Phân phối chuẩn một chiều

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN ——— * ——— KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Phân phối chuẩn chiều Giảng viên hướng dẫn: TS Tôn Thất Tú Sinh viên thực hiện: Nguyễn Phước Diễm Đà Nẵng, Tháng 12 năm 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ——— * ——— NGUYỄN PHƯỚC DIỄM PHÂN PHỐI CHUẨN MỘT CHIỀU KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP Giảng viên hướng dẫn: TS Tôn Thất Tú ĐÀ NẴNG, tháng 12 năm 2020 Lời cảm ơn Trong suốt trình viết khóa luận này, tơi nhận nhiều hỗ trợ giúp đỡ Trước tiên, xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy Tôn Thất Tú, người trực tiếp hướng dẫn, tận tình bảo tạo điều kiện để học tập hồn thành khóa luận Cảm ơn thầy cho tơi góp ý phản hồi sâu sắc giúp tơi hồn thành khóa luận tốt Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy tận tình dạy bảo tơi suốt thời gian học tập khoa Tốn Đồng thời, gửi lời cảm ơn đến bạn lớp 17ST nhiệt tình giúp đỡ tơi trình học tập lớp Trong trình làm khóa luận, tơi cố gắng để hồn thiện qua giai đoạn làm bài, cịn chưa có nhiều kinh nghiệm, kiến thức chun mơn thời gian nghiên cứu cịn hạn chế, nên khóa luận tơi khơng tránh khỏi việc có nhiều thiếu sót Kính mong nhận góp ý bảo từ quý thầy cô bạn để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 12 năm 2020 Sinh viên Nguyễn Phước Diễm MỤC LỤC Mở đầu .1 CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên 1.1.2 Hàm phân phối xác suất 1.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc đại lượng ngẫu nhiên liên tục 1.2.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc 1.2.2 Đại lượng ngẫu nhiên liên tục 1.2.3 Đại lượng ngẫu nhiên độc lập .9 1.3 Kỳ vọng, phương sai hàm đặc trưng 1.3.1 Kỳ vọng 1.3.2 Phương sai 11 1.3.3 Hàm đặc trưng 12 1.4 Phân phối nhị thức 14 CHƯƠNG PHÂN PHỐI CHUẨN VÀ CÁC TÍNH CHẤT 16 2.1 Phân phối chuẩn 16 2.2 Tính chất phân phối chuẩn 17 2.2.1 Các tham số đặc trưng 17 2.2.2 Hàm phân phối phân phối chuẩn tắc 19 2.2.3 Tính chất tổng biến ngẫu nhiên độc lập 24 2.2.4 Moment bậc k phân phối chuẩn tắc .26 2.2.5 Định lý giới hạn trung tâm 27 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 Mở đầu Lí chọn đề tài Lý thuyết xác suất mơn có tính ứng dụng rộng rãi ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội thực tế sống Nó cơng cụ để giải vấn đề chuyên môn nhiều lĩnh vực kinh tế, sinh học, tâm lý – xã hội Đặc biệt gắn liền với khoa học thống kê, khoa học phương pháp thu thập, tổ chức phân tích liệu, thông tin định lượng Phân phối chuẩn đóng vai trị quan trọng lý thuyết xác suất, đồng thời chiếm vị trí trung tâm kết luận thống kê ứng dụng Trong thực tế nhiều biến ngẫu nhiên, nhiều quy luật tuân theo luật chuẩn gần chuẩn Với mong muốn làm rõ tính chất phân phối chuẩn, chọn đề tài “Phân phối chuẩn chiều” làm đề tài khoá luận Với khố luận tốt nghiệp trên, chúng tơi mong tài liệu bổ ích cho quan tâm tới vấn đề Mục đích nghiên cứu Thực đề tài “Phân phối chuẩn chiều”, chúng tơi hướng đến mục đích rèn luyện khả tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Tốn học Từ hình thành khả trình bày vấn đề Tốn học cách logic có hệ thống Khóa luận nhằm hệ thống lại kết quan trọng phân phối chuẩn chiều nghiên cứu tính chất Đối tượng nghiên cứu Phân phối chuẩn chiều tính chất Phạm vi nghiên cứu Trên sở dịch, đọc tìm hiểu kiến thức tài liệu liên quan, từ xếp hệ thống lại kiến thức, chứng minh chi tiết số định lý, tính chất, hệ quả, giải ví dụ minh họa để hoàn thành việc nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Khóa luận nghiên cứu dựa phương pháp: - Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài bao gồm sách kinh điển tiếng Việt tài liệu tiếng Anh - Đọc dịch, tổng hợp, trình bày lại theo chủ đề, bổ sung chi tiết, ví dụ minh họa - Trao đổi, thảo luận với cán hướng dẫn Ý nghĩa khoa học thực tiễn Tổng quan kết tác giả nghiên cứu liên quan đến phân phối chuẩn chiều tính chất qua ví dụ minh họa, nhằm xây dựng tài liệu tham khảo cho muốn nghiên cứu Phân chuẩn chiều tính chất Cấu trúc khóa luận Khóa luận chia thành hai chương: Chương trình bày số kiến thức sử dụng cho chương sau Chương trình bày khái niệm tính chất liên quan đến phân phối chuẩn chiều Trong phần đưa vào ví dụ minh họa với mức độ khác CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Đại lượng ngẫu nhiên 1.1.1 Khái niệm đại lượng ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1 Cho không gian xác suất  , F , P  Ánh xạ X :   gọi biến ngẫu nhiên với a  : X 1   ; a      : X    a  F Tập hợp giá trị X gọi miền giá trị X, kí hiệu: X () Đại lượng ngẫu nhiên thường kí hiệu mẫu tự la tinh in hoa: X,T, Các giá trị chúng thường kí hiệu mẫu tự la tinh thường: x,y, Người ta phân biệt hai loại đại lượng ngẫu nhiên đại lượng ngẫu nhiên rời rạc đại lượng ngẫu nhiên liên tục Ví dụ 1.1 - Tung xúc xắc Gọi X số chấm xuất mặt xúc xắc Khi X đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị 1,2,3,4,5,6 - Gọi Y nhiệt độ khơng khí địa phương Khi Y biến ngẫu nhiên nhận giá trị khoảng  ;   1.1.2 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 1.2 Hàm số thực FX  x   P  X  x  , x  gọi hàm phân phối biến ngẫu nhiên X Hàm phân phối xác suất FX  x  xác suất X nhận giá trị khoảng  ; x  Tính chất 1.1 i)  FX  x   1, x  ii) FX  x  đơn điệu không giảm với x  iii) FX  x  liên tục trái với x , tức là: lim FX  x   FX  x0  , x0  x  x0 iv) lim FX  x   1, lim FX  x   x  x  Nhận xét: i) P  X  a    F  a  ii) P  a  X  b   F  b   F  a  Ý nghĩa hàm phân phối xác suất: Hàm phân phối xác suất FX  x  phản ánh mức độ tập trung xác suất bên trái điểm x Ví dụ 1.2 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối F  X   a  b.arctan x, x  a) Tìm a b b) Tìm x cho: P  X   x   Giải:    a  a  b   lim F  x    x   2   a) Ta có:  F  x   xlim a  b   b      b) P  X   x    P  X   x    F 1  x  1  1     arctan 1  x     arctan 1  x   2    Vậy: arctan 1  x    hay x  Ví dụ 1.3 Cho biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối: x0 0,  F  x   ax  b,  x  1, x2  a) Tìm a b b) Tìm hàm phân phối Y  X  Giải:   lim F  x   F   0  b  x 0 a  a) Vì F  x  liên tục trái nên:    4a  b   lim F  x   F      x 2 b  b) Theo định nghĩa hàm phân phối: y 1    y 1  FY ( y )  P Y  y   P  X   y   P  X   F       F  y 1  0, 0  y 1 0,   2 y 1  1  y 1  y 1   y  1 2  , 1 y     , 