SKKN phát triển tư duy học sinh lớp 9 trường THCS thị trấn cành nàng từ bài toán cực trị đơn giản

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn sáng kiến kinh nghiệm Khi giải hồn thành tốn nói chung tốn bất đẳng thức nói riêng em học sinh thường thoả mãn làm Rất em cịn suy nghĩ trăn trở tiếp như: - Cịn giải cách khơng? Cịn trình bày ngắn gọn khơng? - Cũng giả thiết cịn kết luận khơng? - Nếu thay đổi vài điều kiện giả thiết kết luận thu có đặc biệt Rõ ràng tự giác làm công việc sau giải tốn bất đẳng thức vơ có ý nghĩa Nó tạo cho em thói quen tốt sau giải xong cơng việc nhằm đánh giá mức làm, chưa làm từ rút học bổ ích cho Tuy nhiên thực tế đa số học sinh chưa có thói quen vậy, mà có hình thức thơi Do người thầy giáo dạy toán cần phải hướng dẫn cho học sinh thường xuyên thực công việc này, đặc biệt em có lực mơn Tốn Từ suy nghĩ tơi trăn trở mạnh dạn đưa hướng: “ Phát triển tư học sinh lớp trường THCS thị trấn Cành Nàng từ toán cực trị đơn giản ” nhằm giúp em tạo thói quen tốt sau giải toán đồng thời giúp em u thích mơn tốn có thêm điều kiện để phát triển thêm lực tư Ngoài việc khai thác có hiệu tốn cịn đem lại cho học sinh lòng say mê hứng thú mơn học tâm lí em ln muốn biết, muốn tìm tịi 1.2 Mục đích sáng kiến kinh nghiệm - Giúp học sinh nắm vững cách có hệ thống phương pháp vận dụng thành thạo phương pháp để giải tập - Nhằm nâng cao lực học toán, tìm tịi, sáng tạo, tư học sinh - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải tốn bất đẳng thức, tìm cực trị trình dạy học - Bồi dưỡng học sinh giỏi trường - Phát huy niềm đam mê u thích tốn học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu 2 - Nghiên cứu thực trạng học tập học bất đẳng thức nhóm đối tượng học sinh giỏi lớp trường THCS thị trấn Cành Nàng - Nghiên cứu số phương pháp giải toán bất đẳng thức - Nghiên cứu phương pháp phát triển tư nhóm đối tượng học sinh giỏi lớp trường THCS thị trấn Cành Nàng 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp khảo sát thực tế, thu thập thơng tin: Điều tra khảo sát tâm lí học sinh đứng trước toán bất đẳng thức - Phương pháp phân tích, tổng hợp, so sánh, thống kê, xử lý số liệu học sinh trước sau áp dụng SKKN - Phương pháp nghiên cứu lí luận: Tìm hiểu, nghiên cứu tài liệu bồi dưỡng, sách giáo khoa, sách tham khảo… NỘI DUNG 2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN Trong chương trình tốn học phổ thơng có nhiều dạng toán Các toán bất đẳng thức chiếm vai trị quan trọng có dung lượng tương đối lớn Nó niềm say mê cho người học toán dạy toán Trong đề thi học sinh giỏi toán 8, kỳ tuyển sinh vào lớp 10 trung học phổ thông, chí kỳ thi tuyển chọn giáo viên giỏi cấp ln hữu, thách thức người dạy người học Tuy nhiên toán bất đẳng thức tốn khó rộng Nhưng nhờ tốn bất đẳng thức mà học sinh áp dụng để giải dạng toán khác giải phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức, mối liên hệ yếu tố tam giác Và q trình tư người học phát triển mạnh mẽ Tuy nhiên để giải tốn bất đẳng thức, cực trị khơng phải dễ dàng, bên cạnh việc nắm vững khái niệm tính chất bất đẳng thức phải nắm vững phương pháp chứng minh bất đẳng thức Có nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, việc lựa chọn phương pháp để áp dụng cho để tìm kết lại việc làm khác Và nhiều để áp dụng phương pháp lại phải qua nhiều phương pháp biến đổi tạo bất đẳng thức để áp dụng Việc làm đòi hỏi người dạy người học cần có thái độ nghiên cứu học tập thực nghiêm túc 2.2 THỰC TRẠNG Qua thực tế dạy học trường trung học sở với việc trao đổi chuyên môn qua số giáo viên, việc dạy học nói chung việc bồi dưỡng cho đối tượng học sinh giỏi thơng qua dạy học giải tốn bất đẳng thức cực trị yêu cầu phát triển tư sáng tạo, nhận thấy số tồn sau: Do số tiết học lớp cịn ít, khối lượng tri thức cần truyền đạt nhiều đồng thời phải lịch phân phối chương trình theo quy định nên việc mở rộng, khai thác, ứng dụng sáng tạo kiến thức học chưa triệt để sâu sắc Điều ảnh hưởng đến việc huy động vốn kiến thức học sinh, hạn chế đến việc rèn luyện tính tích cực, độc lập, sáng tạo học sinh học tập, đối tượng học sinh giỏi Học sinh phát vấn đề mà thường lặp lại phát vấn đề giáo viên đưa ra, học sinh thường bị động tiếp nhận kiến thức từ phía giáo viên Cách dạy học làm hạn chế khả tìm kiếm, tự phát vấn đề học sinh, điều trái với quan điểm việc học theo xu hướng hoạt động hoá người học, lấy người học làm trung tâm Chính điều mà dạy học, người giáo viên phải biết trọng công tác bồi dưỡng học sinh lực nhận biết tìm tịi, phát triển vấn đề để giúp học sinh rèn luyện kỹ tư vào thói quen phát triển tìm tịi, thơng qua số thao tác trí tuệ Việc thường xuyên rèn luyện cho học sinh lực tạo cho học sinh thói quen ln ln tích cực khám phá kiến thức lúc, nơi Muốn làm tốt điều địi hỏi học sinh phải trải qua q trình tìm tịi, mị mẫm, dự đốn, suy xét nhiều góc độ để thử nghiệm Trong chương trình tốn trung học sở, hệ thống tập sách đa dạng phong phú rời rạc, thiếu liên kết với chủ đề Trong thực tế, cách dạy phổ biến giáo viên với tư cách người điều khiển đưa kiến thức giải thích chứng minh, sau đưa số tập áp dụng, làm cho học sinh cố gắng tiếp thu vận dụng Rõ ràng với cách dạy giáo viên thấy chưa thoả mãn dạy mình, học sinh thấy chưa hiểu cội nguồn vấn đề mà học cách máy móc, làm cho em có hội phát triển tư sáng tạo, có hội khai thác tìm tịi Để khắc phục tồn trên, người giáo viên cần phải có phương pháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm phần khai thác phát triển toán bất đẳng thức bản, đồng thời phải phối hợp nhiều định lý, toán học vào việc giải toán, từ tốn dễ đến tốn khó mà huy động kiến thức cần thiết, cần phải làm cho học sinh thấy cần thiết thiếu hụt tri thức thân Bởi học sinh nhận thiếu hụt tri thức thân thiếu hụt yếu tố kích thích chuyển động thích nghi để tìm kiếm lại cân Học sinh trở thành người mong muốn bù lấy thiếu hụt đó, thoả mãn nhu cầu nhận thức thân 4 Do đặc điểm nội dung kiến thức, sáng kiến kinh nghiệm đưa để áp dụng cho em khối lớp Trong q trình ơn học sinh giỏi khối trường THCS Thị trấn Cành Nàng, đưa tập mà chưa hướng em tư kết thu khiêm tốn Cụ thể ôn 15 em học sinh khối sau số kiểm tra với nội dung tương tự SKKN trình bày, kết thu sau: Bảng 1: Mức độ hứng thú học sinh trước áp dụng SKKN Tổng Hứng thú Hơi hứng thú Không hứng HS thú SL % SL % SL % 15 13,3 26,7 60 