Chuyên đề bất đẳng thức Cosi lớp 8 - Giáo viên Việt Nam

Giaovienvietnam com MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Phần một Phần Mở Đầu Lí do chọn đề tài Trong toán học bất đẳng thức Cauchy và bất đẳng thức Bunyakovski là hai bất đẳng thức cổ điển có nhiều ứng dụng trong giải toán Chúng được sử dụng nhiều trong chương trình giải toán phổ thông đặc biệt là trong các kì thi tuyển sinh đại học và các kì thi học sinh giỏi Đề tài về hai bất đẳng thức này là không mới Tuy nhiên em vẫn chọn đề tài này do đây là mảng kiến t[.]

Giaovienvietnam.com MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Phần một: Phần Mở Đầu Lí chọn đề tài Trong tốn học bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunyakovski hai bất đẳng thức cổ điển có nhiều ứng dụng giải tốn Chúng sử dụng nhiều chương trình giải tốn phổ thơng đặc biệt kì thi tuyển sinh đại học kì thi học sinh giỏi Đề tài hai bất đẳng thức không Tuy nhiên em chọn đề tài mảng kiến thức em thích, em giải nhiều tốn có ứng dụng hai bất đẳng thức thân em chưa tổng kết phương pháp sử dụng hai bất đẳng thức giải tốn Vì nghiên cứu đề tài giúp em hệ thống lại kỹ thuật sử dụng hai bất đẳng thức cách rõ ràng Và sau trở thành giáo viên em thấy tự tin giảng dạy mảng kiến thức từ giúp học sinh hiểu rõ Bên cạnh đó, em thấy đề tài hợp với khả mình, đặc biệt em thực đề tài với hướng dẫn tận tình giáo viên hướng dẫn với nguồn tài liệu khơng nên em tin hồn thành tốt đề tài Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp tham khảo tài liệu chủ yếu Phần hai: Nội Dung Nghiên Cứu MỘT SỐ QUY TẮC CHUNG KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Quy tắc song hành: Đa số bất đẳng thức có tính đối xứng nên sử dụng nhiều bất đẳng thức chứng minh toán để định hướng cách giải nhanh Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” bất đẳng thức có vai trị quan trọng Nó giúp ta kiểm tra tính đắn chứng minh, định hướng cho ta cách giải Chính giải toán chứng minh bất đẳng thức toán cực trị ta cần rèn luyện cho thói quen tìm điều kiện dấu số khơng u cầu trình bày phần Quy tắc tính đồng thời dấu bằng: Chúng ta thường mắc sai lầm tính xảy đồng thời dấu “=” áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức Khi áp dụng liên tiếp song hành nhiều bất đẳng thức dấu “=” phải thỏa mãn với điều kiện biến Quy tắc biên: Đối với tốn cực trị có điều kiện ràng buộc cực trị thường đạt vị trí biên Quy tắc đối xứng: Các bất đẳng thức có tính đối xứng vai trị biến bất đẳng thức dấu “=” thường xảy vị trí biến Nếu tốn có điều kiện đối xứng dấu “=”xảy biến giá trụ cụ thể MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Cho n số thực không âm a1 , a , , a n , n  Z , n 2 , ta ln có: a1  a   a n n n a1 a a n Dấu “=” xảy a1 a  a n MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY Kỹ thuật tách ghép số Kỹ thuật tách ghép Bài 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  a  b  b  c  c  a  8abc Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:  a  b  b  c  c  a  2 ab bc ac 8abc (đpcm) Bài 2: Cho số thực dương a, b, c, d Chứng minh rằng: ac  bd   a  b  c  d  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ac  bd a c b d    a  b  c  d   a  b  c  d   a  b  c  d   1 a c  1 b d   a b c d            1 2 a b c d  2 a b c d  2 a b c d  ac  bd   a  b  c  d  (đpcm) a  c Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa  Chứng minh rằng: b  c c a  c   c b  c   ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: Giaovienvietnam.com c a  c   c  b  c  ab  c  a  c c b  c  b a a b 1c a c 1c b c        2b a  2a b  1c c 1c c           1 2b a 2a b  c a  c   c b  c   ab (đpcm) Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng:  abc 3 1  a 1  b 1  c  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:  abc 1 a b c 3 3 1  a 1  b 1  c  1  a  1  b  1  c  1  a  1  b  1  c  1 1  1 a b c           1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c  1 a 1 b 1 c       1 1 a 1 b 1 c    abc 3 1  a 1  b 1  c  (đpcm)  a 1 Bài 5: Cho số thực dương a, b thỏa  Chứng minh rằng:  b 1 a b   b a  ab Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: ab a b   a ab  a   a  ab  a   (1) 2 ab Tương tự: b a   (2) Cộng theo vế (1) (2), ta được: a b   b a  ab (đpcm) Bài 6: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: 16ab a  b   a  b  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: 16ab a  b  4. 4ab  a  b  2  4ab   a  b     a  b  4.  4.   