2.1.1. Lãi kép và hoàn trả khoản vay
Lãi kép liên quan đến các khoản cho vay hoặc tiền gửi trong thời gian dài. Tiền lãi được cộng vào tiền ban đầu theo các khoảng thời gian đều đặn, được gọi là thời gian chuyển động và số tiền mới, thay vì số tiền ban đầu, được sử dụng để tính lãi cho thời kỳ chuyển đổi tiếp theo. Phần của một năm bị chiếm bởi thời gian chuyển đổi được ký hiệu là α, chu kỳ chuyển đổi là một tháng được cho bởi α = 1
12. Thay vì nói rằng thời gian chuyển đổi là một tháng, chúng ta nói rằng tiền lãi được gộp hàng tháng. Đối với lãi suất hằng năm là ρ% và thời gian chuyển đổi bằng α, tiền lãi trong kỳ bằng αρ% của số tiền gửi vào đầu kỳ. Đó là:
số tiền gửi sau k+1 khoảng thời gian chuyển đổi = số tiền gửi sau k khoảng thời gian chuyển đổi + (αρ 100) số tiền gửi sau k khoảng thời gian chuyển đổi . (2.1) Để biểu thị điều này dưới dạng phương trình sai phân, chúng ta đặt S(k) biểu thị số tiền ký gửi sau k thời gian chuyển đổi. Như vậy:
S(k+ 1) = S(k) + αρ
100S(k) = S(k)(1 + αρ
100) (2.2)
là một phương trình sai phân cấp một đơn giản (nghĩa là chỉ biểu thị tương quan của các giá trị liên tiếp của dãy chưa biết). Ở đây, S(k) tuân theo cấp số nhân để:
S(k) = (1 + αρ 100)
k
S0 (2.3)
năm, thì k = t
α; trong đó t là thời gian để tính trong năm. Khi đó (2.3)có dạng:
S(k) = (1 + αρ 100)
t/αS0. (2.4)
Đầu tiên chúng ta lưu ý rằng trong (2.4), với S0 = 1 S(1) = (1 + αρ 100) 1/α = 1 + ρ 100 +... > 1 + ρ 100 (2.5)
nên nếu lãi kép nhiều lần trong năm thì mức tăng tiết kiệm là lớn hơn nếu nó được gộp hằng năm. Đây là cơ sở để xác định lãi suất thực tế ref f (liên quan đến thời gian chuyển đổi), cụ thể là:
1 +ref f = (1 + αρ 100)
1/α, (2.6)
nghĩa là, ref f là lãi suất được cộng gộp hằng năm, sẽ mang lại lợi nhuận tương tự như lãi suất ρ tính theo thời gian chuyển đổi α.
Một chút sửa đổi đối số trên có thể được sử dụng để tìm phương trình chi phối việc hoàn trả khoản vay. Mô hình được mô tả ở đây thường được sử dụng để trả các khoản vay mua nhà hoặc ô tô. Việc trả nợ được thực hiện đều đặn và thường với số lượng bằng nhau để giảm khoản vay và trả lãi cho số tiền còn nợ. Người ta cho rằng lãi kép ở mức ρ% được tính trên khoản nợ chưa thanh toán với thời gian chuyển đổi bằng cùng một phần α của năm với khoảng thời gian giữa các lần trả nợ. Giữa các lần thanh toán, khoản nợ tăng lên là do tiền lãi tính cho khoản nợ vẫn còn tồn đọng sau lần trả nợ cuối cùng. Vì thế: số nợ sau k+1 lần thanh toán = số nợ sau k lần thanh toán + lãi suất trên khoản nợ vay − số tiền đã thanh toán . (2.7) Để viết điều này dưới dạng một phương trình sai phân, đặt D0 là khoản nợ ban đầu phải trả, với mỗi k khoản nợ chưa thanh toán sau lần hoàn trả thứ k của Dk , và đặt khoản thanh toán sau mỗi kỳ chuyển đổi là R. Do đó:
Dk+1 = Dk + αρ
100Dk −R = Dk(1 + αρ
100)−R. (2.8) Chúng ta lưu ý rằng nếu khoản trả góp được trả ngay từ đầu của khoảng
thời gian chuyển đổi, phương trình sẽ có dạng hơi khác: Dk+1 = Dk −R+ αρ
100(Dk −R) = (Dk −R)(1 + αρ
100). (2.9) Lý do của sự thay đổi là tiền lãi được tính từ khoản nợ đã giảm theo khoản nợ thanh toán R được thực hiện vào đầu kỳ chuyển đổi. Áp dụng công thức (1.26) chúng ta giải được: D(k) =(1 +r)kD0 −R k−1 X i=0 (1 +r)k−i−1 =(1 +r)kD0 −((1 +r)k −1)R n.