Bảng 2: Bảng điểm khảo sát học sinh trước áp dụng SKKN Điểm Dưới 5–6 – 10 SL % SL % SL % SL % Lớp 10 66,7 20 13,3 0 Kết khảo sát khiến tơi trăn trở nhiều mức độ hứng thú khả làm em khơng cao Do tơi tăng cường phương pháp dạy học tích cực, tận dụng tối đa tiết dạy, quan tâm phần khai thác phát triển toán bất đẳng thức bản, đồng thời phải phối hợp nhiều định lý, toán học vào việc giải toán, từ toán dễ đến tốn khó, từ kiến thức đến kiến thức nâng cao làm cho học sinh thấy cần thiết thiếu hụt tri thức để phát triển tư thân 2.3 CÁC GIẢI PHÁP Tôi bắt đầu đưa cho em học sinh toán quen thuộc sau: 2 Bài toán: Cho a  0; b  Chứng minh rằng:  a  b   a  b  �0 Phân tích hướng dẫn: Với tốn này, học sinh giỏi khơng khó, với học sinh trung bình yếu tơi cần hướng dẫn em biến đổi 2 Nhận thấy: a  b   a  b   a  b  em tìm lời giải:  a  b   a  b2    a  b   a  b   a  b    a  b   a  b  �0 với a,b  Dấu ''  '' xảy a  b Nhận xét: Rõ ràng dừng lại tốn khơng có hấp dẫn khó phát triển tư em học sinh Tôi đặt vấn đề: Nếu ta tăng số mũ biến lên gấp đơi bất đẳng thức cịn khơng? Từ tơi đưa cho em tốn sau: 2 4 Bài toán 1: Cho a  0; b  Chứng minh rằng:  a  b   a  b  �0 Bằng tư tương tự toán đầu, em biết biến đổi đẳng thức có kết quả: a b a b  a b a b a b    a  b   a  b  �0 với a,b  2 2 2 2 2 2 Dấu ''  '' xảy a  b Qua toán 1, nhận thấy hào hứng em biết vận dụng cách tư từ tốn ban đầu Tiếp tục tơi u cầu em thử thay đổi số mũ biến a b toán ban đầu xem kết nào? Và nhiều em tìm toán sau: Bài toán 2: Cho a  0; b  Chứng minh rằng: a  b3   a  b5  �0 Phân tích hướng dẫn: Bài tốn với cách suy nghĩ tương tự toán 1, em dễ dàng nhận thấy: a  b3   a  b   a  ab  b  a  b5   a  b   a  a3b  a b  ab3  b4  a a Từ em tìm lời giải:  b3   a  b5    a  b   a  ab  b   a  b   a  a 3b  a 2b  ab3  b   b3   a  b5    a  b  a  ab  b   a  a3b  a 2b  ab3  b4  �0 với a,b  Dấu ''  '' xảy a  b Nhận xét : Vậy liệu có tốn tổng qt tốn ban đầu khơng? Kết hợp với phân tích hướng dẫn tơi em tìm cơng thức tổng qt sau: Bài toán 3: Với a  0; b  m,n số tự nhiên thì: a n  b n   a m  b m  �0 * Học sinh dễ dàng chứng minh cơng thức Ta có: a n  b n   a  b   a n1  a n2b   ab n  b n1  a m  b m   a  b   a m1  a m2b   ab m2  b m1  �  a n  bn   am  bm    a  b   a n1  a n2b   ab n2  b n 1   a  b   a m1  a m 2b   ab m2  b m1    a  b a n 1  a n2b   ab n2  b n1   a m1  a m2b   ab m2  b m1  �0 với a,b  Dấu ''  '' xảy a  b n n m m Vậy:  a  b   a  b  �0 (với a  0; b  m,n ��* ) (*) Việc làm toán tổng quát từ toán ban đầu thiết nghĩ phát triển tư em tăng lên nhiều Khơng dừng lại đó, tơi tiếp tục đưa toán sau cho em: 3 Bài toán 4: Cho a  0; b  Chứng minh rằng: a  b �ab  a  b  Phân tích hướng dẫn: Với tốn này, tìm nhiều cách giải khác tơi hướng dẫn cho học sinh ý đến công thức tổng quát (*) em tìm cách giải dễ dàng 2 Theo công thức tổng quát (*) ta có:  a  b   a  b  �0 � a  b3  ab  a b �0 � a  b �ab  a  b  Tương tự tốn 4, tơi tiếp tục cho em làm toán sau: 4 2 Bài toán 5: Cho a, b > Chứng minh rằng: a  b �ab  a  b  3 Theo (*) ta có:  a  b   a  b  �0 � a  b  a 3b  ab3 �0 � a  b  a 3b  ab3 �0 � a  b �ab  a  b  Bằng cách tư trên, em hồn thành cách giải tốn cách dễ dàng Vậy với