VDC phương trình đường thẳng, 9,10 điểm

TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Chuyên đề 31 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Dạng Bài toán liên quan đến mặt cầu – mặt phẳng – đường thẳng Câu A  4;6;  B  2;  2;0  (Mã 110 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm và  P  qua B , gọi H hình thay đổi thuộc chiếu vng góc A d Biết d thay đổi H thuộc đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn mặt phẳng  P  : x  y  z  Xét đường thẳng d A R  Câu D R  C R  Trong không gian Oxyz mặt phẳng d: Câu B R   P  : 2x  y  z   cắt trục Oz đường thẳng x5 y z 6   1 A B Phương trình mặt cầu đường kính AB là:  x  2 A   y  1   z    36  x  2 B   y  1   z     x  2 C   y  1   z     x  2 D   y  1   z    36 2 2 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu 2 2  S  : x2  y  z  4x  y  m  ( m tham số)  x   2t   : y  3 t  z   2t   S  hai điểm phân biệt A , B đường thẳng Biết đường thẳng  cắt mặt cầu cho AB  Giá trị m A m  B m  12 C m  12 D m  10 Câu Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng  P  : x  y  z  ;  Q  : x  y  3z   thẳng cầu d  P  Mặt phẳng  Q  mặt phẳng x y 3 z 2   1  S Mặt cầu hai mặt phẳng có tâm I giao điểm đường tiếp xúc với mặt cầu  S  Viết phương trình mặt  S  S  :  x  2 A   y     z  3  2 2 2  S  :  x     y     z  3  C Câu  d : Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  2 B  S  :  x  2 D  S  :  x  2   y     z  3    y  4   z  4  2 2   y  3   z    14 2 mặt phẳng    : x  y  z   Biết đường thẳng  nằm    , cắt trục Ox tiếp xúc với  S  Vectơ sau vectơ phương  ? r r ur r u   4; 2;1 v   2;0; 1 m   3;1;0  n   1; 1;1 A B C D Trang Câu (Bình Dương - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  z   mặt cầu  S  :  x  3   y     z  1  100 2 Mặt phẳng  P cắt S C C mặt cầu   theo đường trịn   Tìm tọa độ tâm K bán kính r đường trịn   K 3; 2;1 r  10 K 1; 2;3 r  K 1; 2;3 r  K 1; 2;3 r  A  , B  , C  , D  , Câu A  1;1;1 , B  2;2;1 (Chuyên Thái Bình 2019) Trong khơng gian hệ tọa độ Oxyz , cho hai điểm  P  : x  y  z  Mặt cầu  S  thay đổi qua A, B tiếp xúc với  P  H Biết mặt phẳng H chạy đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịn B A Câu (Chuyên  S : x Lam Sơn C 2019)  y  z  2x  y  6z   Trong D không mặt phẳng gian  Câu cho    : x  y  12 z  10  trình mặt phẳng thỏa mãn đồng thời điều kiện: Tiếp xúc với cắt trục Oz điểm có cao độ dương A x  y  12 z  78  C x  y  12 z  78  Oxyz mặt cầu Lập phương  S  ; song song với    B x  y  12 z  26  D x  y  12 z  26  2 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  điểm x  1 t  M  x0 ; y0 ; z0   d :  y   2t  z   3t  Ba điểm A , B , C phân biệt thuộc mặt cầu cho MA , MB , MC tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng  ABC  qua điểm D  1;1;  T  x02  y02  z02 Tổng A 30 B 26 C 20 D 21 S : x  y  z  2x  2z   Câu 10 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu   x y2 z   1 1 Hai mặt phẳng  P  ,  P ' chứa d tiếp xúc với ( S ) T , T ' đường thẳng Tìm tọa độ trung điểm H TT ' d: 5 7 H  ; ;  B  6   7 H  ; ;  A  6  5 5 H  ; ;  C  6   5 H  ; ;  D  6  E  2;1;3  P  : x  y  z   mặt cầu Câu 11 Trong không gian Oxyz , cho điểm , mặt phẳng  S  :  x  3  S Trang 2   y     z  5  36 2  P  cắt Gọi  đường thẳng qua E , nằm hai điểm có khoảng cách nhỏ Phương trình  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A Câu 12  x   9t   y   9t  z   8t  B  x   5t   y   3t z   C x   t   y  1 t z   D  x   4t   y   3t  z   3t  (Chuyên Lê Quý Đôn – Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz cho mặt cầu  x   2t  d :  y  1  t , t  R 2  x  3   y  1  z  đường thẳng  z  t Mặt phẳng chứa d cắt ( S ) theo đường trịn có bán kính nhỏ có phương trình A y  z   Câu 13 B x  y  5z   C x  y   D x  y  z   (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho điểm E  1;1;1 , mặt phẳng  P  : x  y  5z   mặt cầu  S  : x  y  z  Gọi  đường  P  cắt  S  điểm phân biệt A, B cho AB  thẳng qua E , nằm mặt phẳng Phương trình đường thẳng   x   2t  y  t z  1 t A  Câu 14  x   2t   y  1 t z  1 t B   x   2t   y  3  t z   t C   x   2t   