Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 656 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
656
Dung lượng
6,15 MB
Nội dung
Tailieumontoan.com Điện thoại (Zalo) 039.373.2038 CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ NÂNG CAO LỚP (Liệu hệ tài liệu word mơn tốn SĐT (zalo) : 039.373.2038 Tài liệu sưu tầm, ngày 27 tháng năm 2022 Website: tailieumontoan.com CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC Hệ thống tập sử dụng chuyên đề Tỉnh, huyện, thành phố Năm học Tỉnh, huyện, thành phố Năm học Chuyên An Giang 2018 Chuyên An Giang 2018 Chuyên Bắc Ninh 2014; 2017 Chuyên Bắc Ninh 2014; 2017 Chuyên Bắc Giang 2018 Chuyên Bắc Giang 2018 Chuyên Bạc Liêu 2019 Chuyên Bạc Liêu 2019 Chuyên Bến Tre vòng 2019 Chuyên Bến Tre vịng 2019 Chun Bình Dương 2018 Chun Bình Dương 2018 Chun Cao Bằng vịng 2019 Chun Cao Bằng vòng 2019 Chuyên Gia Lai vòng 2019 Chuyên Gia Lai vòng 2019 Chuyên KonTum vòng 2019 Chuyên KonTum vòng 2019 Chuyên Cần Thơ 2019 Chuyên Cần Thơ 2019 Chuyên Quảng Ninh 2017; 2019 Chuyên Quảng Ninh 2017; 2019 Chuyên Hưng Yên 2017, 2018 Chun Hưng n 2017, 2018 chun Tốn Ninh Bình 2017; 2019 Chun Ninh Bình, chun 2017; 2019 Tốn Ninh Bình Chuyên Thừa Thiên Huế 2017 Chuyên Thừa Thiên Huế 2017 Chuyên Toán Hà Nam 2019 Chuyên Toán Hà Nam 2019 Chuyên Lê Hồng Phong 2015, 2017, 2018 Chuyên Lê Hồng Phong Nam 2015, 2017, 2018 Nam Định Định Chuyên Toán Nam Định 2019 Chuyên Toán Nam Định 2019 Chuyên Thái Bình 2017; 2018; 2019 Chuyên Thái Bình 2017; 2018; 2019 Chuyên Tin Thái Nguyên 2019 Chuyên Tin Thái Nguyên 2019 Chuyên Tiền Giang vòng 2, 2018, 2019 Chuyên Tiền Giang vòng 2, 2018, 2019 chuyên Tin Tiền Giang chuyên Tin Tiền Giang vòng vòng Chuyên Lào Cai 2017 Chuyên Lào Cai 2017 Chuyên Lâm Đồng vòng 2019 – Chuyên Lâm Đồng vòng 2019 Chuyên Lâm Đồng vòng 2019 Chuyên Lâm Đồng vòng 201 Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015, 2016, 2017, Chuyên Sư Phạm Hà Nội 2015, 2016, 2018 2017, 2018 Chuyên Trà Vinh 2018 Chuyên Trà Vinh 2018 Chuyên Toán Bến Tre 2018 Chun Tốn Bến Tre 201 Chun Tốn Bình Định 2018, 2019 Chun Tốn Bình Định 201, 2019 chun vòng chuyên vòng Chuyên Hưng Yên 2018; 2019 Chuyên Hưng Yên 2018; 2019 Chuyên Nam Định 2018 – 2019 Chuyên Nam Định 2018 Chuyên An Giang 2018 – 2019 Chuyên An Giang 2018 Chuyên Phú Yên vòng 2019 – 2020 Chuyên Phú Yên vòng 2019 Chuyên Quảng Ngãi 2019 – 2020 Chuyên Quảng Ngãi 2019 Chuyên Quảng Trị 2018 - 2019 Chuyên Quảng Trị 2018 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Chuyên Sơn La vòng Đại Học Ngoại Ngữ Hà Nội Học sinh giỏi TP Bắc Giang Học sinh giỏi Hịa Bình Học sinh giỏi Tỉnh Điện Biên Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn Học sinh giỏi Long An Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước Học sinh giỏi Tỉnh Lai Châu Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa 2019 - 2020 2010, 2014, 2017 2016 2010 2018 Chuyên Sơn La vòng Đại Học Ngoại Ngữ Hà Nội Học sinh giỏi TP Bắc Giang Học sinh giỏi Hòa Bình Học sinh giỏi Tỉnh Điện Biên 2019 2010, 2014, 2017 2016 2010 2018 2019; Học sinh giỏi Tỉnh Lạng Sơn 2019; 2012 2018 Học sinh giỏi Long An 2012 Học sinh giỏi Tỉnh Quảng Bình 2018 2018 Học sinh giỏi Tỉnh Bình Phước 2018 2018 Học sinh giỏi Tỉnh Lai Châu 2018 2018 Học sinh giỏi Tỉnh Thái Bình 2018 2013; 2016; 2017 Học sinh giỏi Tỉnh Thanh Hóa Học sinh giỏi Phú Thọ Học sinh giỏi Hải Dương Học sinh giỏi Nam Định 2012 - 2013 Học sinh giỏi Phú Thọ Học