tốn chứa mẫu cách khai thác có ví dụ hay khơng ? Tơi tiếp tục đưa cho em toán sau: Bài toán 6: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: 1   �1 3 a  b  b  c  c  a3  Phân tích hướng dẫn: Phần lớn học sinh gặp toán thường bị lúng túng việc tìm lời giải, kể học sinh giỏi Nếu hướng dẫn cho học sinh ý mẫu phân thức học sinh nhớ đến công thức tổng quát (*) em tự tìm lời giải dễ dàng Ta có: (a  b)(a  b ) �0 � a  b3 �ab(a  b) � a3  b3  �ab(a  b)  abc  a  b3  1 ab(a  b)  abc ab(a  b  c) abc ab(a  b  c ) c abc c � a  b3  a  b  c a � Tương tự: b  c3  a  b  c b � c3  a3  a  b  c Cộng vế theo vế ta có: Hay là: 1 c a b abc   �    1 3 a  b 1 b  c 1 c  a 1 a  b  c a  b  c a  b  c a  b  c Chú ý rằng: Nếu ta thay abc  m khai thác toán sau: Cho a, b, c  0; abc  m Chứng minh rằng: 1 1   � a3  b3  m b3  c3  m c3  a  m m m cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: n 1 1   � na  nb3  m nb3  nc3  m nc3  na  m m Hồn tồn tương tự, tơi cho em tìm hiểu tốn: Bài tốn 7: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: ab bc ca   �1 5 a  b  ab b  c  bc c  a  ca Phân tích hướng dẫn: Ngay từ đầu mà gặp toán chắn học sinh khó khăn hoang mang việc tìm cách giải tốn, việc làm quen với công thức tổng quát (*) cần gợi ý cho học sinh em tự tìm lời giải cho tốn Ta có: (a  b )(a3  b3 ) �0 � a5  b5 �a b2 (a  b) � a5  b5  ab �ab(ab(a  b)  abc )  a 2b (a  b  c )  ab a  b5  ab ab a b (a  b  c ) 2 ab(a  b  c ) abc ab(a  b  c ) c abc ab c � a  b  ab a  b  c bc a � Tương tự: 5 b  c  bc a  b  c ca b � 5 c  a  ca a  b  c Cộng vế theo vế ta được: ab bc ca abc   � 1 5 5 a  b  ab b  c  bc c  a  ca a  b  c Với việc học sinh tự tìm lời giải cho tốn làm cho học sinh tự tin thân kích thích hứng thú học tốn cho em, từ phát huy tính sáng tạo cho em Mạnh dạn tiếp tục đưa cho em toán phức tạp hơn: Bài toán 8: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: Hay là: 1 1   � 3 (a  b)  (b  c)  (c  a)  4 Phân tích hướng dẫn: Ta thấy mẫu phân thức có chứa đẳng thức, cần hướng dẫn em phân tích áp dụng cơng thức tổng quát (*) thấy hướng giải Ta có:  a  b    a  b3  3ab  a  b   Mà: (a  b)(a  b ) �0 � a  b3 �ab(a  b) 3 Suy ra: a  b  3ab  a  b   �4ab  a  b   �  a  b   �4ab  a  b   4abc  4ab  a  b  c   ( a  b)3  Tương tự: 4ab( a  b  c) abc 4ab( a  b  c) a � (b  c)3  4( a  b  c) b � (c  a)  4(a  b  c) Cộng vế theo vế ta được: c 4(a  b  c) 1 abc   �  3 (a  b)  (b  c)  (c  a)  4( a  b  c) Dấu ''  '' xảy khi: a  b  c 1 1   � Vậy: 3 (a  b)  (b  c)  (c  a)  4 Với tốn có luỹ thừa bậc lẻ hạng tử mẫu cách giải áp dụng trực tiếp công thức tổng quát (*) cịn tốn có luỹ thừa bậc chẵn hạng tử mẫu cách giải khai thác có khác tốn khơng? Tơi tiếp tục đưa tốn để kích thích tư em: Bài tốn 9: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: 1   �1 2 a  b  b  c  c  a2  Phân tích hướng dẫn: Ta thấy rằng: Luỹ thừa hạng tử mẫu chẵn quy lạ quen tức đưa luỹ thừa chẵn luỹ thừa lẻ cách đặt ẩn phụ áp dụng công thức tổng quát (*) để thực toán Đặt a  x3 ;b  y ;c  z � xyz  abc  ; lúc tốn trở thành: Chứng minh rằng: 1   �1 với x, y, z  0; 3 x  y  y  z  z  x3  xyz  Đây tốn quen thuộc giải ( Bài toán 6) Tương tự khai thác tốn với số