(SKKN 2022) một số giải pháp nhằm phát triển tư duy cho học sinh lớp 9 trường phổ thông dân tộc nội trú THCS bá thước từ bài toán cực trị đơn giản

MỤC LỤC Mục Tran g Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng kỹ tư cực trị học sinh trường PTDT Nội trú THCS Bá Thước 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 13 Kết luận, kiến nghị 14 3.1 Kết luận 14 3.2 Kiến nghị 14 TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài: Trong chương trình THCS, tốn học chiếm vai trị quan trọng Với đặc thù môn khoa học tự nhiên, tốn học khơng giúp học sinh phát triển tư duy, óc sáng tạo, khả tìm tịi khám phá tri thức, vận dụng hiểu biết vào thực tế, sống mà tốn học cịn cơng cụ giúp em học tốt mơn học khác góp phần giúp em học sinh phát triển cách toàn diện Từ vai trị quan trọng mà việc giúp em học sinh u thích, say mê tốn học giúp em học sinh giỏi có điều kiện mở rộng, nâng cao kiến thức yêu cầu tất yếu giáo viên dạy tốn Trong q trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao việc học tập, rèn luyện tu dưỡng sống học sinh Trong chương trình Tốn THCS khối lượng kiến thức phong phú đa dạng, dạng tốn đề cập khơng Trong số có bất đẳng thức dạng tốn quan trọng phổ biến Trong kì thi học sinh giỏi cấp thi vào THPT, THPT chuyên bất đẳng thức thường hay gặp đề thi Bởi muốn bồi dưỡng phát triển đối tượng học sinh khá, giỏi thân người dạy phải nghiên cứu tài liệu, tìm tịi phương pháp giải Nhằm bổ trợ nâng cao kịp thời cho em Ở dạng tốn bất đẳng thức tốn với số liệu riêng nó, địi hỏi ta phải vận dụng cách giải phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tính tư tốn học linh hoạt sáng tạo người học Không bất đẳng thức đề tài thú vị mơn Đại số, cịn tiếp tục giới thiệu nghiên cứu cấp THPT Do bất đẳng thức mãi đối tượng nghiên cứu Toán học, vấn đề đa số người học quan tâm kì thi học sinh giỏi cấp huyện, cấp tỉnh thi vào lớp 10 Từ yếu tố khách quan chủ quan Tơi tìm tịi nghiên cứu đề tài: “Một số giải pháp nhằm phát triển tư cho học sinh lớp trường Phổ thông Dân tộc nội trú THCS Bá Thước từ toán cực trị đơn giản” Nhằm tìm biện pháp hữu hiệu để có phương án đắn giúp học sinh tiếp cận với toán bất đẳng thức chủ động hơn, có hứng thú q trình học 1.2 Mục đích nghiên cứu a Đối với giáo viên: - Giúp giáo viên dạy tốn THCS nói riêng có quan điểm coi trọng việc nghiên cứu, dạy bất đẳng thức - Đưa số kiến thức bất đẳng thức số phương pháp chứng minh bất đẳng thức phù hợp trình độ học sinh - Qua việc triển khai đề tài góp phần nâng cao chất lượng dạy - học tốt nội dung bất đẳng thức dạy - học tốt mơn tốn trường THCS 2 b Đối với học sinh, sau thực đề tài giúp em: - Giúp học sinh có kiến thức sâu bất đẳng thức, góp phần học tốt mơn tốn - Giúp học sinh phát huy tính tích cực chủ động tìm tịi, khả suy luận, phán đốn tính linh hoạt áp dụng vào thực tế toán - Giúp học sinh định hướng đường lối giải toán - Giúp học sinh rèn kỹ giải toán nhiều cách biết lựa chọn phương án tối ưu - Rèn luyện kĩ thực hành thao tác tư toán học hợp lí - Giải triệt để yếu kém, hạn chế kỹ tư lôgic