(SKKN 2022) thiết lập hệ trục tọa độ giải một số dạng toán hình học không gian

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT HOẰNG HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI THIẾT LẬP HỆ TRỤC TỌA ĐỘ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Người thực : Chức vụ: Trần Thị Hương Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực : Tốn học THANH HĨA, NĂM 2022 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài ……………………………………………………….1 1.2 Mục đích nghiên cứu………………………………………………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu………………………………………………… 1.4 Phương pháp nghiên cứu…………………………………………… 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm …………………………… 2.1.1 Phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ ……………………………… 2.1.2 Hệ thống kiến thức tọa độ hình tọa độ oxyz ………… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kIến kinh nghiệm………… 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………………………………………………………………………………………5 PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT LẬP HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Dạng Hình chóp có chứa góc tam diện vng ……………………… .5 Dạng Hình chóp đều…………………………………………………… Dạng Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy, hình chiếu đỉnh lên mặt đáy Dạng Hình lăng trụ đứng đáy tam giác cân, tam giác đều………… 12 Dạng Hình lăng trụ đứng đáy hình chữ nhật, hình vng, tam giác vng 14 Bài tập tự luyện .16 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường …………………………………… 19 Kết luận kiến nghị………………………………………… 20 Tài liệu tham khảo MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài : Hình học khơng gian mơn học tương đối khó có tính hệ thống tương đối chặt chẽ, logic trừu tượng.Các toán hình học khơng gian phức tạp địi hỏi người học phải có tư tốt.Nhất học sinh có lực học trung bình, khả tư tưởng tượng hình khơng gian em cịn nhiều hạn chế Đặc biệt toán chứng minh quan hệ song song, vng góc, tốn tính khoảng cách,tính góc, tính diện tích hình, thể tích khối Trong đó, nhiều tốn chương trình THPT biết cách sử dụng phương pháp tọa độ tốn giải cách đơn giản Vì phương pháp tọa độ xem phương pháp đại số hóa tốn hình học Bằng phương pháp này, học sinh chủ yếu làm việc với số, khơng cần tư hình học nhiều gây hứng thú cho học sinh giải toàn Tuy nhiên thiết lập hệ trục tọa độ cho phù hợp thuận tiện cho q trình tính tốn khơng phải học sinh làm Đối với dạng hình khác có cách thiết lập hệ tọa độ khác Trong yêu cầu đổi giáo dục việc đánh giá học sinh phương pháp trắc nghiệm khách quan học sinh nắm dạng thiết lập hệ trục giúp học sinh nhanh chóng tìm đáp số Các tốn chứng minh quan hệ song song, vng góc, tốn tính khoảng cách, tính góc, tính diện tích hình, thể tích khối phần quan trọng chương trình Hình học lớp 12 thường có mặt đề thi kì thi Quốc gia hành phần có lượng kiến thức lớn khó nhiều học sinh THPT Vì lý trên, tơi định chọn nghiên cứu chuyên đề “Thiết lập hệ trục tọa độ giải số dạng tốn Hình học khơng gian” 1.2 Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm cung cấp cho em học sinh lớp 12 nhìn khái quát phương pháp thiết lập hệ tọa độ cho số dạng tốn hình học khơng gian, cung cấp phương pháp giải toán cho học sinh giúp em có thêm nhiều cách giải gặp tốn hình khơng gian, nhanh chóng tìm đáp án tốn trắc nghiệm, giúp