y  1 t z  1 t D  A  0;1; 2  (SGD Cần Thơ 2019) Trong không gian Oxyz , cho điểm , mặt phẳng  P : x  y  z 1  mặt cầu  S  : x  y  z  x  y   Gọi  đường thẳng qua A  nằm mặt phẳng  P  cắt mặt cầu  S  hai điểm B , C cho tam giác IBC có diện tích lớn nhất, với I x  t  y 1  z  2  t A  B tâm mặt cầu x  t   y  1 t  z  2  t   S  Phương trình đường thẳng  C x  t   y  1 t  z  2  D x  t   y  1 t  z  2   P  : z   , K  0;0; 2  , đường thẳng Câu 15 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt phẳng d: x y z   1 Phương trình mặt cầu tâm thuộc đường thẳng d cắt mặt phẳng  P  theo thiết diện đường trịn tâm K , bán kính r  A x  y   z    16 C x2  y   z  2  2 2 B x  y  z  16 2 D x  y  z   P  : x  y  z   hai điểm M  1;1;1 Câu 16 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng N  3; 3; 3  S  qua M, N tiếp xúc với mặt phẳng  P  điểm Q Biết , Mặt cầu Q ln thuộc đường trịn cố định Tìm bán kính đường trịn Trang A Câu 17 R 11 B R  C 33 R D R  (Nguyễn Huệ- Ninh Bình- 2019)Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2x  y  z   d: I mặt  S  :  x  1 cầu   y  3  z  thẳng  S  điểm phân biệt Đường thẳng d cắt mặt cầu  P  P III Mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu mặt cầu  S  S khơng có điểm chung  P  điểm IV Đường thẳng d cắt mặt phẳng Số phát biểu là: A B C D (Chun Hồng Văn Thụ-Hịa Bình-2019)Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu  S  :  x  1   y     z  1  32 2  P  Một đường thẳng  r u  1; b; c  Gọi A Câu 19 đường x y  z 1   2 Cho phát biểu sau đây: II Mặt phẳng Câu 18 ,  c  0 , mặt phẳng qua N nằm  P : x  y  z    P cắt  S điểm N  1; 0; 4  thuộc hai điểm A, B thỏa mãn AB  vecto phương  , tổng b  c B C 1 D 45 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz cho hai đường thẳng x 1 y 1 z 1 x 1 y 1 z 1   2 :   2 2 Tính diện tích mặt cầu có bán kính nhỏ nhất, đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng 1  1 : 16  A 17 (đvdt) Câu 20 B  17 (đvdt) 16  C 17 (đvdt)  D 17 (đvdt) (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng  x  2t  d1 :  y  t z   x   t '  d2 :  y  t ' z   Viết phương trình mặt cầu  S có bán kính nhỏ tiếp xúc với hai đường thẳng d1 d  S  :  x  2  S  :  x  2 C A Câu 21   y  1   z     S  :  x  2 B   y  1   z    16   y  1  ( z  2)   S  :  x  2 D  ( y  1)  ( z  2)  16 2 2 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu  S  : x  y  z  x  y  z  13  Trang đường thẳng d: x 1 y  z 1   1 Điểm M  a; b; c  ,  a    S đến mặt cầu a  b3  c3 A Câu 22 a  b3  c3  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 nằm đường thẳng d cho từ M kẻ ba tiếp tuyến MA, MB, MC 0 · · · ( A, B, C tiếp điểm) AMB  60 , BMC  60 , CMA  120 Tính 173 B a3  b3  c3  112 C a  b3  c  8 D a  b3  c  23 (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho M  3;3;  3 điểm  S  :  x  2 thuộc mặt   y  3   z    100 2    : x  y  z  15  phẳng mặt cầu  S Đường thẳng  qua M , nằm mặt phẳng   cắt   A, B cho độ dài AB lớn Viết phương trình đường thẳng  x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3     B A x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3     11 10 D C 16 Câu 23 A 2; 0;  B  0; 2;  (Mã 104 2017) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm  , , C  0;0; 2  I a; b; c  Gọi D điểm khác O cho DA , DB , DC đơi vng góc  tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Tính S  a  b  c A S  4 Câu 24 B S  1 C S  2 (Chuyên Hạ Long 2019) Trong không gian D S  3 Oxyz , cho  P  :2 x  y  z   , A  0;0;4  , B  3;1;2   S  qua A, B tiếp xúc với  P  C Biết rằng, C Một mặt cầu thuộc đường trịn cố định bán kính r Tính bán kính r đường trịn A Đáp án khác Câu 25 B 244651 r C r 244651 D r 2024 (KTNL GV Thuận Thành Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hình S 1; 1;6  A  1;2;3 B  3;1;2  C  4;2;3 D  2;3;4  chóp S ABCD với  , , , , Gọi I tâm mặt cầu  S A SAD  ngoại tiếp hình chóp Tính khoảng cách d từ I đến mặt phẳng  d 3 B d C d 21 D d m   0;1    : x  y  z  10  Câu 26 Trong không gian Oxyz , xét số thực hai mặt phẳng   : x y z   1 m 1 m Biết rằng, m thay đổi có hai mặt