Bài toán: cho hai điểm a, b và mp

 Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU TRƯỜNG THPT NGUYỄN DU      BÁO CÁO KẾT QUẢ SÁNG KIẾN PHỤC VỤ CHO KHEN THƯỞNG THI ĐUA CẤP CƠ SỞ  NĂM HỌC 2016 – 2017    Giải pháp :  HỆ THỐNG MỘT SỐ BÀI TỐN CỰC TRỊ  TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN  “NHẰM NÂNG CAO HIỆU QUẢ HỌC HÌNH HỌC GIẢI  TÍCH CỦA HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT NGUYỄN  DU”  TÁC GIẢ SÁNG KIẾN: Nguyễn Thanh Tài – Cử nhân sư phạm, Giáo viên Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang1 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích Châu Đức, năm học 2016­2017 MỤC LỤC                                                                                                Trang PHẦN MỞ ĐẦU Sự cần thiết hình thành giải pháp  …………………………………….1   Mục tiêu của giải pháp………………………………………………… Phương pháp nghiên cứu của giải pháp…………………………………2 Giới hạn của giải pháp và phạm vi áp  dụng…………………………… Cơ sở lý luận và thực tiễn…………………………………………… 2,3 Kế hoạch thực hiện…………………………………………………… PHẦN NỘI DUNG Thực trạng và những mâu thuẫn……………………………………… Nội dung…………………………………………………………….4 – 12 Hiệu quả áp dụng……………………………………………………….13 PHẦN KẾT LUẬN Ý nghĩa của đề tài đối với công tác  …………………………………….13               Bài học kinh nghiệm, hướng phát triển………………………………… 13 Đề xuất………………………………………………………………….13 Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang2 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích  PHẦN MỞ ĐẦU: 1. Sự cần thiết hình thành giải pháp:  Tốn học là một mơn học địi hỏi tư duy và logic, phải biết vận dụng  và kết hợp nhiều kiến thức lại với nhau. Do đó, việc hình thành  phương pháp giải từng dạng tốn cho các em học sinh là rất cần cần  thiết, đặc biệt là trong việc thi trắc nghiệm cần sự nhanh lẹ và chính  xác  Phương pháp tọa độ trong khơng gian là một phân mơn tốn học quan  trọng và nó ln xuất hiện trong các kì thi THPT Quốc gia và tuyển sinh  Cao đẳng – Đại học. Để lĩnh hội kiến thức của phân mơn này được dễ  dàng thì địi hỏi người học phải tư duy tốt và biết kết hợp giữa tính  tốn đại số và các tính chất hình học thuần túy trong khơng gian  Đối với các bài tốn hình học khơng gian liên quan đến cực trị, nếu chỉ  dùng tính tốn đại số thì thường gây khó khăn cho học sinh, dễ sai xót  trong q trình tính tốn. Tuy nhiên, nếu chúng ta để ý đến tính chất  hình học thì việc giải quyết bài tốn này sẽ dễ dàng hơn, giảm đi việc  tính tốn. Vì vậy, trong đề tài này tơi muốn trình bày ‘Hệ thống một số  bài tốn về cực trị trong khơng gian’ cùng phương pháp giải để giúp các  em học sinh nắm được phương pháp giải của một số bài tốn cực trị  trong khơng gian và làm tài liệu tham khảo Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang3 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích 2. Mục tiêu của giải pháp:  Nhằm hệ thống cho học sinh một số dạng tốn của phương pháp tọa  độ trong khơng gian và góp phần giúp các em giải quyết tốt các bài tốn  về hình học giải tích  Giúp các em học sinh nâng cao được tư duy cùng kĩ năng tính tốn và  qua đây tơi cũng hy vọng sẽ cung cấp cho học sinh một dạng tốn nhỏ  để bổ sung vào hành trang kiến thức giúp các em bước vào các kì thi,  đặc biệt là kì thi THPT Quốc gia  Qua đề tài này giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ơn  tập cho học sinh  Kết hợp giữa định tính và định lượng nhằm giúp các em hệ thống tố  hơn kiến thức đã học và giúp các em hứng thú hơn trong học tốn 3. Phương pháp nghiên cứu trong giải pháp: Cho