a  b      (đpcm) Bài 7: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: a1  b   b1  c   c1  a  33 abc  abc Giải: Ta có: a1  b   b1  c   c1  a   a  b  c    ab  bc  ca  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a  b  c 33 abc  ab  bc  ca 33  abc      a  b  c    ab  bc  ca  33 abc  33  abc  33 abc  33 abc     a 1  b   b1  c   c1  a  33 abc  abc (đpcm) Bài 8: Cho số thực dương a, b Chứng minh rằng: ab  a b  a  b  b a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: a b  ab a   ab b   a b  ab            b a  2b   2a   2b 2a  ab a ab b a b 2 2 2 a  b  (đpcm) 2b 2a 2b 2a Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c 10 Tìm GTLN của: A a 2b 3c Giải: Ta có: a a b b b c c c c c a b c 10 a  b  c           1010       2 3 5 5  2  3  5  10 a    2 b    3 c a b   1      5  2  3 5 c   1  a 2b 3c 22 3355 337500  5 Giaovienvietnam.com a b c a b c a b c        1  Dấu “=” xảy   5 10  a  b  c 10 Vậy GTLN A 337500 Kỹ thuật tách nghịch đảo a b Bài 1: Chứng minh rằng:  2 , a,b  b a Giải: a b  0, 0 Vì a,b  nên b a Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b a b  2 2 (đpcm) b a b a Bài 2: Chứng minh rằng: a   a 2   b 3  c 5  3 , a  a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 a a    2  a  1  2  3 (đpcm) a a a a2  2 , a  R Bài 3: Chứng minh rằng: a 1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a2  a 1 1 1   a 1  2 a  2 (đpcm) 2 a 1 a 1 a 1 a 1 Bài 4: Chứng minh rằng: 3a  , a 0  9a Giải: Với a 0 , áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 3a 1 1     4 (đpcm) 9a  9a  3a 2 3a 2  2 3a 3a 3a 3a 2  a2    , a   Bài 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  a  1    a 1  Giải:  a  2a    A  a  1   a    2   a  1  1  a  1     a 1  2    a  1   a    a 1  2 Cauchy 1  2 2 a  1  2    a  1  a  1 2  4 Dấu “=” xảy 2 a  1  hay a   a  1 Vậy GTNN A 2  2 Bài 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A a  , a  a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a a a a 1 A a     3 33  2 a a a a 2 2 a 2 2 a Dấu “=” xảy  hay a 3 a Vậy GTNN A  3 , a  b  Bài 7: Chứng minh rằng: a  b ( a  b) Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 a  1  Giaovienvietnam.com 1 a b   a  b   33 b. a  b  3 b a  b  b a  b  b a  b  3 , a  b  Bài 8: Chứng minh rằng: a   a  b  b  1 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  b  1   b  1  a  a  b   1 2  a  b  b  1  a  b   b  1  b  1 2  b  1  b  1 4  a  b   3  b  1  b  1 2  a  b 2 Kỹ thuật ghép đối xứng Trong kỹ thuật ghép đối xứng ta cần nắm số thao tác sau: a b b c c a    a b c  2 Phép cộng:   2 a  b  c   a  b    b  c    c  a   abc  ab bc ca ,  a, b, c 0 Phép nhân:  2  a b c  ab  bc  ca  bc ca ab   a  b  c Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: a b c Giải: Ta có: bc ca ab  bc ca   ca ab   ab bc              a b c 2 a b  2 b c  2 c a bc ca ca ab ab bc   a  b  c a b b c c a a2 b2 c2 b c a Bài 2: Cho ba số thực abc 0 CMR:      a b c b c a Giải: Ta có:  2 2 2 2 a b c 1a b  1b c  1c a2                b c a 2  b c   c a   a b  a2 b2 b2 c2 c2 a2 b c a      2 2 a b c b c c a a b Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa abc 1 CMR: b c c a a b    a  b  c 3 a b c Giải:  bc b  c c  a a  b bc ca ab      2  a b c a b c  a  bc ca   ca ab            b   b c    a b c a    a b c  bc ca 2 a b 2    ca ab 2 b c ca ab   b c  ab bc    c a  ab bc c a   2 a  b  c  a  b  c  a b c   a  b  c  33 a b c  a  b  c  b c c a a b    a  b  c 3 Vậy a b c a b c Bài 4: Cho ABC , AB c, BC a, CA b, p  CMR:  p  a  p  b  p  c   abc Giải: Ta có:  p  a  p  b  p  c    p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a    p  a    p  b  p  b   p  c   p  c    p  a  2 2 p   a  b p  b  c p   c  a    abc 2 Giaovienvietnam.com a b c CMR: b c c a a b  b c  c a   a b   1    1    1   a b c a   b   c   1  1 1 a b c b c a c a b   2       3 p a p b p c a b c a b c Giải:  1 1  a  b  c      9  6 Ta có: a b c 1 1 1  1 1  1 1       a b c           p  a p  b p  c  p  a p  b   p  b p  c   p  c p  a Bài  2: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: b c c a a b 1 (Bất đẳng thức Nesbit)    Giải:  p  a  p  b   p  b  p  c   p  c  p  a  Ta có: 1    a b c a   b   c    p  a   p  b  p  b   p  c  p  c   p  a    1    1    1   b c c a a b  b c   c a   a b  2 a b c b c a c a b  1 1    3 2    bc ca a b a b c   1   Kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo  a  b  c      b c c a a b  Trong kỹ thuật ghép cặp nghịch đảo ta ứng dụng bất đẳng thức sau 1  Với n  N  x1 , x , , x n     b  c   c  a    a  b     b c c  a a b  1 1   x1  x2   xn      n xn   x1 x   3 2 Chứng minh bất đẳng thức : Bài 3: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: Ta có với x1 , x , , x n  2 c a b a b c    1 1  n  x1  x2   xn      n x1 x2 xn nn n a b b c c a xn  x1 x x n  x1 x Giải: Với n 3 x1 , x , x3   c2 a2 b2 c2   a2   b2     a     b     a  b  c    c  1 a b b c c a  a b  bc  c  a  1  x1  x  x3     9 c   a   b    x1 x x3  c1    a    b1     a  b  c b c c a a b a b   b c   c a     6 Bài 1: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: a b c  a b c   b c a   c a b   c    a   b    a  b  c Giải:  a b   b c   c a  