Phương trình này đưa ra câu trả lời cho một số câu hỏi liên quan đến việc vay tiền. Ví dụ: Nếu chúng ta muốn biết khoản trả góp hàng tháng đối với một khoản vay D0 được hoàn trả trong n lần thanh toán, chúng ta quan sát thấy rằng khoản vay đó là được hoàn trả trong n đợt nếu D(n) = 0. Điều này dẫn đến chúng ta phải giải phương trình:
0 = (1 +r)kD0 −((1 +r)k −1)R n khi đó:
R = rD0
1−(1 +r)−n.
Ví dụ, thế chấp 200000 đô la để được trả góp hàng tháng trong 20 năm với lãi suất hàng năm là 13%, chúng ta nhận được α = 1/12, r = 0.0108 và n= 20×12 = 240. Khi đó:
R = 0.0108×200000
1−(1.0108)−240 ≈ 2167đô la. 2.1.2. Cân bằng Walras
Chúng ta nghiên cứu việc định giá một loại hàng hóa nhất định. Theo Walras giá thị trường là giá cân bằng; nghĩa là, nó là giá mà tại đó cầu (nhu cầu) D đối với hàng hóa này bằng cung (cung cấp) S của nó. Gọi p(n) biểu thị giá trong khoảng thời gian n. Các giả thiết D(n) =f(p(n)) trong đó f là hàm giảm và S(n) = g(p(n− 1)), trong đó g là một hàm tăng. Thực tế là S phụ thuộc vào p(n−1) và D phụ thuộc vào p(n) là do người sản xuất cần một thời gian để phản ứng với sự thay đổi giá trong khi người tiêu dùng phản ứng gần như ngay lập tức. Do đó, theo giả thuyết
cân bằng:
f(p(n)) = g(p(n−1)), (2.10) đó là phương trình cấp một phi tuyến tính. Nếuf giảm dần và các khoảng của f và g là như nhau thì phương trình này có thể được giải cho p(n) như sau:
p(n) =f−1(g(p(n−1))). (2.11) Tuy nhiên, để tiếp tục chúng ta phải thực hiện thêm một số điều kiện cho các hàm f và g. Các hàm đơn giản nhất có thể được lựa chọn là:
f(p(n)) = −mdp(n) +bd, g(p(n−1)) = msp(n−1) +bs, (2.12) trong đó md, ms, bd > 0, bs ≥ 0 là các hằng số. Hệ số md và ms lần lượt được gọi là độ nhạy cảm của người tiêu dùng và nhà cung cấp đối với giá cả. Từ những giả thiết trên thì phương trình (2.11) có thể được viết dưới dạng phương trình tuyến tính như sau:
p(n) = −ms
mdp(n−1) + bd−bs
md . (2.13)
Sau khi giải phương trình trên ta được nghiệm: p(n) = n Y 0 −ms md[C + n X 0 bd−bs md .( n Y 0 (−ms md) −1].
