Marketing nhà hàng - khách sạn Chương IV
Trang 1CHƯƠNG IV
ĐỘNG LỰC HỌC LƯU CHẤT
Mục đích của động lực học lưu chất là nghiên cứu lực tác dụng trong môi trường lưu chất và những quy luật về tương tác lực giữa môi trường lưu chất chuyển động với các vật rắn
Trước tiên người ta nghiên cứu với chất lỏng lý tưởng : giả thiết này cho phép
bỏ qua tổn thất năng lượng do ma sát nhớt khi lưu chất chuyển động Các kết quả tìm được sẽ là cơ sở cho việc nghiên cứu những trường hợp phức tạp khi có tính đến tính nhớt của lưu chất thực
4.1 Phương trình vi phân chuyển động
4.1.1 Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất lý tưởng không nén được (dạng Euler)
Trong chương tĩnh học lưu chất, từ điều kiện cân bằng của một phần tử lưu chất dưới tác dụng của ngoại lực, ta đã có phương trình Euler thủy tĩnh viết cho một đơn
vị khối lượng lưu chất như sau :
F – 1 ρ
gradρ = 0
Khi lưu chất chuyển động, theo nguyên lý D’Alambe, tổng các lực tác dụng lên phần tử lưu chất sẽ cân bằng với lực quán tính, do đó nếu thêm vào vế phải của phương trình trên lực quán tính của một đơn vị khối lượng lưu chất sẽ nhận được phương trình vi phân chuyển động của lưu chất lý tưởng không nén được dạng Euler (còn gọi là phương trình Euler thủy động)
F – 1 ρ
gradρ =
d u
dt (4-1) Chiếu phương trình vectơ (4-1) lên các trục tọa độ, ta được :
Fx – 1
p
= dux
dt
Fy – 1
p
= duy
dt (4-2)
Fz – 1
p
= duz
dt
Trang 2Khi u = 0 hoặc với chuyển động đều u = const thì phương trình Euler thủy động
sẽ trở về dạng phương trình Euler thủy tĩnh
Hệ phương trình trên có 4 ẩn số : p, ux, uy, uz Để giải được ta phải kết hợp với phương trình vi phân liên tục của lưu chất không nén được : div
u = 0
4.1.2 Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất lý tưởng viết dưới dạng Gromeko
Phương trình (4-2) viết dưới dạng triển khai :
Fx – 1
p
=
t
u x
+ ux
x
u x
+ uy
y
u x
+ uz
z
u x
Fy – 1
p
=
t
u y
+ ux
x
u y
+ uy
y
u y
+ uz
z
u y
(4-3)
Fz – 1
p
=
t
u z
+ ux
x
u z
+ uy
y
u z
+ uz
z
u z
Việc biến đổi phương trình vi phân chuyển động Euler dưới dạng triển khai (4-3) sao cho xuất hiện yếu tố chuyển động quay là sự cống hiến của Gromeko
Từ (4-3) viết lại phương trình đầu tiên :
Fx – 1
ρ x
p
=
t
u x
+ ux
x
u x
+ uy
y
u x
+ uz
z
u x
Ta có đạo hàm riêng của u
2
2g theo trục x là :
x
u
2
2
=
x
2
u u
ux2 y2 z2
= ux
x
ux
+ uy
x
u y
+ uz
x
u z
Trừ hai phương trình trên cho nhau, ta được :
Fx – 1
ρ x
p
–
x
u
2
2
=
=
t
u x
+ ux
x
u x
+ uy
y
u x
+ uz
z
u x
– ux
x
u x
– uy
x
u y
– uz
x
u z
=
t
u x
+ uz
z
u x
–
x
u z
– uy
x
u y
-
y
u x
Trang 3Fx – 1
ρ x
p
=
t
u x
+
x
u
2
2
+ 2(uzωy – uyωz) Đồng thời theo phương y và phương z ta có :
Fy – 1
ρ y
p
=
t
u y
+
y
u2
2
+ 2(uxωz – uzωx) (4-4)
Fz – 1
ρ z
p
=
t
u z
+
z
u
2
2
+ 2(uyωx – uxωy)
Hệ phương trình trên viết dưới dạng véc tơ thành :
F – 1
ρ
grad p =