học sinh nhận xét và chứng minh một số bài tốn cực trị về hình học  khơng gian thuần túy Từ đó áp dụng vào trong khơng gian với hệ trục Oxyz 4. Giới hạn của giải pháp và phạm vi áp dụng:  Đề tài chỉ viết về một số bài tốn điển hình về cực trị của phân mơn hình  học giải tích, chưa nêu hết tất cả các dạng tốn. Tuy nhiên thơng qua các  bài tốn này nhằm giúp cho các em nắm được bản chất của bài tốn cực trị  trong khơng gian để từ đó giải quyết được một số bài tốn tương tự  Đề tài này là một dạng tốn mở rộng trong chương trình SGK. Vì thế nó  chỉ phù hợp với những tiết tự chọn và tiết dạy chun đề ơn thi cho các em  học sinh 5. Cơ sở lý luận và thực tiễn:   5.1. Cơ sở lý luận:  Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất:  Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang4 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích ­ M là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D nếu  ­ m là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D nếu  D : f ( x) M ∃x D : f ( x) = M ∀x D : f ( x) m ∀x ∃x D : f ( x) = m  Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là khoảng cách từ điểm M  đến hình chiếu vng góc của M lên mặt phẳng (P)      Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng (d) là khoảng cách từ điểm  M  đến hình chiếu vng góc của M lên đường thẳng (d)  Gọi H là hình chiếu của M lên mặt phẳng (P). Đoạn MH là khoảng  cách ngắn nhất nối từ điểm M đến một điểm bất kỳ trên mặt phẳng  (P)  Với hai đường thẳng chéo nhau thì độ dài đọan vng góc chung là  khoảng cách ngắn nhất nối giữa hai điểm bất kỳ lần lượt thuộc hai  đường thẳng này   5.2. Cơ sở thực tiễn:  Phần lớn các em học sinh đều hay lúng túng và gặp khơng ít khó khăn  khi giải các bài tốn về hình học tọa độ trong khơng gian. Bởi lẻ, để  giải quyết các bài tốn này địi hỏi các em cần phải có một kiến thức  vững chắc về hình học khơng gian  Trong hệ thống bài tập của chương trình giáo khoa thì có rất ít bài tốn  về cực trị, đó cũng là một lý do mà làm cho học sinh ít có cơ hội tiếp  cận với dạng tốn này 6. Kế hoạch thực hiện:    Thời gian Từ tháng 10/2015 đến tháng  Nội dung ­Nghiên cứu , đề xuất 12/2015 ­ Soạn thảo Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang5 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích Từ tháng 2/2016 đến tháng  Áp dụng thử nghiệm, đánh giá và rút  5/2016 Từ tháng 2/ 2017 kinh nghiệm Triển khai dạy cho 1 số lớp 12A1,  12A12 (Dự kiến) PHẦN NỘI DUNG:    1/ Thực trạng và những mâu thuẫn:  Do thời lượng hạn chế nên trong SGK ít đề cập đến các bài tốn về cực  trị, nên các em học sinh ít được tiếp xúc và luyện tập các dạng này. Vì thế  khi gặp các em thường hay lung túng và gây nhiều khó khăn cho các em  Tuy nhiên, những bài tốn về cực trị lại là những bài tốn hay và có  phương pháp giải rất lý thú và thường mang lại những cảm giác hưng  phấn cho học sinh, từ đó khích lệ được khả năng tìm tịi học hỏi cho các  em   2/Nội dung:       Bài tốn 1:   Cho hai điểm A, B và mặt phẳng  ( α )  Tìm điểm M thuộc mp (α)                          sao cho  MA + MB  nhỏ nhất   Phương pháp:   TH: Nếu A, B khác phía đối với mp ( α )  thì M là giao điểm của AB với mp ( α )  TH: Nếu A, B cùng phía đối với mp ( α ) : B         + Lấy A’ đối xứng với A qua mp ( α )   A            Ta có MA’=MA         +  Do đó, MA + MB nhỏ nhất               MA’ + MB nhỏ nhất               M, A’, B thẳng hàng α M A’ Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang6 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích              M = A ' B I( α )   Ví dụ 1: Trong khơng gian (Oxyz), cho hai điểm  A ( 1;1;1) , B ( −4; − 10;12)  và  mp(α ): x − 2y − z + = 0. Tìm điểm M thuộc  mp(α )  sao cho MA+MB nhỏ nhất Bài giải: Ta nhận thấy A, B nằm cùng phía đối với  mp(α )   Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua  mp(α )   A '( −1;5;3) + Ta có  mp(α )  là mặt phẳng trung trực của AA’ nên  M (α )     Nên, MA+MB nhỏ nhất  MA ' = MA MA’+MB nhỏ nhất (Vì A’,B khác phía đ/v mp(α ) )                                    M = A ' B I( α )   x = −1+ t + Pt đường thẳng (A’B):  y = 5+ 5t ( t z = 3− 3t x = −1+ t y = 5+ 5t + Tọa độ M thỏa hệ  z = 3− 3t x − 2y − z + = R) x = −2 y=0 z=6 M ( −2; 0; 6)     Bài toán 2: Cho hai điểm A, B và mp ( α )  Tìm M thuộc mp ( α )  sao cho                                   a.MA2 + b.MB ( a + b > )  nhỏ nhất.  Phương pháp: uur uur r + Tìm điểm I thỏa  a.IA + b.IB = 0 (I là điểm cố định)     Khi đó,  a.MA2 + b.MB = ( a + b ) MI + a.IA2 + b.IB + Vì  a.IA2 + b.IB  không đổi nên  a.MA2 + b.MB  nhỏ nhất                                                MI  nhỏ nhất                                                M là hình chiếu của I lên mp ( α ) Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang7 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích Hệ quả: Cho hai điểm A, B và mp ( α )  Tìm M thuộc m p ( α )  sao cho  MA2 + MB  nhỏ nhất   Phương pháp:  A    + Gọi I là trung điểm của AB       Khi đó,  MI =                I B MA2 + MB AB − MA2 + MB = 2MI + AB 2 α M    + Vì AB khơng đổi nên  MA2 + MB nhỏ nhất                                         MI  nhỏ nhất                                        M là hình chiếu của I lên mp ( α )  Nhận xét: Bài tốn này có thể được mở rộng: Cho n điểm  A1, A2, , An  và cho  mp(α )  Tìm M thuộc  mp(α )  sao cho  a1.MA12 + a2 MA2 + + an MAn ( a1 + a2 + + an > )  nhỏ nhất Ví dụ 2a: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho  A ( 3; 1; 0) , B ( 1; 5; − 2)  và mp. Tìm M  thuộc mp (α )  sao cho  MA2 + MB  nhỏ nhất Bài giải: I ( 2;3; − 1) + Gọi I là trung điểm của AB  Ta có:  MA2 + MB = 2MI +  Nên  MA2 + MB nhỏ nhất  AB 2 MI  nhỏ nhất  M là hình chiếu của I lên mp ( α ) + Gọi d là đường thẳng qua I và vng góc với mp (α )      x = 2+ t  Pt của (d):  y = 3+ 3t ( t z = −1− 3t R) Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang8 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích + Ta có:  M = (d ) ( α )     M ( 1;0;2) Ví dụ 2b: Trong hệ tọa độ (Oxyz), cho  A ( −2; − 4; 8) , B ( 3; 1; − 2)  và mp ( α ) : x − 3y − z + = 0. Tìm M thuộc mp sao cho  2MA2 + 3MB  nhỏ nhất Bài giải: uur uur r I ( 1; − 1; 2)   + Gọi I là điểm thỏa  2IA + 3IB =   uuur uur uuur uur Ta có  2MA2 + 3MB = 2( MI + IA ) + 3( MI + IB ) = 5MI + 2IA2 + 2IB 2 Do đó,  2MA2 + 3MB  nhỏ nhất  MI  nhỏ nhất  M là hình chiếu của I lên mp (α) + Gọi d là đường thẳng qua I và vng góc với mp (α )     x = 1+ t  Pt của (d):  y = −1− 3t ( t z = 2− t + Ta có:  M = (d ) ( α )   R)   M ( 0;2;3)     Bài tốn 3: Cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm điểm M thuộc (d)                         sao cho diện tích của  ∆MAB  có giá trị nhỏ nhất  Phương pháp: d + Gọi H  là hình chiếu của M lên (d) B      S∆MAB = MH AB + Vì AB khơng đổi nên  S∆MAB  nhỏ nhất           MH  nhỏ nhất M MH  là đoạn vng góc chung của AB và (d) H A Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang9 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích Ví dụ 3: Cho hai điểm   A ( −2; 1; 2) , B ( 2; 1; 4)  và đường thẳng  (d ): x −1 y z + = =  Tìm