mũ cao hơn: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: 1   �1 4 a  b  b  c  c  a4  1 1  2n  2n �1 ( với n số tự nhiên) b) n 2n 2n a  b  b  c  c  a 2n  Khi thấy em hứng thú có đột phá tư duy, tơi tiếp tục phát triển thêm tốn sau : Bài toán 10: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: a) c a b   �1 4 a  b  c b  c  a c  a4  b Phân tích hướng dẫn: Rõ ràng mẫu thức phân thức gợi cho em công thức tổng quát (*) Sau thời gian ngắn tìm tịi biến đổi, nhiều em có hướng giải 10 Ta có: (a  b)(a  b ) 0  a  b a b  ab ab(a  b ) Khi a  b  c  a  b  abc �ab( a  b )  abc (do abc 1 ) Hay a  b4  c �ab(a  b2  c2 ) c 4 a  b4  c abc Dấu xảy  a b ab(a  b  c ) Tương tự ta có: a bca � Dấu xảy  b c b  c  a bc(a  b2  c ) b cab � Dấu xảy  c a c  a  b ca(a  b2  c ) Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : c a b   4 4 a  b  c b  c  a c  a4  b abc bca cab �   ab(a  b  c ) bc (a  b  c ) ca(a  b  c ) = c2 a2 b2   1 a  b2  c a  b  c a  b  c c a b   �1 4 a  b  c b  c  a c  a4  b Từ toán này, ta thấy phát triển nhiều khác mà học sinh tự suy nghĩ tìm lời giải Từ tạo hứng thú cho em, em ham muốn học toán hơn, phát huy tính tích cực sáng tạo cho em Bài toán 11: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: Vậy: c3 a3 b3 a3  b3  c   � a  b6  c b6  c  a c  a  b3 Phân tích hướng dẫn: Với dạng tốn này, sau làm toán trên, khơng khó để tìm cách giải kể học sinh trung bình Nhưng học sinh gặp, kể học sinh giỏi lúng túng, khó tìm hướng giải Theo cơng thức (*), ta có: (a  b)(a  b5 ) �0 � a  b6 �ab(a  b ) Nên: a  b6  c3 �ab(a  b )  c3  ab(a  b )  abc 11  ab( a  b  c ) c3  a  b6  c3 Tương tự: c3 ab(a  b  c ) a3 a3 � b6  c  a3 bc(a  b  c ) b3 b3 � c  a  b3 ca(a  b4  c ) Cộng vế theo vế ta có: c3 a3 b3   a  b6  c3 b  c  a c  a  b3 c3 a3 b4 �   ab(a  b  c ) bc (a  b  c ) ca (a  b  c ) �a b3 c3 �   �  � a  b  c �bc ca ab �  �a b4 c4 �   � � a  b  c �abc abc abc � Mặt khác ta thấy: =  1 a  b  c 3 a 3b c � 1 3  2 c3 a3 b3 a  b3  c Từ (1) (2) �   �1 � a  b  c b  c  a c  a  b3 c3 a3 b3 a  b3  c   � a  b6  c3 b6  c  a c  a  b3 Tiếp tục kích thích tư em, tơi đưa tiếp tập sau: Bài toán 12: Cho a, b, c  0; Chứng minh rằng: 1 1   � 6 2 2 2 a b a b c b c a b c c a a b c (abc )2 Vậy: Phân tích hướng dẫn: Khi em có tư định việc nhìn nhận tốn khơng có khó khăn Để ý mẫu thức phân thức, em áp dụng cơng thức tổng quát (*) để biến đổi toán trở nên dễ dàng Dựa vào cơng thức (*) ta có: (a  b )(a  b ) �0 � a  b6 �a 4b  a 2b  a 2b (a  b ) 12 Khi đó: a  b6  a 2b 2c �a 2b (a  b )  a 2b 2c  a 2b (a  b  c ) 1 � Dấu xảy  a b a  b  a 2b c a 2b ( a  b  c ) Tương tự ta có: 1 � Dấu xảy  b c b  c  a 2b c b c ( a  b  c ) 1 �2 2 Dấu xảy  c a 2 c a a b c c a (a  b  c ) 6 Cộng theo vế bất đẳng thức ta có : 1   6 2 2 a b a b c b c a b c c  a  a 2b c 1 �2 2  2  2 2 2 a b (a  b  c ) b c (a  b  c ) c a ( a  b  c )  1 � �1   � � a  b  c �a b b c c a � � c2 a2 b2 �    � � a  b  c �a 2b c a 2b c a 2b c �  Vậy: �a  b  c � a  b  c � a 2b c � 1 � 2  (abc )2 �abc 1 1   � a  b6  a 2b c b6  c  a 2b c c  a  a 2b c (abc )2 Chú ý rằng: Nếu abc  tốn 11 khai thác theo hướng khác là: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: 