bài tập hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1 BTVN BÀI 02: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY. 1) Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=h vuông góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là các điểm di động trên các cạnh BC và CD sao cho 0 45 MAN =  . Đặt BM=x, DN=y ( ) 0 , x y a ≤ ≤ . CMR: ( ) 2 a x y a xy + = − . Tìm x,y sao cho thể tích khối chóp S.AMN có giá trị nhỏ nhất. Giải: - C/M ( ) 2 a x y a xy + = − : Gọi 0 45 BAM DAN α α β β =  ⇒ + =  =    ( ) ( ) 2 tan tan 1 tan 1 tan tan 1 1 1 . x y a x y a b x y a xy a b α β α β α β + ⇒ = + = − + + ⇔ = ⇔ = − − ( ) 2 a xy a x y ⇔ − = + ⇒ ĐPCM - Tìm x, y sao cho V Min: Ta có 0 . 1 1 2 . . . .sin 45 . 3 6 2 S AMN AMN h V SA S SA AM AN AM AN = = =  Vậy ( ) ( ) 2 2 2 2 . Min V AM AN a x a y Min ⇔ = + + . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 . tan tan os os os os AM AN a x a y a a a a a a c c c c α β α β α β = + + = + + = = V ậ y ( ) ( ) 2 2 2 2 os os ax a x a y Min c c M α β + + ⇔ mà ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 2 os os os os os 1 2 2 2 2 2 4 c c c c c α β α β α β α β     + = + + − = + − ≤ + =             V ậ y ( ) 2 2 4 2 2 2 a tan 4 8 8 2 2 Min ha V ha x y π α β π π α β α β  + =  = = − ⇔ ⇔ = = ⇔ = =  +  =  Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4 2) Bài 2: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA ⊥ (ABCD), AB = a, SA = a 2 . H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD. CMR: SC ⊥ (AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK. Giải: AH ⊥ SB (gt) (1) BC ⊥ AB (vì ABCD là hình vuông) BC ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) ⇒BC ⊥ (SAB) BC ⊥ AH (2) Từ (1) (2) ⇒AH ⊥ (SBC ⇒AH ⊥ SC (3) Chứng minh tương tự ta có: SC ⊥ AK (4) Từ (3) (4) ⇒ SC ⊥ (AKH) Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF Kéo dài AF cắt SC tại N Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE ⊥ (AHK) Vì OA = OC; OE // CN => OE = 1 2 CN Tam giác vuông SAD có 1 1 1 2 2 2 AK AS AD = + ⇒ AK = 2. . 2 3 2 2 2 3 a a AS AD a AS AD a = = + Dễ thấy AH = 2 3 a . ∆AKH cân tại A. Dễ thấy ∆SBD có SK KH BD SD = mà SK = 2 2 2 2 2 2 2 3 3 a SA AK a a− = − = . SD = a 3 ⇒ 2 2 3 3 3 a SF KH BD SO a = = = HK = 2 3 BD = 2 2 3 a OF = 1 3 SO ⇒ 1 2 OF SF = ∆ SAC có : OA = OC ⇒ 1 2 OE OF SN SF = = ⇒ OE = 1 2 SN = 1 2 a S ∆ AHK = 1 2 KH. 2 2 4 HK AK − = 2 2 2 9 a ⇒ V = AHK 1 . 3 OE S ∆ = 3 2 27 a 3) Bài 3: Cho hình chóp có ABCD là hình ch ữ nh ậ t; AB = a.AD = 2a; SA ⊥ (ABCD); (SA, (ABCD) = 60 o . Đ i ể m M thu ộ c c ạ nh SA, Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi tr ườ ng chung c ủ a h ọ c trò Vi ệ t Page 3 of 4 AM = 3 3 a .(BCM) ∩ SD ={ N}. Tính th ể tích hình chóp S.BCMN. Giải: Ta có SAB=60 0 ∆SAB vuông tại A có AM = 3 3 a , AB = a ⇒ ABM = 30 0 Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMN ta có SH=SB sin 30 0 = a BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒ SM MN SA AD = ⇒MN = . 4 3 AD SM a SA = ⇒ SBCMN = 2 1 10 ( ). 2 3 3 a MN BC BM+ = ⇒ VSBCMN = 1 . 3 SH SBCMN = 3 10 3 27 a 4) Bài 4: Hình chóp SABCD có đ áy là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). (SC, (SAB)) = α . M ặ t ph ẳ ng (P) qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai ph ầ n. Tính t ỉ s ố th ể tích hai ph ầ n đ ó. Giải: Kí hi ệ u K 1 = V SMAQN . V 2 = V - V 1 . G ọ i O = AC ∩ BD ∆ SAC k ẻ AN ⊥ SC. E = SO ∩ AN ⇒ E ∈ (P) Vì (P) ⊥ SC Mà BD ⊥ SC BD ⊥ AC BD ⊥ SA ⇒ BD ⊥ (SAC) . BD ⊂ (SAC) ⇒ (P) // (SBD) ⇒ (P) ∩ (SBD) = MQ //BD CB ⊥ AB (gt) CB ⊥ SA (vì SA ⊥ (ABCD)) ⇒ CB ⊥ (SAB) ⇒ (S C, (SAB)) = CSB = α Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện Thầy Trịnh Hào Quang Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 4 V 1 = 2V SANQ , V = 2V SACB . 1 . V SANQ SQ V SN V V SC SB SACB = = Tam giác vuông SAC: SA 2 = SC.SN ⇒ SN = 2 SA SC Tam giác vuông SAB: SA 2 = SB.SQ ⇒ SQ = 2 SA SB 2 2 2 2 1 . ( ) 2 2 . V SA SA SA V SB SC SC SB ⇒ = = BC ⊥ AB (gt) BC ⊥ SA (v× SA ⊥ (ABCD)) ⇒ BC ⊥ SB Tam giác vuông SBC: cos α = SB SC ⇒ SC = cos SB α Tam giác vuông SAB: SA 2 = SB 2 - AB 2 = SB 2 - BC 2 = SB 2 - SB 2 tan α 1 os 2 2 (1 tan ) 2 (cos sin ) 1 sin 2 . SA c SB SB V V α α α α α − = = − = −       (1 sin2 ) 1 sin2 1 1 (1 1 sin2 ) sin2 1 V V V V V V V α α α α − − ⇒ = = = − − + ====================Hết================== Giáo viên: Trịnh Hào Quang Nguồn: Hocmai.vn . =  Vậy ( ) ( ) 2 2 2 2 . Min V AM AN a x a y Min ⇔ = + + . Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 . tan tan os os os os AM AN a x a y a a. + = = V ậ y ( ) ( ) 2 2 2 2 os os ax a x a y Min c c M α β + + ⇔ mà ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 1 2 2 2 os os os os os 1 2 2 2 2 2 4 c c c c c α β α β