WWW ToanTrungHocCoSo ToanCapBa Net 5 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Một số bài tập toán nâng cao LỚP 9 PHẦN I ĐỀ BÀI 1 Chứng minh là số vô tỉ 2 a) Chứng minh (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) 3 Cho x + y = 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x2 + y2 4 a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0 Chứng minh bất đẳng thức Cauchy b) Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn nhất của tích[.]
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Một số tập toán nâng cao LỚP Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : a+b ≥ ab bc ca ab + + ≥a+b+c a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết : a + b > a − b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho : a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = x − 4x + 17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính) : a) + 15 b) c) 23 − 19 27 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn d) 17 + + và 45 nhỏ 19 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − 1998 Hãy so sánh S 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương a số vô tỉ 21 Cho S = 23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y + ≥2 y x x y2 x y b) + ÷− + ÷ ≥ x y x y a) x y4 x y2 x y c) + ÷− + ÷+ + ÷ ≥ x y x y x y Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) 1+ b) m + với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? x y x y2 26 Cho số x y khác Chứng minh : + + ≥ + ÷ y x y x 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : x y2 z2 x y z + + ≥ + + y2 z2 x y z x 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : [ x ] + [ y ] ≤ [ x + y ] x − 6x + 17 x y z 33 Tìm giá trị nhỏ : A = + + với x, y, z > y z x 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A = 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ ; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vơ tỉ khơng : a số vô tỉ b a b) a + b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b a) ab c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh : a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d + + + ≥2 b+c c+d d+a a+b 39 Chứng minh [ 2x ] [ x ] [ x ] + 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh : 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng : a + 15 ; a + 30 ; a + 45 ; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x − B= x + 4x − C= x − 2x − D= 1− x2 − E= x+ + −2x x G = 3x − − 5x − + x + x + 42 a) Chứng minh : | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau : M = x + 4x + + x − 6x + c) Giải phương trình : 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 43 Giải phương trình : 2x − 8x − x − 4x − = 12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + B= 1 − 3x C = − − 9x D= x − 5x + Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU E= x + x−2 x2 − G= 2x + + x H = x − 2x − + − x x − 3x =0 45 Giải phương trình : x −3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x +1 b) − 13 + n+1 − n (n số nguyên dương) 48 So sánh : a) a = + b= c) n + − n + −1 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 4−2 50 Tính : a) 11 + b) d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 51 Rút gọn biểu thức : M = c) 27 − 10 e) B = n + n − + n − n − (n ≥ 1) 41 45 + 41 + 45 − 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P = 25x − 20x + + 25x − 30x + 54 Giải phương trình sau : a) x − x − − x − = b) x − + = x d) x − x − 2x + = c) x − x + x + x − = e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 k) x + − x − + x + − x − = l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − x + y2 ≥2 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x−y 56 Rút gọn biểu thức : a) 13 + 30 + + b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + Chứng minh a) C = 6+2 ( + 2 2+ = 58 Rút gọn biểu thức : d) 227 − 30 + 123 + 22 ) + 3+ − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − 59 So sánh : a) + 20 1+ b) 17 + 12 +1 c) 28 − 16 − 60 Cho biểu thức : A = x − x − 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau : a) 11 − 10 b) − 14 Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU c) + 11 + − + + + − + 10 62 Cho a + b + c = ; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức : 63 Giải bất phương trình : 