sinh giỏi Hải Dương Học sinh giỏi Nam Định Học sinh giỏi Tỉnh Sóc Trăng Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng Học sinh giỏi Huyện Hoằng Hóa Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn 2013 2016 2017 2012 Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng Học sinh giỏi Huyện Hoằng Hóa Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn Học sinh giỏi Huyện Chương Mỹ vòng vòng Học sinh giỏi Huyện Ba Đình Học sinh giỏi Huyện Bắc Từ Liêm Học sinh giỏi Huyện Đức Cơ Học sinh giỏi Huyện Như Thanh Học sinh giỏi Huyện Triệu 2018 2019 2019 2020 2018 2019 2019 2019; 2020 Học sinh giỏi Huyện Chương 2019 Mỹ vòng vòng 2017 Học sinh giỏi Huyện Ba Đình 2018 Học sinh giỏi Huyện Bắc Từ 2018 Liêm Học sinh giỏi Huyện Đức Cơ 2019 2019 2019 2019 2017 Học sinh giỏi Huyện Như 2019 Thanh Học sinh giỏi Huyện Triệu 2019 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com Phong Học sinh giỏi Huyện Thường Tín Học sinh giỏi Huyện Ba Vì Học sinh giỏi Huyện Ba Thước Học sinh giỏi Huyện Đan Phượng Học sinh giỏi Huyện Thanh Xuân Học sinh giỏi Huyện Mỹ Đức Học sinh giỏi Huyện Cầu Giấy Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn Học sinh giỏi Huyện Cẩm Thủy Thanh Hóa Học sinh giỏi Huyện Đông Hà Quảng Trị Học sinh giỏi TP Thanh Hóa 2019 2019 2019 Phong Học sinh giỏi Huyện Thường 2019 - 2020 Tín Học sinh giỏi Huyện Ba Vì 2019 Học sinh giỏi Huyện Ba Thước 202019 2019 Học sinh giỏi Huyện Đan 2019 Phượng Học sinh giỏi Huyện Thanh 2019 Xuân Học sinh giỏi Huyện Mỹ Đức 2019 2019 Học sinh giỏi Huyện Cầu Giấy 2019 2019 Học sinh giỏi Huyện Quan Sơn 2019 2019 Học sinh giỏi Huyện Cẩm 2020 Thủy Thanh Hóa Học sinh giỏi Huyện Đông Hà 2020 Quảng Trị Học sinh giỏi TP Thanh Hóa 2020 2019 2019 2020 2020 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com A BÀI TOÁN VỀ CĂN THỨC Bài 1: Chuyên Bình Định vịng 2, năm học 2019 – 2020 ( 3+ Rút gọn= biểu thức A ) + 2 + 3+ )( ( ( 3− ) 2 − 3− Lời giải ) Ta có: 2 + + 2 − − =8 − − + + − − ( =8−2 +) ) ( −1 + )( ( ) + − = − + + + = 10 ) ( ) ( ) − =4 + − + ( ) ( ) + =4 − − − + 2 − − =4 + + − + ( ) ( )( −1 ) ( ) ( )( +1 = 12 + − − = 10 + +) ) )( ( − 2 + + =4 + + + + = 12 − + − = 10 − Vậy A = Cách khác: +) ) )( ( ) 3+ 2 − 3− + 3− 2 + 3+ 10 + + 10 − = = 10 2 + 3+ 2 − 3− Do A Ta có: )( ( ) ( 3+ ) 2 + 3+ ( 3− ) 2 − 3− = = ( 6+2 4+ 6+2 6−2 4− 6−2 = )( ) 6+2 = 2− 5+ 5+ 6−2 = 2− 5− 5− = 4 20 − + 20 + 40 + = 4− = 4−2 = = 4− 25 − 20 5+ 5− Do A = − Vậy A = Bài 2: Chuyên Tỉnh Bạc Liêu, năm học 2019 – 2020 Rút gọn biểu thức B = (13 − )( + ) − 20 + 43 + 24 Lời giải Ta có: B =+ 91 52 − 28 − 48 − B= 43 + 24 − ( ( ( 13 − + + ) 13 − + + = 43 + 24 − ) (2 ) −1 + (2 + 3) ) B = 43 + 24 − − + + ⇒ B = 35 Bài 3: Chuyên Tỉnh Bến Tre vòng 2, năm học 2019 – 2020 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 Website: tailieumontoan.com 1− 1+ − 1− + Tính giá trị biểu thức A = Lời giải ( ) ( )( ) 1− − 1+ = : 1− + −1− − : 1+ 1− 1− Ta có A ( ) −4 Vậy = A = −4 Bài 4: Chuyên Tỉnh Gia Lai vòng 2, năm học 2019 – 2020 5+ Rút gọn biểu thức A = + + − + Lời giải ( Ta có A = ) +1 + ( ) −1 2 = 3+ 5+ 5+ + ( 5− )=2 Vậy A = Bài 5: Chuyên KonTum vòng 2, năm học 2019 – 2020 ( 3− 3+ Tính giá trị biểu thức P = Ta có P = P = ( ) ( 10 + ( 3− 3+ = 10 + ) ) Lời giải − + ( ) −1 ) 6− 5 +5−3− = ( + 2) ( ) (2 = −1 + 1) ) (= − ( − 1) = Vậy P = Bài 6: Chuyên Tỉnh Lâm Đồng vòng 2, năm học 2019 – 2020 Tính giá trị biểu thức T =( + 1)( − 1) 13 − 19 + Lời giải