cầu cố định tiếp xúc đồng thời với hai mặt phẳng A    ,    Tổng bán kính hai mặt cầu B C D 12 Câu 27 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : x  y  2z   mặt cầu  S tâm I  5; 3;5 , bán kính R  Từ điểm Trang A thuộc mặt phẳng  P  kẻ đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu  S  B Tính OA biết AB  B OA  A OA  11 Câu 28 Trong không gian x  1 t  d :  y   2t  z   3t  Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  điểm M  x0 ; y0 ; z0  thuộc Ba điểm A , B , C phân biệt thuộc mặt cầu cho MA , MB , MC tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng A 30 B 26 Câu 29 D OA  C OA   ABC  D  1;1;  qua C 20 Tổng T  x02  y02  z02 D 21 A 0; 0;3 , B  2;0;1 (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm   : 2x  y  2z    mặt phẳng   Hỏi có điểm C mặt phẳng   cho tam giác ABC đều? A B C D Vô số Câu 30 2 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu x  y  z  điểm M  x0 ; y0 ; z0  thuộc đường thẳng x  1 t  d :  y   2t  z   3t  Ba điểm A, B, C phân biệt  ABC  thuộc mặt cầu cho MA, MB, MC tiếp tuyến mặt cầu Biết mặt phẳng 2 D  1; 1;  qua Tổng T  x0  y0  z0 A 30 B 26 Câu 31 C 20 D 21 (Tỉnh Bắc Ninh 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) : x y2 z   x  y  z  x  z   đường thẳng 1 1 Hai mặt phẳng ( P) , ( P) chứa d tiếp xúc với ( S ) T , T  Tìm tọa độ trung điểm H TT  2 d:  7 H  ; ;  A  6  Câu 32 Cho hai đường 5 7 H  ; ;  B  6  thẳng  P  : x  y  z   Gọi M  a; b; c  A Trang 5 5 H  ; ;  C  6   x  2  d :y  t  z   2t  t  ¡  , :  5 H  ; ;  D  6  x  y 1 z    1 mặt phẳng d  ,  hình chiếu d  lên mặt phẳng  P  Gọi giao điểm hai đường thẳng d   Biểu thức a  b.c B C D TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 33 (Thpt Vĩnh Lộc - Thanh Hóa 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng    : x  my  z  2m      : mx  y  mz  m   Gọi  hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng  Oxy  Biết với số thực m thay đổi đường thẳng  ln tiếp xúc với đường trịn cố định Tính bán kính R đường trịn A B C D M  6; 0;  N  0; 6;  P  0; 0;  Câu 34 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm , , Hai mặt  S2  : x cầu có phương  y  z  8x  y  z    S1  : x  y  z  x  y   trình có tâm thuộc mặt phẳng chứa  A B C Câu 35 Trong không gian cho mặt phẳng cắt theo đường trịn  C  Hỏi có mặt cầu tiếp xúc với ba đường thẳng MN , NP , PM ? C Vô số D  P : x  z   hai mặt cầu S  :x  y  z  25 , S : x  y  z  x  z   Biết tập hợp tâm I mặt cầu tiếp xúc với hai mặt cầu S  , S   P  đường cong Tính diện tích hình phẳng giới hạn tâm I nằm đường cong 7     A B C D Câu 36 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho phương trình mặt cầu:  Sm  : x  y  z   m   x  2my  2mz  m   S  Biết với số thực m m ln chứa đường trịn cố định Tính bán kính r đường trịn A r B r C r D r   S  : x  y  x  y  z  13  Câu 37 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt câu đường thẳng d: x 1 y  z 1   1 Điểm M  a; b; c   a   nằm đường thẳng d cho  S  ( A, B, C tiếp điểm) thỏa mãn từ M kẻ ba tiếp tuyến MA, MB, MC đến mặt cầu ·AMB  60 BMC · ·  90 , CMA  120 Tính Q  a  b  c , 10 Q Q  3 A B C Q  D Q  Dạng Bài toán cực trị Một số bất đẳng thức Kết Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn Kết Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn Như hình vẽ ta ln có AM  AH Trang Kết Với ba điểm A, B, C ta ln có bất đẳng thức AB  BC  AC Tổng quát ta có bất đẳng thức đường gấp khúc: Với n điểm A1 , A2 , An ta ln có A1 A2  A2 A3   An 1 An  A1 An x y  xy Kết Với hai số không âm x, y ta có Đẳng thức xảy x  y r r r r r r r r a.b  a b a , b a  kb ,k ¡ Kết Với hai véc tơ ta ln có Đẳng thức xảy Một số toán thường gặp H H Bài toán Cho điểm A cố định điểm M di động hình   (   đường thẳng, mặt phẳng) Tìm giá trị nhỏ AM H Lời giải: Gọi H hình chiếu vng góc A lên hình   Khi đó, tam giác AHM Vng M ta có AM  AH H Đẳng thức xảy M  H Do AM nhỏ M hình chiếu A lên   S S Bài toán Cho điểm A mặt cầu   có tâm I , bán kính R, M điểm di động   Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn AM Lời giải Xét A