học sinh có kết cao kì thi THPT Quốc gia 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu thiết lập hệ trục tọa độ giải số dạng toán hình học khơng gian thường gặp đề thi THPT Quốc gia áp dụng rộng rãi cho học sinh có lực học trung bình, Với phạm vi sáng kiến kinh nghiệm trường THPT, chuyên đề này, nghiên cứu đến số vấn đề nhỏ mơn hình học lớp 12: - Hệ thống sở lí thuyết để thiết lập hệ trục tọa độ dạng tốn hình khơng gian - Đưa phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ dạng tập cụ thể - Bài tập tự luyện Đề tài áp dụng cho lớp 12C9 12C10 lớp có đa số học sinh theo ban KHXH, chất lượng tương đương Lớp đối chứng 12C9 có 40 học sinh; lớp thực nghiệm 12C10 có 42 học sinh 1,4 Phương pháp nghiên cứu - Khái quát hóa phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ hình khơng gian - Cụ thể hóa, thiết lập hệ trục dạng hình khơng gian - Phương pháp thơng kê, xử lí số liệu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ Để giải tốn hình không gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình cho Để thiết lập hệ trục tọa độ tốn hình khơng gian cần thực theo bước Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp Bước 2: Xác định tọa độ điểm có liên quan Bước 3: Sử dụng kiến thức tọa độ để giải toán Các dạng toán thường gặp:  Định tính: Chứng minh quan hệ vng góc, song song, …  Định lượng: Độ dài đoạn thẳng,, góc, khoảng cách, tính diện tích, thể tích, diện tích thiết diện, …  Bài tốn cực trị, quỹ tích 2.1.2.Hệ thống kiến thức tọa độ hình tọa độ oxyz Ta thường gặp dạng sau Khoảng cách điểm  Khoảng cách hai điểm A(xA;yA;zA) B(xB;yB;zB) là: AB  ( xB  x A )2  ( yB  y A )  ( zB  z A )2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng d r u Cách 1: d qua M0 có véc tơ phương khoảng cách từ điểm M đến đường uuuuur r [M M , u ] d (M , d )  r u thẳng d Cách 2: Phương pháp :  Lập phương trình mặt phẳng (  ) qua M vng góc với d  Tìm tọa độ giao điểm H mp(  ) d  d(M, d) =MH Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng  : Ax  By  Cz  D   Khoảng cách từ M  ( x0 ; y0 ; z0 ) đến mặt phẳng   cho công thức d (M ,    )  Ax  By0  Cz0  D A2  B  C Khoảng cách mặt phẳng Định nghĩa: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Khoảng cách đường thẳng A Khoảng cách hai đường chéo r  Cách 1: d qua M  ( x0 ; y02 ; z0 ) ; có véc tơ phương a  (a1; a2 ; a3 ) ur   (a1; a2 ; a3 )     a M  ( x ; y ; z )  d qua 02 có véc tơ phương khoảng cách r uu r uuuuur [a, a '].MM ' d (d , d ')  r uu r [ a , a ']  hai đường thẳng chéo d d  Cách 2: r d qua M  ( x0 ; y02 ; z0 ) có véc tơ phương a  (a1 ; a2 ; a3 ) uu r     a '  (a '1 ; a '2 ; a '3 ) M  ( x ; y ; z ) d  qua 02 có véc tơ phương Phương pháp : Lập phương trình mặt phẳng (  ) chứa d song song với d  khoảng cách d (d , d ')  d  M ,     hai đường thẳng chéo d d  ĐẶC BIỆT: Tính khoảng cách hai đường thẳng AB, CD biết tọa độ uuu r uuur uuur  AB, CD  AC   d ( AB, CD )  uuu r uuur  AB, CD    chúng B Khoảng cách đường thẳng song song - Khoảng cách đường thẳng song song khoảng cách từ điểm thuộc đường thẳng đến đường thẳng => quy dạng tốn tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Góc đường thẳng  Góc hai đường thẳng r d qua M  ( x0 ; y02 ; z0 ) có véc tơ phương a  (a1 ; a2 ; a3 ) uu r d  qua M   ( x0 ; y02 ; z0 ) có véc tơ phương a '  (a '1; a '2 ; a '3 ) Góc