Một số mô hình sai phân trong kinh tế và khoa học kỹ thuật

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ THỊ DIỆU THẢO MỘT SỐ MƠ HÌNH SAI PHÂN TRONG KINH TẾ VÀ KHOA HỌC KỸ THUẬT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC ĐÀ NẴNG ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– LÊ THỊ DIỆU THẢO MỘT SỐ MƠ HÌNH SAI PHÂN TRONG KINH TẾ VÀ KHOA HỌC KỸ THUẬT Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung ĐÀ NẴNG LỜI CAM ĐOAN Tồn nội dung trình bày luận văn cơng trình nghiên cứu tổng quan ta, hoàn thành hướng dẫn TS Lê Hải Trung Những khái niệm kết luận văn tổng hợp từ tài liệu khoa học đáng tin cậy Ta xin chịu trách nhiệm với lời cam đoan Tác giả Lê Thị Diệu Thảo LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Giải tích K39 - Đà Nẵng nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Lê Thị Diệu Thảo MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Kiến thức sở 1.1 Mơ hình tốn học bước xây dựng mơ hình tốn học 1.2 Một số khái niệm sai phân 1.3 Phương trình sai phân cấp 10 1.4 Phương trình sai phân cấp hai 14 1.5 Một số phương trình sai phân phi tuyến tính 15 1.6 Hệ phương trình sai phân tuyến tính 17 CHƯƠNG MỘT SỐ MƠ HÌNH SAI PHÂN TRONG KINH TẾ VÀ KHOA HỌC KỸ THUẬT 27 2.1 Một số mơ hình phân tích kinh tế 27 2.2 Một số mơ hình sai phân lý thuyết dân số 31 2.3 Một số mơ hình sai phân khoa học kỹ thuật 50 KẾT LUẬN 59 TÀI LIỆU THAM KHẢO 60 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mơ hình tốn học hình thức sử dụng ngơn ngữ tốn học để mơ tả hệ thống đối tượng ngành khoa học tự nhiên chuyên ngành kỹ thuật (ví dụ: vật lý, sinh học, kỹ thuật điện tử) đồng thời khoa học xã hội (như kinh tế, xã hội học khoa học trị) Các kỹ sư, nhà khoa học sử dụng mơ hình tốn học cơng cụ nghiên cứu Các mơ hình đưa mô tả vấn đề đời thực mà chúng biểu thị dạng phương trình tốn học, có phương trình sai phân Vì vậy, việc nghiên cứu mơ hình tốn Lý thuyết phương trình sai phân vấn đề thời toán học nhiều nhà toán học quan tâm Có thể kể đến như: Mơ hình kinh tế quốc dân Keynes, Mơ hình tăng trưởng dân số, Mơ hình dãy số Fibonacci Phương trình sai phân thường xuất người ta mô tả tượng quan sát tự nhiên Chẳng hạn, xét trình phát triển dân số quốc gia hay vùng lãnh thổ Nếu gọi xn+1 số dân thời điểm năm n + xn+1 hàm số dân xn thời điểm năm trước Mối liên hệ mô tả hệ thức: xn+1 = f (xn , n), n ∈ N Ngồi ra, mơ hình tốn lý thuyết phương trình sai phân ứng dụng vật lý, sinh học kĩ thuật Chẳng hạn thể mối tương tác nguyên tử phân tử, hay neuron thần kinh, hay mối quan hệ máy tính hệ thống mạng Với lí với gợi ý TS Lê Hải Trung, ta chọn đề tài: “Một số mơ hình sai phân kinh tế khoa học kỹ thuật” cho luận văn tốt nghiệp 2 Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu đề tài nghiên cứu số mơ hình sai phân kinh tế khoa học kỹ thuật Để đạt mục tiêu đề tài nghiên cứu nội dung sau: Để đạt mục tiêu đề tài nghiên cứu nội dung sau: Những mơ hình phương trình sai phân - Cơ sở ứng dụng phương trình sai phân - Hệ phương trình sai phân ứng dụng - Nội dung đề tài dự định chia thành chương: Chương Kiến thức sở Chương Một số mơ hình sai phân kinh tế khoa học kỹ thuật Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu 3.1 Các mơ hình tốn kinh tế kỹ thuật sử dụng phương trình sai phân 3.2 Phạm vi nghiên cứu: Mơ hình kinh tế kỹ thuật phương trình sai phân ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Thu thập tài liệu sưu tầm được, sách có