diện tích tam giác ABC S ABC = b) Ta có: hA = uuur uuur  AB, AC  =  2 2 S ABC 30 = = BC 5 Ví dụ 8: Cho tứ diện ABCD có A (2;1; −1), B (3;0;1), C (2; −1;3) điểm D thuộc trục Oy Biết VABCD = Tìm tọa độ điểm D Lời giải: uuur uuur uuur Gọi D(0; y;0) ∈ Oy ta có: AB = (1; −1; 2); AD = (−2; y − 1;1); AC = (0; −2; 4) uuu r uuur uuu r uuur uuur Suy  AB, AC  = (0; −4; −2) ⇒  AB, AC  AD = −4( y − 1) − = −4 y +  y = −7 Do VABCD = ⇒ −4 y + = ⇔  y = Vậy D (0; −7;0) D (0;8;0) r2 r2 rr Ví dụ 9: Chứng minh đẳng thức: a b − a.b r r =  a, b  Lời giải: r2 r2 r2 r2 r r r2 r2 r r 2 Ta có: VT = a b − a b cos (a, b) = a b − cos a, b ( ) ( r2 r2 r r b sin a, b ( )) = a ( ) r r r r r r Lại có:  a, b  = a b sin a, b ( ) r2 r2 rr Do a b − a.b ( ) r r = a, b  (đpcm) ur ur r Ví dụ 10: Trong không gian tọa độ Oxyz cho vectơ a ( m + 2;3; 2m); b (2; −1; m); c (1; 2;1) Gọi S tập hợp giá trị tham số m để vectơ đồng phẳng Số phần tử tập hợp S là: a) b) c) Lời giải: d) r r Ta có:  a, b  = ( 5m; 2m − m ; −m − ) r r r Ba vectơ cho đồng phẳng  a, b  c = ⇔ 5m + 4m − 2m − m − = ⇔ −2m + 8m − = ⇔ m = Do tập hợp S có phần tử Chọn B r r r r Ví dụ 11: Cho vectơ u = (1; 2; −1); v = (1; −3; x) Tìm x biết u , v  = 30 A x = −1 B x = C x = −2 Lời giải: D x = r r Ta có: u, v  = (2 x − 3; x + 1; −5) r r 2 Do u , v  = (2 x − 3) + ( x + 1) + 25 = 30 ⇔ x − 10 x + = ⇔ x = Chọn B r r ur r r ur Ví dụ 12: Cho vectơ u = (1; x; −1); v = (0; 2;1); w = ( x;7; 2) Tìm x biết u, v  w = A x = ±1 x = C   x = −3 Lời giải: B x = ±3 x = D  x = r r r r ur x = u, v  = ( x + 2; −1; 2) ⇒ u , v  w = x + x − + = ⇔ x + x − = ⇔  Chọn C      x = −3 r r r r r r Ví dụ 13: Cho vectơ u v biết u = 2; v = Góc vectơ u v 45o , độ dài vectơ r r 5u , −3v  là:   A B 15 C 15 Lời giải: D 45 r r r r o o Do u , v = 45 ⇒ 5u , −3v = 135 ( ) ( ) r r r r r r Ta có: 5u , −3v  = 5u −3v sin 5u, −3v = 2.9.sin135 = 45 Chọn D ( ) Ví dụ 14: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm A (3;1; −1); B (1;0; 2); C (5;0;0) Tính diện tích tam giác ABC A 21 B 21 C D 21 42 Lời giải: uuur uuur uuur uuur Ta có: AB = (−2; −1;3); AC = (2; −1;1) ⇒  AB, AC  = (2;8; 4) uuur uuur Vậy diện tích tam giác ABC S ABC =  AB, AC  = 21 Chọn A Ví dụ 15: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A (0;1;1); B (−1;0; 2); C (−1;1;1); D (1; 4;7) Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) là: A hD = B hD = C hD = D hD = Lời giải: uuur uuur uuur Ta có: AB = (−1; −1;1); AC = (−1;0;0); AD = (1;3;6) uuu r uuur uuur uuur uuur Lại có:  AB, AC  = ( 0; −1; −1) ⇒ VABCD =  AB, AC  AD = Mặt khác: S ∆ABC = uuur uuur 3V 9  AB, AC  = ⇒ d = h = = = Chọn A ( D ;( ABC )) D  2 S ABC 2 Ví dụ 16: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A (1;1;1), B ( −1;7; −3), C ( m + 1; m;0) Biết diện tích tam giác ABC 3 Tổng tất giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán là: A B uuur uuur Ta có: AB = ( −2;6; −4); AC = (m; m − 1; −1) uuu r uuur Khi  AB, AC  = (4m − 10; + 4m; −8m + 2) ⇒ S ABC = C Lời giải: D r uuur uuu  AB, AC  = (4m − 10) + (2 + 4m) + (−8m + 2) = 