Ta có: Bài 5: Cho ABC , AB c, BC a, CA b, p  Giaovienvietnam.com yz  a   b  c  a x  zx   Đặt:  c  a  b  y   b   a  b  c z   xy  c   Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: xy yz zx x y.z  2 Do tam giác, tổng độ dài hai cạnh ln lớn độ dài cạnh cịn lại nên : x, y , z  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: x y yz zx  xy yz zx  xyz 2  b  c  a  c  a  b  a  b  c  abc (đpcm) Hay Bài 2: Cho ABC , AB c, BC a, CA b CMR: a b c   3 (1) b  c1 a  c  a  b a  b  c 1   a  b  c  2ab  2bc  2ac   Giải:  ab   a  2bc b  2ca c  2Đặt: 1   yz   a  2bc  b  2ac  c  2ab     9 a  a  bc b  ca c  ab    b  c  a x   Kỹ thuật đổi biến số zx   c  a  b y   b  Có tốn mặt biểu thức tốn học tương đối cồng kềnh, khó nhận  a  b  c z   biết phương hướng giải Bằng cách đổi biến số, ta đưa tốn  x y  dạng đơn giản dễ nhận biết c   Bài 1: Cho ABC , AB c, BC a, CA b CMR: Khi vế trái bất đẳng thức (1) trở thành:  b  c  a  c  a  b  a  b  c  abc (1) yz zx xy Giải:   2x 2y 2z Ta có: a b   c  a  b  c       a  b  c  a b b c c a  a b  c   a  b  c     1  a b b c c a  Theo bất đẳng thức Nesbit chứng minh thì: a b c    b c c a a b Do c2 a2 b2   a b c    a  b  c   1  (đpcm) a b b c c a 2  Bài 4: Cho ba số thực dương a, b, c thỏa a  b  c 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: 1   9 a  2bc b  2ca c  2ab Giải: Do a  b  c 1 ta có: 1 1 1  2    a  b  c      a  2bc b  2ca c  2ab  a  2bc b  2ca c  2ab          Giaovienvietnam.com yz zx x y 1 y x 1 z          2x 2y 2z 2 x y 2 x x 1 z y     z   y z   Hay y x z x z y   3 x y x z y z a b c   3 (đpcm) b c  a c a  b a b c Bài 3: Cho ABC , AB c, BC a, CA b CMR: a2 b2 c2   a  b  c (1) b c  a c a  b a b  c Giải: yz  a    b  c  a x   z  x   Đặt:  c  a  b  y    b   a  b  c z    x y  c   Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau:  y  z    z  x   x  y  x  y  z 4x 4y 4z ( y + z) Ta có: + ( z + x) + ( x + y) ³ yz zx xy + + = x y z 4x 4y 4z 1ỉ 1ỉ 1ỉ yz zx ÷ zx xy ÷ xy yz ữ ỗ + ữ+ ỗ + ữ+ ỗ + ữ ỗ ỗ ỗ ỗy ốz ứ 2ỗ yữ zữ xữ ốx ứ 2ố ứ 2ỗ yz zx zx xy xy yz + + = z + x +y x y y z z x a2 b2 c2   a  b  c (đpcm) b c  a c a  b a b  c a b c Bài 4: Cho ABC , AB c, BC a, CA b, p  CMR: Hay  p  a   p  b   p  c  p  p  a  p  b  p  c  (1) Giải: Ta có: p a  bc a 0 Tương tự: p b0 p c0 Đặt:  p  a x    p  b  y   p x  y  z  p  c z   Khi bất đẳng thức (1) tương đương với bất đẳng thức sau: 1 xyz    xyz x y z Ta có: 1 1 1      2 2 x x y z y  1 1     z  2 y  1 1       x   2 z 1 1 1 1 xyz       2 2 xy yz zx xyz x y y z z x 1 p    Hay 2  p  a   p  b   p  c   p  a  p  b  p  c  (đpcm) a b c    (1) Bài 5: Cho ba số thực dương a, b, c CMR: b c c a a b Giải: yz x  a   b  c x  zx y   Đặt:  c  a  y   b   a  b z   xy z  c   Khi bất đẳng thức (1) trở thành:  Giaovienvietnam.com Bài 7: Cho x, y, z số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện xyz 1 Tìm GTNN biểu thức: yz x zx y xy z    2x 2y 2z Ta có: yz x zx y x y z 1 y x 1 z          2x 2y 2z 2 x y 2 x  2 y x  x y z x  x z x 1 z y     z   y z  z y 3   y z 2 a b c    (đpcm) b c c a a b Bài 6: Cho số thực không âm a, b, c thỏa  a  c  b  c  1 CMR: 1   4 (1) 2  a  b  a  c b  c2 Giải: Hay Đặt:  x y   a  c  x  xy 1     y  x  b  c  y  a  b x  y  a  b x  y    Khi vế trái bất đẳng thức (1) trở thành: 1   4  x  y x y Ta có: 1 1  2   x2  y2   x2  y2 2 x  xy  y  x  y x y  x  y  1  x  y   2 x  y   4 2 x  2 y x  2 y 1   4 (đpcm) Vậy 2  a  b  a  c b  c2     A x2  y  z y  z  x  z  x  y  y y  2z z z z  2x x x x  y y Đề thi Đại học khối A năm 2007 Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: A x 2 yz y y  2z z    x x xyz y y  2z z 2x x y y  2z z y 2 zx z z  2x x    y y yzx z z  2x x 2y y z z  2x x z 2 xy x x  2y y   z z zxy x x  2y y 2z z x x  2y y  x x    2a  4b  c    a  y y  2z z    Đặt:  b  z z  x x   y y   a  2b  4c    c  x x  y y    z z   a  b  2c   Khi   2a  4b  c a  2b  4c 4a  b  2c  A     9 a b c  2  b a c   c a b      4          9  a c b   a b c  2 b a c c a b     4.3.3  3.3      12  3 2 9 a c b a b c Dấu “=” xảy  a b c 1 Vậy GTNN A Kỹ thuật chọn điểm rơi Giaovienvietnam.com Điểm rơi bất đẳng thức giá trị đạt biến dấu “=” bất đẳng thức xảy Trong bất đẳng thức dấu “=” thường xảy trường hợp sau: Các biến có giá trị Khi ta gọi tốn có cực trị đạt tâm Khi biến có giá trị biên Khi ta gọi tốn có cực trị đạt biên Căn vào điều kiện xảy dấu “=” bất đẳng thức ta xét kỹ thuật chọn điểm rơi trường hợp Kỹ thuật chọn điểm rơi toán cực trị xảy biên Xét toán sau: Bài toán 1: Cho số thực a 2 Tìm giá trị nhỏ (GTNN) A a  a 1 Sai lầm thường gặp là: A a  2 a 2 Vậy GTNN A a a Nguyên nhân sai lầm: GTNN A  a   a 1 vơ lý theo giả a thuyết a 2 a 3a a 3a 3.2 Lời giải đúng: A a     2  1   a a 4 a 4 a Dấu “=” xảy   hay a 2 a Vậy GTNN A Vì lại biết phân tích lời giải Đây kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Quay lại toán trên, dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đốn A đạt GTNN a 2 Khi ta nói A đạt GTNN “Điểm rơi a 2 ” Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a khơng thỏa quy tắc a dấu “=” Vì ta phải tách a để áp dụng bất đẳng thức Cauchy a thỏa quy tắc dấu “=” Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số a  a 1  ,  cho “Điểm rơi a 2 ”  , ta có sơ đồ sau:  a  a  a    a 2       4   1  a a 3a  ta có lời giải Khi đó: A a    a 4 a  a 1 Lưu ý: Để giải tốn trên, ngồi cách chọn cặp số  ,  ta chọn  a  1      các cặp số sau:  a,   a,   a,  a   a  a  Bài tốn 2: Cho số thực a 2 Tìm giá trị nhỏ A a  a Sơ đồ điểm rơi: a    a 2       8 1     a Sai lầm thường gặp là: a 7a a 7a 7a 7.2 A   2       Dấu “=” a 8 a 2a 2.2 xảy  a 2 Vậy GTNN A Nguyên nhân sai lầm: Mặc dù GTNN A là đáp số cách 1 giải mắc sai lầm đánh giá mẫu số: “ a 2  sai”  2a 2.2 a a 6a a a 6a 6.2 Lời giải đúng: A     3.3     8 a 8 a 8 Dấu “=” xảy  a 2 Vậy GTNN A Giaovienvietnam.com Bài 1: Cho số thực dương a, b thỏa a  b 1 Tìm GTNN A ab  ab a 36     36    24 a 6      9   a Phân tích: Ta có:  a b ab      Giải: Sơ đồ điểm rơi:  ab   1  4 ab     4    4 16  4  ab Giải: Ta có: Ta có: a2   a 6 24 a Vậy GTNN A 39 Bài 3: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  2b  3c 20 Tìm GTNN A a  b  c    a 2b c Phân tích: Dự đốn GTNN A đạt a  2b  3c 20 ,tại điểm rơi a 2, b 3, c 4 Sơ đồ điểm rơi: a    a 2        3  a b     3 b 3       2   3  2b c     c 4    1   4   1  c Giải: 10 Dấu “=” xảy   a b ab        ab  1 17 A 16ab   15ab 2 16ab  15ab 8  15  ab ab 4 1 Dấu “=” xảy  ab   a b  17 Vậy GTNN A 18 Bài 2: Cho số thực a 6 Tìm GTNN A a  a Phân tích: Ta có 18 9 A a  a   a a a Dễ thấy a tăng A tăng Ta dự đoán A đạt GTNN a 6 Ta có sơ đồ điểm rơi: a 9 23a a 9 23a    33  24 a a 24 24 a a 24 23.36   39 24 A Giaovienvietnam.com 4a  2 4a 8a Vậy GTNN A 12 Kỹ thuật cộng thêm Bài 1: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c 1  2    b c a a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b c a a     (3) (1) ; (2);    c b c a2 c a b2 a b2 a b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a b c 1 2         a b c a b c b c a a b c 1       (đpcm) b c a a b c Bài 2: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2 a b c    2b  c 2c  a 2a  b Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 2 8b 8b 3 16 16 3c  2 3c 8c 3 Cộng theo vế bất đẳng thức trên, ta được: 16 4a  6b  3c    8 a  b  c  24 3 2  4a  6b  3c 12  a  b  c 3    a 1  4a 4     b  Dấu “=” xảy   6b  3    16   3c   c  3  a2 2b  c a 2b  c 2a (1) ;  2  2b  c 2b  c b2 2c  a 2b c2 2a  b 2c (2) ;     (3) 2c  a 2a  b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a2 b2 c2 3 a  b  c  2 a  b  c      2b  c 2c  a 2a  b 2 a b c a b c (đpcm)     2b  c 2c  a 2a  b Lưu ý: Trong toán sử dụng kỹ thuật cộng thêm hệ số, ta sử dụng kỹ thuật chọn điểm rơi kỹ thuật hạ bậc để tìm hạng tử cho phù hợp Ví dụ: Đối với bất đẳng thức cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán a a 1 dấu “=” xảy a b c Khi   , ta chọn a a b a Ta có hệ phương trình:       3    4      4           3    4 6  3   4 4   3  6.6 3.3       4     16  Khi ta có lời giải toán sau Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 6b  1 2      3  3 22 Giaovienvietnam.com Đối với bất đẳng thức cho có tính đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán a2 a2 a dấu “=” xảy a b c Khi   , muốn sử dụng bất 2b  c 2a  a 2b  c đẳng thức Cauchy để làm mẫu ta cộng thêm Chọn mẫu số 9 2b  c 2a  a a   9 Bài 3: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a  b3 b  c c  a   2 a  b  c  ab bc ca Giải: Ta có: 3 a b b3  c3 c3  a3 a b2 b2 c c a         ab bc ca b a c b a c Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b2 b2 a2 a2  a 2b (2) ;  c 2b (3) ;  b 2 b 2a (1); a c b b c2 c2 a2  b 2c (4) ;  a 2c (5) ;  c 2a (6) b a c Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1) đến (6) ta được: a2 b2 b2 c2 c2 a2       2 a  b  c  4 a  b  c  b a c b a c a b2 b2 c2 c2 a2       2 a  b  c  b a c b a c a3  b3 b3  c3 c3  a3    2 a  b  c  (đpcm) ab bc ca Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2 1      b3 c3 a3 a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b 1 a2 1 a2 1 3     (1) ;    (2); 3 b b c c a a b b a a b c 1    (3) c c a a Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a2 b2 c2  1 1  1 1    2    3    b c a a b c a b c a2 b2 c2 1       (đpcm) a b c b c a Bài 5: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 b3 c3   a  b  c b c a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 a3 a3 a3   b 33 b 3a (1) ; b b b b 3 b b c3 c3   c 3b (2) ;   a 3c (3) c c a a Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta được:  a3 b3 c3  2     a  b  c 3 a  b  c c a  b     a3 