liên quan đến đề tài luận văn Trong luận văn có sử dụng kiến thức liên quan đến lĩnh vực: Giải tích hàm biến thực, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình vi phân thường Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết ứng dụng Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán đối tượng quan tâm Cấu trúc luận văn Trong luận văn này, ta trình bày kiến thức sở phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân số mơ hình tốn lý thuyết phương trình vi phân Nội dung luận văn trình bày hai chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận Kiến nghị, Tài liệu tham khảo Chương trình bày kiến thức sở, bao gồm tiểu mục: Mục 1.1- Mơ hình tốn học bước xây dựng mơ hình tốn học; Mục 1.2Một số khái niệm sai phân; Mục 1.3- Phương trình sai phân cấp một; Mục 1.4- Phương trình sai phân cấp hai Mục 1.5- Một số phương trình sai phân phi tuyến; Mục 1.6- Hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương trình bày số mơ hình sai phân kinh tế khoa hoc kỹ thuật, bao gồm tiểu mục: Mục 2.1- Một số mơ hình phân tích kinh tế; Mục 2.2- Mơ hình dân số liên tục; Mục 2.3- Một số mơ hình sai phân khoa học kỹ thuật 54 60i + ∂ψ ∂i = 24 ⇔ 60i + (1.75 − 8.4i2 ).i = 24 ∂i ∂t - Sai phân hóa phương trình mạch: (24 − 60ik h) ik+1 − ik = 24 ⇔ ik+1 = + ik 60ik + (1, 75 − 8.4i2k ) h 1.75 − 8.4i2k - Tính bước sai phân: Xét phương trình tuyến tính suy biến: 1.75i + 60i = 24 ⇒ 1.75p + 60 = ⇔ p = −34.3 ⇒τ = = 0.03s |p| ⇒ h = 3τ ≈ 10ms 10 24 - Nghiệm xác lập: ixl = = 0, 4A 60 - Bảng kết quả: Ví dụ 2.3.4 Cho mạch điện, biết R1 = 30Ω, R2 = 40Ω, C = 100µF, E = 40V , cuộn dây phi tuyến có đặc tính ψ(i) = 1.75i − 2.8i3 Tính 10 giá trị dòng điện độ tụ C (cho h = 10ms) 55 Hình Sơ đồ mạch điện Lời giải Biến đổi mạch: R12 = R1 R2 E = 17.14Ω; E12 = R2 = 22.86V R1 + R2 R1 + R2 - Lập phương trình mạch: uR12 + uL + uC = E12 1 di ∂ψ di + idt = R12 i + (1.75 − 8.4i2 ) + ⇒ R12 i + ∂i dt C dt C idt = E12 - Đạo hàm hai vế phương trình: i =0 C i ⇒ 17.14i − 1.68i.(i )2 + (1.75 − 8.4i2 )i” + −4 = 10 R12 i − 1.68i.(i )2 + (1, 75 − 8.4i2 )i” + - Sai phân hóa: ik+1 − ik ik+1 − ik − 1, 68ik ( ) h h ik+2 − 2ik+1 + ik ik +(1, 75 − 8, 4i2k ) + =0 h2 10−4 h2 ik + 17.14.10−4 h(ik+1 − ik ) − 16.8.10−4 ik (ik+1 − ik )2 = 2ik+1 −ik − 10−4 (1.75 − 8.4i2k ) 17, 14 ⇒ ik+2 - Tính sơ kiện: i0 = i(0) = 0; uC (0) = 0; i1 − i(0) i (0) ≈ ⇒ i1 = i(0) + hi (0) h Phương trình mạch chế độ mới: R12 i + (1.75 − 8.4i2 )i (t) + uC (t) = E12 ⇒ 17.14i(0) + [1.75 − 8.4i2 (0)]i (0) + uC (0) = 22.86 ⇒ i (0) = 13, 06(A/s) ⇒ i1 = i(0) + hi (0) = 13.06h - Phương trình sai phân: h2 ik + 17.14.10−4 h(ik+1 − ik ) − 16.8.10−4 ik (ik+1 − ik )2 ⇒ ik+2 = 2ik+1 −ik − , 10−4 (1.75 − 8.4i2k ) 56 i0 = 0; i1 = 13.06h - Bảng kết quả: 2.3.3 Xử lý tín hiệu số Phương trình sai phân hệ số biến đổi Về mặt tín hiệu, hệ thống tuyến tính (HTTT) mơ tả phương trình sai phân có dạng: N M ak (n)y(n − k) = br (n)x(n − r), (2.87) r=0 k=0 N M ak (n)y(n − k) = a0 (n)y0 (n) + r=0 k=1 M y(n) = r=0 br (n)x(n − r), N br (n) ak (n) x(n − r) − y(n − k) a0 (n) a (n) k=1 (2.88) ∞ y(n) = x(k)hk (n) k=−∞ ak (n), br (n) hệ số phương trình đặc trưng hồn tồn cho hệ thống tuyến tính, thay cho đáp ứng xung Phương trình sai phân hệ số Một hệ thống tuyến tính bất biến mặt tốn học mơ tả phương trình sai phân tuyến tính hệ số dạng tổng quát sau đây: N M ak y(n − k) = br x(n − r), (2.89) r=0 k=0 ak , br hệ số hằng, N bậc phương trình M y(n) = r=0 N br