Ta tính 13 − = − 19 + = − 2 Do đó= T ( ) − 12 ( ) −= 12 187 Vậy T = 187 Bài 7: Chuyên Tỉnh Nam Định chuyên Toán, năm học 2019 – 2020 Cho x = + + + − + Tính= P x (2 − x) Lời giải Ta có x = + + + − + =6 + 32 − ( + ) =6 + − Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 =6 + ( ) ( ) − =4 + = +1 Website: tailieumontoan.com + ⇒ ( x − 1) = hay x − x = ⇒ P = Do x > ⇒ x= Vậy P = Bài 8: Chuyên Tỉnh Ninh Bình chun Tốn, năm học 2019 – 2020 Rút gọn C = − 33 + 128 − 3− Lời giải Ta có: = C − 33 + 128 − 1 : − 2= 6 − − : − 2= ( ( ) ) ( ( ) 5 (2 − ) −1 : − ( ) 3− 11 − − C = = = = 3− 3− 3− Vậy C = ( Cho x = ) −1 Bài 9: Chuyên Tỉnh Sơn La vòng 2, năm học 2019 – 2020 10 + 21 + + Tính B = (x + 4x − 2) 2019 Lời giải ( + 1) ( − 1)( + 1) = Ta có: 10 + = ⇒ x= 3 5+4 Vậy B = ( x2 + x − 2) = + 1; 21 + = 5+4 2019 = ( −1) = 2019 (2 ) +1 = +1 5−2 = −1 Bài 10: Chuyên Tỉnh Thái Nguyên, chuyên Tin, năm học 2019 – 2020 Cho x = 70 + 4901 + 70 − 4901 Khơng sử dụng máy tính bỏ túi chứng minh x số nguyên tố Lời giải Ta có ( )( x = 140 + 3 70 + 4901 70 − 4901 )( ) 70 + 4901 + 70 − 4901 ⇔ x = 140 − x ⇔ x + x − 140 = ⇔ ( x − ) ( x + x + 28 ) =0 ⇔ x − =0 ⇔ x =5 ( x + x + 28 > ) Vậy x số nguyên tố Bài 11: Chuyên Tin Tiền Giang, năm học 2019 – 2020 Rút gọn A = + 10 + + − 10 + Lời giải Liên hệ tài liệu word tốn SĐT (zalo): 039.373.2038 ) (4 + Ta có A > ⇒ A = + =8 + ( ) −1 Vậy = A =8 + ( 10 + )( − ( ) − =6 + = Website: tailieumontoan.com ) ( ) 10 + = + 16 − 10 + = + − ) +1 ⇒ A = +1 +1 Bài 12: Chuyên Tiền Giang vòng 2, năm học 2019 – 2020 Cho x = + + − − Tính = P x3 ( x + 3x + ) Lời giải Ta có x + =3 + + − ⇒ ( x + 1)3 =4 − ( x + 1) ⇒ x3 + 3x + x =−3 P= x3 ( x + 3x + ) = ( x3 + 3x + x ) ⇒ P =−27 3 Vậy P = −27 Bài 13: Tuyển Sinh chuyên Quảng Trị, năm học 2018 – 2019 + − 13 + 48 Rút gọn biểu thức A = 6+ Lời giải Ta có A = + − 13 + 48 : ( + ) = + − : ( + ) = + + 1) (= ) ( + 1) ( ) :( −1 6+ 2 4+2 = +1 ( Vậy A = 2 Bài 14: Tuyển Sinh chuyên Tiền Giang, năm học 2018 – 2019 Rút gọn biểu thức A = 29 − 12 + 5+ Lời giải Ta có: A = (2 −3 ) + ( = −3+5− = 5+2 ) Vậy A = Bài 15: Tuyển Sinh chuyên Bình Dương, năm học 2018 – 2019 Tính giá trị biểu thức P = 1 1 + + + + +1 + + 2005 2004 + 2004 2005 Lời giải n + n n +1 có Với n ∈ N * , ta = ( n + 1) = n +1 − n = n + n = n + n n + + n ( 1 − n n +1 Áp dụng kết quả, ta được: Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 ) n +1 − n n + n ( n + − n ) ) Website: tailieumontoan.com 1 1 1 1 1 44 P= − + − + − + + − = = = 1− 1− 45 45 2 3 2004 2005 2005 Bài 16: Tuyển Sinh chuyên An Giang, năm học 2018 – 2019 ( Rút gọn A = )( + 11 + 13 − + 11 + 13 )( − 11 + 13 )( − 11 − 13 ) Lời giải Ta có: ( + 11 + 13 − + 11 + 13 =−7 + )( +) ( =7 − ) − 11 + 13 ( 11 − 13 ( ) Vậy A =17 + )( ( 11.13 )( −17 + 2 ) ( + 11 − 13 = ( 11 + 13 7− ( ) ( ) =−7 + 11 + 13 + 11.13 =17 + 11.13 11 − 13 )) ( 7+ ( 11 − 13 )) ) =7 − 11 + 13 − 11.13 =−17 + 11.13 ) 11.13 = −17 + 4.11.13 = −289 + 572 = 283 Vậy A = 283 Bài 17: Học sinh giỏi Tỉnh Hịa Bình, năm học 2011 – 2011 Rút gọn A = 8+ −1 − 8− 8− −1 +1 Lời giải Đặt A = T , ta có T > ⇒ T =T M ) ( Xét T = + = 24 − ⇒ = T 8− ( −1 − ( 8+ − ) −1 = − 8− ) +1 ⇒ = A 8− ( 8− −1 + ( ) −1 = − 8− −1 + 1= ( ) 8− +1 ) Vậy A = Bài 18: Học sinh giỏi Phú Thọ, năm học 2012 – 2013 Rút gọn A = 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 Lời giải Ta có A 10 + 30 − 2 − = : 10 − 2 −1 + 3 −1 = Vậy A = ( ) ( ( ) ) 2 −1 + −1 +1 = 2 −1 +1 −1 = 2 Bài 19: Học sinh