b3 c3   a  b  c (đpcm) b c a Bài 6: Cho số thực dương a, b, c thỏa abc 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: a3 b3 c3    1  b 1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  23 Giaovienvietnam.com ab bc ca 1 1 1        c  a  b a b  c  b  c  a   a b c  Giải: b3 1 c 1 a    b (2) ; Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: 1  c 1  a  8 ab a b ab a b  2  (1) c3 1 a 1 b    c (3) c c  a  b  4ab c  a  b  4ab 1  a 1  b  8 bc bc ca ca Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được:     (2) ; (3) 2 a  b  c  4bc a b  c  a  4ca b 3 a b c 3     a  b  c    a  b  c Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: 1  b1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  4 ab bc ca a b b c c a 1 a3 b3 c3 33 3 c  a  b   a  b  c   b  c  a   4ab  4bc  4ca  a  b  c      a  b  c    abc   1  b1  c  1  c 1  a  1  a 1  b  4 ab bc ca 1 1 1 1             (đpcm) c  a  b  a  b  c  b  c  a  4b 4a 4c 4b 4a 4c a b c ab bc ca 1 1 1         (đpcm) c  a  b a b  c  b  c  a   a b c  Bài 7: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: 4 a b c   a  b  c bc ca ab Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c 3 Chứng minh rằng: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a3 b3 c3    4 a a b c c a a b  b  c  c 44 b.c.c 4a (1) Giải: bc bc Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b  c  a  a 4b (2) a3 a b  c  a a b  c  ca  2 a (1) ; b c b c c4 (3)  a  b  b  c b b c  a  c3 c a  b  ab  b (2) ;   c (3) c  a a  b Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a4 b4 c4        a  b  c  a  b  c a3 b3 c3 ab  bc  ca bc ca ab    a  b  c (1' ) 4 b  c c  a a  b a b c    a  b  c (đpcm) Mặt khác ta có: a m n  b m n  c m n a m b n  b m c n  c m a n bc ca ab  m 1 Bài 8: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: Chọn  ta được:  n 1 a3 1 b 1 c a3 1 b 1 c   33  a (1) ; 1  b1  c  1  b1  c  8 24 Giaovienvietnam.com Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a  b  c ab  bc  ca   (2' ) a3 a a  2b  a a  a  2b  2 2  2  a (1) ; a  2b a  2b Cộng theo vế bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: 3 c c c  2b  2 a3 b3 c3 ab  bc  ca a  b  c ab  bc  ca b  b b  2c   b (2) ;   c (3)      a  b  c  b  2c c  2b b c c a a b 2 3 2 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a b c a b c      (đpcm) a3 b3 c3 2 b c c a a b 2    a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c a  2b b  2c c  2a 9 Bài 10: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: 3 5 a b c a b c 3      ab  bc  ca   a  b  c (1' )    a  b  c a  2b b  2c c  2a 9 b2 c2 a2 Mặt khác ta có: a m n  b m n  c m n a m b n  b m c n  c m a n Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:  m 1 Chọn  ta được: 5 a a 2  n 1 (1) ;  ab  ab  a b2 b2 a  b  c ab  bc  ca b5 c5 2 (2) ;  bc  2b  ca 2c (3)  a  b  c   ab  bc  ca  (2' ) 2 c a 9 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: Cộng theo vế bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: a5 b5 c5 2 3 a3 b3 c3 2    ab  bc  ca  a  b  c (1' )     ab  bc  ca   a  b  c  a  b  c   a 2 b c a a  2b b  2c c  2a 9 9 3 Mặt khác ta có: a m n  b m n  c m n a m b n  b m c n  c m a n a b c     a  b  c (đpcm)  m 1 a  2b b  2c c  2a Chọn  ta được: n  Bài 12: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau:  3 2 b c c a a b 2 a  b  c ab  bc  ca (2' )      a b c a2 b c Cộng theo vế bất đẳng thức (1’)và (2’) ta được: Giải: a5 b5 c5 2 3 3 3 2    ab  bc  ca  a  b  c  a  b  c  ab  bc  ca Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b2 c2 a2 bc bc 4 a5 b5 c5 (1) ;  2  3 2    a  b  c (đpcm) bc a a bc a b c a ca 4 a b 4 Bài 11: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau:     (2) ; (3) 2 3 c  a b a  b c b c a b c    a2  b2  c2 Cộng theo vế bất đẳng thức (1), (2) (3) ta được: a  2b b  2c c  2a 2 a  b  c ab  bc  ca                     25 Giaovienvietnam.com b c c a a b 4 4 4 a 4 b  c  4a b 4 c  a  4b 16c         (1' ) (1); (2) ;       a  b  8c a b b c c a a b c a2 b2 c2 bc ca a b Mà ta có: (3) Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta được: 1 1 4  2   (2' ) ; a2 b2 16c 13 a b a b ab a  b     a  b   c   a  b   8c b c c a a b 9 1 1   (3' ) ;   (4' ) 2 a b 16c b c bc c a ca      64c  a  b  (đpcm) Cộng theo vế bất đẳng thức (1’), (2’), (3’) (4’) ta được: b c c a a b b c c a a b 4 2 4 4 4Kỹ thuật Cauchy ngược dấu               a  b b  c c  a a b c a b c a  b b Xét c c  toán a sau: a b c Bài tốn: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a  b  c 3 b c c a a b 2       (đpcm) Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c a2 b2 c2 1    a 1 b 1 c 1 Bài 13: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 Phân tích giải: a b 4c   a  3b Ta dùng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy với mẫu bất đẳng