∂u
∂t +
grad
u2
2 + rot
u x
u (4-5)
Đó là phương trình Gromeko Đây là dạng triển khai cho thấy cụ thể hơn rằng phương trình Euler ứng dụng được cho chuyển động dừng, không dừng, cho chuyển động xoáy và chuyển động thế (không xoáy) Nếu thành phần quay bằng không thì phương trình trở thành dùng riêng cho chuyển động thế
4.1.3 Phương trình vi phân chuyển động của lưu chất thực (phương trình Navier – Stokes)
Từ phương trình Euler thủy động, đưa vào ảnh hưởng của lực nhớt, Navier và Stokes đã đưa phương trình vi phân chuyển động của lưu chất thực
a.Đối với chất khí
Fx – 1
p
+ vΔux + v
3 x
divu = dux
dt
Fy – 1
ρ y
p
+ vΔuy + v
3 y
divu = duy
dt (4-6)
Fz – 1
ρ z
p
+ vΔuz + v
3 z
divu = duz
dt
F – 1
ρ
grad p + v ∆
v + v 3
grad div
u =
d u
dt (4-7)
Δ : Toán tử Laplace Δ =
x
2 2
+
y
2 2
+
z
2 2
b Đối với lưu chất không nén được
Trang 4Fx – 1
ρ x
p
+ vΔux = dux
dt
Fy – 1
ρ y
p
+ vΔuy = duy
dt (4-8)
Fz – 1
p
+ vΔuz = duz
dt
F – 1
ρ
grad p + v ∆
v =
d u
dt (4-9)
Việc giải hệ phương trình Navier- Stokes vô cùng phức tạp Đến nay người ta mới giải đúng cho một số trường hợp đơn giản Còn những bài toán thủy động thường được giải bằng phương pháp gần đúng, nghĩa là bỏ qua một số thành phần khá bé so với các thành phần khác của phương trình để giải
4.2 Phương trình Bernoulli của dòng chảy ổn định
4.2.1 Tích phân Bernoulli cho đường dòng lưu chất lý tưởng, không nén được
Việc giải tổng quát hệ phương trình (4-2) khó khăn, cho nên cần tìm nghiệm của
nó trong các trường hợp riêng, ở đây ta tìm tích phân Bernoulli cho đường dòng trong điều kiện cụ thể thường hay gặp trong thực tế : lưu chất không nén được, chuyển động dừng và lực khối tác dụng chỉ có trọng lực
Nhân hai vế của hệ phương trình (4-2) lần lượt với dx, dy, dz thay Fx = 0, Fy = 0,
Fz = –g , cộng các vế của hệ phương trình (4-2) lại ta được :
–gdz – 1
ρ
x
p
dx +
y
p
dy +
z
p
dz
= dux
dt dx +
duy
dt dy +
duz
Lấy tích phân (4-10) với ρ = const, ta được :
gz + p
+
u2
2 = C1 (4-11) Viết cho một đơn vị trọng lượng lưu chất, ta chia hai vế cho g :
z + p
+ u
2
dp
d
u2
2
Trang 5
Vậy viết cho hai vị trí 1 và 2 nào đấy của đường dòng :
z1 + p1
+
u12 2g = z2 +
p2
+
u22 2g (4-13)
Ý nghĩa của phương trình Becnoulli :
Ý nghĩa thủy lực
Ý nghĩa năng lượng
z + p/ + u2/2g Cột áp thủy
động Hđ = const
Cơ năng (năng lượng) đơn
vị e = const
Có thể nói phương trình Becnoulli là một dạng biểu diễn của định luật bảo toàn
cơ năng
4.2.2 Phương trình Bernoulli đối với dòng nguyên tố lưu chất thực, không nén được
Đối với lưu chất thực, vì có một phần năng lượng tiêu hao để thắng lực ma sát, cho nên :
z1 + p1
+ u
12
2g > z2 + p
2
+ u
22
2g
Hay : z1 + p1
+
u12 2g = z2 +
p2
+
u22 2g + h
’
w 1-2 (4-14)
h ,w1-2 là tổn thất năng lượng của một đơn vị trọng lượng lưu chất khi dòng nguyên tố chuyển động từ vị trí 1 đến vị trí 2