φ hai đường thẳng d d  ;    90 r uu r a a ' r uu r a1.a '1  a2 a '2  a3 a '3 cos  cos(a, a ')  r uu r  a a' a12  a22  a32 a '12  a '22  a '32 0 Góc mặt phẳng 0 P Q  Gọi φ góc hai mặt phẳng     ;    90  P  : Ax  By  Cz  D   Q  : Ax  By  C z  D  có véc tơ pháp tuyến uur uur nQ   A; B; C   nP   A, B, C  uur uur n P nQ uur uur cos = cos(n P , nQ )  uur uur  nP nQ A.A'  B.B ' C.C ' A2  B  C A '2  B '2  C '2 Góc đường thẳng mặt phẳng r a  ( a1 ; a2 ; a3 ) , mặt phẳng (α) có véc tơ pháp  qua M0 có véc tơ phương r 0 n tuyến  ( A; B; C ) Gọi φ góc hợp  mp(α) ;    90 r r sin   cos(a, n)  Aa1 +Ba +Ca A  B  C a12  a22  a32 Diện tích thiết diện  Diện tích tam giác : S ABC   Diện tích hình bình hành: r uuur uuu [ AB, AC ] uuur uuur S ABCD  [ AB, AD] 10 Thể tích khối đa diện Vchóp  S h - Thể tích khối chóp: ( S : diện tích đáy, h chiều cao) r uuur uuur uuu VABCD  [ AB, AC ] AD - Thể tích khối tứ diện uuur uuur uuur VABCD ABC D  [ AB, AD] AA ' - Thể tích khối hộp: 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kến kinh nghiệm Qua năm giảng dạy mơn hình 12, năm ơn luyện cho học sinh 12 dự thi kì thi THPT quốc gia, nhận thấy học sinh vào thi với thời gian thường lúng túng tốn xác định tính góc, khoảng cách Hiện có nhiều sách tham khảo trình bày giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ góc độ khác Ở chun đề trình bày cách thiết lập hệ trục tọa độ cụ thể dạng tốn hướng dẫn cách giải có tính hệ thống với tập tự luyện giúp học sính thiết lập hệ trục giải tốn nhanh hơn, từ cung cấp thêm phương pháp giải tốn hình học khơng gian 2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm giải pháp sử dụng để giải vấn đề PHÂN LOẠI CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ THIẾT LẬP HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Các dạng hình thường gặp ví dụ áp dụng DẠNG 1: Hình chóp có chứa góc tam diện vng a Phương pháp thiết lập: Đối với hình chóp có chứa góc tam diện vng ta thiết lập hệ tọa độ với trục tọa độ cạnh góc tam diện vng b Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho tứ diện OABC có đáy OBC tam giác vuông O, OB  a , (a>0) đường cao OA  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính khoảng cách hai đường thẳng AB OM z Hướng dẫn giải a A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi O(0;0;0), OC  a , a a M ; ; 2 A(0; 0; a 3); B (a; 0; 0), C (0; a 3; 0),   0   uuuu r  a a  uuu r uuu r OM   ; ; , AB  a; 0;  a , OA  0;0; a 2        C O a M a x y B uuur uuuur  3a  a a  uuur uuuur 15a [ AB; OM ]   ; ; ; [ AB; OM ] = ;    2   uuur uuuur uuu r 3a [ AB; OM ].OA  Khoảng cách hai đường thẳng AB OM uuur uuuur uuur  AB; OM  OA a 15   d ( AB; OM )   uuur uuuur a 15  AB; OM  d ( AB; OM )    Vậy, Ví dụ 2: Cho hình chóp O.ABC có OA = a, OB = b, OC = c đơi vng góc Điểm M cố định thuộc tam giác ABC có khoảng cách đến mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) 1, 2, 3.Tính a, b, c để thể tích O.ABC nhỏ Hướng dẫn giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có: O(0; 0; 0), A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) z d(M, (OAB)) =  zM = C Tương tự M(1; 2; 3) x y z   1  (ABC): a b c M  ( ABC )  M c   1 VO ABC  abc a b c (1) (2) O a 3 (1)      3  abc  27 a b c a b c  Vmin a  3   27       b  a b c c   b B H A x (2) Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD đáy hình thang vuông A B , AB  BC  a, AD  2a Biết SA  ( ABCD), SA  a Gọi M N trung điểm SB CD Tính sin góc đường thẳng MN mặt phẳng ( SAC ) 10 A B C 55 10 D Hướng dẫn giải y Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ với A  O(0;0; 0), AB  Ox, AD  Oy, AS  Oz a a a 3a M ( ; 0; ), N ( ; ; 0) 2 2 Ta có: S (0;0; a ), B(a;0;0), D(0; 2a;0), C ( a; a;0) uuuu r uuu r uuur 3a a uuu r uuuu r MN  (0; ; )    AS , AC   (a ; a ;0) AS  (0;0; a ), AC  ( a ; a ;0) 2 Chọn véc tơ pháp tuyến mặt phẳng ( SAC ) Chọn véc tơ phương đường thẳng MN rr n.u sin( MN ;  SAC  )  r r  10 n.u r n  1;1;0  r u  0;3; 1 DẠNG 2: Hình chóp đều: a Phương pháp thiết lập: Với hình chóp tứ giác S.ABCD Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ O 0; 0;0  Giả sử hình vng có cạnh a đường cao SO  h Chọn  tâm hình vng A( a a a a ;0;0); C ( ;0;0); B(0;  ;0); D(0; ;0); S (0;0; h) 2 2 Khi Với hình chóp tam giác S.ABC Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Giả sử cạnh tam giác a đường cao h Gọi I trung điểm I 0;0;0  AB Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ cho  a a a a A( ; 0;0); B( ;0; 0); C (0; ;0); S (0; ; h) 2 Khi đó: b Ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tâm O Gọi M N trung điểm hai cạnh SA BC , biết MN  a Khi giá trị sin góc đường thẳng MN mặt phẳng  SBD  A B C D Hướng dẫn giải ABCD  Gọi I hình chiếu M lên  , suy I trung điểm AO CI  3a a AC  CN  ·  45o 4 Xét CNI có: , NCI Khi Áp dụng định lý cosin ta có: NI  CN  CI  2CN CI cos 45o  Xét MIN vuông I nên Mà MI / / SO, MI  SO a 9a a 3a 2 a 10    4 MI  MN  NI   SO  3a 5a a 14   a 14 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ:      2    B  0; ;0 D 0;  ; C ; 0;0 N ; ;0            2 4 O  0;0;0  ,  ,  ,  , Ta có: ,  uuuu r  2     14  2 14  14  S  0; 0; A   ; 0;  M  ; 0; MN  ; ;             ,  ,    Khi   , uur  r  14  uuu 14  SB   0; ; SD  0;  ;      2  2   ,   Vectơ pháp tuyến mặt phẳng  SBD  : r uur uuu r n  SB  SD   ;0;  sin  MN ,  SBD    uuuu rr  MN n  uuuu  r r  MN n Suy Ví dụ 2: Cho hình chóp tam giác S.ABC có độ dài cạnh đáy a Gọi M, N trung điểm SB, SC Tính theo a diện tích AMN, biết (AMN) vng góc với (SBC) Hướng dẫn giải Gọi hình chiếu S (ABC), ta suy tâm ABC Gọi I trung điểm BC, ta có: O AI  O z trọng a a a BC   OA  , OI  2 Trong mặt phẳng (ABC), ta vẽ tia Oy song song với Đặt SO  h Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ ta được: a  A ; 0;   I   a ; 0;    , O(0; 0; 0), S(0; 0; h),  S M N h BC I C y O a x B A  a a   a a h  a a   a a h ; ;  M   N ; ;  B  ; ; 0 C  ; ;  12 2  12 2      , , uur uuu r r uuuur uuur a2   5a  r  ah   n  SB , SC   ah ; 0; ( SBC )  n( AMN )   AM , AN    ; 0;     24     , r r r uuur 5a uuuu a 10 ( AMN )  ( SBC )  n( AMN ) n( SBC )   h   S AMN   AM , AN   12 16 DẠNG 3: Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy, hình chiếu đỉnh lên mặt đáy a Phương pháp thiết lập: Tùy theo tính chất hình học hình tính chất đặc biệt toán để thiết lập hệ tọa độ cho phù hợp, thuận tiện cho q trình giải tốn b Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác cạnh 2a , mặt bên SAB tam giác cân với ·ASB  120 nằm mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M trung điểm SC N trung điểm MC Tính khoảng cách hai đường thẳng AM , BN 327 a A 79 B 237 a 79 237 a C 79 237a D 316 Hướng dẫn giải 10 Gọi H trung điểm AB