thức b c a sau đổi chiều: 1 1 1 Dấu “=” bất đẳng thức xảy a b 2c       2 a b c a  b  c  Giải:   Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:   1 1 1 3 2 2 b 4c  Do  a a        4c 4b (2) ;  a 4c (3)  b 2 b 2a (1); a bc 2 a b c a b c 2  abc c a b b     Cộng theo vế bất đẳng thức từ (1), (2) (3) ta được: Đến bị lúng túng cách giải Ở ta sử dụng lại bất a b 4c    a  b  4c 2a  4b  4c đẳng thức Cauchy theo cách khác: b c a a2 a2 a 2 1  1  1  (1) a b 4c    a  3b (đpcm) 2a a 1 a 1 b c a b c 1  (2) ; 1  (3) Tương tự ta có: Bài 14: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 b 1 c 1 2 a b 16c Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:     64c  a  b  b c c a a b 1 a b c   3   (đpcm) 2 a 1 b 1 c 1 Dấu “=” bất đẳng thức xảy a b 2c Nhận xét: Kỹ thuật Cauchy ngược dấu hiểu ta lấy nghịch đảo hai vế Giải: bất đẳng thức Cauchy sau nhân hai vế với -1 Khi dấu bất đẳng Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: thức ban đầu khơng đổi chiều 2 26 Giaovienvietnam.com Bài 1: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a  b  c 3 Chứng minh bất đẳng thức sau: 1     ab  bc  ca Giải: Ta có: ab ab ab 1  1  1  (1)  ab  ab 2 ab 2 2 2 a b b c c a   a  b  c  a  b  c  - 2 ab  2 2  a  b  c  3  ab  bc  ca  (2' ) Từ (1’) (2’) ta có: a b c 3   3   (đpcm) 2 b 1 c 1 a 1  a  b  c Lưu ý: Ta sử dụng kết ab  bc  ca  3 chứng bc ca Tương tự ta có: 1  (2) ; 1  (3)  bc  ca minh toán khác Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: Bài 3: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a  b  c 3 1 1 Chứng minh bất đẳng thức sau:   3  ab  bc  ca  ab  bc  ca a 1 b 1 c 1   3 1 a b b c c a a bc 3 b  c  a  3     3    3  2 2  2 Giải: Ta có: (đpcm) a 1  a  1b a    a  1b a   ab  b (1)  a   Bài 2: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a  b  c 3 2b b2 1 b 1 Chứng minh bất đẳng thức sau: b 1 bc  c c 1 ca  a b   (2) ; c   (3) Tương tự ta có: a b c 2 c 1 a 1    b 1 c 1 a 1 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: Giải: a 1 b 1 c 1 a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c   Ta có: 2 b 1 c 1 a 1 a ab ab ab a b c ab  bc  ca a  a  a  (1)  3 2b b2 1 b 1 2 b bc c ca b  (2) ; c  (3) Tương tự ta có:  a  b  c 2 c 1 a 1 3 3 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được:  3  - 3 2 2 a b d ab  bc  ca    a  b  c  (1' ) Vậy b 1 c 1 d 1 a 1 b 1 c 1 Mặt khác ta có:   3 b 1 c 1 a 1  ab  bc  ca   Bài 4: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau: 27 Giaovienvietnam.com 3 a b c a b c    2 a b b c c a 2 Giải: Ta có: a3 ab ab b  a   a  a  (1) 2 2 2ab a b a b b3 c c3 a Tương tự ta có: b  (2) ; c  (3) 2 2 b c c a Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a3 b3 c3 a b c a b c   a  b  c   2 2 2 2 a b b c c a (đpcm) Bài 5: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện : a  b  c 3 Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c   2 b c 1 c a 1 a b 1 Giải: Ta có: b a  ac  a ab c ab c ab c b a  ac  a  a  a  a  a  2 b c 1 b c 1 2b c a  a   ab  abc  (1) b c 1 Tương tự ta có: b c b   bc  abc  (2) ; c   ca  abc  (3) 2 4 c a 1 a b 1 Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: abc  (3’) 4 Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được: a b c     3 b c 1 c a 1 a b 1 4 a b c    2 (đpcm) b c 1 c a 1 a b 1 a  b  c 33 abc  Bài 6: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện ab  bc  ca 3 Chứng minh bất đẳng thức sau: a b c   1 2b  2c  2a  Giải: Ta có: a 2ab ab 2ab  a   a  a  (1) 3 3 2b  b  b 1 3b b 2bc c 2ca b  (2) ; c  (3) Tương tự ta có: 3 3 2c  2a  Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a b c   a  b  c  2 ab  bc  ca  a  b  c  (1' ) 2b  2c  2a  Mặt khác ta có:  a  b  c  ab  bc  ca  a  b  c  3 ab  bc  ca  3 (2' ) Cộng theo vế (1’) (2’) ta được: a b c    a  b  c a  b  c  2b  2c  2a  a b c ab  bc  ca abc ab  bc  ca abc   a  b  c  3  a b c 4 4 b c  c a  a 2b     1 (đpcm) 2b  2c  2a  (1’) Bài 7: Cho số thực dương a, b, c Chứng minh rằng: Mặt khác ta có: a3 b3 c3 a b c ab  bc  ca  a  b  c    (2’) 3 ab  bc  ca   2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a 4 3 28 Giaovienvietnam.com Giải: Ta có: a3 a b  ab ab a  b  a  b 2a  b a  a  a   (1) 2 3ab 3 a  ab  b a  ab  b Tương tự ta có: b3 2b  c c3 2c  a ;  (2)  (3) 2 2 3 b  bc  c c  ca  a Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a b3 c3 a b c (đpcm)    2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Bài 8: Cho số thực dương a, b, c có tổng thỏa điều kiện a  b  c 3 Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a Giải: Ta có: a2 2ab 2ab 2  a   a  a   ab  (1) 2 3 a  2b a b b ab Tương tự ta có: b2 23 c2 2 ;    b  bc (2) c   ca  (3) 2 3 b  2c c  2a Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: 2 a b c 2 2   a  b  c    ab    bc    ca   2   a  2b b  2c