giỏi TP Bắc Giang, năm học 2016 – 2017 Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 + 3 +1 2 Website: tailieumontoan.com 4+ + 4− Tính giá trị biểu thức N = + 13 + 27 − 10 Lời giải Ta có: N ( = ( ) ( 4+ + 4− = + 25 − 10 + + 13 ) 4+ + 4− = + 5− 4+ + 4− ) ( 2 ) ( ( ( 4+ + 4− (4 + 3) + ) ( + − + + 4+ + 4− 4+ + 4− ) ) + (5 − ) + (5 − ) ) + − 2= Vậy N = Tính A = Bài 20: Học sinh giỏi Long An, năm học 2012 ( − + − 15 + 10 ) 23 − Lời giải Ta có A = − + − 15 + 10 ) (= 2 23 − ( ) −1 ( + (3 5− ) −1 ) 2 − + − 15 + 10 ) (= ( 23 − ) +2 = − + − 15 + 46 − −1 + − + 5 −1 = = −1 −1 Bài 21: HSG huyện Nga Sơn Thanh Hóa, năm học 2016 - 2017 Rút gọn B = 2+ + 2+ + 2− − 2− Lời giải Ta có: B = 2+ 2+ 4+2 + 2− 2− 4−2 = ( )( ) ( )( ( 3+ +3− = Vậy B = Bài 22: HSG Tỉnh Quảng Nam, năm học 2020 - 2021 Rút gọn biểu thức A = )( 2+ 3− + 3+ 2− 2+ 2− + = 3+ 3− 3+ 3− 13 + 30 + − Liên hệ tài liệu word toán SĐT (zalo): 039.373.2038 ) ) Để ( d1 ) tiếp tuyến ⇔ ∆ = 32 − 4.2m = − 8m = ⇔ m = ( P) phương trình (2) có nghiệm kép c) Đường thẳng ( d ) cần lập song song với đường thẳng = y x + nên đường thẳng ( d ) có hệ số góc k = , tức ( d ) : y =4 x + n ( n ≠ ) Xét phương trình hồnh độ giao điiểm ( d ) ( P ) : x + n =−2 x ⇔ x + x + n =0 ( 3) Để đường thẳng ( d ) tiếp tuyến ( P ) phương trình (3) có nghiệm kép ∆ ' =22 − 2n =4 − 2n =0 ⇔ n =2 (loại) Vậy không tồn đường thẳng tiếp tuyến ( P ) thỏa mãn toán Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng d : y= y= mx + ( P ) : y = x a) Tìm m để đường thẳng d qua điểm A (1;3) b) Chứng minh đường thẳng d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) Hãy tính giá trị biểu thức= T x1 x2 + y1 y2 Lời giải a) Đường thẳng d qua điểm A (1;3) 3= m.1 + ⇔ m= b) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) : x − mx − =0 (1) Ta có ∆= m + > ∀m Suy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt, hay ( d ) ln cắt ( P ) hai điểm y1 2= phân biệt A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) = x12 ; y2 x22 Theo định lí Viét tacó x1 x2 = Khi T = x1 x2 + y1 y2 = x1 x2 + x12 x22 = x1 x2 + ( x1 x2 ) 2 1 1 ⇒ T =− + − = 2 2 Bài 5: Trên ( P ) : y = x lấy hai điểm O ( 0;0 ) ; B ( 3;9 ) M điểm thuộc cung OB Xác định vị trí M để diện tích tam giác OMB đạt giá trị lớn Lời giải Cách 1: Sử dụng điều kiện tiếp xúc Cách 2: Phương trình đường thẳng OB y = 3x M thuộc cung OB ⇒ M ( a; a ) Kẻ MH vng góc với OB ( H ∈ OB ) − x + a2 + Lập phương trình đường thẳng MH y = a y = 3x 3a + a 9a + 3a Tọa độ H nghiệm hệ phương trình −1 ; H ⇔ a 10 10 y= x + a + Vì OB khơng đổi nên diện tích OMB lớn MH lớn MH = 3a − a 3a − 9a −a + 3a = + 10 10 10 2 3a + a 9a + 3a a a − −= + 10 10 1 a +3− a = a (3 − a ) ≤ 10 10 10 = Vậy MH đạt giá trị lớn a= 3 9 ⇒M ; 2 4 Bài 6: Trên ( P ) : y = x lấy hai điểm A ( −1;1) , B ( 3;9 ) M điểm thuộc cung AB a) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A, B b) Tìm phương trình đường thẳng song song với đường thẳng AB tiếp xúc với P c) Xác định vị trí M để diện tích ∆ABM đạt giá trị lớn Lời giải a) Gọi phương trình đường thẳng AB = y ax + b Vì A ( −1;1) thuộc đường thẳng AB ⇒ 1= a ( −1) + b (1) Vì B ( 3;9 ) thuộc đường thẳng AB ⇒ = a.3 + b 2x + Từ (1)( ) ⇒ a= 2; b= ⇒ ( AB ) : y = b) Gọi phương trình đường thẳng ∆ / / AB có dạng y =2 x + k ( k ≠ 3) (2) đường thẳng ∆ tiếp xúc với ( P ) phương trình hồnh độ giao điểm x − x − k = có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = + k = ⇔ k = −1 (thảo mãn) Vậy ∆ : y = x − c) Ta có= S ABM MH AB ( MH ⊥ AB, H ∈ AB ) Vì AB khơng đổi nên S ABM lớn MH lớn ⇔ M tiếp điểm ( P ) đường thẳng song song với AB Theo câu b) suy tọa độ M tọa độ giao điểm ∆ ( P ) Hồnh độ M nghiệm phương trình x = x − ⇔ x = ⇒ y = ⇒ M (1;1) Bài 3: Điều kiện tọa độ giao điểm đường thẳng Parabol Bài 1: Cho Parabol y = x đường thẳng d : y = mx − m + Tìm m để d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1 , x2 thỏa mãn điều kiện a) x1 + x2 = b) x1 = x2 Lời giải a) Hoành độ giao điểm d ( P ) nghiệm phương trình x − mx + m + =0 Ta có ∆= m − ( m + 1=) m − 4m + = ( m − 2) Suy phương trình có nghiệm x = x= m − m = (thỏa mãn) m = −2 Giả thiết x1 + x2 = ⇔ + m − = ⇔ b) TH1: x1= 1, x2= m − Từ giả thiết ⇒= ( m − 1) ⇔ m = 10 (thỏa mãn) TH2: x1 = m − 1, x2 = Từ giả thiết ⇒ m − = ⇔ m = 10 (thỏa mãn) Cách 2: Dùng định lý Viét Phương trình có nghiệm m ≠ m x1 + x2 = x1 x2= m − Viét ta có m x1 + x2 = Kết hợp với giả thiết ⇒ x1 x2 = m − ⇒ m = 10; m = 10 x = 9x *) Chú ý: x1 + x2 =4 ⇔ x12 + x1 x2 + x22 =16 ⇔ ( x1 + x2 )2 − x1 x2 + x1 x2 =16 ⇒ m − ( m − 1) + m − = 16 , sau xét trường hợp + TH1: Với m ≥ + TH2: Với m < Bài 2: Cho Parabol y = x đường thẳng d : = y x + 2m Tìm m để a) Đường thẳng d tiếp xúc với ( P ) b) Giả sử d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để A, B nằm bên phải trục tung c) Giả sử d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để AB = Lời giải ( *) Hoành độ giao điểm d ( P ) nghiệm phương trình x − x − 2m = a) Đường thẳng d tiếp xúc với ( P ) phương trình (*) có nghiệm kép ⇔ ∆ ' = ⇔ m = −2 (thỏa mãn) b) Gọi A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) x A > x A + xB > ⇒ xB > x A xB > Ta có A, B nằm bên phải Oy ⇔ Để d cắt ( P ) hai điểm phân biệt ⇔ phương trình (*) có nghiệm phân biệt ⇔∆ =' ( + m ) > ⇔ m > −2 x A + xB = x A xB = −2m Theo định lí Viét ta có xA > 4 > ⇔ ⇔m xB > Vậy c) Nhắc lại AB = ( xB − xA ) + ( yB − y A ) ; ( xB − xA ) = ( xB + xA ) − xB xA 2 2 Vì A ( xA ; y A ) ∈ d ⇒ y A= xA + 2m Vì B ( xB ; yB ) ∈ d ⇒ yB= xB + 2m ⇒ ( yB − y A ) = 16 ( xB − xA ) Vậy AB= 17 ( xB − x A )= 17 ( xB + x A ) − x A x= B 17 (16 + 8m ) Mà AB = ⇒ 17 (16 + 8m ) = ⇔ 17 (16 + 8m ) = ⇔ + 2m = 10 −67 ⇔ m= > −2 (thỏa mãn) 17 34 Bài 3: Cho Parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = cắt ( P ) hai điểm A B ( xA < xB ) a) Đường thẳng ∆ qua điểm A có hệ số góc m Định m để ∆ cắt ( P ) I , cắt Ox J cho A trung điểm đoạn IJ b) Xét hình chữ nhật MNEF có hai điểm M , N thuộc đoạn AB Hai điểm E , F thuộc cung AB ( P ) , xác định tọa độ điểm M , N , E , F để chu vi MNEF lớn Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm ( P ) d là: x = ⇔ x = ±2 ⇒ x A = ⇒ y A = ⇒ A ( −2; ) , B ( 2; ) Giả sử ∆ qua A có hệ số góc m có dạng y =mx + b ⇒ =−2m + b ⇔ b =4 + 2m Vậy ∆ : y = mx + 2m + + Gọi J ( xJ ; yJ ) , J ∈ Ox ⇒ yJ = mxJ + 2m + ⇔ − ( 2m += ) mxJ ⇔ = xJ Ta có J ( xJ ;0 ) ∈ ∆ ⇒= − ( 2m + ) ( m ≠ 0) m + Gọi I ( xI ; yI ) giao điểm ( P ) ∆ , xI ≠ −2 ( xJ ≠ xA ) xI nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm: x =mx + ( 2m + ) x = −2 ⇔ x − mx − ( m + ) =0 ⇔ ( x + ) ( x − ( m + ) ) =0 ⇔ ⇒ xI = m + x= m + + A trung điểm IJ = ⇔ xA xI + x J = m+2− ( 2m + ) m ⇔ = −4 m + 2m − 2m − 4m ⇔ −16m =m − ⇔ m + 16m − =0 ⇔ m =−2 ± 2 Vậy ( ∆ ) : y = ( −2 + 2 ) x + 2 ( ∆ ) : y = ( −2 − 2 ) x − 2 Bài 4: Cho hàm số y = x có đồ thị ( P ) đường thẳng d : y = x − m + Tìm m để đường thẳng d cắt ( P ) hai điểm phân biệt bên phải