điểm M thuộc (d) sao cho  S∆MAB  nhỏ nhất  Bài giải: + Gọi H  là hình chiếu của M lên (d)     S∆MAB = MH AB    Do đó,  S∆MAB  nhỏ nhất  MH  nhỏ nhất                                         MH  là đoạn vng góc chung của AB và (d) x = 1+ t + Pt tham số (d) :  y = 2t ( t z = −2 + t ur R )  Ta có vtcp của d:  u1 = ( 1; 2; 1) x = −2 + 2t ' uur ( t ' R )  Ta có vtcp của AB:  u2 = ( 2; 0; 1) + Pt tham số (AB):  y = z = 2+ t '  Vì  M d   nên  M ( 1+ t ;2t ; − + t )        H (AB)  nên  H ( −2+ 2t ';1;2 + t ') uuuur ur MH u1 = + Ta có :  uuuur uur MH u2 = ( −3+ 2t '− t ) + 2( 1− 2t ) + ( 4+ t '− t ) = 2( −3+ 2t '− t ) + 4( + t '− t ) = t =1  Vậy M(2;2;­1) t'=1  Bài tốn 4 : Cho  mp(α )  và mặt cầu (S) khơng có điểm chung. Tìm hai điểm                       M, N lần lượt thuộc mặt cầu (S) và  mp(α )  sao cho MN nhỏ nhất Phương pháp : + Gọi N0 là hình chiếu vng góc của I lên  mp(α )    M0 là giao điểm của IN0 với (S). (M0 thuộc đoạn IN) I + Lấy 2 điểm tùy ý M, N lần lượt thuộc  (S ),(α ) M Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang10 ệm          N α  Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích   Khi đó, ta có:  IM + MN IN IN = IM + M 0N  Do đó, MN nhỏ nhất khi  M M0 , N N    Ví dụ    4 : Trong khơng gian (Oxyz), cho  mp(α ): x − 2y − z + 20 =  và mặt cầu  (S ): x + y + z − 2x − 2y − 2z − = Tìm hai điểm M, N lần lượt thuộc mặt cầu  (S) và  mp(α )  sao cho MN nhỏ nhất Bài giải : Mặt cầu (S) có tâm I(1 ; 1 ; 1) và bán kính  R = Ta có:  d ( I ,α ) = > R   mp(α )  và mặt cầu (S) không giao nhau M (S ) Vì  N (α )  nên  N là hình chiếu của I lên (α )  và  M = IN MN (S )  ,(M thuộc đoạn  IN) x = 1+ t + Pt đt(d) qua I và vng góc với (α ) :  y = 1− 2t ( t z = 1− t x = 1+ t y = 1− 2t + Tọa độ N thỏa   z = 1− t x − 2y − z + 20 = t = −3 R) N ( −2;7;4) x = 1+ t y = 1− 2t + Tọa độ M thỏa  z = 1− t t = −1 t =1 x + y + z − 2x − 2y − 2z − = = Với  t = −1 M ( 0;3;2)  (loại vì M nằm ngồi đoạn IN) Với  t = −1 M ( 2; − 1;0) Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang11 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích Bài tốn 5: Cho đường thẳng  ( ∆ )  và điểm M nằm ngoài đường thẳng  ( ∆ )   Xác định mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  ( ∆ )  sao cho khoảng cách từ M  đến mp(P) là lớn nhất Phương pháp:  Gọi I là hình chiếu vng góc của M lên đường thẳng  ( ∆ )  Suy ra I cố định Giả sử mp(P) bất kỳ chứa  ( ∆ )  và H là hình chiếu của M lên mp(P) Ta có:  d ( M ; ( P ) ) = MH M MI  (MI khơng đổi) Do đó,  d ( M ; ( P ) )  lớn nhất khi H trùng với I uuur Tức là, mặt phẳng (P) nhận  MI  làm vectơ pháp tuyến Ví dụ 5a: Cho đường thẳng  ∆ : ∆ H I x−5 y + z +5 = =  và điểm M(2; 2; 0). Viết  −1 −3 phương trình mặt phẳng (P) chứa  ( ∆ )  sao cho khoảng cách từ M đến mp(P) là  lớn nhất Giải: + Gọi I là hình chiếu vng góc của M lên đường thẳng  ( ∆ )  Suy ra I(3; 0; 1) uuur + Áp dung bài tốn 5, ta có mp(P) nhận  MI  là vectơ pháp tuyến uuur Tóm lại, mp(P) qua I(3; 0; 1) và nhận  MI = ( 1; −2;1)  làm vectơ pháp tuyến.  