Bài tập chương 5_ Xử lý số liệu: ĐỊnh lý giới hạn trung tâm

Chương 5: ĐỊnh lý giới hạn trung tâm sẽ học về các nội dung - Phân bố chuẩn - Phân bố Chi-square - Phân bố Student - t - Phân bố Fisher của Snedecor

Lê Bình Minh – 20172298 Bài tập chương - Xử lý số liệu Phần 5.1 5.1 Một hộp chứa năm chip đánh dấu 1, 2, …5 Một chip rút ngẫu nhiên, số ghi chú, chip thay X1 X2 kết rút a Tổng thể phấn bố ngẫu nhiên số từ đến 1 5  = ( +  +  +  + ) =   = E(X2) -  = ( +  +  +  + ) −  =  b Liệt kê mẫu có thể: (X1, X2) (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (3; 1) (3; 2) (3; 3) c Lấy phân phối từ mẫu 1,0 1,5 2,0 𝑥̅ f (𝑥̅ ) 25 25 25 𝑋̅ 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 2,0 2,5 3,0 2,5 25 (X1, X2) (3; 4) (3; 5) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) 3,0 25 𝑋̅ 3,5 4,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 3,5 25 4,0 25 4,5 25 25 d E (𝑋̅ ) =∑𝑥 𝑥̅ 𝑓 (𝑥̅ ) = 3; Var (𝑋̅ ) = ∑𝑥(𝑥̅ )2 𝑓(𝑥̅ ) -  = Giá trị E (𝑋̅ ) Var (𝑋̅ ) tương ứng với  𝜎 /2 5.2 Mô 100 cặp từ xúc sắc Tính giá trị 𝑋̅ cho mẫu a Vẽ biểu đồ phân bố thực nghiệm 𝑋̅ Dùng hàm RANDBETWEEN (1;6) excel để tạo giá trị ngẫu nhiên từ đến cho súc sắc tính giá trị trung bình Chọn 11 giá trị trung bình 100 giá trị tính trên, vẽ đồ thị histogram minitab b Từ mô ta thấy giá trị trung bình mẫu  = 3,5 giá trị phương sai Var (𝑋̅ )=(1,095)2 = 1,20; giá trị gần với giá trị thực 1,4583 cách hợp lý có sai số q trình lấy mẫu 5.3 Mô 100 cặp từ 10 xúc sắc Tính giá trị 𝑋̅ cho mẫu a Vẽ biểu đồ phân bố thực nghiệm 𝑋̅ Dùng hàm RANDBETWEEN (1;6) excel để tạo giá trị ngẫu nhiên từ đến cho 10 súc sắc tính giá trị trung bình Cho giá trị trung bình vào minitab vẽ biểu đồ: b Từ mô ta thấy giá trị trung bình mẫu  = 3,58 giá trị phương sai Var (𝑋̅ )= (0,5521)2 = 0,304; giá trị gần với giá trị thực 0,2916 cách hợp lý có sai số q trình lấy mẫu 5.4 Một công ty đồ uống sử dụng máy chiết rót để đổ đầy lon Mỗi lon 12 oz 355 ml nước giải khát Trên thực tế, lượng thay đổi theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ= 355,2 ml độ lệch chuẩn  = 0,5 ml a Xác suất để lon chứa 355ml P (X < 355) = P (Z < 355−355,2 0,5 = −0,4) =  (−) =  b Xác suất để hàm lượng trung bình lon nhỏ 355ml; SD = 0,5/√6 = 0,204 355−355,2 P (𝑋̅ < 355) = P (Z < = −0,98) =  (−) =  0,204 5.5 Một mẫu ngẫu nhiên X1, , X150 