mà học sinh mắc phải lâu trình giải toán - Cung cấp thêm vốn kiến thức cần thiết tăng cường hiểu biết sở tiếp thu kiến thức toán học lớp sau 1.3 Đối tượng nghiên cứu Các giải pháp tìm tịi phương pháp giải toán cực trị đại số nhằm phát triển tư duy, kĩ giải toán cực trị cho học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn lớp trường PTDT Nội trú THCS Bá Thước 1.4 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lí thuyết Phương pháp thống kê, xử lí số liệu Phương pháp nghiên cứu lí luận: đọc tài liệu sách báo, tạp chí, Internet có nội dung liên quan Phương pháp phân tích, tổng hợp: phân tích số liệu từ tài liệu để sử dụng sáng kiến kinh nghiệm Sau tổng hợp số liệu Phương pháp điều tra, khảo sát thực tế, thu thập thơng tin: Tìm hiểu thực trạng kỹ tư toán cực trị học sinh lớp NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình dạy học trường THCS nói chung dạy tốn nói riêng, việc làm cho học sinh biết vận dụng kiến thức học để giải tốn cơng việc quan trọng khơng thể thiếu người dạy tốn Vì thơng qua rèn luyện tư duy, khả sáng tạo, khả vận dụng cho học sinh Để làm điều giáo viên phải cung cấp cho học sinh kiến thức bản, phương pháp vận dụng biến đổi phù hợp giúp học sinh hiểu thực chất vấn đề để từ có kĩ giải tốn thành thạo, khỏi tâm lí chán nản sợ mơn Tốn Trong q trình giảng dạy tốn cần thường xun rèn luyện cho học sinh phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao việc học tập, rèn luyện tu dưỡng sống học sinh Đối với học sinh giỏi, việc rèn luyện cho em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán trí tuệ điều kiện cần thiết vơ việc học tốn Với mục đích thứ rèn luyện khả sáng tạo Tốn học, trước tập tơi cho học sinh tìm hiểu cách giải, đồng thời người thầy giáo phải gợi ý cung cấp cho học sinh nhiều cách giải.Trên sở học sinh tự tìm cách giải hợp lí Phát cách giải tương tự khái quát đường lối chung.Trên sở với tốn cụ thể em khái qt hố tốn thành toán tổng quát xây dựng toán tương tự Điều mong muốn thứ hai mong muốn thay đổi phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi từ trước tới Xây dựng phương pháp rèn luyện khả sáng tạo Tốn cho học sinh cho lúc nơi em phát huy lực độc lập sáng tạo 2.2 Thực trạng kỹ tư cực trị học sinh trường PTDT Nội trú THCS Bá Thước Trường PTDT Nội trú THCS Bá Thước với đặc thù 100% học sinh học sinh dân tộc thiểu số đến từ 21 xã, thị trấn tồn huyện, đời sống gia đình em cịn nhiều khó khăn nên quan tâm gia đình đến việc học em hạn chế quan tâm lớn Đảng Nhà nước giáo dục dân tộc Mặt khác đa số em nội trú xa gia đình nên em phải bước tự lập nên có nhiều bỡ ngỡ, tâm lí xa gia đình, nhớ nhà ảnh hưởng nhiều đến sinh hoạt học tập em Bản thân em nhút nhát, khả tiếp thu giảng diễn giải em cịn hạn chế Vì vậy, khả giải tốn tư em cịn nhiều hạn chế Qua thực tế dạy học trường trung học sở với việc trao đổi chuyên mơn qua số giáo viên, việc dạy học nói chung việc bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi thơng qua dạy học giải tốn bất đẳng thức cực trị yêu cầu phát triển tư sáng tạo, nhận thấy số tồn