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c x − 16x + 60 < x − 64 Tìm x cho : x − + ≤ x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = 67 Cho biểu thức : A = x + x − 2x x − x − 2x − 16 − x b) B = + x − 8x + 2x + 1 x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x | + | y | = 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3+ ; − ; 2 +3 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 − b=2 − ; 76 So sánh + +1 + − − − số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ 77 Rút gọn biểu thức : Q = 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y + y − x = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x 81 Tìm giá trị lớn : M = ( a+ b ) với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU (x + 2) − 8x ab − b a B= 88 Rút gọn : a) A = b) − x− b b x a +2 ≥ Khi có đẳng thức ? 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a2 +1 90 Tính : A = + + − hai cách +5 6,9 b) 2+ 2− + 92 Tính : P = + 2+ − 2− 91 So sánh : a) 13 − 12 7− x + + 2x − + x − − 2x − = 2 1.3.5 (2n − 1) < 94 Chứng minh ta ln có : Pn = ; ∀n ∈ Z+ 2.4.6 2n 2n + 93 Giải phương trình : a+ b≤ 95 Chứng minh a, b > 96 Rút gọn biểu thức : a2 b2 + b a x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1) 1 − ÷ x −1 x − 4(x − 1) A= a b +b a : = a − b (a, b > ; a ≠ b) ab a− b 14 − a + a a − a 15 − b) + = −2 c) 1 + ÷: ÷1 − ÷ = − a (a > 0) − − − a + a − 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) 98 Tính : a) c) ; b) + − 13 + 48 − − 29 − 20 28 − 16 ÷ + 48 99 So sánh : a) + 15 b) + 15 12 + 16 c) 18 + 19 d) 25 + 48 − 100 Cho đẳng thức : a + a2 − b a − a − b (a, b > a2 – b > 0) ± 2 a± b = Áp dụng kết để rút gọn : a) c) 2+ + 2+ + 2− − 2− ; b) 3−2 17 − 12 − 3+ 2 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A = xy − x − y − xy + x − y − 2 với x = 1 1 a + ÷, y = 2 a 1 1 b + ÷ 2 b (a > ; b > 1) Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU b) B = a + bx + a − bx a + bx − a − bx 102 Cho biểu thức P(x) = với x = 2am , m < b ( + m2 ) 2x − x − 3x − 4x + a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A= x+2−4 x−2 + x+2+4 x−2 4 − + x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) − x b) x − x (x > 0) e) − − 3x g) 2x − 2x + 105 Rút gọn biểu thức : A = h) − − x + 2x + + 10 + + − 10 + ( a + b ± a − b = a ± a2 − b 108 Rút gọn biểu thức : A = 109 Tìm x y cho : i) 2x − x + + 48 − 10 + c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a) d) x − − x + 2x − − x − 2x − , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) c) + − x ) b) 94 − 42 − 94 + 42 b a± b = a + a2 − b a − a2 − b ± 2 x + 2x − + x − 2x − x+y−2 = x + y − 110 Chứng minh bất đẳng thức : a + b2 + c2 + d ≥ ( a + c) + ( b + d) a2 b2 c2 a+b+c 111 Cho a, b, c > Chứng minh : + + ≥ b+c c+a a+b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM : (a + c2 ) ( b2 + c2 ) + b) (a a+b + b+c + c+a ≤ + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x 115 Tìm giá trị nhỏ : A = (x + a)(x + b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + − x 118 Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : x + x −1 + x − x −1 = 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : − ; 2+ 121 Giải phương trình : 123 Chứng minh x−2 + 4−x ≤ Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a + b b + c ≥ b(a + c) với a, b, c > 125 Chứng minh (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (a + b) a + b 127 Chứng minh + ≥ a b + b a với a, b ≥ a b c 128 Chứng minh + + > với a, b, c > b+c a +c a+b 129 Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = x − x −1 + x + x −1 131 Tìm GTNN, GTLN A = − x + + x 132 Tìm giá trị nhỏ A = x + + x − 2x + 133 Tìm giá trị nhỏ A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + 134 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 2x + − x ( b) A = x 99 + 101 − x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn ) a b + = (a b số dương) x y 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = xy yz zx + + với x, y, z > , x + y + z = z x y x2 y2 z2 + + 138 Tìm GTNN A = biết x, y, z > , xy + yz + zx = x+y y+z z+x 137 Tìm GTNN A = 139 Tìm giá trị lớn : a) A = b) B = ( a+ b ) +( a+ c ) +( ( a+ b a+ d ) với a, b > , a + b ≤ ) +( b+ c ) +( b+ d ) +( c+ d ) với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = b c + với b + c ≥ a + d ; b, c > ; a, d ≥ c+d a+b 141 Tìm GTNN A = 142 Giải phương trình sau : a) x − 5x − 3x + 12 = d) x − − x + = b) x − 4x = x − e) x − x − − x − = h) x + − x − + x + − x − = g) x + 2x − + x − 2x − = i) x + x + − x = k) − x − x = x − l) 2x + 8x + + x − = 2x + m) x + = x − x − o) x − + x + + c) 4x + − 3x + = n) x + + x + 10 = x + + x + ( x − 1) ( x − 3x + ) = − 2x p) 2x + + x + + 2x + − x + = + x + q) 2x − 9x + + 2x − = 2x + 21x − 11 ( 143 Rút gọn biểu thức : A = 2 − + )( ) 18 − 20 + 2 Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 144 Chứng minh rằng, ∀n ∈ Z+ , ta ln có : + 145 Trục thức mẫu : a) 146 Tính : a) − − 29 − 20 ( 147 Cho a = − + 148 Cho b = 1+ + 3− 2 17 − 12 − )( ( c) ( − x) ( ) 1 + + + > n +1 −1 n b) x + x +1 b) + − 13 + 48 − − 29 − 12 c) ) 10 − Chứng minh a số tự nhiên 3+ 2 17 + 12 b có phải số tự nhiên không ? 149 Giải phương trình sau : a) ) −1 x − x + − = − x + ( x − 3) x − 5−x + x −3 b) =2 150 Tính giá trị biểu thức : M = ( ) −1 x = ( ) +1 x − 3 d) x + x − = 12 − 29 + 25 + 21 − 12 + 29 − 25 − 21 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ n −1 + n 1 1 − + − + 152 Cho biểu thức : P = 2− 3− 4− 2n − 2n + 151 Rút gọn : A = a) Rút gọn P b) P có phải số hữu tỉ không ? 1 1 + + + + +1 + + 100 99 + 99 100 1 + + + > n 154 Chứng minh : + n 155 Cho a = 17 − Hãy tính giá trị biểu thức: A = (a5 + 2a4 – 17a3 – a2 + 18a – 17)2000 156 Chứng minh : a − a − < a − − a − (a ≥ 3) 157 Chứng minh : x − x + > (x ≥ 0) 158 Tìm giá trị lớn S = x − + y − , biết x + y = 153 Tính : A = 159 Tính giá trị biểu thức sau với a = + 2a − 2a : A= + + + 2a − − 2a 160 Chứng minh đẳng thức sau : ( ) ( 10 − ) − 15 = ( + ) ( 10 − ) = d) a) + 15 c) − b) + = + 48 = 2 ( ( ) +1 ) + e) 17 − + = − 161 Chứng minh bất đẳng thức sau : 5+ 5− + − 10 < 5− 5+ +1 − c) + + ÷ 0, − 1,01 > ÷ − + + + − a) 27 + > 48 b) Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU + −1 2− 3 3 + + + 3− > ÷− 2+ 6 2− 2+ d) +2 e) h) 10 ( 3+ −1 + 5+ −2 ) − ( − > 1,9 g) ) 3+ 5+ − + + 2− < 0,8 < n − n − Từ suy ra: n 1 2004 < + + + + < 2005 1006009 2+ 3+ b) 163 Trục thức mẫu : a) 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ + 3+ 3− y= 164 Cho x = Tính A = 5x2 + 6xy + 5y2 3− 3+ 2002 2003 + > 2002 + 2003 165 Chứng minh bất đẳng thức sau : 2003 2002 x − 3xy + y 166 Tính giá trị biểu thức : A = với x = + y = − x+ y+2 6x − = + x − x2 167 Giải phương trình : x − 1− x b) 10x − 14 ≥ c) + 2 + 2x ≥ 168 Giải bất pt : a) 3 + 5x ≥ 72 162 Chứng minh : n + − n < 169 Rút gọn biểu thức sau : a) A = − − 29 − 12 c) C = b) B = − a + a(a − 1) + a x + + x2 − a −1 a x + 5x + + x − x d) D = 2x − + x − 3x − x + (x + 2) − x 1 1 E= − + − − 1− 2− 3− 24 − 25 170 Tìm GTNN GTLN biểu thức A = − − x2 + 171 Tìm giá trị nhỏ A = với < x < 1− x x y−2 x −1 172 Tìm GTLN : a) A = x − + y − biết x + y = ; b) B = + x y 173 Cho a = 1997 − 1996 ; b = 1998 − 1997 So sánh a với b, số lớn ? 174 Tìm GTNN, GTLN : a) A = 175 Tìm giá trị lớn 176 Tìm giá trị lớn 177 Tìm GTNN, GTLN 178 Tìm GTNN, GTLN 5+2 6−x b) B = − x + 2x + A = x 1− x2 A = | x – y | biết x2 + 4y2 = A = x3 + y3 biết x, y ≥ ; x2 + y2 = A = x x + y y biết x + y = Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU A = 139 a) A = b) Ta có : ( ( a+ b ) ≤( ) ≤( ( Tương tự : ( ( a+ b a+ b ) +( 2 30 ⇔ x=y=z= a− b ) = 2a + 2b ≤ a = b max A = ⇔ ⇔ a=b= a + b = ) + ( a − b ) = 2(a + b + 6ab) c ) ≤ 2(a + c + 6ac) ; ( a + d ) ≤ 2(a + d + 6ad) c ) ≤ 2(b + c + 6bc) ; ( b + d ) ≤ 2(b + d + 6bd) d ) ≤ 2(c + d + 6cd) a+ b a+ b+ c+ 4 2 2 2 4 2 4 2 Suy : B ≤ 6(a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd) = 6(a + b + c + d)2 ≤ a = b = c = d max B = ⇔ ⇔ a=b=c=d= a + b + c + d = 140 A = 3x + 3y ≥ 3x.3y = 3x + y = 34 = 18 A = 18 với x = y = 141 Khơng tính tổng qt, giả sử a + b ≥ c + d Từ giả thiết suy : a +b+c+d b c b+c c c a +b+c+d c+d c+d A= + = − − − − ÷≥ ÷ c+d a+b c+d c+d a+b 2(c + d) c+d a +b b+c≥ Đặt a + b = x ; c + d = y với x ≥ y > 0, ta có : A≥ x+y y y x y x y x y 1 − + = + −1+ = + ÷− ≥ − = 2− 2y y x 2y x 2y x 2y x 2 A = − ⇔ d = , x = y , b + c ≥ a + d ; chẳng hạn a = + 1, b = − 1,c = 2,d = 142 a) (x − 3) + ( x − 3) = Đáp số : x = b) Bình phương hai vế, đưa : (x2 + 8)(x2 – 8x + 8) = Đáp số : x = + 2 c) Đáp số : x = 20 d) x − = + x + Vế phải