trục tung Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: x − x + m − =0 Ta có ∆ = − 4m 11 ∆ > 5 − 4m > ⇔1< m < Theo ta có điều kiện x1 + x2 > ⇔ m − > x x > Bài 5: Chuyên SPHN năm 2016 Cho ( P ) : y = − x đường thẳng d= : y 2mx − ( m tham số) a) Tìm tọa độ giao điểm d ( P ) m = b) Chứng minh với giá trị m , d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B Gọi y1 , y2 tung độ A, B Tìm m cho y12 − y22 = Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm d ( P ) : − x + 2mx − =0 (*) a) Thay m = vào phương trình ta có x + x − =0 Đây phương trình bậc có nghiệm phân biệt x =−1 ± Đồ thị d cắt ( P ) điểm M ( xM ; yM ) N ( xN ; yN ) Thay x =−1 ± vào ta có yM =− xM2 =− ( −1 + ) =−3 + 2 ( yN =− xN2 =− −1 − ) =−3 − 2 b) Phương trình (*) có ∆=' m − ( −1)= m + > ∀m nên phương trình ln có nghiệm phân biệt ⇔ ( P ) d cắt hai điểm phân biệt với m Gọi giao điểm d ( P ) A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) −2m x1 + x2 = x1 x2 = −1 Theo Viét ta có Vì A, B thuộc ( P ) nên ta có Bài 6: Cho hàm số y = x có đồ thị ( P ) đường thẳng d : y = mx Tìm m để đường thẳng d cắt ( P ) hai điểm A, B phân biệt AB = 10 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đường thẳng d đồ thị ( P ) là: 12 x = x =mx ⇔ x − mx =0 ⇔ x ( x − m ) =0 ⇔ x = m Để đường thẳng d cắt ( P ) hai điểm A, B phân biệt m ≠ Gọi tọa độ hai điểm A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) ⇒ AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2 Vì A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) thuộc đường thẳng d nên = y A mx = mxB A , yB ⇒ AB = ( xB − x A ) + m ( xB − x A ) = m2 + ( xB − x A ) Khơng tính tổng qt, giả sử= x A 0,= xB m ta có AB = 10 ⇔ ⇔ ( m + 1) m = ± 10 ⇔ m = (m + 1) m = 10 −1 + 41 Bài 7: Chuyên ĐHNN Cho Parabol ( P ) : y = − x2 đường thẳng d qua I ( 0; −2 ) có hệ số góc k a) Viết phương trình đường thẳng d Chứng minh đường thẳng d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B k thay đổi b) Gọi H , K theo thứ tự hình chiếu vng góc A, B trục hoành Chứng minh tam giác IHK vng I c) Tìm k để diện tích tam giác IHK nhỏ Lời giải a) Phương trình đường thẳng d qua I ( 0; −2 ) có hệ số góc k y = k ( x − ) − = kx − Xét phương trình hồnh độ giao điểm d ( P ) : − x2 = kx − ⇔ x + 2kx − = Phương trình có ∆ '= k + > ∀k Vậy đường thẳng d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B k thay đổi b) Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) −2k x1 + x2 = x1 x2 = −4 c) Theo Viét ta có Vì H , K tương ứng hình chiếu A, B trục hồnh nên H ( x1 ;0 ) , K ( x2 ;0 ) Ta có IH = x12 + 4; IK = x22 + 4; HK = ( x1 − x2 )2 = x12 + x22 − x1 x2 = x12 + x22 + 13 ⇒ IH + IK = HK ⇒ ∆IHK vuông I d) S IHK = 1 x1 − x2 = OI HK= 2 ( x1 + x2 ) − x1 x2 = 4k + 16 ≥ 16= Dấu “=” xảy k = Vậy S IHK nhỏ 64 k = Bài 8: Cho đường thẳng ( d ) : x − y − a = ( P = ) : y ax ( a > ) a) Tìm a để d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B Chứng minh A, B nằm bên phải trục tung b) Gọi xA , xB hoành độ A B Tìm giá trị nhỏ biểu thức T = + x A + xB x A xB Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( p ) : ax = x − a ⇔ ax − x + a = ( a > ) ( *) Ta có ∆ ' = ( −1)2 − a = − a Để phương trình có nghiệm phân biệt ∆ ' > ⇔ − a > ⇔ a < Kết hợp với điều kiện a > suy < a < phương trình có nghiệm phân biệt x1 , x2 x1 + x2 = a > Khi đó, theo định lí Viét ta có x x = a = a > a Suy phương trình (*) có nghiệm dương với < a < ⇒ đường thẳng