c  2a 2 2 3    ab    bc    ca   (*)   Mặt khác ta có:  ab  3 a.ab.b  a  ab  b (1’) Tương tự: 3  bc   b  bc  c (2’) ;  ca   c  ca  a (3’) 3 Cộng theo vế (1’), (2’) (3’) ta có  ab   bc    ca    a  b  c    ab  bc  ca  3 2  a  b  c 32   a  b  c    3 3 3 3 2 2     ab    bc    ca    - (**)   3 Từ (*) (**) ta có: a2 b2 c2 (đpcm)   3  1 a  2b b  2c c  2a Bài 9: Cho số thực dương a, b, c thỏa điều kiện a  b  c 3 Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a Giải: Ta có: a2 2ab3 2ab3 a  a  a  b3 a (1) 3 3 a  2b a b b 3 ab Tương tự ta có: b2 c2  b  c b (2) ; c  a3 c (3) 3 b  2c c  2a Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: a2 b2 c2   a  b  c  b3 a  c3 b  a c 3 3 a  2b b  2c c  2a 3  b3 a  c3 b  a c (*) Mặt khác ta có:  a  a 1  2a   2ab  b b3 a b3 a.a.1 b (1' )  b  3         Tương tự ta có: 2bc  c 2ca  a c3 b  (2' ) ; a c  3 Cộng theo vế (1’), (2’), (3’) ta được: (3' ) 29 b  Giaovienvietnam.com a b c   ab  bc  ca  3 a  b  c a  b  c   3 3  a b bc ca       a b c  a  b  c a  b  c   bc ca   a b  12  12  12     6  a b c a b c a b c a  c3 b  a3 c  (**) a2 b2 c2   1 a  2b b  2c c  2a Từ (*) (**) ta có: (đpcm) b ,.2 ,b, b, n a ,.2 ,a, a  2  a  a   a n  a1b1  a2 b2   a n bn  2 n b 2 2 n  b   b  a a1 a    n (quy ước bi 0 0 ) b1 b2 bn MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI Kỹ thuật tách ghép số 1 Bài 1: Cho số thực dương a, b, c thỏa a  b  c 1 CMR   9 a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : Dấu “=” xảy 1 1 1   1 1     a  b  c      a  b  c  9 a b c a b c a b c  1   9 Vậy a b c Bài 2: Cho số thực dương a, b,c CMR : a b bc ca    a b c a b c a b c Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :  a b bc ca    a b c a b c a b c  MỘT SỐ KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI BẤT ĐẲNG THỨC BUNYAKOVSKI n  Z , n 1 , ta ln có: Cho 2n số thực  Cho số thực dương a, b, c thỏa ab  bc  ca 4 CMR: 16 a4  b4  c4  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : 12  12  12 a  b  c  1.a  1.b  1.c  a  b  c b  c  a  ab  bc  ca  ab  bc  ca  16 16  a4  b4  c4  (đpcm) a b   a b Bài 4: Cho số thực dương a, b CMR b a Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : Bài 3:          a   a b b  a  b  4 b  4 a     a  b b a b a     a b  a b   b a (đpcm)  a2 b2 c2     Bài 5: Cho số thực dương a, b CMR a  b  c 2 b c c a a b Giải: Ta có:       30 Giaovienvietnam.com a b c bc  ca  a b bc ca a b Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :  a   b   c   2  a  b  c           b  c   b  c   c  a   a  b   a b c        a b    a2 b2 c2   2 a  b  c      b c c a a b  a2 b2 c2   (đpcm)  a  b  c 2   b c c a a b  A a  a  b  b  a  b 1  a   b   a  b   1    12 a  b   2   a  b 1  b  a   a b  Dấu “=” xảy   b 1  a 1 1   a b Vậy GTLN A 2 Bài 7: Cho số thực a, b thỏa 36a  16b 9 Tìm GTLN GTNN A   2a  b  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski : 2  2    1 1  6a    4b    2a  b  4    3    36a  9b 9   a   6a 4b 25    GTNN A      b    20    2a  b       36a  9b 9   a    6a 4b 25     GTLN A    b    20    2a  b   Bài 6: Cho số thực dương a, b thỏa a  b 1 Tìm GTLN A a  a  b  b Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :      36a  16b           25    2a  b   16 5    2a  b  4 15 25    2a  b   4 Ta có:  ca  Bài 8: Cho số thực dương a, b, c CMR: 4  a  3b   b  3c   c  3a  4 a  b  c             Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski, ta có : 31 Giaovienvietnam.com 2  a b b b    1 1  a  3b  2                 a  b  b  b     16 16 16 16    4 4    a2  b2  b2  b2 16  1    1 a  b  b  b 16       a  3b  a  3b    (1)     Tương tự: b  3c  b  3c   (2)     c  3a  c  3a  (3)      Cộng theo vế (1), (2), (3) ta được: 4  a  3b   b  3c   c  3a  4         a  b  c       Bài 9: Cho a, b, c   0,1 CMR abc  Giải: Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovski :    (đpcm) 1  a 1  b 1  c    Vậy ta có:  abc  1  a 1  b 1  c     x  y  xy  x  y  x,y  0  x  y  xy Bài 10: Cho số thực dương a, b, c CMR a b c    2  b  c   c  a   a  b  4 a  b  c  Giải: Ta có:    a  b  c a  b  c  c  a  a  b   b  c 2  a   b   c          c   b  c   c  a   a  c          2 1  b 1  c    b  1  b   c  1  c  1 bc  1  b 1  c  1 bc  x y     b    1  a 1  b1  c    a  1  a   bc  1  b1  c  bc  1  b 1  c  abc  1  a 1  b 1  c   bc  1  b 1  c   bc  1  b 1  c  Mà   a  abc  x  y  x  y  x,y   Dễ dàng chứng minh tính chất này, ta có: 1 hay abc  1  a 1  b 1  c   Lưu ý: Trong cách chứng minh ta sử dụng bất đẳng thức b c   a     b c c a a b Mà ta có: a b c    b c c a a b (bất đẳng thức Nesbit, chứng minh phần trước) b c   a       b c c a a b  a b c    a  b  c    2  c  a   a  b    b  c a b c  đpcm     2  b  c   c  a   a  b  4 a  b  c  Kỹ thật chọn điểm rơi Bài 1: Cho số thực dương a, b,c thỏa a  b  c 6 Tìm giá trị nhỏ (GTNN) 1 A  a2   b2   c2  b c a 32 Giaovienvietnam.com Phân tích: Chuyển đổi biểu thức thành biểu thức Giả sử với số  ,  ta có:  1      a2    a       a    b b b   2 2  2 2   1       b        b    b   2 2 c c c          1      c2    c        c    a a a  2 2  2 2     1   A   a  b  c          a b c  2 2        Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a b c 2 Sơ đồ điểm rơi: a    b    4 b  a b c 2     ab bc ca  , chọn     1   c c     a Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải: Giải:  1 1  1   a    12   4a    a   b b  b 17  17    1 1  1    b    12   4b    b   c c  c 17  17    1   c    c    12  4c    2  a a  a 17   12   15  1  a b c 1  A  4 a  b  c    a  b  c      a  b  c      a  b  c 17  17             15 a b c 1  17   6.6    4 a b c  17  a  b  b Dấu “=” xảy     a b c 2 4 c c  a  17 Bài 2: Cho số thực dương a, b,c thỏa a  b  c 6 Tìm GTNN 1 A  a2   b2   c2  bc ca a b Phân tích: Chuyển đổi biểu thức thành biểu thức Giả sử với số  ,  ta có: Vậy GTNN A 33 Giaovienvietnam.com     2  1     a2   a          a    b c b  c   b  c       2 2      1     b    b      2 ca ca             c2     c   2  a b a b          1   A      a  b  c     bc c  a   a b 2 2  Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a b c 2 Sơ đồ điểm rơi: a    b    4 b  a b c 2     ab bc ca  , chọn     1   c c     a Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải: Giải   a2  1  2      a2   4a      bc bc 17  17  bc  b2  1     4b   ca 17  ca  c2  A  1  a b  12     4c   a b    1  1       4 a  b  c    17  bc c  a   a b  1   a  b  c   17  a  b a  b c  a      4 a  b  c    17  a b  a b  c a      4 a  b  c   2      a  b    b  c    c  a    17     4 a  b  c     17   a  b  c     31 9     a  b  c   a  b  c   17   a  b  c  a  b  c   17  31 9    33  a  b  c   17   a  b  c  a  b  c     Với a b c 2 GTNN A 17 Bài 3: Cho số thực dương a, b,c thỏa a  b  c  2abc 10 Tìm GTNN 34 Giaovienvietnam.com 9b c a 9c a b 9a b c         4 a2 b2 c2 Do A biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán GTNN A đạt a b c 2 Sơ đồ điểm rơi: a    b    4 b  a b c 2     ab bc ca  , chọn     1   c c     a Kết hợp với “ kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức Cauchy” ta có lời giải: Giải A  9b c a    9b  ca   18   a a   9c a b   18      9b  ca  b b2   9a b c   18      9b  ca a c   4 4  24 A      9 a  b  c    ab  bc  ca  a b c 4  4  4    a     b     c    2a  bc    2b  ac    2c  ab   6 a  b  a  b  c  2 4 a  b  c  2abc  2 2abc  2 2abc  6 a  b  c a b c   12  a  b  c  2abc 72 72  A 6 24 Với a b c 2 GTNN A 6 Phần ba: Phần Kết Luận Như đề tài giới thiệu bảy kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski chứng minh bất đẳng thức toán cực trị Chứng minh bất đẳng thức q trình đầy sáng tạo Ngồi kỹ thuật cịn nhiều kỹ thuật hay sáng tạo Tuy nhiên sở kỹ thuật trình bày đề tài, em mong giúp người đọc tìm nhiều ý tưởng phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cauchy bất đẳng thức Bunyakovski Sau này, có điều kiện em tiếp tục tìm nghiên cứu đề tài này, để tìm nhiều kỹ thuật Từ đó, ngày hồn thiện vốn kiến thức giúp cho cơng tác giảng dạy tốt 35 Giaovienvietnam.com Tài Liệu Tham Khảo EE Vrosovo, NS Denisova, Thực hành giải toán sơ cấp, người dịch Hoàng Thị Thanh Liêm, Nguyễn Thị Ninh, Nguyễn Văn Quyết, NXBGD, 1986 Lê Duy Thiện , Sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski để giải toán cực trị đại số, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Lang Chánh, Thanh Hóa Nguyễn Ngọc Duy – Nguyễn Tăng Vũ, Bất đẳng thức Cauchy, Trung tâm bồi dưỡng kiến thức Quang Minh, Thành phố Hồ Chí Minh Nguyễn Việt Hải, Kỹ thuật chọn điểm rơi bất đẳng thức AM-GM (CAUCHY), Trường THPT chuyên Quang Trung, Bình Phước Nguyễn Văn Mậu, Bài giảng Chuyên đề đẳng thức bất đẳng thức, Chương trình bồi dưỡng chun đề tốn, Hà Nội, 11/12/2009 Nguyễn Ngọc Sang, Phương pháp chứng minh bất đẳng thức Cauchy, Sáng kiến kinh nghiệm 2009, Trường THPT Nguyễn Huệ, Thanh Hóa Phạm Kim Hùng, Sáng tạo bất đẳng thức, Nhà xuất Tri thức Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ Trần Phương – Nguyễn Đức Tấn, Sai lầm thường gặp sáng tạo giải toán, Nhà xuất Hà Nội, 2004 www.hsmath.net www.mathvn.com 36 ... Kết Luận Như đề tài giới thiệu bảy kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy hai kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Bunyakovski chứng minh bất đẳng thức toán cực trị Chứng minh bất đẳng thức q trình... b c  Giải: 1 1 1 3  A  a  b  c          8a 8b 8c 8a 8b 8c  4a 4b 4c  1 1 1 3 1 1      8a 8b 8c 8a 8b 8c  a b c  9 9 27        4 abc 4 a  b  c 4 Dấu... nghịch đảo hai vế Giải: bất đẳng thức Cauchy sau nhân hai vế với -1 Khi dấu bất đẳng Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: thức ban đầu khơng đổi chiều 2 26 Giaovienvietnam.com Bài 1: Cho số thực