Vậy phương trình của mp(P) là: x ­2y + z – 4 = 0 Ví dụ 5b: Cho mặt phẳng  ( α ) : x + y − mz + m − =  và điểm M(6; ­1; 2). Tìm  m để khoảng cách từ M đến mặt phẳng  ( α )  là lớn nhất Giải: x=t + Ta thấy mp ( α )  luôn chứa đường thẳng cố định là  ∆ : y = − 2t z =1 Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang12 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích + Gọi I là hình chiếu vng góc của M lên đường thẳng  ( ∆ )  Ta tìm được  I(2;­3;1) uuur + Áp dụng bài tốn 5, ta có  mp ( α )  nhận  IM = ( 4;2;1)  làm vectơ pháp tuyến r    Mặt khác,  n = ( 2;1; − m )  là một vectơ pháp tuyến của mp ( α ) uuur r Từ đó,  IM = ( 4;2;1)  và  n = ( 2;1; − m )  cùng phương. Suy ra  m = −1 Bài tốn 6: Cho mặt phẳng  ( α )  và 1 điểm A thuộc mặt phẳng ( α )  và điểm B  khơng thuộc mp ( α )  Xác định đường thẳng ( ∆ )  qua A và nằm trong mp ( α )   sao cho khoảng cách từ B đến đường thẳng  ( ∆ )  là nhỏ nhất                                     Phương pháp: + Gọi H là hình chiếu vng góc của B lên mp ( α )  Suy ra H cố định + Giả sử  ( ∆ )  là một đường thẳng bất kỳ qua A, nằm trong mặt phẳng  ( α )  và  B gọi K là hình chiếu vng góc của B lên đường thẳng  ( ∆ ) Ta có:  d ( B; ∆ ) = BK BH  (BH không đổi).  A Suy ra  d ( B; ∆ )  nhỏ nhất khi K trùng với H Tức là, đường thẳng  ( ∆ )  qua H α K H + Vậy đường thẳng  ( ∆ )  là đường thẳng qua A và H Ví dụ 6a: Cho mặt phẳng  ( α ) : x − y − 3z + =  và điểm A(­2; 5; 0) thuộc mp ( α )  Viết  phương trình đường thẳng  ( ∆ )  qua A, nằm trong mp ( α )  và sao cho khoảng  cách từ B(1;0;­1) đến đường thẳng  ( ∆ )  là nhỏ nhất Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang13 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích Giải: + Gọi H là hình chiếu vng góc của B lên mp ( α )  Suy ra H(0; 1; 2) + Áp dung bài tốn 6, ta có đường thẳng  ( ∆ )  qua A và H.  uuur Tức là, đường thẳng  ( ∆ )  qua A(­2;5;0) và nhận  AH = ( 2; −4; )  làm vectơ chỉ  phương Vậy phương trình của  ( ∆ )  là:  x+ y −5 z = = −2 Ví dụ 6b: Cho mặt phẳng (P): x – y – 2z + 5 = 0 và 2 điểm A(3; 0; 2), B(1; 2;  3). Viết phương trình đường thẳng  ( ∆ )  qua A, song song với mp(P) sao cho  khoảng cách từ B đến đường thẳng  ( ∆ )  là nhỏ nhất Giải: + Gọi (Q) là mặt phẳng qua A và song song với (P).     Phương trình của mp(Q): x – y – 2z + 1 = 0    Vì  ( ∆ )  qua A và song song với mp(P) nên  ( ∆ )  thuộc mặt phẳng (Q) B    Gọi H là hình chiếu vng góc của B lên mp(Q). Suy ra H(2 ; 1 ; 1) + Áp dụng bài tốn 6,  A  suy ra  ( ∆ )  là đường thẳng qua A và H Vậy phương trình của  ( ∆ )  là:  x−3 y z −2 = = −1 Q K H P Một số ví dụ tương tự : Bài 1 : Cho mặt phẳng  ( α ) : x + y − z − =  và 2 điểm A(1 ;4 ; 0) và B(5;4;  ­7). Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( α )  sao cho MA + MB nhỏ nhất Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang14 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích                                                                                        Kết quả : M(1 ; 0 ; ­1) Bài 2 : Cho mp  ( α ) : x − y + z − =  và 3 điểm A(5;1;4), B(2;0 ;3), C(2 ; 1 ;2).  uuur uuur uuuur Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( α )  sao cho  MA + MB + MC  nhỏ nhất                                                                                        Kết quả: M(1; 1; 2) Bài 3: Cho mặt phẳng  ( α ) : x + y + z − =  và hai điểm A(1; ­1 ; 0), B(0;­4 ;­2).  Tìm tọa độ điểm M thuộc mp ( α )  sao cho  2MA2 − MB  nhỏ nhất                                                                                       Kết quả: M(1;1;1) x = + 2t x y −1 z −1 ; d2 : = = Bài 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau:  d1 : y = t  Với  z=2 A, B là 2 điểm thuộc đường thẳng (d2) mà AB khơng đổi. Tìm điểm M thuộc  đường thẳng (d1) sao cho tam giác MAB có diện tích nhỏ nhất                                                                                        Kết quả: M(1; ­1; 2) x = −1 + 3t Bài 5: Cho đường thẳng  ∆ : y = t  và điểm A(1; 3; 0). Viết phương trình  z = 2−t mặt phẳng (P) chứa đường thẳng  ( ∆ )  sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) là  lớn nhất                                                                              Kết quả: (P): x – 2y + z – 1 = 0 Bài 6: Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 3 = 0 và điểm B(1; 0; 4), A(2; 3;2).  