nằm mặt cầu ( S ) Gọi M , M giao điểm đường thẳng AI với mặt ( S )  AM  AM  cầu ( ) mặt phẳng qua M đường thẳng AI Khi ( ) cắt ( S ) theo  · · · đường trịn lớn (C ) Ta có M 1MM  90 , nên AMM AM 1M góc tù, nên tam giác AMM AMM ta có AI  R  AM  AM  AM  AI  R Tương tự với A nằm mặt cầu ta có R  AI  AM  R  AI Vậy AM | AI  R |, max AM  R  AI Bài toán Cho măt phẳng ( P) hai điểm phân biệt A, B Tìm điể M thuộc ( P) cho MA  MB nhỏ | MA  MB | lớn Lời giải Ta xét trường hợp sau - TH 1: Nếu A B nằm hai phía so với ( P) Khi AM  BM  AB Trang TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Đẳng thức xảy M giao điểm AB với ( P)  - TH 2: Nếu A B nằm phía so với ( P) Gọi A đối xứng với A qua ( P) Khi AM  BM  A M  BM  A B  Đẳng thức xảy M giao điểm A B với ( P) Ta xét trường hợp sau - TH 1: Nếu A B nằm phía so với ( P) Khi | AM  BM | AB Đẳng thức xảy M giao điểm AB với ( P) P - TH 2: Nếu A B nằm khác phía so với ( P) Gọi A ' đối xứng với A qua   , Khi | AM  BM | A M  BM  A B  Đẳng thức xảy M giao điểm A B với ( P) Bài toán Viết phương trinh măt phẳng ( P) di qua A cách B khoảng lớn Lời giải Gọi H hình chiếu B lên mặt phẳng ( P), d( B, ( P ))  BH  BA P Do   mặt phẳng qua A vng góc với AB Bài tốn Cho số thực dương  ,  ba điểm A, B, C Viết phương trình măt phẳng ( P) qua C T   d( A, ( P ))   d( B, ( P)) nhỏ Lời giải Xét A, B nằm phía so với ( P) - Nếu AB‖ ( P ) P  (   )d( A, ( P))  (   ) AC r  r IB  ID  - Nếu đường thẳng AB cắt ( P) I Gọi D điểm thỏa mãn E trung điểm BD Khi IB P   d( A, ( P))    d( D,( P)) 2 d( E ,( P)) 2(  ) EC ID  Xét A, B nằm hai phía so với ( P) Gọi I giao điểm AB ( P ), B điểm đối xứng với B qua I Khi P   d( A, ( P))   d B ,( P)   Đến ta chuyển trường hợp So sánh kết ta chọn kết lớn Trang Bài toán Trong không gian cho n điểm A1 , A2 , , An diểm A Viết phương trình mặt phẳng ( P) qua A tổng khoảng cách từ điểm Ai (i  1, n ) lớn Lời giải - Xét n điểm A1 , A2 ,, An nằm phía so với ( P ) Gọi G trọng tâm n điểm cho Khi n  d  A , ( P)   nd(G,( P))  nGA i 1 i - Trong n điểm có m điểm nằm phía k điểm nằm phía khác (m  k  n ) Khi đó, gọi G1 trọng tâm m điểm, G2 trọng tâm k điểm G3 đối xứng với G1 qua A Khi dó P  md  G3 , ( P)   kd  G2 , ( P)  Đến ta chuyển tốn Bài tốn 7.Viết phương trình mặt phẳng  P  qua đường thẳng  cách A khoảng lớn Lời giải Gọi H , K hình chiếu A lên mặt phẳng ( P) đường thẳng  Khi d( A, ( P ))  AH  AK Do ( P) mặt phẳng qua K vng góc vói AK A1 , A2 ,, An Xét véc tơ Bài toán gian Oxyz, uuu8 u r Trong ukhông ur uur cho điểm r w  1 MA1   M A2  L   n M An Trong 1 ;   n số thực cho trước thỏa mãn 1      n  Tìm điểm r M thc măt phẳng ( P) cho | w | có dài nhỏ Lời giải Gọi G điểm thỏa mãn r r r r 1GA1   2GA2  L   nGAn  G hoàn toàn xác định) (điểm u uur r r MAk  MG  GAk Ta vói k  1; 2;; n, nên uu r có uuuu r r r r r w   1     n  MG  1GA1   2GA2  L   n GAn   1     n  MG Do r r | w | 1    L   n | MG | r     L   | w | có giá trị nhỏ MG nhỏ nhất, mà n Vi số khác không nên M  ( P) nên điểm M cần tìm hình chiếu G mặt phẳng ( P) Bài tốn Trong khơng gian Oxy z, cho diểm A1 , A2 ,, An Xét biểu thức: T  1MA12   MA22  L   n MAn2 Trong 1 ,  , ,  n số thực cho trước Tìm điểm M thuộc măt phẳng ( P) cho T giá trị nhỏ biết 1     n  T có giá trị lớn biết 1     n  Lời giải Gọi G điểm thỏa mãn r r r r 1GA1   2GA2  L   nGAn  Trang 10  M  0; 1;   a  b  1 c  , ,  a  b  5c    5.2  Câu 62 (Lê Quý Đôn - Quảng Trị - 2018) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho điểm A  1;1;1 B  0;1;  C  2;1;   P  : x  y  z   Tìm điểm N   P  cho , , mặt phẳng S  NA2  NB  NC đạt giá trị nhỏ  4 N   ; 2;  A  3  N  2;0;1 B  3 N  ; ;  C  4  Lời giải D N  1; 2;1 Với điểm I ta có uur uu r uur uur uur uur S  NA2  NB  NC  NI  IA  NI  IB  NI  IC uur uu r uur uur  NI  NI IA  IB  IC  IA2  IB  IC uu r uur uur r IA  IB  IC  I Chọn điểm cho uu r uur uur r uu r suur suur r IA  IB  IC   IA  AB  AC  Suy tọa độ điểm I là: I  0;1;  2 2 Khi S  NI  IA  IB  IC , S nhỏ N hình chiếu I lên mặt phẳng          P x   t   y  1 t z   t   P  là: Phương trình đường thẳng qua