4.2.3 Phương trình Bernoulli đối với toàn dòng lưu chất thực, không nén được
Trong dòng lưu chất thực, do ảnh hưởng của tính nhớt, vận tốc phân bố không đều trên một tiết diện dòng chảy : tại tâm vận tốc đạt giá trị lớn nhất và bằng không
ở trên thành ống Việc mở rộng tích phân Bernoulli cho toàn dòng chảy gặp một số khó khăn: ta không thể áp dụng trực tiếp phương trình Bernoulli của dòng nguyên
Trang 6tố khi nghiên cứu toàn dòng lưu chất thực Vì vậy chỉ mở rộng tích phân cho toàn dòng tại hai mặt cắt có dòng chảy đều hoặc đổi dần, tại đó áp suất thủy động tuân theo quy luật thủy tĩnh :z + p
= const Nhân hai vế của phương trình (4-14) với lưu lượng trọng lượng của dòng nguyên tố (dQ) và tích phân theo mặt cắt S ta được:
dQ h
g
u p z dQ g
u p
z
S
w S
2 1
2 1 2 2 2 1
1
1
2 2
Ta cần lấy tích phân các số hạng :
I1 = z p dQ
S
; I2 = dQ
g u S
22 ; I3 = h dQ
S
w
1 2
+ Đối với dòng chảy đều hoặc đổi dần, ta được:
I1 = z p dQ
S
z + p
+ Để tính I3, người ta đưa vào khái niệm tổn thất năng lượng đơn vị trung bình của toàn dòng chảy khi chuyển động từ mặt cắt 1-1 đến mặt cắt 2-2 hw1-2 sao cho:
I3 = h dQ h w Q
S
w12 12
+ I2 chính là tổng động năng của cả dòng hay là động năng thực Eu (động năng tính theo vận tốc u)
S S
E dS u g
dQ g
u
2
2 2
Vì u là vận tốc điểm phụ thuộc vào x, y, z nên không lấy tích phân trực tiếp dễ dàng được, phải dùng vận tốc trung bình của mặt cắt ướt v, ứng với nó ta có động năng tính theo vận tốc trung bình của dòng Ev :
Ev =
g
S v dS v g 2
dQ g
S 3
S
2
Vậy nếu ký hiệu là hệ số hiệu chỉnh động năng :
Q v
dS u E
v
u
2
3
Ta có :
Trang 7I2 = Eu = .Ev = v3S
2g =
v2Q 2g (4-21)
Trường hợp chảy tầng = 2, chảy rối = 1,01 1,1 ≈ 1
Thay các kết quả (4-16), (4-17), (4-21) vào (4-15) ứng với các chỉ số 1 ;2 ở hai mặt cắt và chia hai vế của phương trình cho Q ta sẽ nhận được phương trình Bernoulli cho toàn dòng chất lỏng thực không nén được, chuyển động dừng :
z1 + p1
+
1v12 2g = z2 +
p2
+
2v22 2g + hw1-2 (4-22)
4.2.4 Biểu diễn hình học phương trình Bernoulli
Đường năng biểu diễn năng lượng đơn vị của dòng chảy cũng là cột áp thủy động Để đánh giá mức độ biến thiên của năng lượng lưu chất dọc theo dòng chảy,
ta xét tổn thất năng lượng đơn vị trên một đơn vị trên một đơn vị chiều dài của dòng chảy, gọi là độ dốc thủy lực
J = dhw
g
u p z
2
(4-23) Thường dùng độ dốc thủy lực trung bình :
J = hw
l (4-24)
Đường đo áp biểu diễn thế năng đơn vị của dòng chảy cũng là cột áp thủy tĩnh
Để đánh giá mức độ biến thiên của thế năng đơn vị của lưu chất dọc theo dòng chảy, ta xét sự biến thiên của thế năng đơn vị trên một đơn vị chiều dài của dòng chảy, gọi là độ dốc đo áp
Hình 4-1
Trang 8Jda =
dl
p z
(4-25)
Đường năng trong trường hợp lưu chất lý tưởng là đường thẳng nằm ngang, trong trường hợp lưu chất thực là đường dốc xuống dọc theo chiều dòng chảy Nếu