Vì  SAB    ABC  nên SH   ABC  Chọn hệ trục tọa độ Oxyz , với O  H , HB  Ox , HC  Oy , HS  Oz AH SH  a 2 tan ASH Ta có: HC  AC  AH  3a ; A a ;0;0  B  a ;0;0  C  0;3a ;0  Khi đó: H  0; 0;  , S  0;0; a  ,  , , ,  3a a   9a a  M  0; ;  N  0; ;   2 ,  4  uuuu r  9a a  uuur 3a a  uuur  AM   a ; ;  BN   a ; ;  AB  2a ;0; 4, 2,   Suy ra: ,   2 uuuu r uuur    AM , BN     3a ;  3a ; 15 3a     4    Khoảng cách hai đường thẳng AM , BN uuuu r uuur uuu r 3a  AM , BN  AB 237 a   d  AM , BN     uuuu r uuur 79 711a  AM , BN    Ví dụ 2: Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a, tam giác SAB vng S góc SBA 30 Mặt phẳng  SAB  vng góc mặt phẳng đáy Gọi M , N trung điểm AB, BC Tìm cosin góc tạo hai đường thẳng  SM , DN  A B C D Hướng dẫn giải 11  SAB    ABCD    SAB    ABCD   AB  SH   ABCD   SH   SAB  , SH  AB SAB   SH  AB Trong , kẻ H Ta có:  Kẻ tia Az // SH chọn hệ trục tọa độ Axyz hình vẽ sau a · SB  AB.cos SBA  a.cos 30  Trong tam giác SAB vuông S , 3a · BH  SB.cos SBH  Trong tam giác SBH vuông H , 3a a a · AH  AB  BH  a   SH  BH tan SBA  BH tan 300  4  a a 3  a   H  0; ;0  S  0; ;      4  a  uuur  a  uuur  a a   a  N ; a ;0  DN   ; a ;0  M  0; ;0     ; SM   0; ;          , D  a;0;  ,  uuur uuur SM DN a2  cos  SM , DN      SN DN a a 5 2 Ví dụ 3: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Hình chiếu ABCD  vng góc S mặt phẳng  trung điểm cạnh AB , góc SAC  mặt phẳng  đáy 45 Gọi M trung điểm cạnh SD Khoảng cách hai đường AM SC A a a B a C 10 a D Hướng dẫn giải 12 Gọi H trung điểm cạnh AB , I trung điểm cạnh AO Suy · SH   ABCD  · SAC  ,  ABCD   SIH  45 , Do Gọi N trung điểm cạnh CD , HN  AB SH  IH  a BO  Chọn hệ trục tọa độ không gian hình vẽ, ta có H  0;0;0  , a a a 2  a  a   a 2 a    A  0;  ; ; S  0;0; ; D a ;  ;0 ; M   ;  ;    ; C a; ;         2    uuuu r  a a a  uuu r  a a  uuur AM   ; ; ; SC  a; ;     ; AC   a; a;0      Nên Khoảng cách hai đường AM SC uuuu r uuu r uuur  AM , SC  AC a   d  AM , SC    uuuu r uuu r  AM , SC    DẠNG 4: Hình lăng trụ đứng đáy tam giác cân, tam giác a Phương pháp thiết lập: - Với hình lăng trụ đứng có đáy tam giác cân: + Chọn hệ tọa độ với hai trục cạnh đáy chiều cao tương ứng tam giác cân đáy, trục cịn lại chứa đường trung bình mặt bên Gọi O trung điểm cạnh đáy, chọn hệ trục hình vẽ với a = Ta có:  AB  A  ;0;0 , O  0;0;0  ,    AB  B   ;0;0 ,   C  0; OC;0  , A  OA;0; AA  ,  AB  B   ;0; BB ,   C   0; OC ; CC   - Với hình lăng trụ đứng có đáy tam giác ta làm tương tự 13 b Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC AB C  có AB  AC  a, BAC  120 Gọi M , N trung điểm BC CC  Biết thể tích khối lăng trụ ABC AB C   ABC  Khi A cos   3a Gọi  góc mặt phẳng cos   B Hướng dẫn giải Lấy C cos   13 D  AMN  mặt phẳng cos   M trung điểm BC  Ta có: VABC A ' BC '  CC .S ABC  3a 3a  CC  a SABC  4 Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ.Ta có M  O    3a  3a   a 3a a  a   M  0;0;0  , A  ;0;0 , B  0; ;0  , C 0;  ;0  ; A  ;0; a ; N 0;  ;    2 2  2       2  r k   0;0;1  ABC   Oz  ABC  Ta có: nên có vectơ pháp tuyến uuuu r uuur  a  MN   0;  MA   ;0; a    2 , Ta có uuur a r MA   1;0;   v1   1;0;  Gọi , 3a a  ;  2  uuuu r a r MN  0;  3;1  v  0;  3;1     14 AMN  Khi mặt phẳng  song song chứa giá hai vectơ r r không phương v1 v nên có vectơ pháp tuyến rr k n r r cos   cos k , n  r r  r r r k n n  v1 , v    