2.1.3. Mô hình thu nhập quốc dân của Keynes
Trong nền kinh tế thị trường, thu nhập quốc dân Y(n) của một cộng đồng trong một thời gian nhất định n có thể được viết là:
Y(n) = C(n) + I(n) +G(n), (2.14) trong đó:
Y(n) là chi tiêu của người tiêu dùng để mua hàng hóa thông thường; C(n) là khoản đầu tư tư nhân để mua trang thiết bị vốn;
G(n) là chi tiêu của chính phủ.
Có nhiều mô hình khác nhau cho các đại lượng trên. Chúng ta sử dụng các giả định được chấp nhận rộng rãi do Samuelson đưa ra. Việc tiêu thụ thỏa mãn quan hệ sau đây:
đó là chi tiêu của người tiêu dùng tỷ lệ thuận với chi tiêu trong năm trước đó. Đương nhiên là 0 < α < 1. Khoản đầu tư thỏa mãn
I(n) = β(C(n)−C(n−1)), (2.16) do đó đầu tư tư nhân được tạo ra bởi sự gia tăng tiêu dùng chứ không phải bởi chính tiêu dùng. Hằng số β dương là tăng tốc tiêu thụ dẫn đến đầu tư tăng lên trong khi giảm tốc làm giảm giá trị của nó. Cuối cùng, giả định rằng chi tiêu của chính phủ không đổi qua các năm và chúng ta chỉnh lại các biến để
G(n) = 1 (2.17) Đặt (2.15) vào (2.16) dẫn đến:
I(n) =αβ(Y(n−1)−Y(n−2)). (2.18) Do đó (2.14) có thể được viết dưới dạng phương trình sai phân tuyến tính cấp hai như sau:
Y(n+ 2)−α(1 +β)Y(n+ 1) +αβY(n) = 1. (2.19) Giả sử α = 0.5, β = 2 thì ta giải phương trình có được nghiệm:
Y(n) = C1(7 + √ 33 4 ) n +C2(7−√33 4 ) n + 1. 2.2. Một số mô hình sai phân trong lý thuyết dân số
Phương trình cho mô hình dân số không có cấu trúc
Trong nhiều lĩnh vực của đời sống con người, điều quan trọng là phải biết dân số phát triển như thế nào và các yếu tố ảnh hưởng đến sự phát triển của họ. Kiến thức này rất quan trọng trong các nghiên cứu về sự phát triển của vi khuẩn, quản lý động vật hoang dã, sinh thái và thu hoạch. Nhiều loài động vật có xu hướng sinh sản trong thời gian ngắn, được xác định rõ theo mùa. Sau đó, điều tự nhiên là dân số thay đổi từ mùa này sang mùa khác và do đó thời gian được đo lường một cách riêng biệt với các số nguyên dương biểu thị mùa sinh sản. Do đó, cách tiếp cận rõ ràng để mô tả sự tăng trưởng của một quần thể như vậy là viết ra một phương trình vi phân phù hợp. Sau đó, chúng ta cũng sẽ xem xét các quần thể sinh sản liên tục (ví dụ: dân số con người). Chúng ta bắt đầu với các mô
hình dân số rất đơn giản và thảo luận về một số biến thể thực tế đơn giản hơn của chúng.
2.2.1. Tăng trưởng theo cấp số nhân - phương trình sai phân tuyến tính cấp một
Chúng ta bắt đầu với các loài côn trùng (được gọi là semelparous). Côn trùng thường có các thế hệ không chồng chéo hàng năm được xác định rõ ràng - con trưởng thành đẻ trứng vào mùa xuân/ mùa hè và sau đó chết. Trứng nở thành ấu trùng ăn và phát triển, sau đó qua mùa đông trong giai đoạn nhộng. Những con trưởng thành xuất hiện từ nhộng vào mùa xuân. Chúng ta thực hiện cuộc điều tra dân số của những con trưởng thành trong các mùa sinh sản. Sau đó, tự nhiên mô tả dân số là một chuỗi các số:
N0, N1, ..., Nk, (2.20)
trong đó Nk là số con trưởng thành trong đàn sinh sản thứ k.