0  4   16  y5  1, y 1  2 1,  1.2 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc đại lượng ngẫu nhiên liên tục 1.2.1 Đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Định nghĩa 1.3 Một đại lượng ngẫu nhiên gọi đại lượng ngẫu nhiên rời rạc tập giá trị tập hữu hạn hay vơ hạn đếm tập số thực Ví dụ 1.4 Chọn ngẫu nhiên đứa trẻ từ nhóm gồm bé trai bé gái Gọi X số bé gái nhóm chọn Khi X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị X     0,1,2,3 Ví dụ 1.5 Bắn liên tiếp phát vào bia trúng bia dừng lại Gọi X số viên đạn cần bắn Khi X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc có tập giá trị X     1,2,3, , n,  Ngoài việc xác định tập giá trị đại lượng ngẫu nhiên rời rạc, điều quan trọng ta phải biết xác suất để đại lượng ngẫu nhiên nhận giá trị Định nghĩa 1.4 Cho X đại lượng ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị X    Khi đó,  P  X  x  , x  X    hàm: p  x    gọi hàm khối xác xuất x  X  0,    Định nghĩa 1.5 Bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên bảng dùng để mô tả quy luật phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên rời rạc Giả sử đại lượng ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị x1 , x2 , x3 , , xn , với xác suất tương ứng p1 , p2 , p3 , , pn , ta có bảng phân phối xác suất đại lượng ngẫu nhiên X sau: X   x1 x2 x3 xn pk p1 p2 p3 pn đó: pk  P  X  xk  Nhận xét: n i) k  X    hữu hạn k  X    vô hạn đếm p k 1  p k 1 ii) Hàm phân phối X FX  x   P  X  x    P  X  xi  xi  x Ví dụ 1.6 Một hộp đựng viên bi xanh viên bi đỏ, viên bi giống hồn tồn kích thước khối lượng Lấy ngẫu nhiên viên bi, gọi X số bi xanh có viên bi lấy a) Lập bảng phân phối xác suất X b) Xác định hàm phân phối X tính xác suất P 1  x  3 Giải: a) X     0,1,2,3 C31  C42 18 P  X  1   ; C73 35 C43 P  X  0   ; C7 35 P  X  2  C32  C41 12  ; C73 35 P  X  3  C33  ; C73 35 Vậy bảng phân phối xác suất X là: X P 35 18 35 12 35 35 b) Hàm phân phối: FX  x   P  X  x    P  X  xi  xi  x 23 Chứng minh: x 1  Dễ thấy     x     x  với x   x2 x x  x Ta có:    x    2  e Xét  t2 x  e  t2 x   x  e x  e  e  t2   x   t2 e dt  t2  dt  t2   x e x  x e  x 1 t2   Ta có: e x t2 x 2  t2  x2 e dt  e  t2 x  e  t2 dt x  t2  t2 e x e dt dt x dt   x   t2 dt   e dt x x t dt x  e  x  x2   e  x 1 2   x  t2 2  x2 dt  e  x  x e  1   u  t du   t dt   t2 t2     2 dv  t  e v   e    1  t2  t2  t2 e dt (vì t  x     e  e ) t x t x t2 x   dt  2 x x x2  t2 t  dt    t  e dt , đặt t x  x2 dt  e  x Ta có: x e  (1) 2 x dt  e  x   x  e  t2 x dt  x   x  1   x x 1  2 2  t2  x2 e dt  e  t2 x  e  t2 dt x 1  x2   e  x 2 2  e  t2 dt x    x  1   x x x 1  Từ (1), (2), (3) suy     x     x      x     x  1 x x x x   3 24 2.2.3 Tính chất tổng biến ngẫu nhiên độc lập Nếu X , , X n biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối chuẩn X i N  i ,  i2  , n i  1, n biến ngẫu nhiên X  1 X   n X n  C ,  i2  có phân phối i 1 n    E X  i i  C     X  i 1 chuẩn với:  n   D  X    2  X i i  i 1  Chứng minh: Vì X i N  i ,  i  nên hàm đặc trưng   t   e it i   i 2t 2 Xi Xét hàm đặc trưng:  X  t   eitC  X  X t   eitC  X  t   X  t   X  t   eitC X  1t   X  2t   X  nt  1 2   n X n 1  e e itC  e e e Do