sau: Do số tiết học lớp cịn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo kiến thức học chưa triệt để sâu sắc Điều ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh học tập, đối tượng học sinh giỏi Học sinh phát vấn đề mà thường lặp lại phát vấn đề giáo viên đưa ra, học sinh thường bị động tiếp nhận kiến thức từ phía giáo viên Cách dạy học làm hạn chế khả tìm kiếm, tự phát vấn đề học sinh, điều trái với quan điểm việc học theo xu hướng hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung tâm Chính điều mà dạy học, người giáo viên phải biết trọng công tác bồi dưỡng học sinh lực nhận biết tìm tịi, phát triển vấn đề để giúp học sinh rèn luyện kỹ tư vào thói quen phát triển tìm tịi, thơng qua số thao tác trí tuệ 4 Việc thường xuyên rèn luyện cho học sinh lực tạo cho học sinh thói quen ln ln tích cực khám phá kiến thức lúc, nơi Muốn làm tốt điều địi hỏi học sinh phải trải qua q trình tìm tịi, mị mẫm, dự đốn, suy xét nhiều góc độ để thử nghiệm Trong chương trình tốn trung học sở, hệ thống tập sách đa dạng phong phú rời rạc, thiếu liên kết với chủ đề Trong thực tế, cách dạy phổ biến giáo viên với tư cách người điều khiển đưa kiến thức giải thích chứng minh, sau đưa số tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng tiếp thu vận dụng Rõ ràng với cách dạy giáo viên thấy chưa thoả mãn dạy mình, học sinh thấy chưa hiểu cội nguồn vấn đề mà học cách máy móc, làm cho em có hội phát triển tư sáng tạo, có hội khai thác tìm tịi Để khắc phục tồn trên, người giáo viên cần phải có phương pháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm phần khai thác phát triển toán bất đẳng thức bản, đồng thời phải phối hợp nhiều định lý, toán học vào việc giải toán, từ tốn dễ đến tốn khó mà huy động kiến thức cần thiết, cần phải làm cho học sinh thấy cần thiết thiếu hụt tri thức thân Bởi học sinh nhận thiếu hụt tri thức thân thiếu hụt yếu tố kích thích chuyển động thích nghi để tìm kiếm lại cân Học sinh trở thành người mong muốn bù lấy thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhận thức thân Do đặc điểm nội dung kiến thức, sáng kiến kinh nghiệm đưa để áp dụng cho em khối lớp Trong q trình ơn học sinh giỏi khối em học sinh đăng kí thi vào trường PTDT Nội trú tỉnh, PTDT Nội trú Ngọc Lặc trường PTDT Nội trú THCS Bá Thước, đưa tập mà chưa hướng em tư kết thu khiêm tốn Cụ thể ôn 15 em học sinh khối sau số kiểm tra với nội dung tương tự SKKN tơi trình bày, kết thu sau: Bảng điểm khảo sát học sinh trước áp dụng SKKN Điểm Dưới 5–6 – 10 SL % SL % SL % SL % Lớp 12 80 20 0 0 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Tôi bắt đầu đưa cho em học sinh toán quen thuộc sau: a2 b2 c2 a b c    Bài toán 1: Cho a, b, c  , chứng minh rằng: a b bc ca Có nhiều cách giải cho tốn này, cách đơn giản thường gặp sử dụng bất đẳng thức Côsi bất đẳng thức Bunnhiacopxki Chẳng hạn, sử dụng bất đẳng thức Côsi, ta ghép cặp sau: a2 a b a2 3a  b  a   (1) a b a b Tương tự, ta có: b2 3b  c  (2) bc c2 3c  a  (3) ca Cộng (1), (2), (3) ta có: a2 b2 c2 3(a  b  c)  (a  b  c) a  b  c     (đpcm) a b b c c a Ở có câu hỏi đặt là, khơng sử dụng bất đẳng thức Cơsi có tìm đánh giá (1) hay khơng? Nếu làm nào? Câu trả lời có ta làm sau: Ta tìm hệ số m, n cho: a2 ma  nb(4) a b Chú ý bất đẳng thức toán xảy dấu đẳng thức a  b  c Với a  b , từ (1) ta có: mn  m  n , để dấu “ = ” xảy ta chọn m, n cho: 1  n   m Khi (4) trở thành: 2 a2 ma  (  m)b  2( m  1) a  ab  (2m  1)b 0(*) a b a Chia hai vế (*) cho b2 , đặt  t (4) trở thành: b  2m   2(m  1)t  t  (2m  1)   2(1  m)(t -1)  t   (5)  2(1  m)  1  m   Để (5) ta chọn m thỏa mãn:  2m    m   n   Từ suy (1) 4  2(1  m)  Lời giải tốn trình bày sau: Lời giải: Ta có: a2 3a  b  (i)  4a  ( a  b)(3a  b)  ( a  b)  (đúng) ab Chứng minh tương tự, ta có: b2 3b  c  (ii) ; bc c2 3c  a  (iii) ca Cộng theo vế bất đẳng thức (i), (ii), (iii) ta có: a2 b2 c2 3(a  b  c)  (a  b  c) a  b  c     (đpcm) a b b c c a Nhận xét: Bài toán toán đơn giản, song với cách tiếp cận đem đến cho ý tưởng giải lớp toán đồng bậc cách dễ dàng Với ý tưởng trên, ta xem xét tiếp toán sau: Bài toán 2: Cho a, b, c  , chứng minh rằng: a3 b3 c3 a b c    2 2 a  ab  2b b  bc  2c c  ca  2a Phân tích: Dự đoán dấu “ = ” xảy a  b  c Tiếp theo tìm m, n cho a3  ma  nb (6) a  ab  2b Các hệ số m, n chọn phải đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra, đó: m n  1  n   m Khi (6) trở thành: 4 a3 1   ma    m b 2 a  ab  2b 4   4(1  m)a  a 2b  (4m  1) ab  (8m  2)b  (7) Chia vế (6) cho b3 , đặt a  t được: b 4(1  m)t  t  (4m  1)t  (8m  2)   (t  1)  4(1  m)t  (4m  3)t  8m    (8) Nếu (8) với t  4(1  m)t  (4m  3)t  8m   phải có nghiệm t  Thay t  vào phương trình ta m  (t  1) (7t  10)  0, t  Do m  thỏa mãn, suy n   16 16 9 Với m  , (8) trở thành: 16 16 Lời giải: Ta có: a3  a  b (i)  (a  b) (7a  10b)  (đúng) 2 a  ab  2b 16 16 Tương tự, ta có: b3  b  c (ii) 2 b  bc  2c 16 16 c3  c  a (iii) 2 c  ca  2a 16 16 Cộng theo vế bất đẳng thức (i),(ii),(iii) suy điều phải chứng minh Bài tốn 3: (HSG tốn 9, Thanh Hóa năm học 2015 - 2016) Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab  bc  ca  Chứng minh rằng: 2a  3b5 2b5  3c 2c5  3a    15(a  b3  c  2) ab bc ca Phân tích: Ta nhận thấy dấu đẳng thức xảy a  b  c Bất đẳng thức viết lại sau: 2a  3b5 2b5  3c 2c  3a    15(a  b3  c3 )  10  ab  bc  ca  ab bc ca Dựa vào ý tưởng trên, ta tìm m, n, p cho: 2a  3b5  ma  nb3  pab (9) ab Ta có (9)  2a  ma 4b  pa 2b3  nab  3b5  (10) Sau chia vế (10) cho b5 , đặt a  t ta được: b 2t  mt  pt  nt   (11) Dấu “ = ” xảy (11) t  Do để (11) vế trái phải có nhân tử (t  1)2 , suy 2t  mt  pt  nt  chia hết cho (t  1)  n  2m  p   3m Thực phép chia đa thức cho phần dư 0, ta được:  Khi đó: (13)  (t  1)  2t  (4  m)t  2(3  m)t  3  Đến cần lựa chọn m cho: 2t  (4  m)t  2(3  m)t   Giả sử giá trị m m0 Như vậy, (9) trở thành: 2a  3b5  m0 a  2m0b3  (5  3m0 )ab (i) ab Tương tự có: 2b5  3c  m0b3  2m0c  (5  3m0 )bc (ii) bc 2c5  3a  m0c  2m0 a  (5  3m0 )ca (iii) ca Cộng vế (i), (ii), (iii) được: 2a5  3b5 2b5  3c5 2c5  3a    3m0 (a  b3  c )  (5  3m0 )  ab  bc  ca  ab bc ca Để có điều cần chứng minh, chọn m0  Với m0  , ta có: 2t  (4  