ak x(n − r) − y(n − k) a0 a k=1 (2.90) 57 a0 = M N ak y(n − k), br x(n − r) − y(n) = r=0 (2.91) k=1 ak , br đặc trưng cho hệ thống, thay cho đáp ứng xung Đáp ứng y(n) xác định phương trình sai phân tương đương với đáp ứng xác định theo phép chập: ∞ x(k)h(n − k), y(n) = x(n) ∗ h(n) = (2.92) k=−∞ đáp ứng xung h(n) đặc trưng cho hệ thống Lưu ý: Nếu đầu vào xung đơn vị δ(n) đầu ta có đáp ứng xung h(n) 2.3.4 Điều chế liều lượng thuốc Giả sử liều D0 loại thuốc, làm tăng nồng độ thể bệnh nhân lên C0 , sử dụng khoảng thời gian đặn t = 0; T ; 2T ; 3T, Giữa lần tiêm, nồng độ c thuốc giảm theo phương trình vi phân c = −γc, với γ số dương Ở thuận tiện thay đổi chút quy ước ký hiệu biểu thị cn nồng độ thuốc sau lần tiêm thứ n, tức là, c0 nồng độ sau lần tiêm ban đầu (thứ 0), c1 nồng độ sau lần tiêm đầu tiên, nghĩa là, thời điểm T, v.v Chúng ta đưa công thức cho cn xác định xem liệu nồng độ thuốc cuối ổn định Trong ví dụ này, có kết hợp hai q trình: liên tục lần tiêm rời rạc thời gian tiêm Đầu tiên, nhận thấy trình khơng liên tục thời điểm tiêm có hai giá trị khác cho c(nT ): trước tiêm sau tiêm (giả sử tiêm thực lập tức) Để tránh mơ hồ, biểu thị c(nT ) nồng độ trước lần tiêm thứ n cn nồng độ sau đó, phù hợp với ký hiệu giới thiệu Vì vậy, lần 58 tiêm thứ n thứ n + nồng độ thay đổi theo luật hàm số mũ c((n + 1)T ) = cn e−γT để qua khoảng thời gian lần tiêm, nồng độ giảm phần không đổi a = e−γT Do đó, viết phương trình sai phân cho nồng độ sau lần tiêm n + lần sau cn+1 = acn + c0 (2.93) c0 liều lượng lần tiêm Chúng ta giải cách sử dụng (1.26)như sau: c0 n+1 c0 an − =− a + a−1 1−a 1−a c0 = Từ a < 1, nhận c¯ = lim cn = n→∞ 1−a c0 − e−γT Tương tự, nồng độ trước tiêm lần thứ n là: cn = c0 an + c0 c0 c0 −γT n ) e + e−γT − 1 − e−γT c0 c0 e−γT n + γT γT 1−e e −1 c0 c = lim c(nT ) = γT n→∞ e −1 Ví dụ: Với c0 = 14mg/l, γ = 1/6, T = 6h thấy sau loạt tiêm dài, nồng độ tối đa đạt sau tiêm ổn định xung quanh 22mg/l Nồng độ tối thiểu trước tiêm ổn định xung quanh c = 14/e − ≈ 8.14mg/l c(nT ) = cn−1 e−γT = e−γT ( 59 KẾT LUẬN Từ nhận thức thân sở thực tiễn chọn đề tài biện pháp triển khai đề tài, ta thấy đạt số kết cụ thể sau: Trình bày cách tỉ mỉ tương đối đầy đủ kiến thức sở phương trình sai phân cấp một, phương trình sai phân cấp hai hệ phương trình sai phân Sử dụng tính chất phương trình sai phân để xây dựng số mơ hình thực tế Mơ hình lãi kép liên tục; Mơ hình dân số liên tục; Sau xây dựng mơ hình thơng qua phương trình sai phân, dùng kiến thức phương trình sai phân để giải mơ hình Nghiệm thu phương trình cho phép dự báo, tiên đốn, phân tích chất mơ hình Trong q trình thực luận văn, tác giả cố gắng, nhiên khó tránh khỏi số thiếu sót cách hành văn, việc hoàn thành luận văn Tác giả mong q thầy đóng góp để luận văn hoàn thiện 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Đình Thịnh , Lê Đình Định (2005), Các phương pháp sai phân, Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [2] Lê Đình Thịnh (2011), Bài tập phương trình sai phân, Nhà xuất Giáo dục [3] Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [4] Lê Hải Trung (2019), Giáo trình phương trình vi phân – sai phân, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Nhà xuất Thông tin Truyền thông [5] Nguyễn Việt Sơn (2010), Cơ sở kỹ thuật điện , Đại học Bách khoa Hà Nội Tiếng Anh [6] J.Banasiak (2013), Difference And Differential Equations In Mathematical Modelling [7] Miraliubov A.A (1981), Pure Linear Differential Equations, Moscow ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Một số mô hình sai phân kinh tế khoa học kỹ thuật Ngành: Tốn giải tích Lớp K39.