lớn vế trái Vô nghiệm x − x − = + x − Bình phương hai vế Đáp số : x = 1 g) Bình phương hai vế Đáp số : ≤ x ≤1 h) Đặt x − = y Đưa dạng y − + y − = Chú ý đến bất đẳng thức : e) Chuyển vế : y − + − y ≥ y − + − y = Tìm ≤ y ≤ Đáp số : ≤ x ≤ 11 16 i) Chuyển vế : x + − x = − x , bình phương hai vế Đáp : x = (chú ý loại x = ) 25 16 k) Đáp số : 25 l) Điều kiện : x ≥ x = - Bình phương hai vế rút gọn : 2(x + 1) (x + 3)(x − 1) = x − Bình phương hai vế : 8(x + 1)2(x + 3)(x – 1) = (x + 1)2(x – 1)2 ⇔ (x + 1)2(x – 1)(7x + 25) = Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 31 25 loại Nghiệm : x = ± x=− m) Vế trái lớn x, vế phải khơng lớn x Phương trình vơ nghiệm n) Điều kiện : x ≥ - Bình phương hai vế, xuất điều kiện x ≤ - Nghiệm : x = - o) Do x ≥ nên vế trái lớn 2, vế phải nhỏ Suy hai vế 2, x = 1, thỏa mãn phương trình 2x + + x + = y ; 2x + − x + = z (1) Ta có : p) Đặt y − z = + x + ; y + z = + x + Suy y – z = Từ z = x + (2) Từ (1) (2) tính x Đáp số : x = (chú ý loại x = - 1) q) Đặt 2x2 – 9x + = a ≥ ; 2x – ≥ b ≥ Phương trình : a + b = a + 15b Bình phương hai vế rút gọn ta : b = b = a Đáp số : 144 Ta có : Vậy : + ;5 2 = > = k k k + k +1 ( ( k +1 − k k +1 + k )( ) k +1 − k ) =2 ( ) k +1 − k 1 + + + > 2( − 1) + 2( − 2) + 2( − 3) + + 2( n + − n ) = n = 2( n + − 1) (đpcm) 150 Đưa biểu thức dấu dạng bình phương M = -2 151 Trục thức mẫu hạng tử Kết : A = n - 152 Ta có : a − a +1 = −( a + a + 1) ⇒ P = −( + 2n + 1) P số hữu tỉ (chứng minh phản chứng) 1 = − ⇒ A= 10 (n + 1) n + n n + n n +1 1 1 + + + + > n = n 154 + n n 155 Ta có a + = 17 Biến đổi đa thức ngoặc thành tổng lũy thừa số a + 153 Ta chứng minh : A = [(a + 1)5 – 3(a + 1)4 – 15(a + 1)3 + 52(a + 1)2 – 14(a + 1)]2000 = (259 17 - 225 17 - 34 17 - 1)2000 = 156 Biến đổi : a − a −1 = a + a −1 ; a −2 − a −3 = a −2 + a −3 1 1 1 157 x − x + = x − x + + x − x + = x − ÷ + x − ÷ ≥ 4 2 2 1 Dấu “ = “ khơng xảy khơng thể có đồng thời : x = x = 2 168 Trước hết ta chứng minh : a + b ≤ 2(a + b ) Áp dụng (*) ta có : S = (*) (a + b ≥ 0) x − + y − ≤ 2(x − + y − 2) = x= x −1 = y − max S = ⇔ ⇔ x + y = y = * Có thể tính S2 áp dụng bất đẳng thức Cauchy Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Dễ thấy A > Ta xét biểu thức : B = 180 Ta phải có | A | ≤ 32 = − − x Ta có : A ≤ − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ ⇒ − ≤ − − x2 ≤ = 2+ ⇔ B = − ⇔ = − x ⇔ x = Khi max A = 2− ⇔ max B = ⇔ − x = ⇔ x = ± Khi A = 2x − x + 181 Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta xét biểu thức : B = Khi : 1− x x 2x − x = (1) 2x − x B≥2 = 2 B = 2 ⇔ 1 − x x 1− x x 0 < x < (2) Giải (1) : 2x2 = (1 – x)2 ⇔ | x | = | – x | Do < x < nên x = – x ⇔ = − +1 Như B = 2 ⇔ x = - 1 2x − x − 2x − + x + ÷− + + = +1 = Bây ta xét hiệu : A − B = ÷= x 1− x x 1− x x 1− x ⇔ x= Do A = 2 + x = - 182 a) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm giảm tổng : a+b ≥ ab Ở ta muốn làm tăng tổng Ta dùng bất đẳng thức : a + b ≤ 2(a + b ) A = x − + y − ≤ 2(x − + y − 3) = x − = y − x = 1,5 max A = ⇔ ⇔ x + y = y = 2,5 Cách khác : Xét A2 dùng bất đẳng thức Cauchy b) Điều kiện : x ≥ , y ≥ Bất đẳng thức Cauchy cho phép làm trội tích : Ta xem biểu thức x − , y − tích : x − = 1.(x − 1) , y − = x − 1.(x − 1) + x − 1 = ≤ = x x 2x y−2 2.(y − 2) + y − = ≤ = = y y 2y 2 x − = 1 2+ max B = + = ⇔ ⇔ y − = 2 4 a+b 2(y − 2) ab ≤ Theo bất đẳng thức Cauchy : 183 a = x = y = 1 ,b= Ta thấy 1997 + 1996 < 1998 + 1997 1997 + 1996 1998 + 1997 Nên a < b 184 a) A = - với x = max A = b) B = với x = ± max B = với x = ± với x = Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 33 x + (1 − x ) 185 Xét – ≤ x ≤ A ≤ Xét ≤ x ≤ A = x (1 − x ) ≤ = 2 2 x = − x max A = ⇔ ⇔ x= 2 x > 2 186 A = | x – y | ≥ 0, A lớn chi A2 lớn Theo bđt Bunhiacôpxki : 1 A = (x − y) = 1.x − 2y ÷ ≤ 1 + ÷(x + 4y ) = 4 2 5 2y x=− x= =− 5 max A = ⇔ x ⇔ x + 4y = y = y = − 10 10 187 a) Tìm giá trị lớn : Từ giả thiết : x ≤ x 0 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ x + y3 ≤ x + y = y ≤ y 0 ≤ y ≤ x = x max A = ⇔ ⇔ x = 0, y = V x = 1, y = y = y x+y ≤ Do : b) Tìm giá trị nhỏ : (x + y)2 ≤ 2(x2 + y2) = ⇒ x + y ≤ ⇒ x + y3 ) ( x + y ) ( 3 Theo bất đẳng thức Bunhiacôpxki : x +y ≥ 2 2 2 (x + y3 )(x + y) = x + y x + y ≥ x x + y y = (x2 + y2) = A = ⇔ x=y= 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 