I vng góc với mặt phẳng N  t ;1  t ;  t    P   t   t   t    t  1  N  1; 2;1 Tọa độ điểm Câu 63 (Chuyên Phan Bội Châu 2019) Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu  S  :  x  1  S  Gọi   y     z  1  2 hai điểm A  4;3;1 , B  3;1;3 ; M điểm thay đổi m, n giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  MA2  MB Xác định  m  n A 64 B 68 C 60 Lời giải uu r uur r I  x; y; z  , Xét điểm I cho: IA  IB  Giả sử ta có: uu r uur IA   x;3  y;1  z  , IB   x;1  y;3  z  D 48 2   x    x uu r uur r  IA  IB      y    y  I  5;5; 1  2   z    z Do đó: uuu r uu r uuu r uur  MI  IB 2  MI  IA Do đó: P  MA  MB uuu r2 uu r2 uuu r uu r uuu r uur2 uuu r uur  2MI  IA  4MI IA  MI  IB  2MI IB       uuu r uu r uur uuu r2 uu r uur2 uuu r uu r uur  MI  IA  IB  2MI IA  IB  MI  IA2  IB  MI IA  IB  Trang 102    TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  MI  IA  IB 2 2 2 Do I cố định nên IA , IB không đổi Vậy P lớn (nhỏ nhất)  MI lớn (nhỏ nhất)  MI lớn (nhỏ nhất)  M giao điểm đường thẳng IK (với K  1; 2; 1 tâm mặt cầu (S)) với mặt cầu (S) uur I  5;5; 1 KI  4;3;0  Ta có: MI qua có vectơ phương  x   4t   y   3t  z  1 Phương trình MI là:  Tọa độ điểm M cần tìm ứng với giá trị t nghiệm phương trình:  t  2 2   4t  1    3t     1  1   25t    t     17 19  t   M  ; ; 1  M I  (min)  5  Với   t    M   ; ; 1 M I  (max)  5  Với Vậy Câu 64 m  Pmax  48  m  n  60  n  P   12  (Chuyên KHTN 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm  S  :  x     y     z  1  Gọi điểm mặt cầu uuur uuur uuuu r MA  MB  MC M  a; b; c  S   cho điểm đạt giá trị nhỏ Hãy tìm a  b A B C D Lời giải uuur uuur uuur r N  2;0;1 Gọi N điểm thỏa mãn NA  NB  NC  , suy Khi đó: uuur uuur uuuu r uuuu r uuu r uuuu r uuur uuuu r uuur uuu r uuur uuur uuuu r MA  MB  MC  MN  NA  MN  NB  MN  NC  NA  NB  NC  MN  MN uuur uuur uuuu r MA  MB  MC  S  có tâm I  2; 4; 1 , suy ra: Suy nhỏ MN nhỏ Mặt cầu  x   2t  NI   y   2t uur  z  1  t NI   4; 4; 2    2; 2; 1  Phương trình Thay phương trình NI vào phương A  8;5; 11 , B  5;3; 4  , C  1; 2; 6   trình  S  2t    2     2   t 1 2   2t    t    t    t  1 ta được:  S  hai điểm phân biệt N1  3;6; 2  , N  0; 2;  Suy NI cắt M  0; 2;0  Vì NN1  NN nên MN nhỏ M  N Vậy điểm cần tìm Suy ra: a  b  Trang 103 Câu 65 Cho mặt cầu Điểm  S  :  x  2   y  1   z  3  M  a ; b ; c thuộc mặt cầu biểu thức T  a.b.c A B  S hai điểm A  ; ; 3 , B  21 ; ;  13 2 cho 3MA  MB đạt giá trị nhỏ Khi giá trị D 18 C Lời giải uur uur r IA  IB   I  ; ;  1 Gọi điểm I thỏa mãn u u u r u u r u u u r u u r uuu r uu r uur 2 3MA2  MB  MI  IA  MI  IB  MI  3IA2  IB  MI 3IA  IB Khi  4MI  3IA2  IB       2 2 Do 3IA  IB không đổi ba điểm A; B; I cố định nên 3MA  MB đạt giá trị nhỏ MI S J ; ; 3 nhỏ Khi M giao điểm đường thẳng IJ với mặt cầu   , (  tâm mặt cầu  S  )  x   2t   y   t  IJ   S    M  4; ; 1   z   2t  M  ; ;   IJ Ta có phương trình đường thẳng IM  IM    M 4; 2;1 Kiểm tra nên  điểm cần tìm Vậy T  a.b.c  Câu 66 Trong không gian Oxyz  x  3 cho đường thẳng   y     z    729 2 Cho biết điểm d: x 1 y  z    A  2; 2; 7  mặt cầu  S : , điểm B thuộc giao tuyến  S  mặt phẳng  P  : x  y  z  107  Khi điểm M di động đường thẳng d mặt cầu giá trị nhỏ biểu thức MA  MB A 30 Trang 104 B 27 C 29 Lời giải D 742 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  S I  3; 4; 5  bán kính R  27 r u   2;3;   d   P  Đường thẳng d có véc-tơ phương  P  đường thẳng d Vì I  d nên K tâm đường Gọi K giao điểm mặt phẳng tròn giao tuyến KB  d uur uu rr IA   1; 2; 2   IA  Ta có IA.u   IA  d Mặt cầu Ta tính có tâm IK  d  I ,  P     3   4    5   107 22  32  42  29 2 KB  R  IK  Do M di động đường thẳng d (trục đường tròn giao tuyến) B thuộc đường tròn giao tuyến nên biểu thức MA  MB nhỏ M  AB  d MI IA   Khi đó, ta có MK KB MI  MK  IK  29 Suy MI  29 , MK  29 Ta có AM  IA  MI  30 2  BM  AM  30 Vậy giá trị nhỏ MA  MB AM  BM  30  30  30 Cách 2: Ta có  S có tâm I  3; 4; 5  , bán kính R  27 I  3; 4; 5   P Dễ thấy d qua vuông góc với  P cắt  S  theo đường trịn có bán kính r  Trang 105 M  d  M   2t ;  3t;3  4t  2 Ta có T  MA  