rút từ tập hợp có trung bình µ= 40 độ lệch chuẩn  = 15 có phân phối không xác định Đặt U=(X1 + + X50) / 50 tính lại giá trị trung bình mẫu quan sát 50 V (X51 + + X150)/100 trung bình mẫu quan sát 100 cuối a Phân phối gần U V U phân phối gần chuẩn với  = 40 SD = √ V phân phối gần chuẩn  = 40 SD = √ 152 100 152 50 = 2,121 = 1,5 b Xác suất P (35 ≤ U ≤45) lớn số mẫu nhỏ c Tính xác suất: P (35 ≤ U ≤45) = P(U≤ 45) – P(U ≤35) = () − (−) =  P (35 ≤ V ≤45) = P (V≤ 45) – P (V ≤35) = () − (−) = 0,9992 5.6 Một ống dẫn mang tải tối đa 4000 lb Một nhà sản xuất muốn giao đơn hàng gồm 50 hộp Trọng lượng hộp phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ = 78 lb độ lệch chuẩn  = 12 lb Xác suất để tất 50 hộp gửi chuyến hang bao nhiêu? Nếu trọng số không phân phối bình thường, câu trả lời có cịn gần không? Tại không? Bài giải: Khối lượng trung bình hộp là: 𝑋̅ = 4000/50 = 80 (lb);  = 12/√50 = 1,697 Xác suất 50 hộp chuyển P (Z < 80−78 1,697 = 1,18) = 0,8810 5.7 Để ước tính số năm trung bình mà nhân viên lại với cơng ty, mẫu ngẫu nhiên 25 nhân viên lấy từ hồ sơ nhân viên khứ cơng ty giá trị trung bình mẫu 𝑋̅ tính Giả sử phân phối chưa biết thời gian lại nhân viên cấp số nhân với trung bình năm a Phân bố 𝑋̅ ~ Gamma (5;25) với E (𝑋̅ ) = Var (𝑋̅ ) = b Mô mẫu nhiên 100 mẫu từ phân bố mũ, tạo 100 giá trị ngẫu nhiên từ phân bố mũ minitab, vẽ đồ thị probability plot minitab Đường thẳng biểu đồ phân bố mũ gợi ý giá trị trung bình mẫu gần chuẩn c P (-0,5 ≤ 𝑋̅ – ≤ 0,5) = P (4,5 ≤ 𝑋̅ ≤ 5,5) = () − (−) =  5.8 Tuổi thọ má phanh đĩa thay đổi theo phân phối chuẩn với giá trị trung bình µ= 50000 dặm độ lệch chuẩn  = 3000 dặm Biết mẫu phanh miếng đệm thử nghiệm a Phân phối trung bình mẫu 𝑋̅ phân phối chuẩn với µ = 50000; SD = 𝜎 √𝑛 = 1000 b Trong câu a không sử dụng định lý giới hạn trung tâm mẫu X mẫu chuẩn c P (𝑋̅ < 47000) =  (−) =  P (𝑋̅ < 50000) =  () =  Giá trị xác suất µ < 47000 khơng cịn kết luận xác 0,13% gần 5.9 Hãy xem xét biến ngẫu nhiên X  Bin (n= 25, p= 0,4) Tìm xác suất để X ≤ 10 phương pháp sau so sánh kết 10 𝑛 ( ) 𝑃 𝑥 (1 − 𝑝)𝑛−𝑥 (trong n = 25) 𝑥=0 𝑥 => P (X ≤ 10) = P (X = 0) + P (X = 1) +… + P (X =10) = 0,586 b Tính gần khơng hiệu chỉnh liên tục: 𝑥−𝑛𝑝 P (X ≤ 10) = P (Z ≤ = 0) = 0,5 a Sử dụng nhị thức bảng A1: P (X ≤ 10) = ∑ √𝑛𝑝(1−𝑝) c Tính gần với hiệu chỉnh liên tục: P (X ≤ 10) = P (Z ≤ 𝑥 +0,5−𝑛𝑝 √𝑛𝑝(1−𝑝) = 0,204) = 0,5793 Các giá trị tính sấp sỉ 5.10 Lặp lại tập 5.9 sử dụng p= 0.2 tìm xác suất để X ≤ 5, n = 25 So sánh kết giá trị gần bình thường xác với p = 0.4 hay p = 0.2? Tại - Sử dụng bảng A.1: P (X ≤ 5) = 0,617 - Sử dụng không hiệu chỉnh liên tục: P (X ≤ 5) = P (Z ≤ 0) = 0,5 - Sử dụng hiệu chỉnh liên tục P (X ≤ 5) = P (Z ≤ 0,25) = 0,5987 So sánh giá trị p = 0,4 với p = 0,2 xấp xỉ 5.11 Người mua phải định có hay khơng lấy lơ lớn mặt hàng mà người khơng biết, có chứa 5% sai hỏng Lơ hàng chấp nhận có mặt hàng bị lỗi mẫu 20 mặt hàng ngẫu nhiên lấy từ nhiều a Tính xác suất xác để lo chấp nhận: p = 0,05; n = 20 P(accept) = 0,736 b Dùng phân phối Poisson: P = ⅇ −𝜆 ⋅𝜆𝑥 𝑥! ( = np) P (accept lot) = P (X = 0) + P (X =1) = 0,736 c Phân phối chuẩn với hiệu chỉnh liên tục: P (X ≤ 1) = P (Z ≤ 0,51) = 0,695 d Phép gần Poisson cho kết tốt np = ≤ 10, n khơng đủ lớn cho phép gần chuẩn 5.12 Bộ phận kiểm tra chất lượng cơng ty sản xuất băng dự phịng máy tính kiểm tra mẫu gồm 25 băng từ lần sản xuất Một điều tra vấn đề sản xuất bắt đầu nhiều băng bị lỗi Giả sử trình sản xuất có chứa 30% băng bị lỗi a Dùng công thức nhị thức; n = 25; p = 0,3: P (X ≥ 2) = – 0,009 = 0,991 b Dùng phân phối chuẩn không hiệu chỉnh liên tục: P (X ≥ 2) = – 0,008 = 0,992 c Dùng phân phối chuẩn với hiệu chỉnh liên tục: P (X ≥ 2) = – 0,014 = 0,986 Điều có cải thiện độ xác 5.13 Một trường đại học xem xét việc cho điểm đạt / không đạt cho sinh viên năm để giảm bớt cạnh tranh căng thẳng Tờ báo sinh viên vấn giảng viên báo cáo ý kiến họ sách đề xuất Giả sử 70% giảng viên ủng hộ đề xuất đạt/loại (p = 0,7) a 10 giảng viên vấn (n =10): P (X ≥ 6) = – 0,35 = 0,65 b 50 giảng viên vấn (n = 50): P (X ≥ 26) = – 0,0028 = 0,9972 Với hiệu chỉnh liên tục: P (X ≥ 26) = – 0,0044 = 0,9956 5.14 Trong thí nghiệm nhận thức ngoại cảm (ESP), năm lựa chọn đưa cho câu hỏi Giả sử người khơng có ESP đốn ngẫu nhiên trả lời với xác suất l/5 Ngoài ra, giả định phản hồi độc lập Giả sử 100 câu hỏi đặt a Giá trị trung bình độ lệch chuẩn số câu trả lời  = np = 100 0,2 = 20; 𝜎 = √𝑛𝑝 (1 − 𝑝) = b Giá trị trung bình độ lệch chuẩn tỉ lệ câu trả lời Đây hàm Bernouli với  = p = 0,2 Var = p (1 – p) = 0,16 nên 𝜎 = 0,4 𝜇𝑥̅ =  =  =  𝜎𝑥̅ = 𝜎 √𝑛 = 0,4 √100 =  c P (X ≥ 30) = – 0,9938 = 0,0062 Sử dụng hiệu chỉnh