d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B nằm bên phải trục tung x A + xB = b) Ta có a x A xB = a Khi T = 4 1 + = + = 2a + ≥ 2a = 2 x A + xB x A xB a a a a a Dấu “=” xảy 2a = ⇔ 2a =1 ⇒ a = 14 (bất đẳng thức Cauchy) Vậy Tmin = 2 a = Bài 9: Cho hàm số y =x ; y =− x + a) Xác định tọa độ giao điểm A, B đồ thị hàm số cho tọa độ trung điểm I đoạn AB , biết A có hồnh độ dương b) Xác định tọa độ điểm M thuộc đồ thị hàm số y = x cho tam giác AMB cân M Lời giải −1 ; 2 a) A (1;1) , B ( −2; ) ⇒ I b) Vì ∆AMB cân M nên MI ⊥ AB phương trình MI có dạng y= x + b −1 Vì I ; ∈ ( MI ) nên =− + b ⇔ b =3 2 2 Vậy ( MI ) : y= x + − 13 x = y= x + Tọa độ M nghiệm phương trình ⇒ x2 − x − = ⇔ + 13 y = x x = − 13 − 13 + 13 + 13 ; ; ; M 2 2 Vậy M Bài 10: Cho Parabol ( P ) ; y = x , đường thẳng d := y mx + a) Chứng minh với m đường thẳng d ln cắt ( P ) hai điểm phân biệt b) Gọi A ( x1 ; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) tọa độ giao điểm d ( P ) Tìm GTLN biểu thức M= ( y1 − 1)( y2 − 1) Lời giải a) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( p ) : x 2= mx + ⇔ x − mx − 1= (1) Ta có ∆ = ( −m )2 − ( −1) = m + > ∀m 15 ⇒ phương trình (1) có nghiệm phân biệt với m ⇒ đường thẳng ( d ) ( p ) cắt hai điểm phân biệt m x1 + x2 = x1 x2 = −1 b) Theo định lí Viét ta có Ta có M = ( y1 − 1)( y2 − 1) = = ( x1 x2 ) − ( x1 + x2 ) 2 (x − 1)( x22 − 1) = ( x1 x2 ) − ( x12 + x22 ) + + x1 x2 + ⇒ M =( −1) − m + ( −1) + =−m ≤ ∀m Dấu “=” xảy m = Vậy giá trị lớn M m = Bài 11: Cho Parabol y = x2 đường thẳng d : y = mx − m + 2 a) Tìm m để d ( P ) qua điểm có hồnh độ x = b) Chứng minh với giá trị m d ln cắt ( P ) hai điểm phân biệt c) Giả sử ( x1 ; y1 ) , ( x2 ; y2 ) tọa độ giao điểm d ( P ) Chứng minh ( ) y1 + y2 ≥ 2 − ( x1 + x2 ) Lời giải a) Với x = , thay vào phương trình parabol y = 42 x2 ta = y = 2 Đường thẳng y = mx − m + qua điểm ( 4;8 ) nên ta có 8= m.4 − m + ⇔ m= b) Xét phương trình hoành x2 = mx − m + ⇔ x − 2mx + 2m − = độ giao điểm ( *) Ta có ∆ ' = ( −m )2 − ( 2m − ) = ( m − 1)2 + > ∀m ⇒ phương trình (*) có nghiệm phân biệt với m 2m x1 + x2 = x2 2m − x1= c) Theo Viét ta có Ta có y1 + y2 = m ( x1 + x2 ) − 2m + = m.2m − 2m + = 2m − 2m + 16 d ( P) là: Khi cần chứng minh 2m − 2m + ≥ ( 2 − 1) 2m ⇔ 2m − 2m + ≥ ⇔ ( 2m − ) ≥ (đúng với m ) (đpcm) Bài 12: Cho hàm số y = x có đồ thị ( P ) , đường thẳng d : y = ( 2m + ) x − m − 2m Tìm m để d cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x1 , x2 cho x1 + x2 = Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm x − ( m + 1) x + m + 2m = (*) , ∆ ' = > ⇒ phương trình (*) ln có hai nghiệm phân biệt với m x1 + x2 = ( m + 1) (1) Theo Viét ta có m + 2m x1 x= ( 2) ( 3) Theo giả thiết ta có x1 + x2 = Từ (1) (3) suy x1 = − 2m; x2 = 4m − m = Thay vào (2) ta ( − 2m )( 4m − 1) = m + 2m ⇔ 9m − 12m + = ⇔ m = 2 Bài 13: Cho hàm số y = x ( P ) y= x + m ( d ) ( m tham số) a) Tìm m để đồ thị ( P ) đường thẳng d có hai giao điểm phân biệt A, B b) Xác định m để A, B nằm hai phía trục tung AB = c) Viết phương trình đường thẳng vng góc với d tiếp xúc với P Lời giải a) Phương trình hồnh độ giao điểm d ( P ) nghiệm phương trình x = x + m ⇔ x − x − m = (*) , ∆ = ( −1) + 4m = + 4m Để đồ thị d cắt ( P ) hai điểm phân biệt phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ = + 4m > ⇔ m > −1 b) Gọi tọa độ hai điểm A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) Để A, B nằm hai phía trục tung xA xB < 17 x A + xB = x A xB = − m Vì xA , xB hai