3   2 m = ⇔ (2m − 5) + (1 + 2m) + ( −4m + 1) = 3 ⇔ 24m − 24m + 27 = 27 ⇔  ⇒ T = Chọn A m = Ví dụ 17: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A (m − 1; m; 2m − 1); B (−1;0; 2); C ( −1;1;0); D (2;1; −2) Biết thể tích tứ diện ABCD A B Tổng tất giá trị tham số m thỏa mãn yêu cầu toán là: C D Lời giải: uuur uuur uuur uuur Ta có: BC = (0;1; −2); BD = (3;1; −4) ⇒  BC , BD  = ( −2; −6; −3) uuu r r 1 uuur uuur uuu Lại có: BA = (m; m; 2m − 3) ⇒ VABCD =  BC , BD  BA = −2m − 6m − 6m + 6 m = 1 = −14m + = ⇔ − 14m = ⇔  Chọn B m = 6  Ví dụ 18: Trong khơng gian tọa độ Oxyz cho điểm A (1;1;1); B (−1;7; −3); C (2;1;0) Tìm điểm D thuộc Oz cho bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng A D (1; 2;0) B D (0;0;3) C D (0;0; −3) Lời giải: D D (0;0; 2) Do điểm D ∈ Oz ⇒ D (0;0; d ) uuur uuur uuur Ta có: AB = (−2;6; −4); AC = (1;0; −1); AD = (−1; −1; d − 1) uuu r uuur uuur Để bốn điểm A, B, C, D phẳng  AB, AC  AD = ⇔ (−6; −6; −6).( −1; −1; d − 1) = ⇔ + − 6d + = ⇔ d = ⇒ D (0;0;3) Chọn B Ví dụ 19: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A (1;0;3); B (−1; 2;1); C (0;1; 4) Biết H ( xo ; yo ; zo ) trực tâm tam giác ABC Tính P = xo − yo −1 C P = Lời giải: uuur uuur uuur Gọi H (a; b; c) trực tâm tam giác ABC AB; AC; AH đồng phẳng uuur uuur Ta có: AB(−2; 2; −2) = −2(1; −1;1); AC = (−1;1;1); uuur uuur uuur CH = (a; b − 1; c − 4); BH = (a + 1; b − 2; c − 1); AH = (a − 1; b; c − 3) uuu r uuur Suy  AB, AC  = (4; 4;0) = 4(1;1;0) A P = B P = D P =  uuur uuur uuur a =    AB, AC  AH =  a + b − =   uuur uuu r    ⇔ a − b + + c − = ⇔ b = ⇒ P = − Chọn B Mặt khác CH AB =  uuur uuur −a − + b − + c − =  BH AC =    c =  Ví dụ 20: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A (2;0; −2); B (3; −1; −4); C ( −2; 2;0) Điểm D nằm mặt phẳng (Oyz) có cao độ âm cho thể tích khối tứ diện ABCD khoảng cách từ D đến mặt phẳng (Oxy) Khi có tọa độ điểm D thỏa mãn toán A D (0;3; −1) B D (0; −3; −1) C D (0;1; −1) Lời giải: D D (0; 2; −1) Vì D ∈ (Oyz ) ⇒ D (0; b; c), cao độ âm nên c < Khoảng cách từ D đến mặt phẳng c ⇒ c = ⇒ c = −1 (do c < 0) ⇒ D (0; b; −1) uuur  AB = (1; −1; −2) uuur uuur uuur uuur uuur  uuur Ta có  AC = ( −4; 2; 2) ⇒  AB, AC  = (2;6; −2) ⇒  AB, AC  AD = −4 + 6b − = 6b − = 6(b − 1)  uuur  AD = (−2; b;1) ⇒ VABCD = uuur uuur uuur  AB, AC  AD = b −  6 b =  D (0;3; −1) ⇔ Chọn A Mặt khác VABCD = ⇔ b − = ⇔  b = −1  D (0; −1; −1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN r r r Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho a, b vectơ khác Kết luận sai? r r r r r r r r A  a, b  = b, a  B  a, b  không vuông góc với a b r r r r r r r r r r C  k a, b  = k  a, b  D  a, b  = a b sin(a, b) r r r r Câu 2: Cho a = (−2;5;3), b = (−4;1; −2) Kết biểu thức  a, b  A B 405 C 749 D 708 r r r r r r Câu 3: Cho a = (1; t ; 2), b = (t + 1; 2;1), c = (0; t − 2; 2) Xác định t để a, b, c đồng phẳng 216 A t = 1 C t = B t = −2 D t = Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A (1; − 1), B (3;0; 4), C (2;1; −1) Độ dài đường cao hạ từ đỉnh A ∆ABC A B 33 50 C 50 