MB  MA  MH  r 29t  87 MH  d ( M ; ( P))   29t  29 29 Lại có T  29t  116t  125  29  t  3   29  t  2 Suy r  r r   r    u   t  2;  v    t;   u  v   5;  29  29  29     Xét , r r r r T  29 u  v  29 u  v  50 Do  Câu 67   29 29  t  3  29  (THPT Chuyên Thái Bình - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P : x  y  z 1  , đường thẳng  d : x  15 y  22 z  37   2  S  : x  y  z  8x  y  z   Một đường thẳng    thay đổi cắt mặt cầu mặt cầu  S hai P điểm A, B cho AB  Gọi A , B hai điểm thuộc mặt phẳng   cho AA , BB song song với  d  Giá trị lớn biểu thức AA  BB  30 A Mặt cầu  S có tâm 24  18 B I  4;3; 2  12  C Lời giải 16  60 D bán kính R  S Gọi H trung điểm AB IH  AB IH  nên H thuộc mặt cầu   tâm I bán kính R  Trang 106 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 P Gọi M trung điểm AB AA  BB  HM , M nằm mặt phẳng   Mặt khác ta có d  I; P   R sin  d ;  P    sin   P S 3 Gọi nên   cắt mặt cầu   K hình chiếu H lên  P  HK  HM sin  Vậy để AA  BB lớn HK lớn HK max  R  d  I ;  P      HK qua I nên 43  3   3  3 24  18       Vậy AA  BB lớn Câu 68 A  3;1;1 (Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho , B  5;1;1 hai mặt phẳng  P  : x  y  z   ,  Q  :  x  y  z 1  điểm nằm hai mặt phẳng T  a b c A 2  P  Q Gọi M  a ;b; c cho MA  MB đạt giá trị nhỏ Tính B 29 C 13 Lời giải D Chọn D  P   Q  Từ giả thiết ta có M thuộc giao tuyến d hai mặt phẳng r P n P   1; 2;1   Q  có vectơ pháp Mặt phẳng có vectơ pháp tuyến Mặt phẳng r N  1;1;1 nQ   1;1;1 tuyến Khi đường thẳng d qua có vectơ phương r r r u d   n P , nQ    1; 2;3 nên có phương trình tham số M   t ;1  2t ;1  3t  MA  MB   t  4 x  1 t  d :  y   2t  z   3t  suy  4t  9t   t  4  4t  9t  14t  8t  16  14t  8t  16 Bài tốn trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số  8 f  t   14t  8t  16  14t  8t  16  14  t  t   t  t   7 7  2 2  2 2          14   t       t        7      7    r  2  r 2  u  t  ; v   t;     7, 7 Đặt Trang 107 2 4   r r r r f  t   14       f  t   14  u  v   14 u  v 49 7     Khi Suy 2  0t 0 2 t r r Dấu xảy hai vectơ u v hướng hay t 2 M  1;1;1 Do Vậy T  a  b  c  Dạng 2.3 Cực trị liên quan đến chu vi, diện tích, bán kính, thể tích Câu 69 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong khơng gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B (a; 0; 0) , D (0; a;0) , A(0;0; b) với a, b  a  b  Gọi M trung điểm cạnh CC  Thể tích khối tứ diện BDAM có giá trị lớn 64 32 A 27 B 27 C 27 D 27 Lời giải Chọn C z A' D' B' C' M y A D x B C b C (a; a; 0), C '(a; a; b), M (a; a; ) Tọa độ điểm uuur uuuu r uuuu r b BA '  (-a; 0; b), BD  (-a; a;0), BM  (0; a; ) r a 2b uuuuruuur uuur uuur uuuu VBDA ' M   BA ', BD  BM   BA ', BD   (ab; ab; b )   nên 32  a  a  2b  64 a.a.(2b)    a 2b   VBDA ' M    27 27   27 Ta có: Trang 108 TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Câu 70 (THPT Nguyễn Huệ - Huế - 2018) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng  x  1  2t  d  :  y   t  z  2t  M  a; b; c  d Gọi điểm   cho chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ Tính P  a  b  c A P  B P  3 C P  D P  1 Lời giải M  d  M  1  2t ;1  t ; 2t  Chu vi tam giác MAB là: AM  BM  AB Vì AB  const nên chu vi nhỏ hai điểm A  1;5;0  , B  3;3;6   AM  BM  nhỏ uuuu r uuuu r AM  2t  2; t  4; 2t  BM  2t  4; t  2; 2t   ,     AM  BM  9t  20  9t  36t  56   3t      3t   r r r r u  3t ; , v   3t;  u  v  6; Đặt r r r r r r u  v  uv Áp dụng bất đẳng thức vectơ: Dấu xảy u , v hướng r r r r AM  BM  u  v  u  v   62   29 AM  BM  Ta có: Do  nhỏ         3t  k   3t  t     r r 2  5k  k  Khi M  1; 0;  tồn số k dương cho u  kv Vậy P  a  b  c     Câu 71 (Hồng Hoa Thám Hưng n 2019) Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho tứ diện ABCD A 1;1;  B  3;  2;   C  1; 2;  1 D  2;  2;0  M  a; b; c  có  , , , Điểm thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Tính a  b  c A B C D Lời giải C D A H B C Gọi ABM chu vi tam giác ABM uuu r AB   2;  3;  10   AB  113 uuu r uuur uuu r uuur AB   2;  3;  10  CD   1;  4;1  AB.CD  2  12  10   AB  CD , P Gọi   mặt phẳng chứa đường thẳng