188 Đặt ) x = a ; y = b , ta có a, b ≥ 0, a + b = A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = a2 – ab + b2 = (a + b)2 – 3ab = – 3ab Do ab ≥ nên A ≤ max A = ⇔ a = b = ⇔ x = x = 1, y = (a + b) 1 1 Ta có ab ≤ = ⇒ ab ≤ ⇒ − 3ab ≥ A = ⇔ x = y = 4 4 4 189 Điều kiện : – x ≥ , – x ≥ nên x ≤ Ta có : x −1 =3 x−2 − x + (x − 1)(x − 2) − (x − 1)(x − 2) = ⇔ − x = ⇔ x = −8 − x + (x − 1)(x − 2) − x − ⇔ 190 Ta có : + 4x + 2x2 = 2(x2 + 2x + 1) + = 2(x + 1)2 + > với x Vậy phương trình xác định với giá trị x Đặt x + 2x + = y ≥ 0, phương trình có dạng : y = y2 - y - 12 = ⇔ (y - )(y + 2 ) = ⇔ y = −2 (loai y ≥ x + 2x + = ⇔ x + 2x + = 18 ⇔ (x – 3)(x + 5) = ⇔ x = ; x = -5 1 1 1 = k = k − + − 191 Ta có : ÷= k ÷ ÷ (k + 1)k (k + 1) k k + k k +1 k k +1 k Do Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU = 1 + 34 k 1 1 − < 2 − ÷ ÷ Do : ÷ k +1 k k +1 (k + 1) k k +1 k 1 1 + + + + < 1 − + 2 − + + − ÷ ÷ ÷ (n + 1) n 2 3 n +1 n = 1 − ÷ < (đpcm) n +1 > 192 Dùng bất đẳng thức Cauchy (a, b > ; a ≠ 0) ab a + b 193 Đặt x – y = a , x + y = b (1) a, b ∈ Q Vậy : y ∈Q x−y a a = ⇒ x − y = ∈ Q (2) b x+ y b a) Nếu b = x = y = 0, b) Nếu b ≠ Từ (1) (2) : 199 Nhận xét : ( x , 1 a x = b + ÷ ∈ Q ; 2 b ( x2 + a2 + x ) x + x2 + a2 ≤ )( 1 a y = b − ÷ ∈ Q 2 b ) x + a − x = a Do : 5a x2 + a2 ) ( (1) ⇔ x + x + a ≤ ( x2 + a2 + x )( x2 + a2 − x ) x2 + a2 x + a + x > x + x = x + x ≥ Suy : x + a + x > , ∀x x ≤ Vì : (1) ⇔ x + a ≤ x + a − x ⇔ 5x ≤ x + a ⇔ x > 25x ≤ 9x + 9a x ≤ ⇔ ⇔ x≤ a 0 < x ≤ a 4 − 2a 207 c) Trước hết tính x theo a x = Sau tính + x a(1 − a) a(1 − a) Do a ≠ nên : ) ( Đáp số : B = d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = 2x + Suy điều phải chứng minh x 1 209 Ta có : a + b = - , ab = nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + = 2 17 a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = − = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - = − 4 17 239 Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = − − − ÷( −1) = − 64 64 208 Gọi vế trái A > Ta có A = 210 a) a = ( − 1) = − 2 = − a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 b) Theo khai triển Newton : (1 - )n = A - B ; (1 + )n = A + B với A, B ∈ N Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 35 Suy : A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp : * Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 - )n = A - B = A − 2B2 Điều kiện A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) * Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 − A Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) 211 Thay a = vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = ⇔ (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = ⇔ x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ⇔ (x2 – 2)(x + a) = Các nghiệm phương trình cho là: ± - a 1 + + + n a) Chứng minh A > n − : Làm giảm số hạng A : 2 = > = k +1 − k k k+ k k +1 + k Do A > − + + − + + + − n + n + = = n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − 212 Đặt A = ( ( ( ) ) ( ) ) ( ) b) Chứng minh A < n − : Làm trội số hạng A : ( ) 2 = < = k − k −1 k k+ k k + k −1 Do : A < n − n − + + − + − = n − ( ) ( ) ( ) 213 Kí hiệu a = + + + + có n dấu Ta có : n a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a100 = + a 99 < + = Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a = (2 + )2 = + Ta có = 48 nên < < ⇒ 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + )2 x = + Xét biểu thức y = (2 - )2 y = - Suy x + y = 14 Dễ thấy < - < nên < (2- )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 215 Đặt x – y = a ; x + y = b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b ≠ x−y a = ⇒ x+ y b x− y= a số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có : b 1 a 1 a x = b + ÷ số hữu tỉ ; y = b − ÷ số hữu tỉ 2 b 2 b b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 216 Ta có 36 n 1 1 = = n − + − ÷= n ÷ ÷= (n + 1) n n(n + 1) n + n n +1 n n +1 n n 1 = 1 + − − ÷ ÷< ÷ Từ ta giải tốn n + n n + n n + 217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, khơng có hai số Khơng tính tổng qt, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … a25 ≥ 25 Thế : 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ 2 2 < + + + + = 25 − 24 + 24 − 23 + + − + = 24 + 24 23 + 23 