liên tục: P (X ≥ 30) = – 0,9957 = 0,0043 Giá trị sử dụng hiệu chỉnh liên tục cho kết chưa xác Phần 5.2 5.15 Tham khảo 5.1 a Liệt kê mẫu tính phương sai S2 (X1, X2) Phương 𝑋̅ sai (S2) (1; 1) 1,0 0,0 (1; 2) 1,5 0,5 (1; 3) 2,0 2,0 (1; 4) 2,5 4,5 (1; 5) 3,0 (2; 1) 1,5 0,5 (2; 2) 2,0 (2; 3) 2,5 0,5 (2; 4) 3,0 2,0 (2; 5) 3,5 4,5 (3; 1) 2,0 (3; 2) 2,5 0,5 (3; 3) 3,0 b Lấy phân bố mẫu S2 S2 0,0 f(S ) 25 (X1, X2) 𝑋̅ (3; 4) (3; 5) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) 3,5 4,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 0,5 25 2,0 25 Phương sai (S2) 0,5 4,5 0,5 0,5 4,5 0,5 4,5 25 8,0 25 c E(S2) = 2, tương đương 2 = 2, tính 5.16 Dùng bảng A.5 tính giá trị 2 2 𝜒5,0.01 =  𝜒10,0.05 =  𝜒10,0.95 =  𝜒10,0.75 =  5.17 Xét phân bố chi- bình phương bậc tự a Giá trị trung bình phương sai biền ngẫu nhiên 𝜒82 E (𝜒82 ) =  =  Var (𝜒82 ) =  =  b P (𝜒82 > a) = 0,05 → a = 15,507; P (𝜒82 > b) = 0,99 → b = 1,646 P (𝜒82 < c) = 0,90 → P( 𝜒82 >c) = 0,1 → c = 13,362 P (d < 𝜒82 < e) = 0,95 → d = 2,733; e = 15,507 c Biểu thị (b) dạng kí hiệu: 2 2 a = 𝜒8,0.05 ; b = 𝜒8,0.99 ; c = 𝜒8,0.10 ; d = 𝜒8,0.95 ; e = 𝜒8,0.05 d Vẽ phác xác suất từ b dạng đường cong pdf 5.18 Xét phân bố chi bình phương 14 bậc tự (cách làm giống 5.17) a E = 14; Var = 28; b a = 6,571; b = 23,685; c = 29,141; d = 7,790; e = 21,064 2 5.19 Chứng minh kết 5.6: 𝑧𝛼∕2 = 𝜒1,𝛼 Từ cơng thức (5.5) 𝑍 = 𝜒12 ; ta có: 𝑃 (𝑧𝛼/2 < 𝑍 ≤ 𝑧𝛼∕2) = P (Z2 ≤ 𝑧𝛼∕2 = − 𝛼) 2 Z2 ≤ 𝑧𝛼∕2 → 𝑧𝛼∕2 = 𝜒12 ,𝛼 5.21 Nếu lấy mẫu ngẫu nhiên cỡ n từ phân phối chuẩn từ phương trình (5.7) biết phương sai mẫu chuẩn hóa, U = (x - n) S2 / 2, có phân phối Tiến hành mô để đánh giá mối quan hệ a Tạo 100 mẫu ngẫu nhiên tính S2 cho mẫu, chuẩn hóa: Tạo mẫu ngẫu nhiên minitab thực tính tốn excel b Dùng hàm PERCENTILE.EXC excel 2 Từ mô ta thấy 𝜒4,0.25 = 1,945; 𝜒4,0.5 = 3,531; 𝜒4,0.9 = 8,719 2 Giá trị thực tế: 𝜒4,0.25 = 1,923; 𝜒4,0.5 = 3,357; 𝜒4,0.9 = 7,779 5.22 Bài tập sử dụng mô để minh họa định nghĩa (5.3) tổng X=Z21 + Z22 + Z2 phân phối dạng 𝜒42 Z1 Z2., , Z, từ phân phối N(0,1) Cách làm giống 5.21 2 Từ mô ta thấy 𝜒4,0.25 = 1,885; 𝜒4,0.5 = 3,357; 𝜒4,0.9 = 7,279 5.20 Gọi S2 biểu thị phương sai mẫu tính từ mẫu ngẫu nhiên có kích thước n từ phân phối N (µ, 2) Sử dụng Bảng A.5 cho tỷ lệ phần trăm phân phối , cỡ mẫu n = 8, 17 21, tìm xác suất xấp xỉ phương sai