33 D Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A (1;0; −1), B (1; −2; 2) Diện tích tam giác OAB bằng: 17 A B 11 C D 6 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A (1;0;1), B (0; 2;3), C (2;1;0) Độ dài đường cao kẻ từ C tam giác ABC A B 26 26 C 26 D 26 Câu 7: Cho tam giác ABC biết A (2;0;0), B (0;3;1), C ( −1; 4; 2) Độ dài trung tuyến AM đường cao AH là: 83 2 A Câu 8: Trong B không 83 gian với hệ tọa C 79 2 độ Oxyz, cho D hình 79 2 bình hành ABCD có A (2; 4; −4), B (1;1; −3), C (−2;0;5) Diện tích hình bình hành ABCD A B 245 Câu 9: Trong C 345 không gian Oxyz, D 615 cho điểm 618 không đồng phẳng A (2; −1; −2), B (−1;1; 2), C ( −1;1;0), S (1;0;1) Độ dài đường cao hình chóp S.ABC xuất phát từ đỉnh S A 3 B 13 C 13 D 13 Câu 10: Trong không gian Oxyz, cho điểm A (1;0;0), B (0;1;0), C (0;1;1), D (1;1;1) khơng đồng phẳng Tứ diện ABCD tích A B C D Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; −2; 2), B (0; −1; 2), C (0; −2;3) D (−2; −1;1) Thể tích tứ diện ABCD A B C D Câu 12: Cho A (3;0;0); B (0;3;0); C (0;0;3); D (1; −1;0) thể tích tứ diện ABCD A B 27 C D Câu 13: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có A (0;0;0), B (1;0;0), D (0;1;0), A '(0;0; 2) thể tích V tứ diện ABA’C’ bằng: A Câu B 14: Trong không gian C Oxyz, cho D A (1;1; −6), B (0;0; −2), C (−5;1; 2), D '(2;1; −1) Nếu ABCD.A’B’C’D’ hình hộp thể tích là: A 36 (đvtt) B 38 (đvtt) C 40 (đvtt) D 42 (đvtt) Câu 15: Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A (5;3; −4) điểm B (1;3; 4) Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (Oxy) cho tam giác ABC cân C có diện tích C (3;7;0) A  C (3;1;0) C (3;7;0) B  C (3; −1;0) C (−3; −7;0) C  C (−3; −1;0) C (−3; −7;0) D  C (3; −1;0) Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 4; −1), B (1; 4; −1), C (2; 4;3), D (2; 2; −1) Tìm tọa độ điểm M để MA2 + MB + MC + MD đạt giá trị nhỏ  14  A M  ; ;0 ÷ 3  7  B M  ; ;0 ÷ 3   14  C M  ; ;0 ÷ 4  D M (0;0;1) Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (3; −1;1), B (0; −3;3), C (1;7;1) Biết tọa uuur uuur uuuu r độ điểm M thỏa mãn MA + MB + MC đạt giá trị nhỏ có dạng M (a;0; b), (a, b ∈ ¡ ) Khi a + 3b A 16 B C 11 D 13 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Theo lý thuyết SGK hiển nhiên A sai, B đúng, C đúng, D Chọn A r r  3 −2 −2 ; ; Câu 2: Ta có  a, b  =  − − − −4  r r r Câu 3: Để a, b, c đồng phẳng r r 5 ÷ = ( −13; −16;18 ) ⇒  a, b  = 749 Chọn C 1 r r r  a, b  c =   r r t 2 1 t  ; ; Ta có  a, b  =  ÷ = ( t − 4; 2t + 1; − t − t )  1 t +1 t +1  r r r 2 Suy  a, b  c = (2t + 1)(t − 2) + 2(2 − t − t ) = ⇔ t = Chọn D Câu 4: Diện tích tam giác ABC S ∆ABC = uuur uuur  AB, AC  =   2 uuur 2.S ∆ABC Ta có BC = (−1;1; −5) ⇒ BC = 27  → d ( A, BC ) = = Chọn C BC Câu 5: Ta có S ∆OAB = uuu r uuur 17 2 OA, OB  = Chọn A   (−2) + (−3) + (−2) = Câu 6: Diện tích tam giác ABC S ∆ABC = uuur uuur 26  AB, AC  =   uuur 2.S ∆ABC 26 Ta có AB = (−1; 2; 2) ⇒ AB =  → d (C , AB ) = = Chọn C AB Câu 7: Diện tích tam giác ABC S ∆ABC = uuur uuur  AB, AC  =  2 uuur 2.S∆ABC → d ( A, BC ) = = Ta có: BC = (−1;1;1) ⇒ BC =  BC 83  3 Chọn B Tọa độ trung điểm M BC M  − ; ; ÷⇒ AM =  2 2 uuur uuur Câu 8: AB = (−1; −3;1); AC = (−4; −4;9) uuur uuur Diện tích hình bình hành ABCD bằng: S = S ABC =  AB, AC  = ( −23;5; −8 ) = 618 Chọn D uur uur uuu r Câu 9: SA = (1; −1; −3); SB = ( −2;1;1); SC = ( −2;1; −1) r 1 uur uur uuu  SA, SB  SC =  6 uuur uuur r uuur uuu Mặt khác AB = (−3; 2; 4); AC = (−3; 2; 2) ⇒ S ABC =  AB , AC  = 13 Thể tích hình chóp S ABC VS ABC = Khi hS = 3V = Chọn B S 13 uuur uuur uuur Câu 10: AB = (−1;1;0); AC = ( −1;1;1); AD = (0;1;1) r uuur uuur 1 uuu  AB, AC  AD = Chọn A  6 uuur uuur uuur Câu 11: AB = (−1;1;0); AC = (−1;0;1); AD = (−3;1; −1) Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD = r uuur uuur 1 uuu  AB, AC  AD = = Chọn A  6 uuur uuur uuur Câu 12: AB = (−3;3;0); AC = (−3;0;3); AD = (−2; −1;0) Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD = uuu r uuur uuur 27  AB, AC  AD = = Chọn C   uuur uuur uuur Câu 13: AB = (1;0;0); AD = (0;1;0); AA ' = (0;0; 2) uuur uuur uuur uuuu r Do ABCD.A’B’C’D’ hình hộp chữ nhật nên AB + AD + AA ' = AC ' = (1;1; 2) Thể tích tứ diện ABCD là: VABCD = Thể tích V tứ diện ABA’C’ : V = r uuur uuuu r 1 uuu  AB, AA ' AC ' = = Chọn C  6 Câu 14: Do ABCD.A’B’C’D’ hình hộp nên ABCD hình bình hành uuur uuur Ta có AB = DC = (−1; −1; 4) ⇒ (−5 − xD ;1 − y D ; − z D ) = (−1; −1; 4) uuuur uuur uuur Suy D (−4; 2; −2) DD ' = (6; −1;1); DA = (5; −1; −4); DC = (−1; −1; 4) uuur uuur uuuur Thể tích khối hộp V =  DA, DC  DD ' = 38 Chọn B uuur Câu 15: Ta có AB = (−4;0;8); AB = uur uuu r Gọi I (3;3;0) trung điểm AB C ( x; y;0) ta có: CA = CB ⇒ CI ⊥ AB ⇔ (−4;0;8).(3 − x;3 − y;0) ⇔ x = y = 1 Chọn B Suy C (3; y;0), mặt khác S ABC = CI AB = y − = ⇔ y − = ⇔  2  y = −1 uuu r uuur uuur uuur r Câu 16: Gọi G trọng tâm tứ diện GA + GB + GC + GD = uuur uuur uuuu r uuuu r2  14  Khi G  ; ;0 ÷, ta có: MA2 + MB + MC + MD = MA + MB + MC + MD 4  uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur = MG + GA + MG + GB + MG + GC + MG + GD uuuu r uuu r uuu r uuur uuur = MG + 2MG (GA + GB + GC + GD ) + GA2 + GB + GC + GD ( ) ( ) ( ) ( )  14  = 4MG + GA2 + GB + GC + GD nhỏ ⇔ MG nhỏ ⇔ MG = ⇔ M ≡ G  ; ;0 ÷ Chọn 4  C uu r uur uur r Câu 17: Gọi I điểm thỏa mãn IA + IB + IC = ⇔ I (1;0; 2) uuur uuur uuuu r uuu r uu r uuu r uur uuu r uur uuu r Khi MA + MB + MC = MI + IA + 2MI + IB + MI + IC = 4MI nhỏ ⇔ MI nhỏ a = ⇒ a + 3b = 13 Chọn D Suy M ≡ I (1;0; 2) ⇒  b = ... giải: r2 r2 r2 r2 r r r2 r2 r r 2 Ta có: VT = a b − a b cos (a, b) = a b − cos a, b ( ) ( r2 r2 r r b sin a, b ( )) = a ( ) r r r r r r Lại có:  a, b  = a b sin a, b ( ) r2 r2 rr Do... 1; 2; 1) Tìm m để vectơ đồng phẳng r r ur b) Cho vectơ u = ( 1; 2; 3) ; v = ( 2; 1; m ) ; w = ( 2; m;1) Tìm m để vectơ khơng đồng phẳng Lời giải: r r r r ur a) Ta có: u , v  = ( ? ?2; m + 2; ... 10) + (2 + 4m) + (−8m + 2) = 3   2 m = ⇔ (2m − 5) + (1 + 2m) + ( −4m + 1) = 3 ⇔ 24 m − 24 m + 27 = 27 ⇔  ⇒ T = Chọn A m = Ví dụ 17: Trong không gian tọa độ Oxyz cho điểm A (m − 1; m; 2m − 1);