2+ ( =2 Từ (1) (2) suy : ( ) ) 25 − + = (2) 1 + + + < , trái với giả thiết Vậy tồn hai số 25 số a1 a2 a 25 a1 , a2 , … , a25 2+ x = a ≥ ; − x = b ≥ 218 Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt a2 b2 + = Ta có : ab = − x , a + b = Phương trình : +a −b ⇒ a2 - a2b + b2 + ab2 = (2 - b + a - ab) ⇒ (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) ⇒ (2 + ab) = (a – b)(2 + ab) (chú ý : a2 + b2 = 4) ⇒ a – b = (do ab + ≠ 0) 2 Bình phương : a + b – 2ab = ⇒ 2ab = ⇒ ab = ⇒ − x = Tìm x = a −1 219 Điều kiện : < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : − x = a +1 a Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = a +1 2 Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) Kết luận : Nghiệm x = a Với a ≥ a +1 220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > Từ hệ phương trình cho ta có : x= 2y 2y ≤ = y 1+ y y Tương tự y ≤ z ; z ≤ x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh toán, cần tìm số B cho < B < A + B số 107 tự nhiên Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : (8+3 7) < ( ⇒ 8−3 107 ) < 107 Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 37 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b ∈ N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên Do < B < A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy 107 Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a 222 Ta thấy với n số phương n số tự nhiên, n khác số phương n số vơ tỉ, n khơng có dạng ,5 Do ứng với số n ∈ N có số nguyên an gần n * nên Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 1 < x < 1+ có hai nghiệm tự nhiên 2 1 − < x < + có bốn nghiệm tự nhiên 2 1 − < x < + có sáu nghiệm tự nhiên 2 1 Tổng quát : k − < x < k + có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức tương đương với : k2 – k + 2 1 < x < k2 + k + Rõ ràng bất phương trình có 2k nghiệm tự nhiên : k2 – k + ; k2 – k + ; 4 1− … ; k2 + k Do : ÷ 1 1 1÷ 1÷ 1 1 + + + = + ÷+ + + + ÷+ + + + + ÷ = 2.44 = 88 a1 a2 a1980 4422 432 ÷ 444 444 44 { 1÷ 42 4 ÷ 1 soá soá 88 soá 223 Giải tương tự 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ an ] = 2 c) Ta thấy : 44 = 1936 < 1996 < 2025 = 45 , 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46 Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2 ⇒ 4n + < 16n2 + 8n + < 4n + ⇒ 4n2 + 4n + < 4n2 + 2 16n2 + 8n + < 4n + 4n + < 4n + 8n + ⇒ (2n + 1)2 < 4n2 + 16n2 + 8n + < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) x + y số tự nhiên có tận (2) Ta chọn y = ( 3− ) 200 Ta có < − < 0,3 nên < y < 0,1 Điều kiện (1) chứng minh Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có : x+ y = ( 3+ ) 200 + ( 3− ) 200 ( = 5+ ) 100 ( + 5− ) 100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a – (3) ; b2 = 10b – (4) Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 38 Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 ≡ - Sn+1 (mod 10) Do Sn+4 ≡ - Sn+2 ≡ Sn (mod 10) (5) Ta có S0 = (5 + ) + (5 - )0 = + = ; S1 = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 226 Biến đổi ( 3+ ) 250 ( = 5+ ) 125 Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36) 227 Ta có : ( ) ( ) ( ) ( A = 1 + + 3 + 4 + + 8 + 9 + + 15 + 16 + + 24 ) Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x x (3 – x) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số 2 x x + + 3− x ÷ x x x x khơng âm , , (3 – x) ta : (3 – x) ≤ 2 ÷ = 2 2 ÷ 228 a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = Do A ≤ (1) x = 3− x ⇔ x = b) Xét x > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận maxA = ⇔ x ≥ 229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x + 1+ − x + 3.3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7− x) = ⇔ x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt x − = y ; x + = z Khi x – = y2 ; x + = z2 y + z = (2) nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ : z − y = (3) z ≥ (4) Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3 – y2 + 6y – = ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = ⇔ y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : 1 + = 2 a + b = Bình phương hai vế : a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b) ⇒ 2(a + b) Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn 231 a) Giả sử số hữu tỉ = + (a + b)2 – 4ab m m3 (phân số tối giản) Suy = Hãy chứng minh m lẫn n n n m phân số tối giản n m b) Giả sử + số hữu tỉ (phân số tối giản) Suy : n chia hết cho 5, trái giả thiết Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU m3 = n3 ( ) + = + 3.3 39 m 6m = 6+ ⇒ m3 = 6n3 + 6mn2 (1) ⇒ m3 M2 ⇒ m M2 n n Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho ⇒ n3 chia hết m phân số tối giản n a+ b+ c ≥ abc tương đương với 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh x3 + y3 + z3 ≥ xyz hay x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập sbt) a+ b+ c ≥ abc Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : cho ⇒ n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : a+ b+ c+ d = 1 a+ b c+ d + ÷≥ 2 2 ( ) ab + cd ≥ ab cd = abcd a+ b+ c a+ b+ c + d Trong bất đẳng thức ta : ÷ ≥ abcd , đặt d = a+ b + c a + b + c + ÷ a+ b+ c a+ b+ c a+ b+ c ⇒ ÷ ≥ abc ÷ ≥ abc 3 ÷ a+ b+ c Chia hai vế cho số dương (trường hợp số a, b, c 0, toán chứng minh) : 3 a+ b+ c a+ b+ c ≥ abc ÷ ≥ abc ⇔ a+ b+ c Xảy đẳng thức : a = b = c = ⇔ a=b=c=1 b c d a + + ≤ 1− = 233 Từ giả thiết suy : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số b+ c+ d + a+ a+ 1 b c d bcd ≥ + + ≥ 3.3 dương : Tương tự : a+ b+ c + d + (b + 1)(c + 1)(d + 1) acd ≥ 3.3 b+ (a + 1)(c + 1)(d + 1) abd ≥ 3.3 c+ (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc ≥ 3.3 d+1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Nhân từ bốn bất đẳng thức : 1≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ 81 x2 y2 z2 234 Gọi A = + + Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y z x Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 40 x2 y2 z2 x y z 3A = + + ÷(1+ 1+ 1) ≥ + + ÷ (1) y z x y z x x y z x y z + + ≥ 3.3 = (2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : y z x y z x x y z x y z x y z 3A + + ÷ ≥ 3 + + ÷ ⇒ A ≥ + + y z x y z x y z x Nhân vế (1) với (2) : 235 Đặt x = 3+ 3 ; y = 3 − 3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x + b3), ta có : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1 1 2+ + + n 1+ ÷ = 1+ n + n 2! n 3! n n! n n 1 1 < 1+ 1+ + + + ÷ n! 2! 3! 1 1 1 + + + ≤ + + + = Dễ dàng chứng minh : 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n 1 1 1 1n − = 1− < = 1− + − + + Do (1+ ) < 2 n−1 n n n b) Với n = 2, ta chứng minh Với n ≥ 3, ta chứng minh (2) ⇔ ( n+1 ) n+ n 3 > (1) Thật vậy, (1) ⇔ n > n+1 n + (2) Thật : ( n) ⇔ (n + 1) < n n(n+1) < n n(n+1) ( ) ( ) > ⇔ 32 > 22 n n n+1 (n + 1)n 1 ⇔ < n ⇔ 1+ ÷ < n (3) nn n n 1 Theo câu a ta có 1+ ÷ < , mà ≤ n nên (3) chứng minh n Do (2) chứng minh ) ( 2 237 Cách : A = x + 1+ x + x + ≥ A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A ≥ 24 (x2 + x + 1)(x2 − x + 1) = 24 x4 + x2 + ≥ A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : x x + + x − 2÷ A x x 2x − − = (x − 2) ≤ ÷ = ÷ ≤ 2 3 ÷ - A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x ≤ Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 41 x2 x2 2 + + − x 2 ÷ x x A = x4(9 − x2 ) = (9 − x2 ) ≤ 4 2 ÷ = 4.27 2 ÷ ÷ max A = với x = ± 240 a) Tìm giá trị lớn : Cách : Với ≤ x < A = x(x2 – 6) ≤ Với x ≥ Ta có ≤ x ≤ ⇒ ≤ x2 ≤ ⇒ ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 == (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - ≥ - A = - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 + 2 ≥ 3 x3.2 2.2 = 6x Suy x – 6x ≥ - A = - với x = 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : x x x 3-2x 3-2x x x x 4x + 3− 2x + 3− 2x 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ ÷ = max V = ⇔ 4x = – 2x ⇔ x = Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± x x dm 2 − x = a; x − 1= b Đáp số : ; ; 10 2x − = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = −1± ⇔ x = y Đáp số : ; x − x2 − Đáp số : x = e) Rút gọn vế trái : 3 g) Đặt − x = a; x − = b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải phương trình cho a − b a3 − b3 a3 − b3 Phương trình cho trở thành : = a+ b 2 a − b a3 − b3 Do a3 + b3 = nên = 3 ⇒ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) a+ b a + b d) Đặt ( ) Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = h) Đặt x + 1= a; x − 1= b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho x + Đặt x+1 x+ = a; = b Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm x+ x+ Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Cách : Đặt x + = y Chuyển vế : 42 y3 − + y3 + = − y Lập phương hai vế ta : y3 – + y3 + + 3 y6 − (- y) = - y3 ⇔ y3 = y Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2 = 3 y6 − y6 − Lập phương : y6 = y6 – Vô n0 Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng : 3 x Vế trái x+1 x+ x+ x < -2 < -1 < < < x > -x > -1 > > > 4 k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), ab + a + b = (2) m+ n , ta có a + b 1+ a 1+ b 3= a b + a + b ≤ + + = 2 1+ a 1+ b a+ b = a + b + 1≤ + + 1= + = 2 Theo bất đẳng thức Cauchy mn ≤ Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ m4 + n4 = a + b – 2x Phương trình cho trở thành : m + n = m4 + n4 Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) Đặt x + x y + y x + 2x y + y − 2x y = = a = x ; b = y , ta có : A = x + xy + y x + xy + y (x = + y ) − (xy) 2 x + xy + y 2 (x = + y + xy ) ( x + y − xy ) x + y + xy 2 = x + y − xy Vậy : A = a + b − ab (với a2 + b2 ≠ 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) = = x + x + ≥ Đẳng thức xảy : 2 x + x + = x − x + ⇔ x = Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ⇔ x = x + x + = 245 Vì + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : 3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z q = 2a + b + 18∈ Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = Nếu q ≠ Vậy + =- p , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p = q nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = : 4a + b + 42 = Suy a = - 12 ; b = 2a + b + 18 = Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 43 p p p3 246 Giả sử số hữu tỉ ( phân số tối giản ) Suy : = Hãy chứng minh p q q q q p chia hết cho 3, trái với giả thiết phân số tối giản q 247 a) Ta có : Do : b) 3 1+ = ( 1+ ) = 1+ 2 + = + 2 ( + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 ) = + − = −1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a ⇔ a3 – 6a – 40 = ⇔ (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ⇒ a = 249 Giải tương tự 21 250 A = + − 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3 + Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 – 9x – 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 u = v3 + b) Đặt u = x - , v = x - , ta : ⇔ u = v = - ⇒ x = v = u + c) Đặt : x + 32 = y > Kết x = ± 254 Đưa biểu thức dạng : A = x3 + + + x + − Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | ⇔ -1 ≤ x ≤ A = 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt x = y x = y 258 Ta có : P = ( x − a) + ⇒ P = 23 x + ( x − b) = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ⇔ a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ⇔ a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a + b − c) + (b + c − a) (b + c − a) + (c + a − b) = b (b + c − a)(c + a − b) ≤ =c 2 (c + a − b) + (a + b − c) (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a (a + b − c)(b + c − a) ≤ Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b ⇔ a = b = c (tam giác đều) 260 x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 Đưa pt dạng : ( ) ( 263 Nếu ≤ x ≤ y = 264 Đặt : ) ( 2 x − −1 + x − = y ≥ M = x − y−3 −2 + ( )( ) z −5 −3 = ) x −1 + − x −1 Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 44 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = 266 Với a, b ta ln có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c ≥ a + b ⇔ c ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b 267 Biến đổi ta : ( a 'b − ab ' ) +( a 'c − ac ' ) +( a+b b 'c − bc ' ) =0 268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ -Hết Giaovienvietnam.com ... 1 ,b= Ta thấy 199 7 + 199 6 < 199 8 + 199 7 199 7 + 199 6 199 8 + 199 7 Nên a < b 184 a) A = - với x = max A = b) B = với x = ± max B = với x = ± với x = Giaovienvietnam.com CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS... = Hãy so sánh A 1 ,99 9 1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 183 Cho số x, y x + y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y số hữu tỉ 181 CMR, ∀n ∈ Z+ , ta có : 3+ − ; b = + 2 + − CMR : a, b số hữu tỉ 3− 2+ a... a < Vậy 0 ,99 9 99 14 43 = 0 ,99 9 99 14 43 20ch? ?s? ?9 20ch? ?s? ?9 69 a) Tìm giá trị lớn Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b | A ≤ | x | + + | y | + = + ⇒ max A = + (khi chẳng hạn x = - 2, y = - 3) b) Tìm