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số 2039 /QĐ-ĐHSP ngày 28 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: STT HỌ VÀ TÊN CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Phan Đức Tuấn Chủ tịch TS Chử Văn Tiệp Thư ký TS Nguyễn Thị Thùy Dương Phản biện PGS.TS Kiều Phương Chi Phản biện TS Nguyễn Đức Hiền a Thành viên có mặt: 05 Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Đề nghị Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng công nhận kết bảo vệ cấp thạc sỹ chuyên ngành Tốn Giải tích cho học viên b) u cầu chỉnh, sửa nội dung: Chỉnh sửa theo góp ý hội đồng Đặc biệt theo ý kiến hai phản biện trích dẫn, cơng thức, số, dấu chấm câu, tài liệu tham khảo Cần gửi lại cho giáo viên hướng dẫn phản biện kiểm tra trước nộp cho nhà trường c) Các ý kiến khác: Không d) Điểm đánh giá: Bằng số: _8.6 Bằng chữ: _Tám phẩy sáu _ 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TS Phan Đức Tuấn TS Chử Văn Tiệp CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc - - BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Một số mô hình sai phân kinh tế khoa học kỹ thuật Chun ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8.46.01.02 Họ tên học viên: Lê Thị Diệu Thảo Người nhận xét: TS Nguyễn Thị Thùy Dương Đơn vị công tác: Trường Đại học Sư phạm – ĐH ĐN NỘI DUNG NHẬN XÉT Học viên hoàn thành luận văn theo đề cương duyệt Tính cấp thiết đề tài: Mơ hình tốn học hình thức sử dụng ngơn ngữ tốn học để hệ thống đối tượng ngành khoa học tự nhiên chuyên ngành kỹ thuật kinh tế Các mơ hình đưa mơ tả vấn đề thực tế biểu thị dạng phương trình sai phân Tác giả chọn đề tài “Một số mơ hình sai phân kinh tế khoa học kỹ thuật” Nội dung đề tài luận văn mang tính thời nhiều người quan tâm nghiên cứu Cơ sở khoa học thực tiễn: Luận văn tổng hợp từ tài liệu khoa học đáng tin cậy làm tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học độc giả quan tâm Phương pháp nghiện cứu: nghiên cứu lý thuyết ứng dụng Kết nghiên cứu: Tổng quan kết trước Tác giả hệ thống lại kiến thức sở lí thuyết phương trình sai phân; đưa số mơ hình kinh tế, lý thuyết dân số, khoa học kỹ thuật Hình thức luận văn: Luận văn biên soạn Latex dài 60 trang, gồm chương: Chương I: Kiến thức sở Chương II: Một số mơ hình sai phân kinh tế khoa học kỹ thuật Trong luận văn lỗi chế Tuy nhiên, vài lỗi nhỏ cần chỉnh sửa: ví dụ 2.3.5 thừa, giải nghiệm phương trình sai phân cấp hệ số Tài liệu tham khảo mục tiếng Anh ghi sách tiếng Việt, mơ hình cần ghi nguồn trích dẫn cần rà soát chỉnh sửa số lỗi tả, ví dụ dạng nghiệm trang 57… Đánh giá chung: Tôi đồng ý cho học viên bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Đà Nẵng, ngày 21 tháng 11 năm 2021 Người nhận xét TS Nguyễn Thị Thùy Dương ... 27 2.1 Một số mơ hình phân tích kinh tế 27 2.2 Một số mơ hình sai phân lý thuyết dân số 31 2.3 Một số mơ hình sai phân khoa học kỹ thuật 50... Uk+s (n, Vk+s (n)) đa thức hệ số biến t bậc không vượt k +s 27 CHƯƠNG MỘT SỐ MƠ HÌNH SAI PHÂN TRONG KINH TẾ VÀ KHOA HỌC KỸ THUẬT 2.1 Một số mô hình phân tích kinh tế 2.1.1 Lãi kép hoàn trả khoản... trình sai phân tuyến tính Chương trình bày số mơ hình sai phân kinh tế khoa hoc kỹ thuật, bao gồm tiểu mục: Mục 2.1- Một số mơ hình phân tích kinh tế; Mục 2.2- Mơ hình dân số liên tục; Mục 2.3- Một