nghiệm phương trình (*) nên theo Viét ta có Vậy xA xB < ⇔ −m < ⇔ m > Vì A ( xA ; y A ) , B ( xB ; yB ) thuộc đường thẳng d nên y A =+ x A m, yB =+ xB m Mặt khác AB = ( xB − x A ) + ( y B − y A ) 2 ⇒ AB = ( xB − x A ) + ( xB − x A ) 2 = ( xB − x A ) AB = ⇔ ( xB − x A ) = ⇔ ( xB + x A ) − x A xB =3 ⇒ 2.12 − ( − m ) =3 ⇔ m = (thỏa mãn) c) Xét phương trình đường thẳng ∆ vng góc với đường thẳng y= x + m có dạng y =− x + b Xét phương trình hồnh độ giao điểm ∆ ( P ) : x = − x + b ⇔ x + x − b = 0, ∆ = + 4b Để đường thẳng ∆ tiếp xúc với ( P ) ∆ = + 4b = ⇔ b = −1 4 Vậy ( ∆ ) : y =− x Bài 14: Cho điểm M (1; −2 ) ( P ) : y = − x2 a) Chứng minh đường thẳng d qua M có hệ số góc m cắt ( P ) hai điểm phân biệt A, B m thay đổi b) Gọi xA , xB hoành độ A, B Xác định m để xA2 xB + xB2 xA đạt giá trị nhỏ c) Gọi A ', B ' hình chiếu A, B trục hoành S diện tích hình thang ( AA ' BB ' Xác định m để S = + m m + m + ) Lời giải a) Phương trình đường thẳng d có dạng y= m ( x − 1) − Xét phương trình hồnh độ giao điềm d ( P ) − x2 = m ( x − 1) − ⇔ x + 4mx − 4m − = (1) Ta có ∆=' 4m + 4m += ( 2m + 1) + > ∀m 18 Suy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt với m −4m x A + xB = −4m − x A xB = b) TheoViét ta có Khi xA2 xB + xB2 xA = xA xB ( xA + xB ) = ( −4m − )( −4m ) = 16m2 + 32m = ( 4m + )2 − 16 ≥ −16 Dấu “=” xảy 4m + =0 ⇔ m =−1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức cho −16 m = −1 = c) S AA ' BB ' AA '+ BB ') A ' B ' ( y A (= + yB )( x A + xB x2 + x2 − x A2 − xB2 Ta có y A = ; yB = ⇒ y A + yB = A B = 4 ( −4m ) ) ( x A + xB ) − x A xB − ( −4m − ) = 4m + 2m + 4 Ta có ( xA + xB ) =( xA + xB ) − xA xB + xA xB =( xA + xB ) − 4.xA xB ( xA xB < ) ⇒ x A + xB = S AA= ' BB ' ( 4m ( −4m ) 2 − ( −4m − ) = 16m + 16m + 32 + 2m + ) 16m + 16m + 32 = ( 2m + m + ) m + m + 2 ( ⇒ ( 2m + m + ) m + m + = + m m + m + ( 2m (m + m + ) m + m + =8 ⇔ ) + m + ) m + m + =8 + m m + m + (m m = + m + ) =8 ⇔ m + m + = ⇔ m + m − =0 ⇔ m = −2 Bài 15: Cho ( P ) : y = x A ( 3;0 ) a) M điểm thuộc ( P ) có hồnh độ xM = a Xác định a để AM nhỏ b) Chứng minh AM nhỏ nhất, đường thẳng AM vng góc với tiếp tuyến ( P ) M Lời giải a) Vì M ∈ ( P ) nên M ( a; a ) Ta có AM= ( a − 3) + a 4= a + a − 6a + 9= (a 19 − 1) + ( a − 1) + ≥ 2 a − =0 ⇔a= Dấu “=” xảy a − =0 Vậy AM = ⇔ a =1 ⇒ M (1;1) b) Khi AM nhỏ M (1;1) y ax + b phương trình AM có dạng = a= − a.3 + b = ⇔ Ta có a.1 + b = b = 2 − x+ Vậy phương trình AM y = với hệ số góc k1 = − 2 + Viết phương trình tiếp tuyến ( P ) M Phương trình đường thẳng qua M có hệ số góc k có dạng y = k ( x − 1) + = kx − k + ( d ) Xét phương trình hồnh độ giao điểm ( d ) ( P ) x = kx − k + ⇔ x − kx + k − = (*) Để ( d ) tiếp tuyến ( P ) phương trình (*) có nghiệm kép ⇔ ∆= ( −k ) − ( k − 1) = ⇔ ( k − ) = ⇔ k = 2 y x − , với hệ số góc k2 = Vậy phương trình tiếp tuyến ( d ) ( P ) M = Ta có k1k2 =− =−1 ⇒ đường thẳng AM đường thẳng ( d ) vng góc với 20 ... 2019 Chuyên Bến Tre vòng 2019 Chuyên Bình Dương 2018 Chuyên Bình Dương 2018 Chuyên Cao Bằng vòng 2019 Chuyên Cao Bằng vòng 2019 Chuyên Gia Lai vòng 2019 Chuyên Gia Lai vòng 2019 Chuyên KonTum... + với < a < a a + − − a a 1 − − + a 1 Cho = biểu thức Q a) Rút gọn biểu thức Q b) So sánh Q Q3 Lời giải 1+ a + a) Ta= có Q 1+ a − 1− a 1+ a + 1− a + a − − a (1... − : với < a < x − x x + x − x − − Cho biểu thức P = a) Rút gọn biểu thức P b) So sánh P c) Tìm x thỏa mãn điều kiện: x x ( P − ) + x += x3 + x Lời giải Điều kiện x ≥ 0; x ≠