m0 )t  2(3  m0 )t   (t  1) (2t  3)  0, t  Vậy m0  giá trị thỏa mãn, suy n  10, p  10 Lời giải: Ta có: 2a  3b5  5a  10b3  10ab (i) ab  2a  5a b  10a b3  10ab  5b5   (a  b) (2a  3b)  Chứng minh tương tự, có: 2b5  3c5  5b3  10c3  10bc2 (ii) bc 2c5  3a5  5c3  10a3  10ca2 (iii) ca Cộng theo vế bất đẳng thức (i),(ii),(iii) suy điều phải chứng minh Bài toán 4: (Đề dự bị HSG lớp cấp tỉnh, Thanh hoá năm học 2014-2015) Cho ba số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện x  y  3z  Tìm giá trị lớn biểu thức: Q  88 y  x 297 z  y 11x3  27 z   xy  16 y yz  36 z 3xz  x Nhận xét: a  x  Bài có ý tưởng giống trên, sau đặt b  2y , Q trở thành: c  3z  11b3  a3 11c3  b3 11a3  c3 Q   (*) ab  4b2 bc  4c2 ca  4a2 Đến đơn giản rồi, làm tương tự ta có đánh giá: 11b3  a3  a  3b ab  4b Bất đẳng thức đúng, tương đương với (a  b)2(a  b)  Cũng cho đánh giá khác, có điều cần chứng minh Có lẽ, biểu thức Q ban đầu giống (*), người đề muốn gây chút khó khăn cho thí sinh, cách đặt ngược lại Tiếp theo ta xét tốn sau khơng cịn đồng bậc giải với ý tưởng nhiên cần thêm đánh giá phụ: Bài toán 5: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a b  c  Chứng minh rằng: 1   1  ab  bc  ca Phân tích: Ở ta khơng thể tìm m,n,p để có đánh giá  ma4  nb4  p  ab Chú ý a4  b4  c4  (ab)2  (bc)2  (ca)2 dấu đẳng thức xảy a  b  c , ta nghĩ đến đánh giá  m(ab)2  n (12) 4 ab 4 Đặt t  ab ,  ab  (a  b )  nên t (0, ) 2 Sau biến đổi rút gọn ta có (12)   mt3  4mt2  nt  4n 1  m 18 Đến thực giống tìm  n   18 Lời giải: (ab)2   (i ) Thật vậy, Ta chứng minh:  ab 18 (i )  (4  ab) (ab)2  5  18   2(ab 1)2(2 ab)  Bất đẳng thức đúng,  ab  (a4  b4 )   2 Tương tự ta có: (bc)2   (ii )  bc 18 (ca)2   (iii )  ca 18 Cộng các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) vế theo vế ta có: 1 ( ab)  (bc)  (ca)  15 a  b  c  15     1  ab  bc  ca 18 18 10 Đẳng thức xảy a  b  c  Có BĐT khơng thể xây dựng đánh giá trực tiếp mà cần thông qua số đánh giá trung gian Bài toán sau ví dụ Bài tốn 6: Cho a, b, c  thỏa mãn a  b c  Chứng minh rằng: a3  b3 b3  c3 c3  a3   9 ab  bc  ca  Phân tích: Nhận thấy dấu đẳng thức xảy a  b  c  Nếu ta đánh giá trực tiếp a3  b3 a3  b3  ma  nb  p  m(a  b)  n ta gặp bế tắc Vậy ta phải xử ab  ab  lý theo hướng nào? Tất nhiên, ta sử dụng ý tưởng giống đánh giá a3  b3  m(a  b)  n , song khơng phải trực tiếp mà cần có đánh giá trung gian ab  a  b  2 1 Chú ý  ab; a3  b3  (a  b)   a  b   a  b    a  b 4 4  (a  b)3 a3  b3 (a  b)3   Suy ab  (a  b)2  (a  b)2  36 (a  b)3  m(a  b)  n Tiếp theo ta tìm m, n cho bất đẳng thức sau (a  b)2  36 Đến ta dễ dàng tìm m 1, n  3 Lời giải: Ta có:  a  b 2 1  ab; a3  b3  (a  b)   a  b   a  b    a  b 4  (a  b)3 a b (a  b)3   (13) Suy ab  (a  b)2  (a  b)2  36 3 (a  b)3  a  b  (14) Thật vậy, (a  b)2  36 (14)  ( a  b)3  (a  b)  36   a  b  3  3(a  b  6)  (đúng) Mà 3 Từ (13),(14) suy ra: a  b  a  b  3(i ) ab  Chứng minh tương tự được: b3  c3 bc   b  c  3(ii ) c3  a3  c  a  3(iii ) ca  11 Cộng các bất đẳng thức (i),(ii),(iii) theo vế điều chứng minh Qua số toán hẳn bạn đọc hình dung phương pháp giải cảm nhận tính đơn giản, hiệu Vẫn với suy nghĩ đó, ta giải lớp toán dạng (phân li biến): f (a)  f (b)  f (c)  m (Có thể coi lớp trường hợp đặc biệt lớp trên) Bài toán 7: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh rằng: 1 1    2 a 1 b 1 c 1 d 1 Hướng dẫn: Tìm hệ số m,n cho  ma  n Dễ dàng tìm m 1, n  a 1 Lời giải: Ta có: a(a  1)2   a  (i)   (đúng) a2  a2  Tương tự với biến cịn lại Cộng vế theo vế ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a  b  c  d  Bài toán 8: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng: 1   1 a b c b c a c a b Hướng dẫn: Ở ta cần tìm m, n để bất đẳng thức 1   ma  n a  b c a  a Tương tự ta tìm m  , n  bất đẳng thức phụ 9 Thật a (a  1) (3  a ) (a  1) (b  c )       a2  a  9 3(a  a  3) 3(a  a  3) Bài toán 9: Cho a, b, c, d số thực không âm thỏa a  b  c  d 4 Chứng minh rằng: 2( a  b  c  d ) 2  2  ab  ac  ad  bc  bd  dc Hướng dẫn: Theo a, b, c, d số thực dương thỏa mãn: 12 a  b2  c  d   (a  b  c  d )2  2(2  ab  ac  ad  bc  bd  cd )  (a  b  c  d )  2(2  ab  ac  ad  bc  bd  cd ) Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 2(a  b  c  d ) 2  (a  b  c  d ) Ta cần xác định hệ số m để bất đẳng thức sau 2a3  ma  n Dễ dàng tìm m 6, n  4 Ta chứng minh điều đó, thật vậy: 2a3  6a   2(a  1)2 (a  2)  Điều hiển nhiên Đẳng thức xảy a  b  c  d  Bài toán 10: (HSG Toán 9, Hà Nội 2016) Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh: a2016 b2016 c2016    a2015  b2015  c2015 b c  a c  a  b a  b c Phân tích: Để đơn giản ta đưa dạng phân li biến cách chuẩn hóa a  b c  a2016 b2016 c2016    a2015  b2015  c2015 3 2a 3 2b 3 2c a  ma  n (Tại lại khơng Tìm số m, n cho bất đẳng thức sau đúng: 3 2a a2016  ma  n?) Dễ có m 3, n  2 suy tìm đánh giá 3 2a a2016  3a2016  2a2015  3(a2016  a2015 )  a2015 3 2a Bất đẳng thức trở thành: Mà a2016  a2015  a  (15) Thật (15) tương đương với (a  1)2(a2014  a2013   a2  a  1)  Do vậy, a2016  3a2016  2a2015  3(a  1)  a2015 3 2a Tương tự với biến khác, cộng lại có điều cần chứng minh Bài toán 11: Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn a  b  c 3 Chứng minh rằng:  1 1 4     5( a  b  c ) 27 a b c 13 Hướng dẫn: Ta cần tìm hệ số m, n cho  5a2  ma3  n (16) a Ta dễ dàng nhận đẳng thức xảy a  b  c  Khi cho a  ta dự đoán m  2, n  Ta chứng minh với m  2, n  bất đẳng thức (16) Thật vậy: (a  1) (  2a  a  4)  5a 7  2a  0 a a Do a 3   2a  a  0 Vậy bất đẳng thức phụ Đẳng thức xảy a  b  c  Như trải qua số tốn thú vị, khơng nhiều có lẽ bạn đọc nắm ý tưởng phương pháp… Tất nhiên, viết nhỏ nói nhiều vấn đề liên quan, chẳng hạn mở rộng, kết nối phương pháp với kỹ thuật khác (như kết hợp bất đẳng thức cổ điển, Schur phân tích bình phương …) để xử lý tốn có độ phức tạp cao hơn, hy vọng viết nhỏ đem lại cho bạn đọc vài điều bổ ích nho nhỏ niềm vui giải toán bất đẳng thức Để củng cố phương pháp nêu số tập tương tự để học sinh rèn luyện BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Cho a, b, c  Chứng minh rằng: a3 b3 c3 a  b c    2 2 2 a  3ab  b b  3bc  c c  3ca  a Bài 2: Cho a, b, c  Chứng minh rằng: 5b3  a3 5c3  b3 5a3  c3    a  b c ab  3b2 bc  3c2 ca  3a2 Bài 3: Tìm giá trị lớn biểu thức: M 232y3  x3 783z3  8y3 29y3  27x3   2xy  24y2 6yz  54z2 3xz  6x2 x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện x  2y  3z  Bài 4: Cho a, b,c  0: a  b  c  2016 Chứng minh rằng: a4  b4 b4  c4 c4  a4    2016 a3  b3 b3  c3 c3  a3 Bài 5: (Olympic toán Mỹ 2003) 14 Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (b  c  2a ) (a  c  2b) (a  b  2c)   8 2a  (b  c) 2b  (a  c)2 2c  (b  a ) Bài 6: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh rằng: 1 1 16    3a  3b  3c  3d  Bài 7: Cho a, b, c, d , e số thực không âm thỏa mãn a  b3  c3  d  e3   Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 c2 d2 e2      a  b3  c  d  e3 Bài 8: Cho a, b, c số thực không âm thỏa mãn a b c  Chứng minh rằng: 1     ab  bc  ca Bài 9: Cho a, b, c, d số thực dương thỏa mãn a  b  c  d  Chứng minh rằng: 6( a b c  d )  (a b c  d )  Bài 10: Cho a, b, c số thực dương nhỏ thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 6(a b c )   5(a b c ) Bài 11: Cho a, b, c số thực dương nhỏ thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 1 27    2 1 a 1 b 1 c 10 Bài 12: Cho a, b, c số thực dương Chứng minh rằng: (b  c  3a ) (a  c  3b) (a  b  3c )    2 2 2 2a  (b  c) 2b  ( a  c) 2c  (b  a ) 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Khi chưa thực SKKN này, học sinh giải số tập bất đẳng thức, cực trị đơn giản, hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm tập bất đẳng thức tìm cực trị Sau thực đề tài học sinh có hứng thú giải toán bất đẳng thức, làm tập tốt hơn, tự giải tập bất đẳng thức cực trị có dạng tương tự, hạn chế nhiều sai lầm giải toán bất đẳng thức cực trị, học sinh có kỹ làm toán bất đẳng thức cực trị cách hợp lý, hiệu em nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác 15 Từ kích thích tị mị, sáng tạo, ham học hỏi, khám phá lạ học tập mơn tốn nói riêng mơn khoa học khác nói chung Cụ thể: kết thu sau vận dụng đề tài năm học 2017 – 2018 Kết khảo sát cuối năm học khả quan: Số lượng học sinh giỏi tăng lên số lượng học sinh yếu giảm xuống cách đáng kể * Năm học 2017 – 2018 khối trường THCS Thị trấn Cành Nàng năm học 2019 – 2020 khối trường PTDT Nội trú THCS Bá Thước: Bảng điểm khảo sát học sinh sau áp dụng SKKN Điểm Dưới 5–6 – 10 SL % SL % SL % SL % Lớp 0 20 60 20 Như kết chứng tỏ rằng: Việc vận dụng kinh nghiệm nêu trên, thời gian chưa dài kết tương đối khả quan kết chưa cao, chưa theo mong muốn thân có dấu hiệu tích cực, khởi sắc chất lượng học tập, số học sinh giỏi tăng lên, số học sinh yếu giảm Và kiến thức khắc sâu hơn, em dần biết tự suy luận đứng trước vấn đề đó, từ em tự tin vận dụng kiến thức học vào giải toán tự tin sống hàng ngày KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Như vậy, sau toán hướng cho học sinh dành thời gian định để suy xét toán Thiết nghĩ phương pháp học tốn làm tốn bổ ích Làm điều với học sinh tạo hiểu sâu hơn, có nhiều phương pháp giải đương nhiên tìm phương pháp hay Vận dụng sáng kiến vào giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận thấy việc làm thiết thực phù hợp với trình độ nhận thức học sinh, phù hợp chương trình đổi theo định hướng phát triển lực cho học sinh giáo dục kỹ sống cho học sinh 3.2 Kiến nghị Để đạt hiệu cao dạy học mơn Tốn, giáo viên phải có phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Muốn có phương pháp tốt đòi hỏi người thầy phải thường xuyên học hỏi, tự bồi dưỡng kiến thức cho Đồng thời phải trang bị cho học sinh ý tưởng giải tốn, sau rèn luyện kỹ trình bày lời giải Nội dung tập phát triển phải theo trình tự logic từ dễ đến khó Học sinh phải có thời gian tự học, trao đổi, tự tìm tịi lời giải, tự phân tích phát triển toán theo nhiều hướng khác 16 Trên kinh nghiệm cá nhân nên tránh khỏi hạn chế Tôi mong đánh giá góp ý bạn đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp để kinh nghiệm ngày hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN HIỆU TRƯỞNG Bá Thước, ngày 03 tháng năm 2020 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT Lê Toàn Thắng Nguyễn Thị Đào TÀI LIỆU THAM KHẢO STT Tên tài liệu 17 Những kĩ giải toán đặc sắc Bất đẳng thức – Nguyễn Công Lợi Định hướng, trau dồi, chinh phục Toán THCS – Dương Quỳnh Châu Chinh phục đề thi vào 10 chuyên Toán – Nguyễn Xuân Nam 50 đề ôn luyện chuyên Tốn – Võ Quốc Bá Cẩn Tạp chí Tốn học tuổi trẻ 30 năm Đề thi học sinh giỏi lớp cấp tỉnh Thanh hoá Tuyển tập phương pháp chứng minh Bất đẳng thức Toán Nâng cao phát triển lớp 9( Vũ Hữu Bình) Sáng tạo bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng) 10 Những viên kim cương bất đẳng thức (Trần Phương) DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN 18 Họ tên tác giả: Lê Tồn Thắng Chức vụ, đơn vị cơng tác: Giáo viên Phổ thông Dân tộc nội trú THCS Bá Thước TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Chứng minh tốn hình theo phương pháp “phân tích ngược” Ngành giáo dục huyện Bá thước B 2011 - 2012 “Giúp học sinh lớp rèn kỹ giải toán phân số trường THCS DT Nội trú Bá Thước” Ngành giáo dục tỉnh Thanh Hóa C 2013 - 2014 “Giúp học sinh lớp rèn kỹ giải toán phân số trường THCS Thị trấn Cành Nàng” Ngành giáo dục huyện Bá thước C 2016 - 2017 “Giúp học sinh lớp rèn kỹ giải toán phân số trường THCS DT Nội trú Bá Thước” Ngành giáo dục tỉnh Thanh Hóa C 2018 - 2019 "Một số giải pháp phát triển kỹ tư lôgic cho học sinh bậc THCS thông qua dạy học toán chứng minh trường THCS Dân tộc Nội trú Bá Thước" Ngành giáo dục huyện Bá thước B 2019 – 2020 ... vào lớp 10 Từ yếu tố khách quan chủ quan Tơi tìm tịi nghiên cứu đề tài: ? ?Một số giải pháp nhằm phát triển tư cho học sinh lớp trường Phổ thông Dân tộc nội trú THCS Bá Thước từ toán cực trị đơn giản? ??... thức toán học lớp sau 1.3 Đối tư? ??ng nghiên cứu Các giải pháp tìm tịi phương pháp giải toán cực trị đại số nhằm phát triển tư duy, kĩ giải toán cực trị cho học sinh việc bồi dưỡng học sinh giỏi... rèn kỹ giải toán phân số trường THCS DT Nội trú Bá Thước? ?? Ngành giáo dục tỉnh Thanh Hóa C 2018 - 20 19 "Một số giải pháp phát triển kỹ tư lôgic cho học sinh bậc THCS thông qua dạy học toán chứng