đó: X it n 2 i  1t  1   12  1t  n itC n n e i  2t  2   22  2t  e i  nt   n   n2  nt  n  i i  t  i2 i2 i 1 i 1  n  n 2 it  i i  C   t i  i    i 1  i 1   n  n  N   i i  C ,  i2 i2  i 1  i 1  Ví dụ 2.5 Cho X N 15,4  , Y N 10,1 , X Y độc lập a) Tính P  X  3Y  b) Tìm a b biết T  X  aY  b E T   30, D T   Giải: a) Đặt Z  X  3Y Theo tính chất phân phối chuẩn, Z có phân phối chuẩn   Z  E  Z   E  X   3E Y   15  10  với tham số:    Z  D  X   D  X   D Y     1  25 25 Do đó, Z 00    N  0;25 Vậy, P  X  3Y   P  Z       b) Sử dụng tính chất kỳ vọng phương sai:  15  10a  b  30  a  1; b   E T   30     a  1; b  25   4  a   D T   Ví dụ 2.6 Chiều cao X (mét) nam niên trưởng thành quốc gia A tuân theo quy luật phân bố chuẩn N   ;0,12  Chọn ngẫu nhiên 100 nam niên quốc gia A Tính xác suất sai số tuyệt đối chiều cao trung bình 100 nam niên chọn với  không vượt 0,03 Giải: Gọi X i chiều cao niên thứ i, i  1,100 X  X  X   X 100 chiều 100 cao trung bình 100 nam niên chọn Ta có: X i độc lập X i N   ;0,12  Theo tính chất phân phối chuẩn, X   X  E  X    có phân phối chuẩn với tham số:  2   X  D  X   0,01 Do đó, X N   ;0,012  Suy ra:  0,03   0,03  P X    0,03         0,01   0,9973  0,01      Quy tắc 2 : Cho X N   ,   Khi đó:  X   P  X    2   P     2     0,9545    hay P    2  X    2   0,9545 Điều có nghĩa xác suất X nhận giá trị khoảng    2 ,   2  95, 45% Quy tắc 3 : Cho X N   ,   Khi đó:  X   P  X    3   P     2  3   0,9973    26 hay P    3  X    3   0,9973    3 ,   3  Điều có nghĩa xác suất X nhận giá trị khoảng 99,73% 2.2.4 Moment bậc k phân phối chuẩn tắc Định nghĩa 2.4 Moment bậc k biến ngẫu nhiên X xác định bởi: k  E  X k  Cho X N  0,1 , moment bậc k X là: k  E  X  k   x  k f ( x)dx   x k   x2 e dx 2 Với k lẻ,  k  Với k chẵn, đặt k  2n ta có: k  2 n   x  2n  x2 e dx  2 2  x 2n e  x2  du   2n  1 x n2 dx u  x n1   Đặt   x2 x2   2   dv  x  e dx v   e dx  2  x  n 1  xe  x2 dx 27 Suy ra: 2 n  2  n1  x   x e         2n  1 x n2    x2   dx     x2 e dx   2n  1 2 n2 2 Ta chứng minh quy nạp: 2 n  x e    2n  1  x - Khi n  2  n2  2n ! 2n.n ! n  * Thật vậy, ta có:  2.1!  (*)  x2 e dx   1! 2 2 - Khi n  4   2.2  1 2  3.   Giả sử (*) với n  m ta  m   2.2 ! 22.2!  (*)  2m ! 2m.m ! Cần chứng minh (*) với n  m  1, tức cần chứng minh: 2 m1   2m   ! 2m1  m  1! Xét 2 m1  2 m   2m  1 2 m   2m  1   Vậy X  2m ! 2m.m!  2m ! 2m  1 2m     2m  ! 2m m! 2m   2m1  m  1! 0  N  0,1 k  E  X     2n !  n  n! (đpcm) k  2n  k k  2n 2.2.5 Định lý giới hạn trung tâm Giả sử  X n , n  1 dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập có moment cấp hữu hạn với EX k   k , DX k   k  k  1 S  E  Sn  Kí hiệu: S n   X k , B    k2 Sˆn  n Bn k 1 k 1 n n n Trong phần ta chứng minh định lý giới hạn trung tâm cổ điển, tức định lý khẳng định với điều kiện phân phối Sˆn hội tụ yếu phân phối 28   lim P Sˆn  x    x  x  , Gauss: n  lim n  t   e  t2 n   x  2 x e  t2 dt Hay:    ˆ t  , n  t   E eitSn hàm đặc trưng Sˆn Định nghĩa 2.5 Ta nói họ đại lượng ngẫu nhiên  X n , n  1 thỏa điều kiện Lindeberg nếu: n   0, Ln     E Bn k 1  X k  k   X k  k  Bn    n   (L) Nếu Fk  X  phân phối X k ta viết điều kiện Lindeberg dạng: (L) n   0, Ln       x  k  dFk  