là dòng chảy đều (u = const) đường năng và đường đo áp sẽ song song với nhau Dấu của J luôn luôn +, còn của Jda có thể + hoặc -
4.2.5 Phương trình Bernoulli đối với dòng nguyên tố chất khí lý tưởng (tham khảo)
Đối với dòng khí có ≠ const, việc lấy tích phân
2
dp
trong phương trình (4-10) phụ thuộc vào quá trình chuyển động Muốn lấy được tích phân đó ta phải biết mối quan hệ giữa p và (hay là ) Mối quan hệ này được trình bày kỹ trong giáo trình nhiệt kỹ thuật nên ở đây không nhắc lại cũng như không dẫn dắt các công thức
mà chỉ đưa ra kết quả để sử dụng khi gặp các bài toán liên quan
Trong kỹ thuật thường gặp các quá trình sau :
Quá trình đẳng tích : thể tích không thay đổi (v = const; tức = const) Phương trình Bernoullli trong trường hợp này giống như phương trình Bernoulli của dòng lưu chất không nén được
Quá trình đẳng áp : áp suất không đổi (p = const) Khi đó dp = 0
Quá trình đa biến : p = Cn
z1 +
g
u p n
n z g
u p n
n
2 1
2 1
2 2
2 2
1 1
Quá trình đoạn nhiệt : p = Ck
z1 +
g
u p k
k z g
u p k
k
2 1
2 1
2 2
2 2
1 1
Quá trình đẳng nhiệt : p = C
z1 +
g
u p
p z g
u p p
2
ln 2
0
0 2 1 1 0
Với k là chỉ số đoạn nhiệt : n là chỉ số đa biến : p0, 0 là áp suất và khối lượng riêng ở trạng thái ban đầu Vì chất khí có trọng lượng riêng nhỏ nên trong các phương trình Bernoulli thường bỏ qua đại lượng z
4.2.6 Vận dụng phương trình Bernoulli
Trang 9a Những bài toán kỹ thuật liên quan đến vận tốc, lưu lượng, áp suất, năng lượng, chiều cao đặt máy trong các dòng chảy và các máy thủy lực, nếu phù hợp điều kiện lập phương trình đối với dòng chảy dừng, đều có thể dùng phương trình này để giải Khi vận dụng phương trình cần chú ý:
- Chọn mặt cắt, chọn điểm, chọn mặt chuẩn cho phù hợp và giảm ẩn số Mặt cắt chọn để viết phương trình phải vuông góc với chiều dòng chảy Mặt chuẩn phải là mặt phẳng ngang
- Áp suất có thể tính theo áp suất tuyệt đối hoặc dư, nhưng trong hai vế của phương trình phải thống nhất một loạt
- Kiểm tra trạng thái dòng chảy để chọn trị số thích hợp
- Chú ý chiều dòng chảy khi tổn thất năng lượng : hw dương khi tính xuôi theo chiều dòng chảy, năng lượng đơn vị tại mặt cắt thượng lưu lớn hơn tại mặt cắt hạ lưu
b Là cơ sở để thiết kế một số dụng cụ đo : ví dụ ống đo vận tốc Pitô, lưu
lượng kế Ventury
Nguyên lý của lưu lượng kế Ventury (hình 4-2)
+ Viết phương trình Bernoulli cho hai điểm trên hai mặt cắt (1-1) và (2-2), mặt chuẩn đi qua tâm ống : (giả sử = 1, hw = 0):
z1 + p1
γ +
α1v12 2g
= z2 + p2
γ +
α2v22 2g + hw1-2
p1
γ +
v12
2g =
p2
γ +
v 22
2g + Viết phương trình cân bằng áp suất :
p1 + (a +h) = p2 + a + Hgh
+ Viết phương trình liên tục :
v1S1 = v2S2 v1d12= v2d22
Thay vào phương trình Bernoulli, ta có :
1
1 2
2
1 1
4 2
4 1 1
4 2
4 1 2 1 2
1
d d
gh v
g d
d v h
p
p
Hg Hg
Do đó :
Hình 4-2
Trang 10Q = h