Viết phương trình đường thẳng  ( ∆ )  qua B, nằm trong mp(P) và sao cho  khoảng cách từ A đến  ( ∆ )  là lớn nhất                                                                         Kết quả :  ( ∆ ) : x −1 y z − = = −1 −1 3 / Hiệu quả áp dụng: Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang15 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích ­ Sau khi áp dụng vào giảng dạy cho các em học sinh, đa số các em đều thích  thú học tập, hiểu và vận dụng tốt ­ Qua đó nhận thấy các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài tốn về  phương pháp tọa độ trong khơng gian  KẾT LUẬN :     1. Ý nghĩa của đề tài đối với cơng tác : Đề tài này giúp bản thân tơi có thêm một tư liệu để giảng dạy và cũng   là một tài liệu nhỏ để các em học sinh tham khảo Các bài tốn trên tơi chỉ sử sụng tính chất cực trị trên khơng gian và sau   đó mới vận dụng vào giải. Tuy nhiên, các bài tốn này có thể giải theo các  cách khác.      2. Bài học kinh nghiệm và hướng phát triển :  Qua bài viết này, tơi hy vọng sẽ hệ thống được cho các em một số bài  tốn nhỏ về phân mơn hình học giải tích để giúp các em học sinh thuận  tiện hơn khi gặp phải  Thơng qua các tiết dạy theo chun đề, tơi mong muốn được triển khai  rộng rãi cho nhiều khối 12 của trường THPT Nguyễn Du     3. Đề xuất:  Bài viết của tơi chỉ trình bày theo chủ ý của cá nhân, do đó chắc chắn  sẽ cịn nhiều thiếu xót và chưa thật hồn chỉnh, vì vậy tơi rất mong được  sự góp ý của đồng nghiệp và các em học sinh Tài liệu tham khảo : Hình học Nâng cao 12 (SGK) Học và ơn Hình học 12 (Tác giả Lê Hồng Đức­ Lê Bích Ngọc) Các đề thi tuyển sinh của các năm trước Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang16 ệm           Một số bài tốn cực trị trong khơng gian                                                      Hình học Giải  tích                                                                                Tôi xin cam đoan đây là sáng kiến của bản thân tôi viết, không sao chép của  người khác Ngãi Giao, ngày 10 tháng 01 năm 2017                                                                              Người viết                                                                                                                                                                                             Nguyễn Thanh Tài Xác nhận, đánh giá của cơ quan Sáng kiến kinh nghi                                                                                                Trang17 ệm          ...    ? ?B? ?i? ?toán 2:? ?Cho? ?hai? ?điểm? ?A,? ?B? ?và? ?mp ( α )  Tìm M thuộc? ?mp ( α )  sao? ?cho? ?                                  a.MA2 + b. MB ( a + b > )  nhỏ nhất.  Phương pháp: uur uur r + Tìm? ?điểm? ?I thỏa  a.IA + b. IB = 0 (I là? ?điểm? ?cố định)... Hệ quả:? ?Cho? ?hai? ?điểm? ?A,? ?B? ?và? ?mp ( α )  Tìm M thuộc m p ( α )  sao? ?cho? ? MA2 + MB  nhỏ nhất   Phương pháp:  A    + Gọi I là trung? ?điểm? ?của AB       Khi đó,  MI =                I B MA2 + MB AB − MA2... A ( 1;1;1) , B ( −4; − 10;12) ? ?và? ? mp( α ): x − 2y − z + = 0. Tìm? ?điểm? ?M thuộc  mp( α )  sao? ?cho? ?MA+MB nhỏ nhất B? ?i? ?giải: Ta nhận thấy? ?A,? ?B? ?nằm cùng phía đối với  mp( α )   Gọi A’ là? ?điểm? ?đối xứng của A qua