Giả thiết đơn giản nhất để đưa ra là sự có phụ thuộc theo chức năng giữa các thế hệ tiếp theo:
Nn+1 = f(Nn), n = 0,1, ... (2.21) Chúng ta sẽ giới thiệu về R0, số trứng trung bình của một con trưởng thành. R0 được gọi là tỷ lệ tái sản xuất cơ bản hoặc tỷ lệ tăng trưởng nội tại. Sự phụ thuộc hàm đơn giản nhất trong (2.21) là:
Nn+1 = R0Nn, n = 0,1, ... (2.22) mô tả tình trạng rằng quy mô của quần thể chỉ được xác định bởi mức sinh sản của nó. Phương trình mũ (hay Malthusian) (2.22) có phạm vi ứng dụng lớn hơn nhiều. Nói chung, trong lý thuyết dân số, các thế hệ có thể trùng nhau. Nhìn vào các quần thể lớn, trong đó các cá thể sinh ra con mới nhưng cũng chết sau một thời gian, chúng ta có thể coi quần thể như một tổng thể và giả định rằng sự tăng trưởng của quần thể bị chi phối bởi hành vi trung bình của các cá thể thành viên. Như vậy, chúng ta đưa ra các giả thuyết sau:
Mỗi thành viên đều có cơ hội chết (hoặc sống) như nhau trước mùa sinh sản tiếp theo;
Tỷ lệ con cái so với con đực không đổi trong mỗi mùa sinh sản; Có thể bỏ qua sự khác biệt về tuổi giữa các thành viên trong quần thể;
Dân cư bị cô lập - không có di dân hoặc di cư;
Giả sử rằng trung bình mỗi thành viên của quần thể sinh ra một số con giống nhau là β vào mỗi mùa. Hằng số β được gọi là tỷ lệ sinh bình quân. Chúng ta cũng định nghĩa µ là xác suất mà một cá thể sẽ chết trước mùa sinh sản tiếp theo và gọi nó là tỷ lệ tử vong bình quân. Như vậy:
(a) Số lượng cá thể được sinh ra trong một mùa sinh sản cụ thể tỷ lệ thuận với quần thể đầu mùa sinh sản cụ thể.
(b) Số lượng cá thể bị chết trong khoảng thời gian giữa những lần kết thúc các mùa sinh sản liên tiếp tỷ lệ thuận với quần thể khi bắt đầu mùa sinh sản.
Ký hiệu Nk là số cá thể của quần thể ở đầu mùa sinh sản thứ k, ta thu được:
Nk+1 = Nk −µNk +βNk, (2.23) hay
Nk+1 = (1 +β −µ)Nk. (2.24) Phương trình này rút gọn thành (2.22) bằng cách đặt µ= 1 (nghĩa là toàn bộ quần thể trưởng thành chết) và β = R0.
Phương trình (2.22) có thể được giải dễ dàng:
Nk = Rk0N0, k = 0,1,2, ... (2.25) Chúng ta thấy rằng hành vi của mô hình phụ thuộc vào R0. Nếu R0 < 1, thì quần thể giảm dần theo hướng tuyệt chủng, nhưng với R0 > 1 thì nó tăng trưởng vô thời hạn. Một hành vi như vậy trong một thời gian dài không được quan sát thấy ở bất kỳ quần thể nào do đó chúng ta thấy rằng mô hình đã được đơn giản hóa quá mức và cần phải điều chỉnh.