x   n    Bn k 1  x  k  Bn    Chú ý: 1) Điều kiện Lindeberg kéo theo bé phương sai họ đại lượng ngẫu nhiên X nk  X k  k , Bn nghĩa là: max D  X nk   n   k n (1) Thật vậy, 1 2 max D  X nk   max  E  X k   k   k n k n  Bn     max E  X k   k  Bn k n  X k   k  Bn     Ln    với   đủ bé n   , họ Xn  thỏa (L) nên Ln    0, max D  X nk   n   k n 2) Điều kiện Lindeberg thỏa mãn kéo theo bé họ đại lượng ngẫu nhiên X nk  X k  k , Bn nghĩa là: P  max X nk     n    k n  Thật vậy, đặt Ak   X k  k   Bn    0, ta có: (2) 29   X  k n  P  max X nk     P  max k     P  max X k   k   Bn   P  Ak   k n   k n  Bn  k 1   k n  n n n   P  Ak    dF x  E  X k   k   X    B     k 2  n  k k k 1 k 1  x    B  k 1  Bn k n     (L) Ln     n   Vậy  X nk  bé Để phát biểu chứng minh định lí giới hạn trung tâm cách ngắn gọn ta nêu giả thiết hạn chế mà không giảm tổng quát: Giả sử dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập  X nk k 1 , n  1, 2, n thỏa điều kiện:  E  X nk    (3)  n Khi điều kiện Lindeberg trở thành: D X    nk   k 1 Ln      E  X nk2  n k 1  X nk    n   ( L0 ) n Đặt Sˆn   X nk , n  ta có kết sau: k 1 Định lý 2.1 (Định lý giới hạn trung tâm Lindeberg)  X , k  1, n  n  1 ( L ) thì: lim P  Sˆ  x     x  x  nhiên độc lập n  nk n Nếu họ đại lượng ngẫu thỏa điều kiện chuẩn hóa (3) điều kiện Trước chứng minh Định lý 2.1 ta có nhận xét: nhóm điều kiện chuẩn hóa (3) X nk khơng giảm tổng qt giả thiết ban đầu là: n E  X k   k , D  X k    k2 , Bn2    k2 X nk  k 1  X n độc lập, X k  k hoàn toàn thỏa điều kiện Bn chuẩn hóa (3) Chứng minh: Giả sử nk  t  hàm đặc trưng X nk , theo tính chất hàm đặc trưng n Sˆ  t   nk  t  Ta cần chứng minh lim Sˆn  t   e n k 1 n Phép chứng minh chia thành bước:  t2 30   a) Một số bất đẳng thức cần dùng: với   ei    ta có: (4) i e   i  i e   i   (5) 2  ln 1         (6) (7) Thật vậy:       dt   eit dt   eit dt  ei   (4)   2 (4)    tdt      it  1 dt  ei   i  (5)   e t (5) 0 dt    it i   e   it  dt  e   i    2  (6)  xdx dx dx   dx     dx  ln 1      Ta xét:  1 x  x  x 0 0   xdx   dx    (7) từ đó: ln 1        1 x 0 b) max   nk  t   n   k n (8) Thật vậy, từ giả thiết E  X nk   0, nhờ (5) ta được:  max nk  t    max E eitX nk   itX nk k n k n  t2 t2  max E  X nk   max D  X nk   n   k n k n (do giả thiết ( L0 ) (1))  (8) c) Do max   nk  t   n   nên với n đủ lớn, k  n ta có:   nk  t   k n Khai triển ln  nk  t   ln 1   nk  t   1  theo lũy thừa nk  t   1 , ta có: 31 n n ln  Sˆ  t     ln  nk  t    nk  t   1  Rn (9)  n  k 1 k 1 Ta Rn  n   Thật vậy, n   (7) n Rn   ln  nk  t   1   nk  t   1  k 1   t   k 1 nk n n   max nk  t    nk  t   1  max nk  t    E eitX nk   itX nk k n k n k 1 k 1   t2  t2  max nk  t    E  X nk   max nk  t    n   k n k 1 2  k n n n  D  X   Vậy nhờ (8) giả thiết: nk k 1 Rn  n   (10) d) Ta viết phần (9) dạng: t2   t        nk   n chứng minh n  n   (11) k 1 n n Thật vậy,  D  X   chuyển vế ta được: nk k 1 n  n   nk  t   1  k 1 n   t2 t2   E  eitX nk   itX nk  X nk2  suy k 1    n  n   E  eitX   itX nk  k 1   nk  3 t X nk E   k 1  theo (5),(6) n  t2 X nk 2  n     E  eitX nk   itX nk  t X nk2  k 1   X nk      n   E  t2X nk     k 1  X nk         X nk    n  t   E  X nk2   t