AB vng góc với đường thẳng CD H giao điểm  P  đường thẳng CD Trang 109 uuur CD   1;  4;1 P A 1;1;  Phương trình mặt phẳng   qua  có véc tơ pháp tuyến là: x  y  z 1  x  1 t   y   4t  z  1  t Phương trình đường thẳng CD :  H  CD  H   t ;  4t ; 1  t   H  ; 0;    t    H   P    t    4t    t   2 2  AM  AH   M  CD Với , ta có  BM  BH  AM  BM  AH  BH C ABM  AB  AM  BM  113  AH  BH M  CD , 1 3  M  ;0;    113  AH  BH 2 2 , đạt M  H Suy minC ABM Vậy a  b  c  A  1;1;6  B  3; 2; 4  Câu 72 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho tứ diện ABCD có , , C  1; 2; 1 D  2; 2;0  M  a; b; c  , Điểm thuộc đường thẳng CD cho tam giác ABM có chu vi nhỏ Tính a  b  c A B C D Lời giải Ta có CABM  AM  BM  AB mà AB không đổi suy CABM nhỏ AM  BM nhỏ uuu r uuur AB   2; 3; 10  , CD   1; 4;1 Ta có uuu r uuur    qua AB vng góc với CD Xét AB.CD   AB  CD Gọi uuur    qua A  1;1;  nhận CD   1; 4;1 làm véc tơ pháp tuyến    có phương trình là: x  y  z 1  Suy M  CD     Vì điểm M thuộc CD cho AM  BM nhỏ nên x  1 t   y   4t    : x  y  z   , CD có phương trình:  z  1  t  1   M  ; 0;   a  b  c    1  M  CD      2 2 Câu 73 (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định 2019) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  P  :x  y  z   hai điểm A  3; 4;1 ; B  7; 4; 3 Điểm M  a; b; c  a   thuộc cho tam giác ABM vng M có diện tích nhỏ Khi giá trị biểu thức T  a  b  c bằng: Trang 110 A T  B T  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 D T  C T  Lời giải Chọn D AB.MH Ta có: với H hình chiếu vng góc M lên AB Do AB khơng đổi nên S ABM nhỏ MH nhỏ uuur  AB   4; 8; 4  uuu r uur  AB nP   AB //( P ) u u r   nP   1;1; 1 S ABM  MH nhỏ M nằm giao tuyến mặt phẳng  Q   P  ;  Q  mặt phẳng chứa AB vng góc với mp  P  với uuur  AB   4; 8; 4  uur  n u u r  Q   3; 0;3   Q  x  z   nP   1;1; 1 phương trình mp M nằm giao tuyến mặt phẳng  Q   P  nên tọa độ M nghiệm hệ phương trình x  t x  z      y   2t  M  t ;  2t ;  t   x  y  z   z   t  với t  uuuu r uuuu r AM   t  3; 2  2t;3  t  ; BM   t  7;6  2t;  t  Ta có Tam giác ABM vng M nên uuuu r uuuu r AM BM    t  3  t     2  2t    2t     t    t   t   n    t  3  t     t  3  t  1    t    3t      t   l   t   M  3; 4;1  a  b  c     + Câu 74 (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên 2019) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu ( S ) :  x  3   y  1  z  2 đường thẳng  x   2t  d :  y  1  t , (t  ¡ )  z  t  Mặt phẳng chứa d cắt ( S ) theo đường trịn có bán kính nhỏ có phương trình A y  z   B x  y  z   C x  y   D 3x  y  z   Lời giải  S  có tâm I  3;1;0  bán kính R  Mặt cầu Gọi H hình chiếu I d uur H  d  H   2t; 1  t; t  IH   2  2t; 2  t ; t  ; uu r u   2;1; 1 Véctơ phương d d Trang 111 uur uu r H  3; 0; 1  IH  IH ud    2  2t   1 2  t   t   t  Suy Gọi  P  S  theo đường trịn có bán kính r mặt phẳng chứa đường thẳng d cắt mặt cầu r  R   d  I ,  P       d  I ,  P    Ta có 2   r    d  I ,  P      IH    Mà nên IH   P  Suy r  , đạt uur P H  3;0; 1 IH   0; 1; 1  Khi mặt phẳng qua nhận làm véctơ pháp tuyến  P  là:  x  3  1 y    1 z  1   y  z   Phương trình mặt phẳng d  I ,  P    IH  2 Câu 75 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(3; 2;6), B (0;1; 0) mặt cầu ( S ) : ( x  1)  ( y  2)  ( z  3)  25 Mặt phẳng ( P) : ax  by  cz   qua A, B cắt theo giao tuyến đường trịn có bán kính nhỏ Tính T  a  b  c A T  C T  B T  D T  Lời giải I 1; 2;3 , có tâm  bán kính R  r P n  a; b; c  Mặt phẳng   có vec-tơ pháp tuyến P  B 0;1;    P  : b    b  Theo giả thiết  uuu r r AB   3;3; 6  u   1; 1;  Ta có: phương với x  t  AB :  y   t  z  2t  Phương trình đường thẳng Mặt cầu  S Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến K hình chiếu vng góc I lên đường thẳng AB, H hình chiếu vng góc I lên  P  uur K  AB  K  t ;1  t ; 2t   IK   t  1; t  1; 2t  3 Ta có: uuur uur uur IK  AB  AB.IK   t   IK   0; 2; 1 r  R  d  I ,  P    25  d  I ,  P    25  IH Ta có: rmin  IH max r uur IH  IK  IH max  IK  H  K   P   IK  nP Mà IK phương Trang 112 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 a  a  uur  a  r   