3; 1;   Vậy Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có tất cạnh a Gọi M trung điểm AA Tính khoảng cách hai đường thẳng BM BC   a B a 10 a C 2 D a A Hướng dẫn giải Gọi O I trung điểm BC  , BC Chọn hệ trục tọa độ cho:  ; 0;0); C   Oy  C (0; ; 0); I  Oz  I (0;0;1) 2 1 1    B(0; ;0); C (0; ;1); B(0; ;1); A( ;0;1); M ( ;0; ) 2 2 2 uuuu r uuuu r u u u u r u u u u r  1  uuur  BC  (0;1;1); BM  ( ; ; )   BM , BC   (1; ; ) BC  (0;1;0) 2 2 O(0; 0;0); A  Ox  A( Vậy khoảng cách hai đường thẳng BM BC là: 15 uuur uuuu r uuuu r BC  BM , BC  30 d ( BM ; BC )     uuuu r uuuu r 10 3 10  BM , BC  1    4 DẠNG 5: Hình lăng trụ đứng đáy hình chữ nhật, hình vng, tam giác vng (Hình lăng trụ đứng có đỉnh đỉnh góc tam diện vng) a Phương pháp thiết lập: - Phương pháp chung chọn hệ tọa độ cho gốc tọa độ trùng với đỉnh góc tam diện vuông, trục tọa độ chứa ba cạnh góc tam diện vng - Đối với lăng trụ có đáy hình vng, hình chữ nhật ta chọn hệ tọa độ với gốc tâm đáy, trục cao chứa đường nối hai tâm đáy, hai trục lại song song với hai cạnh đáy - Đặc biệt với lăng trụ tứ giác (đáy hình vng) ta chọn hệ tọa độ với gốc tâm đáy, trục cao chứa đường nối hai tâm hai đáy, hai trục lại chứa hai đường chéo hình vng đáy b Ví dụ áp dụng: Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng ABC ABC  có đáy tam giác vng AB  BC  a , AA  a , M trung điểm BC Tính khoảng cách d hai đường thẳng AM BC A d a 6 d a 2 B Hướng dẫn giải C d a 7 D d a 3 Do ABC vng có AB  BC nên ABC vng cân B Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khơng tính tổng qt, ta giả sử a      A  1; 0;  , M  0; ; , B 0; 0; , C  0;1;    Ta có: 16 uuuu r  r uuur uuuu r uuuu r    uuuu AM   1; ;0 , BC  0;1;  , AC   1;1;  ,  AM , BC     ;  2; 1        uuuu r uuuu r uuur  0  AM , BC  AC   d  AM , B C     uuuu r uuuu r  AM , BC     1 Khi đó: Trong trường hợp tổng quát, ta có: d  AM , BC   a 7 Ví dụ 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD ABC D , có AB  a, AD  a 2, góc AC mặt phẳng  ABCD  30 Gọi H hình chiếu vng góc A AB K hình chiếu vng góc A AD Tính góc hai mặt phẳng  AHK   ABBA A 60 B 45 C 90 D 30 Hướng dẫn giải Do ABCD ABC D hình hộp chữ nhật nên AC hình chiếu vng · góc A ' C ( ABCD)  ( A ' C , ( ABCD))  ( A ' C, AC )  A ' CA  30 Ta có · ' C '  ·ACA '  300 ; AC  AB  AD  a 3; tan CA · ' C '  CC '  CC '  a CA A'C ' Kết hợp với giả thiết ta ABBA hình vng có H tâm Gọi E , F hình chiếu vng góc K A ' D '& A ' A Ta có 1 a AK  AA2  AK  a ;    AK  ; 2 AK AA AD 17 1 a a    KF  ; KE  A ' K  KF  KE  2 KF KA A ' K 3 Ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz thỏa mãn O  A D, B, A theo thứ tự thuộc tia Ox, Oy, Oz Khi ta có tọa độ điểm là: a a a a a a A(0; 0; a), B  0; a; a  , B(0; a;0), H (0; ; ), K ( ;0; ), E ( ; 0;0), F (0;0; ) 2 3 3 r ABB ' A ' Mặt phẳng  mặt phẳng ( yOz ) nên có VTPT n1  (1;0;0); uuur uuur r  AK , AH   a (2; 2; 2), n (2; 2; 2)  Ta có  Mặt phẳng ( AKH ) có VTPT r n  (2; 2; 2); AHK  ABBA  Gọi  góc hai mặt phẳng   r r cos  cos (n1 , n )     450 Ta có BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu (Sở Bắc Giang - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  a , BC  a , SA  a SA vng góc với đáy ABCD Tính sin  , với  góc tạo đường thẳng BD mặt phẳng  SBC  sin   sin   sin   sin   D A B C Câu (Chun Vinh - 2018) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng  ABCD  Gọi G trọng tâm tam giác SAB M , N trung điểm SC , SD Tính cơsin góc hai mặt phẳng  GMN   ABCD  39 A 39 39 13 B C 13 D 13 Câu Xét tứ diện OABC có OA , OB , OC đơi vng góc Gọi  ,  ,  góc đường thẳng OA , OB , OC với mặt phẳng  ABC  Khi giá trị nhỏ biểu thức M    cot     cot     cot   A 48 B.125 C Số khác D 48 18 Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , cạnh bên SA  a vng góc với mặt phẳng đáy Gọi M trung điểm cạnh SD Tan góc tạo hai mặt phẳng  AMC   SBC  A B C D Câu (Mã 102 - 2019) Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách từ C đến mặt phẳng ( SBD) 21a 14 2a 21a 21a 28 A B C D S ABCD ABCD Câu Cho khối chóp có đáy hình thang vng A B , AB  BC  a, AD  2a Hình chiếu S lên mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H AD SH  SCD  phẳng  15a 6a d A B d  a C D Câu Cho hình chóp S ABCD , cạnh đáy a , góc mặt bên mặt SCD  đáy 60 Tính khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng  d 6a a Tính khoảng cách d từ B đến mặt d a A a a a B C D Câu Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a , AC  a Tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC , biết góc đường thẳng SD mặt đáy 60 a 906 29 a 609 B 29 a 609 C 19 a 600 D 29 A Câu (Mã 104 - 2020 Lần 2) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vng cân A , AB  a , SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2a Gọi M trung điểm BC Khoảng cách hai đường thẳng AC SM 10a a B 2a 2a A C D Câu 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A, mặt bên (SBC ) tam giác cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với mặt phẳng đáy Khoảng cách hai đường thẳng SA BC 19 a A a B a C Câu 11 (ĐềThamKhảo2018) Cho hình lăng trụ tam giác a D ABC ABC  có AB  AA  Gọi M , N , P trung điểm cạnh AB, AC  BC Cơsin góc tạo hai mặt phẳng  ABC    MNP  17 13 A 65 18 13 13 13 B 65 C 65 D 65 Câu 12 Cho hình lăng trụ đứng ABC.ABC  có đáy tam giác cân đỉnh A Biết BC  a ·ABC  30o , cạnh bên AA  a Gọi M điểm thỏa mãn uuuu r uuuu r 2CM  3CC  Gọi  góc tạo hai mặt phẳng  ABC   ABM  , sin  có giá trị 66 A 22 481 22 C 22 418 22 B D Câu 13 (Chuyên Nguyễn Trãi - Hải Dương - Lần - 2020) Cho hình lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cân với AB  AC  a góc · BAC  120o cạnh bên BB '  a Gọi I trung điểm CC ' Tính ABC  AB ' I  cosin góc hai mặt phẳng   A 10 30 30 10 B 10 C 30 D 30 Câu 14 Cho hình lập phương ABCD AB C D  cạnh a Gọi I , J trung  AIA  BC d AD điểm  CJC   Tính khoảng cách d  2a A B d  2a Đáp án tập tự luyện 1C hai mặt phẳng C d a 5 D d 3a 5 2C 3B 4A 5C 6D 7A 8B 9C 10 11D 12 13 14 A D B C 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 2.4.1.Kết khảo sát đầu năm Đề tài tiến hành dạy thực nghiệm năm học 2020 – 2021 lớp 12C10 đối chứng 12C9 trường THPT Hoằng Hóa Các lớp có lực học tập qua đợt khảo sát đầu năm học 2020 – 2021 20 Điểm Lớp Thực nghiệ m Lớp Đối chứng 12C1 Khá Giỏi 11,9% 40,49 % TB 15 35,71 % Yếu,Kém Vắng 11,9% 42 Vắng 40 12C9 15,0% 47,5% 13 32.5% Sĩ số 5,0% 2.4.2 Nhận xét : Nhìn chung lực học sinh lớp thực nghiệm lớp đối chứng Lớp thực nghiệm có 52,39% học sinh giỏi, khá; lớp đối chứng có 62,5% học sinh giỏi, Lớp đối chứng có phần cao 10,11% học sinh giỏi Lớp thực nghiệm giảng dạy theo nghiên cứu đề tài cịn lớp đối chứng tiến hành dạy thơng thường không lưu ý đến áp dụng nghiên cứu đề tài Sau q trình giảng dạy tồn tính góc khoảng cách tơi tiến hành ơn tập hệ thống lại kiến thức cho lớp thực nghiêm theo vận dụng đề tài, lớp đối chứng ôn tập bình thường, sau tiến hành kiểm tra đề chung lóp thực nghiệm lớp đối chứng cho kết trình bày mục 4.1 2.4.3 Kết qua kiểm tra Đề kiểm tra chung lớp năm học 2020 – 2021 Điểm Giỏi Khá TB Yếu, Kém Sĩ số Lớp Vắn Thực 12C1 g nghiệ 19,05% 52,38 10 23,81 4,76% 42 m % % Lớp Đối 12C9 Vắn chứng 17,5% 47,5% 12 30.0% 5,0% 40 g Kết tổng quát toàn kiểm tra cho thấy lớp thực nghiệm lớp đối chứng có tiến so với khảo sát đầu năm Nhìn chung kết lớp thực nghiệm vượt qua lớp đối chứng Cụ thể lớp 12C10 có 71,43% có điểm giỏi, khá, lớp 12C9 có 65% có điểm khá, giỏi, vượt lớp đối chứng 6,43% tăng 19,04% so với kết khảo sát đầu năm 21 Khi áp dụng chuyên đề, học sinh tính góc khoảng cách tốn hình khơng gian tự tin hơn, tới đáp số nhanh, xác gây hứng thú học tập cho học sinh Chuyên đề triển khai với lớp có học sinh có tư hình khơng gian chưa tốt hiệu Kết luận kiến nghị Sau thời gian nghiên cứu tích lũy tơi nêu cách tóm tắt nội dung sau: - Các bước thiết lập hệ trục tọa độ - Hệ thống kiến thức hệ tọa độ Oxyz - Đưa phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ dạng Dạng Hình chóp có chứa góc tam diện vng Dạng Hình chóp đều: Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vng góc với đáy, hình chiếu đỉnh lên mặt đáy Dạng 4.: Hình lăng trụ đứng đáy tam giác cân, tam giác Dạng 5: Hình lăng trụ đứng đáy hình chữ nhật, hình vng, tam giác vuông - Bài tập tự luyện Với sáng kiến này, hy vọng giúp em học sinh lớp 12 có thêm mốt phương pháp giải số tốn hình học khơng gian vốn nặng tư trở nên đơn giản hơn, rút ngắn thời gian làm bài, nâng cao kết kì thi THPT Quốc gia Do thời gian có hạn nên viết khơng tránh khỏi sai sót, mong Q đồng nghiệp trao đổi, góp ý để đề tài hồn thiện Chúng chân thành cảm ơn quý thầy cô quan tâm! Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2022 Xác nhận thủ trưởng Tôi xin cam đoan SKKN đơn vị viết, khơng chép nội dung người khác Người viết SKKN Trần Thị Hương 22 TÀI LIỆU THAM KHẢO Hình học 11 (Sgk – NXB Giáo dục 2014) – Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) Hình học 12 (Sgk – NXB Giáo dục 2013) - Trần Văn Hạo, Nguyễn Mộng Hy (Chủ biên) Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học 11 – Lê Hồnh Phị – NXB đại học quốc gia Hà Nội 2013 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn hình học 12 – Lê Hồnh Phị – NXB đại học quốc gia Hà Nội 2012 Bí tiếp cận hiệu kỳ thi THPT quốc gia hình học giải tích khơng gian (Nguyễn Tài Chung, Huỳnh Văn Minh – NXB đại học quốc gia Hà Nội) Đề thi THPT Quốc gia môn toán – trang toanmath com ... pháp thiết lập hệ trục tọa độ Để giải tốn hình khơng gian phương pháp tọa độ ta cần phải chọn hệ trục tọa độ thích hợp Lập tọa độ đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ chọn độ dài cạnh hình. .. này, nghiên cứu đến số vấn đề nhỏ mơn hình học lớp 12: - Hệ thống sở lí thuyết để thiết lập hệ trục tọa độ dạng tốn hình khơng gian - Đưa phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ dạng tập cụ thể -... thời gian nghiên cứu tích lũy tơi nêu cách tóm tắt nội dung sau: - Các bước thiết lập hệ trục tọa độ - Hệ thống kiến thức hệ tọa độ Oxyz - Đưa phương pháp thiết lập hệ trục tọa độ dạng Dạng Hình