Ln      k 1  X nk     t      t Ln        2 t    ) điều kiện Lindeberg thực (ta chọn   đủ nhỏ để nên với giá trị  đó, có n đủ lớn để: t Ln     Cuối cùng: (9)  ln Sˆ  t    n    n  n    (11) t2 t2  n  Rn   (do (10), (11)) 2 32  Sˆ  t   e  t2 n Hệ 2.2 hàm đặc trưng phân phối chuẩn N  0,1 Nếu  X n , n  1 dãy đại lượng ngẫu nhiên độc lập, phân phối xác suất với biến ngẫu nhiên X có kì vọng EX   phương sai DX   hữu n  S  n   x     x  x  , S n   X k hạn lim P  n n  n  k 1 Chứng minh: Đặt X nk  n Xk   D Xk   1 , ta có E  X nk   0,  D  X nk   n  n k 1 Vậy  X nk k 1 , n  1,2, thỏa điều kiện chuẩn hóa (3) n    n  X k       0, Ln      E     X k      n  E  X k    k 1 k 1   n    n    E  X k     X    n   n   n     k  X k    n      D  X k    , điều kiện Lindeberg thỏa Theo định lý 2.1 ta có:  S  n  lim P  n  x     x  x  n  n  Hệ 2.3 (Định lí giới hạn tích phân Moivre – Laplace) Nếu X n số thành công n phép thử độc lập Bernoulli với xác suất thành công p phép thử   p  1 Khi đó:  X  np  n lim P   x     x  x  n  np 1  p     Nói cách khác, với n đủ lớn B  n; p  có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N  np; np 1  p   Chú ý số thành cơng X n viết dạng X n  X  X   X n , X i , i  1, n đại lượng ngẫu nhiên độc lập, lấy hai giá trị với xác suất tương ứng p 1- p Khi định lý Moivre – Laplace định lý giới hạn trung tâm cổ điển đại lượng ngẫu nhiên độc lập phân phối Bernoulli 33 Chứng minh: Đặt k : “Số thành công phép thử thứ k” Khi đó, k , k  1 độc lập, phân bố, n có kì vọng E  k   p, D  k   p 1  p  , X n   k k 1  X  np  n Theo hệ 2.2, ta có: lim P   x     x  x  n   np 1  p     Định lý 2.2 Giả sử  X n , n  1 dãy đại lượng ngẫu (Định lý A.M Liapounov) nhiên độc lập Nếu n Bn2 E X k 1 1 lim P  n   Bn k 2  k n  X k 1 k  n   với   thì:   k   x     x  x   Chứng minh: Xét dãy X nk  n E X  0, k  1, n  n  1, D  X nk   Ta cần có  nk   X k  k   Bn k 1 điều kiện Liapounov kéo theo điều kiện ( L0 ) :   0, Ln      n E Bn2 k 1  X  k   E  X  X k  k  Bn  n Bn2   Bn      Bn k  k 1 n E X k 1 k k  k  k      X k  k  Bn    n   Ví dụ 2.7 Tuổi thọ bóng đèn biến ngẫu nhiên X có kì vọng 250 độ lệch chuẩn 250 a) Một cửa hàng mua 30 bóng đèn để hỏng thay Tính xác suất để cửa hàng trì ánh sáng liên tục nhát 8750 b) Chủ cửa hàng phải mua bóng đèn để trì ánh sáng liên tục 8750 với xác suất lớn 0,9772? Giải: 34 a) Gọi X k tuổi thọ linh kiện thứ k , 1  k  30  , biến ngẫu nhiên X , X , , X n độc lập, phân phối xác suất với X Theo hệ 2.2 ta có: S  X  X   X 300 có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N  30.250;30.2502   8750  30.250  Do đó: P  S  8750    P  S  8750        0,18066 30.250   b) Gọi n số bóng đèn cần mua Tương tự câu a) ta có S có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N  n.250; n.250  P  S  8750   0,9772   P  S  8750   0,9772  8750  n.250   1    0,9772 n.2502   8750  n.250   2  n  49 n.2502 Vậy cần mua 50 bóng đèn Ví dụ 2.8 Xác suất bắn trúng mục tiêu xạ thủ 0,7 Cho xạ thủ bắn 100 phát độc lập vào mục tiêu, tính xác suất có 75 phát trúng mục tiêu Giải: Gọi X số phát trúng 100 phát bắn, X B 100;0,7  Theo hệ 2.3 ta có X có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N  