mẫu S2 vượt phương sai thực 2 theo hệ số hai, tức , P( S2 > 22) Nhận xét kết Với n = 8; ta có 𝑢 = với n = 17; có 𝑢 = Với n = 21; có 𝑢 = 7𝑠 𝜎2 16𝑠 𝜎2 20𝑠 𝜎2 = 𝜒72 ; → u = = 𝜒16 ;→u= = 𝜒20 →u= 7.2𝜎2 𝜎2 = 14 = 𝜒7,𝑎 = 0,05 16.2𝜎2 𝜎2 20.2𝜎2 𝜎2 = 32 = 𝜒16,𝑎 = 0,01 = 40 = 𝜒7,𝑎 = 0,005 5.23 Một kỹ sư nghi ngờ nhiệt độ bên lị nướng khơng đồng lị mới, thời điểm nhiệt độ thay đổi ±l0 ° F xung quanh cài đặt (Lấy phạm vi phân phối chuẩn khoảng ±2, giá trị chuyển thành  = 5° F.) Để xác minh nghi ngờ mình, thực 20 phép đo phần khác lò Anh ta muốn quy tắc định  > độ lệch chuẩn mẫu phép đo vượt 5c, c> số chọn phù hợp Quy tắc nhiều hội 10% đưa định sai, tức là, định  > thực tế,  = a Tìm giá trị c: (s = 5c) Ta có: P (S2 > c) =  → P (S2 > c.52) =0,1   (𝑛−1)⋅𝑆 𝜎2 19(5𝑐)2 25 = 19𝑠 25 ~ 𝜒92 = 𝜒9,0.1 → c2 = 27,203 19 = 1,432 → c = 1,196 b Ta có s = 7,5 > 5c = 5,98, kĩ sư định    Phần 5.3 5.24 Sử dụng bảng A.4, tính giá trị t5,0.5 = 0; t10,0.10 = 1,372; t10,0.90 = -1,372; t20,0.01 = 2,528 5.26 Xem xét phân phối t Student với 10 bậc tự a dùng bảng A.4, tính a,b,c,d P (T10 > a) = 0,05 ↔ a = 1,812; P (T10 > b) = 0,99 ↔ b = - 2,764 P (T10 < c) = 0,90 ↔ c = 1,372; P (|T10| < d) = 0,96 ↔ d = 2,228 b Biểu thị số (a) dạng kí hiệu a = t10,0,05; b = t10,0.99 = - t10,0.01; c = t10, 0.10; d = t10,0,025 5.26 Tính xác suất P (-t8,0.10 ≤T8 ≤ t8,0.10) = P (-1,397 ≤ T8 ≤ 1,397) = 0,9 – 0,1 = 0,8 P (-t8,0.05 ≤ T8 ≤ t8,0.01) = P (-1,860 ≤ T8 ≤ 2,896) = 0,99 – 0,05 = 0,94 P (t8,.0  T8  t8,.01) = P (1,860 ≤ T8 ≤ 2,896) = 0,99 – 0,95 = 0,04 P (TR > -t8,0.05) = 0,05 5.27 Cách làm giống 5.21 Từ mô ta thấy: t4,0.25 = - 1,746; t4,0.5 = - 0,2; t4,0.9 = 2,50 Giá trị thực tế: t4,0.25 = - 0,741; t4,0.5 = 0; t4,0.9 = 1,533 5.28 Chứng minh công thức 5.13 a Tạo ngẫu nhiên 100 giá trị Z theo phân bố chuẩn 100 giá trị U theo phân bố Chisquare với bậc tự minitab tính tốn T excel b Từ mơ ta tính dược t4,0.25 = - 0,746; t4,0.5 = -0,138; t4,0.9 = 1,298 Phần 5.4 5.29 Dùng bảng 5.6, tính giá trị f10,10,0.025 = 3,72; f10,10,0.975 = 1/f10,10,0.025 = 1/3,72 = 0,27 f5,10,0.10 = 2,52; f5,10,0.90 = 1/f10,5,0.10 = 1/3,30 = 0,30; f10,5,0.90 = 1/f5,10,0.10 = 1/2,52 = 0,4 fv1, v2,  −  = fv2, v1,  5.30 Xét phân phối F với 12 bậc tự a Tìm giá trị a,b, c, d: P (F8,12 > a) = 0,05 → a = 2,85 P (F8,12 > b) = 0.99 → P (F12,8 > b) = 0,01 → b = 5,67 P (F8,12 < c) = 0,90 → P (F8,12 > c) = 0,10 → c = 2,24 P (d < F8,12 < e) = 0,95 → d = 0,30; e = 2,85 b Biểu thị dạng kí hiệu: a = f8,12,0.05; b = f12,8,0.01; c = f8,12,0.1; d = f12,8,0.05; e = f8,12,0.05 c Vẽ phác đường cong xác suất câu a 5.31 Chứng minh kết (5.18) fv1, v2,1- = Ta có: 𝐹𝑣1,𝑣2 ~ 𝐹𝑣2 ,𝑣1 𝑓𝑣1 ,𝑣2 ,𝛼 P (Fv1, v2 ≤ fv1, v2, − ) =  ừ ta có: fv1, v2,1 -  = 𝑓𝑣2, 𝑣1 ,𝛼 (đpcm) 5.32 Chứng minh công thức: t2v,  = f1, v,  a có T2v ~ F1, v P (- tv,  ≤  ≤ tv,  ) = P (Tv2 ≤ t2v,  ) = t2v,  = f1, v,  5.33 Các mẫu ngẫu nhiên độc lập với kích thước n1 n2 lấy từ phân bố N (1, 21) N (2, 22) tương ứng phương sai mẫu S21 S22 tính tốn Nếu 12 22 nhau, sử dụng Bảng A.6 để tìm P (S21/S22 > 4) cho cặp cỡ mẫu sau: (n1 = 7, n2= 5), (n1= 13, n2 = 7), (n1= 9, n2 = 16) Áp dụng công thức: 𝑠12 𝑠22 = Với n1 = 7; n2 = 5, ta có: 𝑥𝑛 1−1 𝑛2 −1 𝑥𝑛 −1 𝑛1 −1 𝑠12 𝑥62 𝑠22 𝑥42 = ⋅ ; ⋅ → 𝑥62 𝑥42 = → f6,4,1- =  →  −  = →  =  Với n1 = 13; n2 = 7; ta có P (S21/S22 > 4) ~ 0,01 Với n1 = 9; n2 = 16; P (S21/S22 > 4) ~ 0,1 Phần 5.5 5.34 Cho X1, …, X9 mẫu ngẫu nhiên rút từ phân phối U [0,1] Tìm p.d.f Xmin, Xmax trung vị mẫu 𝑋̅ Áp dụng cơng thức tính p.d.f cho Xmin F(1)(x) cho Xmax F(n)(x) sau: F(n)(x) = (F(x)) n F(1)(x) = - (1 – F(x))n Ở với n = ta tính c.d.f cho Xmax Xmin lần lượt: F(9)(x) = (F(x))9 F(1)(x) = - (1 – F(x))9Ta có hàm pdf tính sau: f(n)(x) = ⅆ𝐹(𝑛) (𝑥) ⅆ𝑥 Do ta tính p.d.f cho Xmin Xmax sau F(1)(x) = n{1 – F(x)}8.f(x) F(9)(x) = 9.[F(x)]8.f(x) Trung vị mẫu = f(5)(x) = (𝐹 (𝑥)) ⋅ √𝑓 (𝑥) 5.35 Cho X1, X9 mẫu ngẫu nhiên rút từ phân phối hàm mũ với  = 0,10 Tìm p.d f Xmin , Xmax trung vị mẫu X Áp dụng công thức: f(1)(x) = ne-nx; f(n)(x) = n (1 – e -x) n – e-0,1x Với n = 9, ta có: f(1)(x) = ne-n = 0,90e-0,90x f(9)(x) = n (1 – e -x) n – e-0,1x = 0,9 (1 – e-0,1x)8 e-0,1x f(5)(x) = 9! 4!4! ⋅ 0,1(1 − ⅇ −0,1𝑥 )4 ⋅ ⅇ −0,50𝑥 Bài tập nâng cao 5.37 Quy trình quang khắc khắc cửa sổ tiếp xúc thông qua lớp oxit lắng đọng silicon sử dụng chế tạo mạch tích hợp Đối với wafer, r.v quan tâm số lượng cửa sổ hình vịng cung khơng cách (chưa mở q nhỏ lớn) Giả sử phân phối r.v sau Số cửa sổ bị lỗi 10 Xác suất 0.5 0.2 0.1 0.1 0.05 0.05 a Tính giá trị trung bình  độ lệch chuẩn  phân phối Giá trị trung bình:  = ∑5𝑛=0 𝑥 𝑓(𝑥) =  Phương sai: Var(X) = ∑5𝑛=0 𝑥 𝑓(𝑥) -  = 2,2275 Độ lệch chuẩn:  = √𝑉𝑎𝑟(𝑋) =  b Mơ 500 mẫu cỡ tính giá trị trung bình mẫu vẽ biểu đồ Tạo 500 mẫu mơ cho kính tính giá trị trung bình mẫu vẽ biểu đồ ta được: Giá trị trung bình  =  độ lệch chuẩn SD = 0,695 c Đồ thị với 500 mẫu kích thước 10 Đồ thị hình (b) lệch cịn đồ thị hình c gần khơng lệch d Giá trị trung bình tính câu b gần xấp xi giá trị câu a 11 𝜎  =  SD = √5 = 0,667 5.38 Sơ đồ lấy mẫu sử dụng Bài tập 5.1 gọi lấy mẫu lặp lại Khi mẫu không lặp lại, chip không thay Giả sử hai chip rút ngẫu nhiên theo cách Gọi X1, X2 kết tương ứng hai lần rút a Liệt kê mẫu (20 mẫu) tính giá trị trung bình 𝑋̅ (X1, X2) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (2; 1) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (3; 1) (3; 2) 𝑋̅ 1,5 2,0 2,5 3,0 1,5 2,5 3,0 3,5 2,0 2,5 (X1, X2) (3; 4) (3; 5) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 5) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) 𝑋̅ 3,5 4,0 2,5 3,0 3,5 4,5 3,0 3,5 4,0 4,5 b Lấy phân phối mẫu từ danh sách 𝑥̅ f (𝑥̅ ) 1,5 20 2,0 20 2,5 20 3,0 20 3,5 20 4,0 20 4,5 20 c Tính giá trị E Var E (𝑋̅ ) = 𝑥̅ ∑𝑥 𝑓 (𝑥̅ ) =  = E(X2) -  = ( +  +  +  + ) −  =  Var (𝑋̅ ) = 𝜎2 𝑛 = 2/2 = d Kiểm nghiệm kết câu c) 𝑁−𝑛 𝜎 ) ; thay số N = 20, n = 2;  =  ta Var (𝑋̅ ) = ( 𝑁−1 𝑛 Var (𝑋̅ ) = 0,95; kết gần với kết thực 5.40 Như lưu ý phương trình (5 3) a 2 r.v biểu diễn dạng tổng n i.i d 12 = (N (0, 1))2 r.v.’s Do ta áp dụng định lý giới hạn trung tâm để kết luận  lớn phân phối 2 xấp xỉ phân phối chuẩn với  = E( 2) =  2 = Var ( 2) = 2 Kiểm tra độ xác phép gần cách so sánh phần trăm thấp phần trăm thứ 10, l hai phân 12 phối cho  = 40 Các phân vị 2 đọc từ Bảng A.5,  phân vị cung phân bố N (, 2) cho trước  + z  - z 2 f1, v,  Ta có: 𝜒40,0.10 = 51,805; 𝜒40,0.05 = 55,758; 𝜒40,0.01 = 63,691 So sánh với phép gần 𝜒40 = (N (40,80))2 𝜒40,0.10 =  + z =  +   4√5 =  𝜒40,0.05 =  + z =  +   4√5 =  𝜒40,0.01 =  + z =  +   4√5 =  Các kết tính phương pháp gần cho kết gần kết tra bảng 5.41 Chứng tỏ T1 r.v biểu thị dạng tỷ lệ hai N (0, 1) r.v.’s độc lập Sử dụng fact 𝛤 ( ) =  làm mà p.d.f (5.14) T1, r.v đơn giản hóa thành 𝑓 (𝑡 ) = Ta có cơng thức 5.14: f(t) = 𝑣+1 ) 𝑣 √𝜋𝑣𝛤(2) 𝛤( 𝜋 (1 + 𝑡 ) 𝑡2 − (1 + ) 𝑣+1 𝑣 Ở T1 có 𝑣 = nên ta có f(t) = 𝛤(1) √𝜋𝛤(2) (1 + 𝑡 )−1 = (𝑡 +1) 𝜋 −1 = 𝜋(𝑡 +1) (đpcm) 5.36,5.39,5.42,5.43,5.44 13 ... phanh miếng đệm thử nghiệm a Phân phối trung bình mẫu