1   �1 6 a  b  b  c  c  a6  Khi em quen với chuỗi tốn trên, tơi đưa cho em toán dễ để xem hướng tư em nào? Bài toán 13: Cho a, b, c  0; Chứng minh rằng: a2 b2 c2 a  b3  c3   � b2  c2 c2  a a  b2 2abc Phân tích hướng dẫn: Lúc tốn khơng làm khó em Các em biết vận dụng công thức (*) thành thạo: (a  b)(a  b) �0 � a  b �2ab 13 Do đó: c2 c2 c3 �  a  b 2ab 2abc a2 b2 c2 a3 b3 c3 a  b3  c   �    Nên: b  c c  a a  b 2abc 2abc 2abc 2abc a2 b2 c2 a  b3  c3   � Vậy: b  c2 c2  a a  b2 2abc Từ toán này, tơi tiếp tục đưa tốn khác với cách giải tương tự em khơng khó để tìm lời giải Bài tốn 14: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: 1 a  b2  c2   �  a  b2  c2 Phân tích hướng dẫn: Từ cơng thức (*), ta có:   a    a  �0 �  a  2a �0 �  a �2a a  b  c �ab  bc  ca Và học sinh dễ dàng làm tốn 1 Ta có:  a �2 a  1 a 2a Từ đó: 1 1 1 �ab  bc  ca �   �    � � 2 1 a 1 b 1 c 2a 2b 2c � abc � �ab  bc  ca � a  b  c Mặt khác: � �� � abc � 1 a  b2  c   � Vậy:  a  b2  c2 Từ công thức (*) em biết vận dụng để chứng minh số bất đẳng thức đại số Tôi tiếp tục đưa em vào guồng tư cho toán tìm cực trị Bài tốn 15: Cho a, b, c  0; abc  2021 Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 1  3  3 a  b  2021 b  c  2021 c  a  2021 Phân tích hướng dẫn: Đây tốn khai thác từ toán nên hầu hết em dễ dàng tìm lời giải dựa vào cơng thức (*) P 3 Ta có: (a  b)(a  b ) �0 � a3  b3 �ab(a  b)  a  b  2021 3 ab(a  b)  abc ab(a  b  c ) ab(a  b  c ) 14 Hay là: 1 � a  b  2021 ab(a  b  c ) Tương tự: 1 � b  c  2021 bc (a  b  c ) 3 3 1 � c  a  2021 ca( a  b  c) 3 Cộng vế theo vế ta có: 1  3  3 3 a  b  2021 b  c  2021 c  a  2021 1 �   ab(a  b  c ) bc(a  b  c ) ca (a  b  c )  abc 1   abc(a  b  c) abc 2021 Hay P � 2021 2021 2021 Vậy: Giá trị lớn P a  b  c  2021 Với toán chưa có dạng để áp dụng cơng thức (*) phải làm náo ta xét toán sau : Bài toán 16: Cho a, b, c  0; abc  Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 1 A   3  a  b   b  c   c  a  Dấu “=” xảy a  b  c  Phân tích hướng dẫn: Mẫu phân thức có chứa đẳng thức, cần hướng dẫn em phân tích mẫu thấy hướng giải Ta có:  a  b   a  b3  3ab  a  b   Theo tính chất (*) ta có: (a  b)(a  b ) �0 � a  b3 �ab(a  b) Suy ra: a  b  3ab(a  b)  4ab(a  b)  �  a  b   �4ab  a  b   4abc  4ab  a  b  c  Nên: 1 abc c �   (a  b)3  4ab(a  b  c) 4ab(a  b  c ) 4(a  b  c) Tương tự: a � (b  c)  4(a  b  c) 15 b � (c  a)  4( a  b  c) Cộng vế theo vế ta được: 1 abc   �  3 (a  b)  (b  c)  (c  a)  4(a  b  c) Dấu “=” xảy khi: a  b  c  1 Vậy: Giá trị lớn biểu thức A khi: a  b  c  Sau em giải xong tốn trên, tơi ln ý cho em tốn theo hướng khác sau: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: 1 1   � 3 (a  b)  (b  c)  (c  a)  4 Mạnh dạn hơn, đưa toán với số mũ lớn để xem tư em nào? Bài toán 17: Cho a, b, c  0; abc  Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a 2b b 2c c2a2 A   a  b  a 2b b  c  b c c  a  c a Phân tích hướng dẫn: Bài tốn làm khó số em phút Khi qua số gợi ý em tự tìm lời giải cho tốn từ tạo cho em lịng đam mê học tốn Ta thấy: a  b3   a  b4  �0 � a  b7 �a 3b3 (a  b) Khi đó: a  b7  a 2b �a3b3 (a  b)  a 2b  a 3b3 (a  b)  a 3b3c  a 3b3 (a  b  c ) a 2b  a  b  a 2b Hay a 2b a 3b3 (a  b  c ) ab(a  b  c ) a 2b c � 7 2 a b a b a bc Tương tự: b 2c a � 7 2 b c b c abc c 2a b � 7 2 c a c a abc Cộng vế theo vế ta c a bc 16 a 2b b 2c c 2a a bc   � 1 a  b7  a 2b b7  c  b 2c c  a  c 2a a  b  c Dấu “=” xảy a  b  c  Vậy: Giá trị lớn A khi: a  b  c  Tơi tiếp tục đưa cho em tốn tương tự: Bài toán 18: Cho a, b, c  0; abc  Tìm giá trị lớn biểu thức sau: 5 c5 a b   5 a  b8  c b8  c8  a c8  a8  b Phân tích hướng dẫn: Đến lúc em khơng cịn gặp khó khăn A Ta có: (a  b)(a  b7 ) �0 � a8  b8 �ab(a  b ) Do đó: a8  b8  c5 �ab(a6  b6 )  c5  ab( a  b )  abc  ab( a  b6  c ) Vậy: c5 c5 � a8  b8  c ab(a  b6  c ) Tương tự: a5 a5 � b8  c8  a5 bc(a  b6  c ) b5 b5 � c8  a8  b5 ca (a  b6  c ) Cộng theo vế ta được: c5 a5 b5 A�   ab(a  b  c ) bc(a  b  c ) ca (a  b  c ) �c a b5 �  �   � a  b6  c �ab bc ca � �c a6 b6 �   �  � a  b6  c �abc abc abc �  a  b6  c  1 abc (a  b6  c ) abc Dấu “=” xảy a  b  c  Vậy: Giá trị lớn A a  b  c  17 Hoàn toàn tương tự, ta tạo nhiều tốn khác mà cách chứng minh dựa vào công thức (*) Qua đó, thấy xuất phát từ “bài tốn đơn giản” tìm cơng thức tổng qt, có tính chất chung đó, hướng dẫn học sinh khai thác nhiều toán Và với cách làm học sinh dễ nhớ, dễ tiếp thu từ em lĩnh hội có cho cách giải tốn Từ tạo hứng thú cho em, kích thích tính chủ động sáng tạo cho em em đam mê học nghiên cứu môn tốn Sau hồn thành chuỗi tốn trên, tơi yêu cầu em sáng tác cho tập tương tự Và kết nằm ngồi dự kiến tơi Các em đem lại cho niềm tin vào cách khai thác phát triển toán Các em đưa số tập tương tự : Bài 1: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: 1  3  �abc 3 a  b  abc b  c  abc c  a  abc Bài 2: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: 1   �1 3 ( a  b )  4abc ( b  c )  4abc ( c  a )3  4abc Bài 3: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh 1 1   � 3 (a  b)  (b  c)  (c  a)  4 Bài 4: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: 1   �1 a  b8  b  c  c  a  Bài 5: Cho a, b, c  0; abc  Chứng minh rằng: a2 b2 c2    (a  b  c ) 2 2 b c c a a b Bài 6: Cho a, b, c  0; abc  Tìm giá trị lớn biểu thức: M  1   6 a  b 1 b  c 1 c  a 1 Bài 7: Cho a, b, c  0; abc  Tìm giá trị lớn biểu thức: c4 a4 b4   1 a  b7  c b7  c7  a c7  a7  b4 2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 18 Khi chưa thực SKKN này, học sinh giải số tập bất đẳng thức, cực trị đơn giản, hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn, ngại làm tập bất đẳng thức tìm cực trị Sau thực đề tài học sinh có hứng thú giải tốn bất đẳng thức, làm tập tốt hơn, tự giải tập bất đẳng thức cực trị có dạng tương tự, hạn chế nhiều sai lầm giải toán bất đẳng thức cực trị, học sinh có kỹ làm tốn bất đẳng thức cực trị cách hợp lý, hiệu em nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Từ kích thích tò mò, sáng tạo, ham học hỏi, khám phá lạ học tập mơn tốn nói riêng mơn khoa học khác nói chung Do đặc điểm nội dung kiến thức, sáng kiến kinh nghiệm đưa để áp dụng cho em khối lớp Kết thu sau áp dụng SKKN nằm suy nghĩ mong đợi tơi Niềm đam mê u thích em tăng nhiều đặc biệt trình bày tốn cực trị em làm tốt đạt kết cao Kết thu sau: Bảng 3: Mức độ hứng thú học sinh sau áp dụng SKKN Tổng Hứng thú Hơi hứng thú Không hứng HS thú SL % SL % SL % 15 14 93,3 6,7 0 Bảng 4: Bảng điểm khảo sát học sinh sau áp dụng SKKN Điểm Dưới 5–6 – 10 SL % SL % SL % SL % Lớp 0 6,7 26,6 10 66,7 KẾT LUẬN-KIẾN NGHỊ 3.1 KẾT LUẬN Như vậy, sau toán hướng cho học sinh dành thời gian định để suy xét tốn Thiết nghĩ phương pháp học tốn làm tốn bổ ích Làm điều với học sinh tạo hiểu sâu hơn, có nhiều phương pháp giải đương nhiên tìm phương pháp hay Vận dụng sáng kiến vào giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi nhận thấy việc làm thiết thực phù hợp với trình độ nhận thức học sinh, phù hợp chương trình đổi theo định hướng phát triển lực cho học sinh giáo dục kỹ sống cho học sinh 3.2 KIẾN NGHỊ 19 Để đạt hiệu cao dạy học mơn Tốn, giáo viên phải có phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh Muốn có phương pháp tốt địi hỏi người thầy phải thường xuyên học hỏi, tự bồi dưỡng kiến thức cho Đồng thời phải trang bị cho học sinh ý tưởng giải tốn, sau rèn luyện kỹ trình bày lời giải Nội dung tập phát triển phải theo trình tự logic từ dễ đến khó Học sinh phải có thời gian tự học, trao đổi, tự tìm tịi lời giải, tự phân tích phát triển toán theo nhiều hướng khác Trên kinh nghiệm cá nhân nên tránh khỏi hạn chế Tôi mong đánh giá góp ý bạn đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp để kinh nghiệm ngày hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn BGH trường THCS Thị trấn Cành Nàng đồng nghiệp giúp đỡ tơi hồn thành SKKN XÁC NHẬN CỦA HIỆU TRƯỞNG Nguyễn Tiến Đạt Bá Thước, ngày 30 tháng năm 2021 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI VIẾT Nguyễn Thanh Tuấn 20 21 TÀI LIỆU THAM KHẢO SGK Toán 9, tập SBT Toán 9, tập Các toán giá trị lớn nhất, nhỏ đại số THCS Một số phương pháp chứng minh BĐT trường THCS Những viên kim cương BĐT Các lời giải khác toán BĐT Tuyển tập toán BĐT 22 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Nguyễn Thanh Tuấn Chức vụ đơn vị công tác: Giáo viên trường THCS thị trấn Cành Nàng Kết đánh giá xếp loại TT Tên đề tài SKKN Cấp đánh giá xếp loại Năm học đánh giá xếp loại Phát triển tư học sinh qua Cấp huyện B 2010 tốn hình Phát triển tư học sinh qua Cấp tỉnh C 2010 tốn hình Rèn luyện kỹ tư cho học Cấp huyện B 2015 Cấp huyện B 2017 Cấp tỉnh B 2017 sinh lớp qua việc khai thác phát triển tốn cực trị hình học Rèn luyện kỹ tư cho học sinh lớp trường THCS thị trấn Cành Nàng qua việc khai thác phát triển tốn hình học Rèn luyện kỹ tư cho học sinh lớp trường THCS thị trấn Cành Nàng qua việc khai thác phát triển toán hình học ... thác phát triển toán cực trị hình học Rèn luyện kỹ tư cho học sinh lớp trường THCS thị trấn Cành Nàng qua việc khai thác phát triển tốn hình học Rèn luyện kỹ tư cho học sinh lớp trường THCS thị trấn. .. học tập học bất đẳng thức nhóm đối tư? ??ng học sinh giỏi lớp trường THCS thị trấn Cành Nàng - Nghiên cứu số phương pháp giải toán bất đẳng thức - Nghiên cứu phương pháp phát triển tư nhóm đối tư? ??ng... loại Phát triển tư học sinh qua Cấp huyện B 2010 tốn hình Phát triển tư học sinh qua Cấp tỉnh C 2010 tốn hình Rèn luyện kỹ tư cho học Cấp huyện B 2015 Cấp huyện B 2017 Cấp tỉnh B 2017 sinh lớp