nP  k IK  b  2k  k  1   c  c   k c     t  a  b  c     Câu 76 Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu phẳng qua hai điểm  C  Khối nón  N  A  0;0; 4  , B  2; 0;  có đỉnh tâm 128 A  S  : x  1   y     z  3  48 cắt mặt cầu  S  S  , đường tròn đáy  C  Gọi   mặt theo giao tuyến đường trịn tích lớn 215 C 88 C Lời giải B 39 Chọn B Ta có tâm cầu I  1; 2;3 ; R   Gọi H hình chiếu vng góc tâm cầu I lên mặt phẳng   Vậy chiều cao khối nón I lên AB Gọi  Q  N h  d  I , P   IH  IK mặt phẳng qua I vuông góc với ta có , K hình chiếu vng góc  Q  : x  2z   x  t  AB :  y   z  4  2t Q  Phương trình vào   ta t   4t    t  Tọa độ K  3; 0;   IK  Bán kính khối nón r  48 h 1 V   r 2.h   48 h2 h   48 h2 h 3 Vậy thể tích khối nón     h  0;3 Khảo sát V ta tìm Vmax  39 Câu 77 (Chuyên Hùng Vương Gia Lai 2019) Trong không gian Oxyz , cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D có A trùng với gốc tọa độ O , đỉnh B(a; 0; 0) , D(0; a;0) , A(0;0; b) với a, b  a  b  Gọi M trung điểm cạnh CC  Thể tích khối tứ diện BDAM có giá trị lớn 64 32 A 27 B 27 C 27 D 27 Lời giải Chọn C Trang 113 z A' D' B' C' M y A D x B C b C (a; a; 0), C '(a; a; b), M (a; a; ) Tọa độ điểm uuur uuuu r uuuu r b BA '  (-a;0; b), BD  (-a; a;0), BM  (0; a; ) r a 2b uuuuruuur uuur uuur uuuu VBDA ' M   BA ', BD  BM   BA ', BD   (ab; ab; b )   nên 32  a  a  2b  64 a.a.(2b)    a 2b   VBDA ' M    27 27   27 Ta có:  x   3t  d :  y   4t z   Câu 78 Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng Gọi A hình chiếu vng góc O d Điểm M di động tia Oz , điểm N di động đường thẳng d cho MN  OM  AN Gọi I trung điểm đoạn thẳng OA Trong trường hợp diện tích tam giác IMN đạt giá trị nhỏ nhất, vectơ pháp tuyến mặt phẳng  M , d  có tọa độ A  4;3;5  Chọn A Trang 114 B  4;3;10    4;3;5 10 C Lời giải D  4;3;10 10  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A   3t;3  t;0  hình chiếu vng góc O d uuu r uur  OA  d  OA.ud   t   A  4;3;0  Trên Oz lấy điểm P cho OP  AN  MP  OM  OP  MN Gọi AIN  OIP  IN  IP Ta có IMP  IMN , kẻ IH  MN  IH  IO  S IMN  IH MN  SIMN  MN 2  MO  AN  MN  MO  OA  AN     25  MN  2   Ta có 2 2 MN   OM  AN  Vậy  5 2  M  0;0;  2    uuur uur  MA, ud   10 2; 15 ; 25     M , d    Một vectơ pháp tuyến mặt phẳng r n  4;3;5 Chọn   1  M  ; ;0  2  2 Oxyz   mặt cầu  S  : x  y  z  Đường thẳng Câu 79 Trong không gian , cho điểm d thay đổi, qua điểm M , cắt mặt cầu  S  hai điểm phân biệt A, B Tính diện tích lớn S tam giác OAB A S  B S  C S  Lời giải D S  2 Chọn A Mặt cầu  S có tâm O   0;0;  , bán kính R  2 Ta có OM   M nằm mặt cầu Gọi I trung điểm AB  OI  AB Đặt x  OI  OM   x  Khi SOAB   f  x  OI AB  OI R  OI  x  x  f  x    x2   x2   x  1 , ta có bảng biến thiên Trang 115 Vậy max S OAB  OI  hay I  M A  1; 4;3  P  : y  z  Biết điểm B thuộc Câu 80 Trong không gian Oxyz , cho điểm mặt phẳng  P  , điểm C A thuộc  Oxy  cho chu vi tam giác ABC nhỏ Hỏi giá trị nhỏ B C Lời giải D Chọn C A  1; 4;3  Oxy   H  1; 4;0  Gọi H hình chiếu vng góc lên mặt phẳng  Oxy  , ta tìm A1  1; 4; 3 Gọi A1 điểm đôi xứng A qua mặt phẳng A  1; 4;3  P Gọi K hình chiếu vng góc lên mặt phẳng x   AK :  y   2t z   t K  1;  2t;3  t   AK  Ta có phương trình đường thẳng , Gọi K   P   5t    t  1  K  1; 2;  Mặt khác,  P  K trung điểm AA2 Gọi A2 điểm đơi xứng A qua mặt phẳng Ta có  x A2  xK  x A    y A2  y K  y A    z A2  zxK  z A   A2  1;0;5  Ta có chu vi tam giác ABC PABC  AC  AB  BC  A1C  A2 B  BC  A1 A2 Dấu xảy A1 , A2 , B, C thẳng hàng Suy Trang 116  PABC   A1 A2  ... với góc lớn lớn Kết Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đường vng góc đường ngắn Như hình vẽ ta ln có AM  AH Trang Kết Với ba điểm A, B, C ta ln có bất... Lời giải uu r d u Đường thẳng có vectơ phương  (2;1;0) uu r u2  (1;1; 0) d Đường thẳng có vectơ phương  S  có bán kính nhỏ đồng thời tiếp xúc với hai đường thẳng Để phương trình mặt cầu d1... Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm  đường thẳng   có phương x 1 y 1 z 1   1 Gọi  P  mặt phẳng qua điểm A , song song với đường thẳng  d  trình P P khoảng cách từ d tới mặt