Các mô hình dẫn đến các phương trình sai phân phi tuyến Trong một quần thể thực, một số con củaR0 được sinh ra bởi mỗi người trường thành sẽ không được tính là trẻ em trong cuộc điều tra dân số tiếp theo. Nếu chúng ta ký hiệu bằng S(N) tỷ lệ sống sót; khi đó phương trình
Malthus được thay thế bằng:
Nk+1 = R0S(Nk)Nk, k = 0,1,2, ... (2.26) có thể được viết theo cách khác là:
Nk+1 = F(Nk)Nk = f(Nk), k = 0,1,2, ... (2.27) Trong đó F(N) là sản lượng bình quân của một quần thể cỡ N. Các mô hình như vậy, với tốc độ tăng trưởng phụ thuộc vào mật độ, dẫn đến các phương trình phi tuyến tính.
Ta xem xét một vài các phương trình phi tuyến điển hình sau đây: 2.2.2. Các mô hình Beverton - Hort
Chúng ta xét mô hình (2.27)
Nk+1 = F(Nk)Nk, k = 0,1,2, ... (2.28) với F(Nk) = R0S(Nk). Chúng ta muốn mô hình hiển thị một hành vi bù đắp; nghĩa là tỷ lệ tử vong phải cân bằng với sự gia tăng số lượng. Ở đây, N S(N) là một hằng số. Ngoài ra, đối với N nhỏ, S(N) sẽ gần bằng 1 vì chúng ta kỳ vọng sự cạnh tranh trong loài rất nhỏ và do đó tốc độ tăng trưởng loài phải theo cấp số nhân với tốc độ tăng trưởng R0. Một hàm cơ bản của dạng này là: S(N) = 1 1 +aN (2.29) dẫn đến: Nk+1 = R0Nk 1 +aNk . (2.30)
Chúng ta đưa ra khái niệm về ngưỡng dân số K, nghĩa là nếu dân số đạt đến ngưỡng K thì sẽ dừng lại ở đó. Kho đó, Nk = K với k nào đó thì Nk+m = K với mọi m > 0 thì:
K(1 +aK) =R0K (2.31)
Beverton−Holt và có dạng:
Nk+1 = R0Nk 1 + R0−1
k Nk. (2.32)
Như chúng ta đã nói ở trên, mô hình này là bù đắp.
Tổng quát của mô hình này được gọi là mô hình Hassell hoặc là mô hình Beverton−Holt và
Nk+1 = R0Nk
(1 +aNk)b. (2.33)
Thay xk = aNk để giảm số lượng tham số ta được xk+1 = R0xk
(1 +xk)b (2.34)
sẽ được phân tích sau.
2.2.3. Phương trình logistic
Các mô hình Beverton−Holtđược áp dụng tốt nhất cho các quần thể côn trùng semelparous nhưng cũng được sử dụng đối với cá. Đối với các quần thể sống sót đến chu kỳ tiếp theo, sẽ có nhiều thông tin hơn khi viết phương trình sai phân dưới dạng:
Nk+1 = Nk +R(Nk)Nk, (2.35) sao cho sự gia tăng cá thể được cho bởi R(N) = R0S(N)N. Ở đây chúng ta giả định rằng không có con trưởng thành nào chết (cái chết có thể được kết hợp bằng cách đưa hệ số d < 1 vào trước chữ Nk đầu tiên hoặc sửa đổi S(N) sẽ dẫn đến phương trình có cùng dạng).
Như trước đây, hàm R có thể có các dạng khác nhau nhưng phải thỏa mãn các yêu cầu:
(a) Do quá đông, R(N) phải giảm khi R tăng cho đến khi N bằng ngưỡng dân số K thì R(K) = 0, và như trên N = K thì ngừng thay đổi.
(b) Vì N nhỏ hơn nhiều so với K nên có sự cạnh tranh nhỏ giữa các loài, chúng ta nên quan sát sự tăng trưởng theo cấp số nhân của quần thể sao cho R(N) ≈ R0 khi N → 0, thì R0 gọi là tốc độ tăng trưởng không hạn chế của quần thể. Các hằng số R0 và K thường được xác định bằng thực nghiệm.
Theo trình tự các bước mô phỏng của mô hình toán học, chúng ta sẽ