d d
gh d
Hg
1
1 2
4
4 2
4 1
2
Lưu lượng thực tế (có tính đến tổn thất năng lượng):
Qt = Qk , trong đó k là hệ số hiệu chỉnh (k < 1)
c Trong bộ chế hòa khí, bơm phun tia và nói chung trong máy móc, muốn
giảm áp suất trên một đoạn của dòng chảy người ta dùng đoạn ống thu hẹp và mở rộng và trong tính toán cũng dùng phương trình Bernoulli
* Đối với dòng chảy không ổn định:trên cơ sở phương trình của dòng chảy ổn
định người ta bổ sung vào tác dụng của lực quán tính Khi đó phương trình Bernoulli của toàn dòng lưu chất thực, chuyển động không dừng có dạng :
z1 + p1
γ +
α1v12 2g
= z2 + p2
γ +
α2v22 2g + hw1-2 + hqt (4-30) Trong đó : hqt là cột áp quán tính trung bình của toàn dòng chảy
* Đối với dòng chảy tương đối: nếu ta khảo sát trong hệ trục tương đối thì phải
viết theo vận tốc tương đối
z1 + p1
γ +
α1w12 2g = z2 +
p2
γ +
α2w22 2g + hw1-2 + hqt (4-31)
Trong đó : w1, w2 là vận tốc trung bình trong chuyển động tương đối
hw1-2 : tổn thất năng lượng đơn vị tính theo vận tốc tương đối
Σhqt = hqt1 + hqt2 ( cột áp quán tính trong chuyển động theo + cột áp quán tính trong chuyển động tương đối)
4.3 Phương trình động lượng của dòng chảy ổn định
Phương trình động lượng là một phương trình cơ bản của cơ học lưu chất và thủy khí động lực nói chung, được ứng dụng rất rộng rãi, ví dụ : dùng để tính lực đẩy của động cơ phản lực, lực tác dụng lên cánh quạt, cánh turbin, ống dẫn nước, nghiên cứu va đập thủy lực trong ống… Phương trình động lượng do Euler lập ra còn gọi là định lý Euler 1
Việc vận dụng phương trình này để nghiên cứu sự biến thiên của lưu chất chuyển động có thuận tiện là không phải xét đến nội lực của lưu chất (lực nhớt),
Trang 11cũng không phải xét toàn bộ dòng chảy mà chỉ dẫn cần khảo sát thể tích lưu chất trong mặt kiểm tra
Định luật động lượng trong cơ học lý thuyết : sự biến thiên động lượng của một
hệ chất điểm theo thời gian thì bằng tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ này
d
K
dt =
d
m
v
dt = Σ
P (4-32)
4.3.1 Phương trình động lượng của dòng nguyên tố
Xét một dòng nguyên tố trong đó ta khảo sát biến thiên động lượng của chất lỏng trong thể tích kiểm tra nằm giữa hai mặt cắt 1-1 và 2-2 (hình 4-3)
d
K = ρdQ
u2–
u1 dt
ρdQ
u2–
u1 = ΣP (4-33)
ΣP : Tổng các ngoại lực tác dụng lên khối chất lỏng trong thể tích kiểm tra (trọng lực, áp lực, lực ma sát, lực của thành tác dụng lên chất lỏng)
4.3.2 Phương trình động lượng của toàn dòng
Mở rộng cho toàn dòng chảy, với chú ý về sự chênh lệch động lượng của khối lưu chất trong mặt kiểm tra từ 1-1 đến 2-2 là Ku so với động lượng của toàn dòng theo vận tốc trung bình là Kv Ta có phương trình động lượng của toàn dòng chảy dừng là :
ρQ
β2
v2–β1
v1 = ΣP (4-34)
: hệ số hiệu chỉnh động lượng (chảy tầng = 4/3 ≈ 1, chảy rối = 0,01 1,05
≈ 1)
= Ku
Kv
Hình 4-3
u2
u1
1
1
2
2