70;21  75  70  Do đó: P  X  75    P  X  75        0,14  21  Ví dụ 2.9 Có 1000 xe máy mua bảo hiểm công ty Mỗi chủ xe phải nộp phí 100000 đồng/ năm trung bình nhận lại triệu đồng xe máy bị tai nạn giao thông Qua thống kê cho biết tỷ lệ xe máy bị tai nạn giao thông năm 0,006 Tính xác suất để: a) Sau năm hoạt động công ty bị lỗ b) Sau năm hoạt động cơng ty lãi 800 triệu Giải: 35 Gọi X số xe máy mua bảo hiểm bị tai nạn năm, đó: X B 104 ;0,006  Theo hệ 2.3 ta có X có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N  60;59,64  a) Xác suất sau năm hoạt động công ty bị lỗ là: P 109  5.106 X    P  X  200    P  X  200     18,13   b) Xác suất sau năm hoạt động công ty lãi 800 triệu là: P 109  5.106 X  8.108   P  X  40     2,59   0,005 Ví dụ 2.10 Một nhà nghỉ có 1000 người Nhà ăn phục vụ ăn trưa hai đợt liên tiếp Mỗi người chọn ăn trưa hai đợt với xác suất Hỏi nhà ăn cần tối thiểu chỗ để đảm bảo đủ chỗ cho khách vào ăn trưa với xác suất lớn 0,99? Giải: Gọi X số người ăn đợt một, ta có X B 1000;0,5 Theo hệ 2.3 X có phân phối xấp xỉ phân phối chuẩn N  500; 250 Gọi a số chỗ ngồi tối thiểu, suy a  X  1000  a  X  a  a  1000  X P 1000  a  X  a   0,99  a  500   1000  a  500         0,99 250  250     a  500   2     0,99  250  a  500    1  0,995   a  540,7274 250 Vậy cần tối thiểu 541 chỗ ngồi 36 Kết luận Qua thời gian tìm hiểu, tiếp cận nghiên cứu Phân phối chuẩn chiều, khóa luận hồn thành đạt mục tiêu nghiên cứu đề tài với kết cụ thể sau: - Tổng quan hệ thống cách đầy đủ khái niệm đại lượng ngẫu nhiên, hàm phân phối biến ngẫu nhiên, định nghĩa công thức xác định tham số đặc trưng, khái niệm hàm đặc trưng số tính chất liên quan - Trình bày rõ ràng, chi tiết cơng thức, tính chất đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn, tính chất tổng biến ngẫu nhiên độc lập, moment bậc k phân phối chuẩn tắc, điều kiện Lindeberg, định lý Moivre – Laplace định lý A.M Liapounov Với khảo sát được, khóa luận tài liệu tham khảo hữu ích cho thân tiếp tục sâu nghiên cứu sau hy vọng nguồn tư liệu tốt cho quan tâm nghiên cứu kết Phân phối chuẩn chiều 37 Tài liệu tham khảo [1] GS Nguyễn Tiến Dũng GS Đỗ Đức Thái (2015), Nhập môn đại xác suất & thống kê, Tủ sách Sputnik [2] Lê Văn Dũng, Tôn Thất Tú, Nguyễn Thị Hải Yến (2019), Giáo trình Thống kê tốn, NXB Thơng tin truyền thơng [3] Đinh Văn Gắng (2009), Lý thuyết xác suất thống kê, NXB Giáo dục Việt Nam [4] Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến (2004), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [5] Zhengyan Lin and Zhidong Bai (2010), Probability Inequalities, Science Press Beijing ... trưng 12 1.4 Phân phối nhị thức 14 CHƯƠNG PHÂN PHỐI CHUẨN VÀ CÁC TÍNH CHẤT 16 2.1 Phân phối chuẩn 16 2.2 Tính chất phân phối chuẩn 17 2.2.1 Các... nhiều biến ngẫu nhiên, nhiều quy luật tuân theo luật chuẩn gần chuẩn Với mong muốn làm rõ tính chất phân phối chuẩn, chọn đề tài ? ?Phân phối chuẩn chiều? ?? làm đề tài khoá luận Với khoá luận tốt nghiệp...  C20 0,710,319  C20 0,700,320 16 CHƯƠNG PHÂN PHỐI CHUẨN VÀ CÁC TÍNH CHẤT 2.1 Phân phối chuẩn Định nghĩa 2.1 Đại lượng ngẫu nhiên X gọi có phân phối chuẩn với hai tham số   hàm mật độ có dạng: