Nghiên cứu phương pháp định hướng búp sóng dựa trên kĩ thuật lấy mẫu nén

LÝ THUYẾT VỀ KĨ THUẬT ĐỊNH HƯỚNG BÚP SÓNG

Giới thiệu chung

Các hệ thống nhận tín hiệu trong không gian thường gặp phải nhiễu, đặc biệt khi tín hiệu mong muốn và nhiễu nằm trên cùng băng tần thời gian Trong trường hợp này, các bộ lọc theo thời gian không thể tách biệt chúng Tuy nhiên, tín hiệu mong muốn và nhiễu thường phát sinh từ các vị trí khác nhau trong không gian Sự phân chia này có thể được khai thác để tách nhiễu khỏi tín hiệu bằng cách sử dụng bộ lọc ở phía thu.

Beamformer là một bộ xử lý kết hợp với mảng phần tử, cho phép khảo sát dạng thay đổi của bộ lọc không gian Định hướng búp sóng từ thực tế gặp giới hạn do các bộ lọc không gian ban đầu được thiết kế để nhận tín hiệu từ vị trí cụ thể và triệt tiêu tín hiệu từ các vị trí khác Việc định hình búp sóng cho phép chúng ta quan sát năng lượng bức xạ, và định hướng này có thể áp dụng cho cả năng lượng bức xạ lẫn hấp thụ Để xử lý dữ liệu thu thập, bộ lọc thời gian cần làm việc qua các khe thời gian, trong khi bộ lọc không gian cần xử lý dữ liệu qua các khoảng cách không gian.

Trong chương một, chúng ta sẽ khám phá các khái niệm và thuật ngữ quan trọng trong luận văn, bắt đầu với định nghĩa về hệ thống định hướng búp sóng và các bộ lọc rời rạc Tiếp theo, chương sẽ giới thiệu về dữ liệu mảng, ma trận phát triển cho phương sai (ma trận sai số) của dữ liệu mảng, và so sánh sự khác biệt giữa định hướng búp sóng băng hẹp và băng rộng Cuối cùng, chúng ta sẽ xem xét các loại beamformers.

GVHD: PGS.TS Nguyễn Hữu Trung Học viên: Hoàng Minh Giang – CB141009

Các thuật ngữ và khái niệm cơ bản

Phần này sẽ trình bày các khái niệm và thuật ngữ liên quan đến luận văn, bắt đầu với định nghĩa về hệ thống định hướng búp sóng và các bộ lọc rời rạc Tiếp theo, chúng ta sẽ giới thiệu dữ liệu mảng, phát triển ma trận cho phương sai của dữ liệu mảng và so sánh sự khác biệt giữa băng hẹp và băng rộng trong định hướng búp sóng Cuối cùng, phần này sẽ xem xét các loại beamformers.

Các định nghĩa trong chương này:

Beamformer là thiết bị sử dụng nhiều phần tử mảng để phân tách tín hiệu và nhiễu dựa trên đặc tính không gian của chúng Đầu ra của beamformer thường được tính toán từ sự kết hợp các trọng số của các phần tử đầu ra.

Vector đáp ứng mảng (array response vector) là một đại lượng thể hiện biên độ và pha quan hệ giữa các thành phần sóng lan truyền tại mỗi phần tử, được mô tả theo hướng trong không gian và tần số thời gian Đây là yếu tố cơ bản trong việc xác định đáp ứng của beamformer.

 Beampattern: bình phương độ lớn của đáp ứng bộ lọc không gian beamformer như là hướng trong không gian, tần số thời gian có thể có

Data-independent, statistically optimum, adaptive, and partially adaptive beamformers differ in their approach to weight selection In data-independent beamformers, weights are chosen independently of the data statistics Statistically optimum beamformers, on the other hand, select weights that optimize a statistical function of the beamformer output, such as the signal-to-noise ratio Adaptive beamformers adjust their weights in response to the data to accommodate unknown or time-varying statistics Partially adaptive beamformers utilize a subset of the available adaptive degrees of freedom to reduce computational complexity or improve convergence speed.

Bộ khử nhiễu nhiều búp sóng là một cấu trúc beamformer thích nghi, trong đó dữ liệu thu được từ các phần tử phụ được sử dụng để khử nhiễu một cách thích nghi, nhằm cải thiện chất lượng búp sóng chính hoặc búp sóng phụ của một phần tử không gian có độ tăng cường cao.

Beamformer LCMV (Linearly Constrained Minimum Variance) là một phương pháp beamforming trong đó trọng số được tối ưu để giảm thiểu công suất đầu ra, đồng thời tuân thủ các giới hạn đáp ứng tuyến tính Các giới hạn này nhằm bảo vệ tín hiệu quan trọng trong khi giảm thiểu năng lượng của nhiễu và tín hiệu can nhiễu.

The Minimum Variance Distortionless Response (MVDR) beamformer is a type of Linear Constrained Minimum Variance (LCMV) beamformer that employs a unique constraint, allowing a specific directional signal at a designated frequency to pass through with optimal gain.

Bộ khử búp sóng bên tổng quát (GSC) là cấu trúc quan trọng để thực hiện các beamformer LCMV, giúp phân tách các thành phần hạn chế và không hạn chế của vector trọng số thích nghi Các thành phần không hạn chế này có chức năng khử nhiễu sinh ra từ các búp sóng phụ của một beamformer độc lập, được thiết kế để đáp ứng các hạn chế và giới hạn cụ thể.

1.2.1 Định hướng búp sóng và bộ lọc không gian Để tìm hiểu về định hướng búp sóng, ta quan sát hình 1.1, hình miêu tả hai beamformer Đầu tiên, các mẫu tín hiệu lan truyền dưới dạng sóng trong không gian Đầu ra ở thời điểm k là ( ) nhận được bằng cách kết hợp tuyến tính dữ liệu ở

J phần tử tại thời điểm k :

Với * là liên hợp phức, giả định rằng dữ liệu và trọng số rất phức tạp Trong nhiều ứng dụng, một máy thu cầu phương được sử dụng tại mỗi bộ cảm biến để tạo ra kết quả chính xác hơn.

Trong pha và phương (I và Q) của dữ liệu, mỗi phần tử được giả định có các bộ thu điện tử và bộ chuyển đổi A/D, cho phép biểu diễn định hướng búp sóng dưới dạng số.

Hình 1.1 Các dạng của một beamformer kết hợp tuyến tính của các phần tử đầu ra

Trong hình (a), đầu ra của phần tử được tổng hợp thông qua các trọng số phức và tổng hợp lại Beamformer này được thiết kế để xử lý các tín hiệu băng hẹp, với băng thông thông thường được thể hiện trong hình (b).

Trong beamformer thứ hai trong ví dụ hình 1.1, các mẫu lan truyền trong cả miền không gian, thời gian Đầu ra có thể được cho bằng công thức :

Beamformer được định nghĩa là hệ thống nhiều đầu vào, một đầu ra (MISI) khi tín hiệu ở mỗi phần tử tương đồng với đầu vào Số bộ trễ ở mỗi kênh phần tử thứ J là yếu tố quan trọng trong việc thiết lập hệ thống này Các công thức (1.1) và (1.2) có thể được diễn đạt lại một cách tổng quát.

Bằng cách chọn trọng số phù hợp cho vector w và vector dữ liệu, chúng ta sử dụng chữ in thường để biểu thị vector và chữ in đậm cho số lượng ma trận, với H được viết dưới dạng chuyển vị Hermitian Các vector được giả định là vector cột, với w và vector dữ liệu có N chiều, như được nêu trong công thức (1.1) và (1.2) Ngoại trừ phần 1.5 trong thuật toán thích nghi, chúng ta sẽ bỏ qua yếu tố thời gian và giả định rằng nó được hiểu trong suốt phần còn lại của luận văn Do đó, công thức (1.3) được thể hiện là ( ) ( ) Nhiều công nghệ được đề cập trong phần này áp dụng cho cả định hướng búp sóng thời gian liên tục và định hướng búp sóng thời gian rời rạc.

Tần số đáp ứng của một bộ lọc FIR với trọng số , và trễ T giây sẽ là :

Với [ ] và ( ) [ ( ) ] ( ) là đáp ứng của bộ lọc, có tần số phức và ( ) là 1 vector mô tả xung hình sin phức

Đáp ứng của beamformer được xác định bởi biên độ và pha của sóng bề mặt phức, phụ thuộc vào vị trí và tần số Trong không gian ba chiều, chúng ta thường tập trung vào một hoặc hai chiều của hướng búp sóng tới (DOA) Hình 1.2 minh họa một mảng các phần tử và tín hiệu lan truyền Giả sử tín hiệu là một sóng phức bề mặt với DOA là θ và tần số ω, với pha bằng không ở phần tử đầu tiên Thời gian trễ khi tín hiệu lan truyền từ phần tử đầu tiên đến phần tử thứ l được ký hiệu là ( ) Khi thay vào công thức (1.2), đầu ra của beamformer được tính toán.

Với ( ) và ( ) là đáp ứng beamformer và có thể được viết dưới dạng vector là :

( ) ( ) (1.7) Thành phần ( ) tương đương với số mũ phức , ( ) - Bình thường có thể viết là :

Định hướng búp sóng độc lập dữ liệu

Các trọng số trong beamformer độc lập dữ liệu được thiết kế nhằm đạt được một đáp ứng gần đúng với mong muốn của dữ liệu mảng hoặc dữ liệu.

Mục tiêu của thiết kế này là đáp ứng mong muốn tương tự như thiết kế bộ lọc FIR cổ điển Chúng ta sẽ khai thác sự tương đồng giữa định hướng búp sóng và bộ lọc FIR để phát triển các vấn đề thiết kế một cách hiệu quả.

Phần đầu tiên của bài viết này tập trung vào việc hình thành các chùm tín hiệu cơ bản, với ví dụ là việc đáp ứng mong muốn tập trung theo một hướng nhất định trong khi ở các vị trí khác thì không có tín hiệu Phần thứ hai sẽ trình bày các phương pháp thiết kế beamformer với hình thức tổng quát hơn.

1.3.1 Định hướng búp sóng cơ bản

Xem xét vấn đề tách một thành phần tần số phức đơn từ các thành phần tần số khác sử dụng bộ lọc FIR, ta cần xác định tần số mà ta quan tâm với tần số đáp ứng mong muốn chỉ xuất hiện tại vị trí đó và bằng không ở các vị trí khác Giải pháp chung cho vấn đề này là lựa chọn w và ( ), với khả năng chứng minh là tối ưu trong việc giảm thiểu bình phương lỗi giữa đáp ứng thực tế và mong muốn Đáp ứng thực tế được đặc trưng bởi búp sóng chính và nhiều búp sóng phụ, từ đó w = ( ) với mỗi thành phần của w có đơn vị cường độ Việc điều chỉnh cửa sổ biên độ các thành phần của w cho phép thay đổi búp sóng chính hoặc độ rộng chùm tùy theo cấp độ búp sóng phụ để tạo ra các đáp ứng theo hình dạng mong muốn Cuối cùng, T là một J trong ma trận chéo J với các giá trị thực trên đường chéo, và các vector trọng số của bộ lọc được tính bởi ( ).

Trong bộ lọc không gian, mục tiêu chính là thu được tín hiệu từ một vị trí đã biết Đối với các tín hiệu băng hẹp, một lựa chọn phổ biến cho vector trọng số beamformer là vector đáp ứng mảng Kết quả là mảng và beamformer này được gọi là một mảng pha, vì đầu ra của mỗi cảm biến là giai đoạn chuyển pha trước khi tổng hợp lại.

Độ rộng chùm và cấp độ búp sóng phụ là những đặc tính quan trọng trong đáp ứng của bộ lọc FIR, đặc biệt là trong việc làm thon phổ biến Dolph-Chebyshev Biên độ làm thon có thể điều chỉnh hình dạng của đáp ứng, như dạng chùm Sự tương đương giữa mảng băng hẹp tuyến tính cách đều nhau và bộ lọc FIR cho thấy các kỹ thuật tương tự có thể áp dụng cho cả hai vấn đề Phương pháp lựa chọn trọng số giảm dần cũng được duy trì cho các cấu hình nhiều mảng chung.

1.3.2 Thiết kế đáp ứng dữ liệu độc lập chung

Các phương pháp thiết kế beamformer được trình bày trong phần này nhằm xấp xỉ một đáp ứng thiết kế tùy ý, điều này rất quan trọng trong nhiều ứng dụng khác nhau Chẳng hạn, khi muốn nhận tín hiệu từ nhiều hướng khác nhau, đáp ứng mong muốn cần phải duy nhất trên toàn bộ phạm vi Một ví dụ khác là khi có nhiều nguồn nhiễu mạnh từ các hướng xác định, lúc này đáp ứng mong muốn cần bằng không trong phạm vi đó Hai trường hợp này tương ứng với lọc thông dải và lọc chắn dải FIR.

Khi chọn w, cần xem xét làm sao để đáp ứng thực tế gần nhất với đáp ứng theo thiết kế Kỹ thuật Ad hoc trong thiết kế bộ lọc FIR có thể áp dụng để lựa chọn w Bên cạnh đó, các phương pháp thiết kế tối ưu hóa chính thức cũng có thể được sử dụng Để minh họa cho các thiết kế tối ưu chung, chúng ta chỉ tập trung vào việc lựa chọn w nhằm giảm thiểu bình phương trọng số trung bình của sự khác biệt giữa đáp ứng thiết kế.

Xem xét việc giảm bình phương lỗi giữa đáp ứng thực kế và đáp ứng thiết kế ở điểm P( ), Nếu , ta thu được bình phương nhỏ nhất:

Với điều kiện là là khả nghịch, và nghiệm của (1.12) được cho bởi:

Với ( ) A là giả nghịch đảo của A

Một yếu tố quan trọng cần lưu ý là tăng ích nhiễu trắng của beamformer được xác định bởi năng lượng đầu ra của phương sai đơn vị nhiễu trắng tại các phần tử Điều này dẫn đến việc chuẩn bình phương của vector trọng số biểu thị cho tăng ích nhiễu trắng Khi độ tăng ích nhiễu trắng cao, độ chính xác trong việc xấp xỉ đáp ứng thiết kế w sẽ giảm do đầu ra beamformer có SNR thấp do nhiễu trắng Nếu ma trận A gặp khó khăn, vector w có thể có chuẩn lớn nhưng vẫn xấp xỉ đáp ứng thiết kế Ma trận A trong tình trạng xấu xảy ra khi số chiều hiệu quả của không gian mở rộng ít hơn N Ví dụ, khi chỉ có một hướng nguồn được lấy mẫu, các thành phần của vector A sẽ gần đúng với TBWP theo hướng đó Hạng của ma trận xấp xỉ A và A+ có thể được áp dụng khi hạng của ma trận nhỏ hơn N, đảm bảo rằng chuẩn của w không vượt quá mức cần thiết.

Hướng và tần số cụ thể được thể hiện ở công thức (1.12) bằng cách lựa chọn các điểm lấy mẫu ( ) và/hoặc các trọng số không đều của lỗi ở mỗi ( )

Hình 1.5 Beamformer ở cả dữ liệu độc lập và tối ƣu về mặt thống kê

Bài viết trình bày một mảng 16 phần tử được bố trí đều nhau với khoảng cách bằng một nửa bước sóng Hình (a), (b), (c) thể hiện độ lớn của trọng số và beampattern trong hệ tọa độ cực cho beamformer Dolph-Chebyshev với búp sóng -30dB Hình (d) và (e) mô tả các beampatterns của beamformers tối ưu thống kê, được thiết kế để giảm thiểu năng lượng đầu ra và đảm bảo đáp ứng đồng nhất tại góc tới 18° Năng lượng đầu vào đến từ nhiều nguồn nhiễu, với hình (d) cho thấy các nguồn nhiễu nằm giữa -20° và 23°, mỗi nguồn có năng lượng 30dB Deep nulls được hình thành ở hướng của nhiễu, mặc dù búp sóng phụ cao hơn ở các hướng khác Hình (f) thể hiện độ lớn đáp ứng của beamformer băng rộng LCMV tại tám tần số, khi hai nhiễu đến từ các hướng -5,75° và -17,5° với nhiễu trắng Năng lượng của nhiễu là 40dB và 30dB tương ứng, với các điều kiện ràng buộc nhằm tăng ích đơn vị và pha tuyến tính tại DOA là 18° Mảng 16 phần tử được bố trí tuyến tính với khoảng cách một nửa bước sóng, sử dụng năm bộ lọc FIR cho mỗi kênh phần tử.

Bảng 1.1 Tổng kết của tối ƣu các beamformer

Loại MSC Tín hiệu tham chiếu

SNR cực đại LCMV Định nghĩa

– dữ liệu mảng – ma trận giới hạn

, - Ưu điểm Đơn giản Hướng của tín hiệu có thể không biết

SNR đạt cực đại đúng

Linh hoạt và hạn chế chung chung

Yêu cầu sự không có mặt của tín hiệu mong muốn ở các kênh phụ để xác định trọng số

Phải tạo ra tín hiệu tham chiếu

Giải quyết vấn đề riêng với các trọng số

Phải tính toán vector trọng số giới hạn

Định hướng búp sóng tối ưu thống kê

Trong định hướng búp sóng tối ưu, việc lựa chọn trọng số dựa trên dữ liệu thống kê thu thập được từ mảng Mục tiêu chính là cải thiện độ chính xác và hiệu quả của mô hình thống kê.

Page | 21 nhằm tối ưu hóa beamformer để đầu ra giảm thiểu nhiễu và tín hiệu can nhiễu Một số tiêu chí khác nhau sẽ được đưa ra để lựa chọn trọng số của beamformer tối ưu thống kê, được tóm tắt trong Bảng 1.1 Phương trình mô tả tiêu chuẩn và các trọng số cũng được giới hạn trong bảng này Việc xác định trọng số khi thống kê dữ liệu không biết hoặc thay đổi theo thời gian sẽ được thảo luận trong các thuật toán thích nghi.

Bộ hủy nhiễu nhiều búp sóng (MSC) là một loại beamformer tối ưu thống kê, bao gồm một kênh chính và một hoặc nhiều kênh phụ Kênh chính có thể là một ăng-ten đơn với độ lợi cao hoặc một beamformer độc lập, được định hướng theo tín hiệu mong muốn, trong khi các kênh phụ chỉ nhận tín hiệu nhiễu Mục tiêu của MSC là lựa chọn trọng số cho các kênh phụ nhằm loại bỏ các thành phần nhiễu từ kênh chính, đảm bảo rằng đáp ứng nhiễu của kênh chính và tổ hợp tuyến tính của các kênh phụ là giống nhau Hệ thống tổng thể đạt được đáp ứng không, và các trọng số thường được chọn để tối ưu hóa việc ngăn chặn nhiễu, giảm thiểu năng lượng đầu ra dự kiến.

Lựa chọn trọng số để giảm thiểu năng lượng đầu ra có thể làm hỏng tín hiệu mong muốn, vì nó cũng góp phần vào tổng năng lượng đầu ra Khi tín hiệu mong muốn mạnh lên, nó chiếm tỷ lệ lớn trong tổng năng lượng, dẫn đến tăng tỷ lệ lỗi hỏng, điều này là không mong muốn MSC hiệu quả trong các ứng dụng với tín hiệu mong muốn rất yếu so với nhiễu, do đó các trọng số tối ưu không cần được quan tâm, hoặc khi tín hiệu mong muốn vắng mặt trong một khoảng thời gian nhất định.

Page | 22 đó có thể thích nghi trong khi không có tín hiệu mong muốn và giữ nguyên khi có tín hiệu

Hình 1.6 Multiple sidelobe canceller (MSC)

MSC bao gồm một kênh chính và một số kênh phụ, như thể hiện trong hình (a) Các trọng số của các kênh phụ được lựa chọn để giảm thiểu nhiễu từ búp sóng kênh chính Hình (b) mô tả phản ứng của kênh chính, các nhánh phụ và toàn bộ hệ thống khi có nhiễu xuất phát từ một hướng nhất định.

1.4.2 Sử dụng tín hiệu tham chiếu

Khi tín hiệu mong muốn đã được xác định, các trọng số được lựa chọn nhằm giảm thiểu lỗi giữa đầu ra của beamformer và tín hiệu đó Mặc dù thiết kế tín hiệu loại bỏ sự cần thiết của định hướng búp sóng, nhưng trong một số ứng dụng, việc biết tín hiệu mong muốn là đủ để tạo ra một tín hiệu liên quan chặt chẽ, được gọi là tín hiệu tham chiếu.

Page | 23 trọng số được chọn để giảm thiểu bình phương trung bình lỗi giữa đầu ra beamformer và tín hiệu tham chiếu

Vector trọng số phụ thuộc vào phương sai chéo giữa tín hiệu mong muốn (ký hiệu x) và tín hiệu tham chiếu Hiệu suất chấp nhận được được xác định bằng phương sai của tín hiệu mong muốn chưa biết Chẳng hạn, nếu tín hiệu mong muốn là tín hiệu điều biên, hiệu suất chấp nhận thường đạt được bằng cách thiết lập tín hiệu tham khảo tương đương với sóng mang Giả định rằng các tín hiệu tham chiếu không tương quan với tín hiệu can nhiễu ở x, ta không cần quan tâm đến hướng của tín hiệu mong muốn như một đặc điểm phân biệt trong phương pháp tiếp cận tín hiệu tham chiếu Do đó, phương pháp này đôi khi được gọi là định hướng búp sóng “mù” Các kỹ thuật định hướng búp sóng “mù” khác lựa chọn trọng số bằng cách khai thác các thuộc tính của tín hiệu mong muốn như mô đun liên tục và các thống kê bậc cao.

1.4.3 Tối đa hóa tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu (SNR) Ở đây các trọng số được lựa chọn để tối đa hóa trực tiếp tỷ lệ tín hiệu trên nhiễu (SNR) như mô tả trong bảng 1.1 Một giải pháp chung cho các trọng số là cần biết cả tín hiệu mong muốn và nhiễu , các ma trận phương sai Để biết được những điều trên thì phụ thuộc vào ứng dụng Ví dụ, trong một hệ thống rada chủ động có thể được ước lượng trong suốt thời gian không có tín hiệu được truyền và có thể thu được từ các xung truyền đã biết và hướng quan tâm Nếu các thành phần của tín hiệu là băng hẹp, có tần số và có có hướng , thì ( ) ( ) từ kết quả trong phần 1.2 Trong trường hợp này, các trọng số thu được là:

Với α là một hằng số phức khác không nào đó Thế phương trình (1.16) vào biểu thức của SNR cho thấy SNR độc lập với giá trị được chọn α

1.4.4 Định hướng búp sóng tuyến tính hạn chế tối thiểu phương sai

Trong nhiều ứng dụng, tín hiệu mong muốn có thể không biết độ lớn và luôn hiện diện, dẫn đến kết quả bị hủy bỏ với MSC, làm cản trở ước lượng ma trận phương sai của tín hiệu và nhiễu trong bộ xử lý SNR cực đại Thiếu thông tin về tín hiệu mong muốn có thể ngăn cản việc tiếp cận tín hiệu tham chiếu Để khắc phục những hạn chế này, có thể áp dụng các ràng buộc tuyến tính với vector trọng số, cho phép mở rộng quyền kiểm soát đáp ứng thích nghi của beamformer Phần này minh họa cách sử dụng ràng buộc tuyến tính để điều khiển đáp ứng beamformer, thảo luận về các vấn đề tối ưu ràng buộc tuyến tính định hướng búp sóng, và giới thiệu cấu trúc tổng quát để loại bỏ búp sóng phụ Ý tưởng cơ bản của định hướng búp sóng hạn chế tối thiểu sai số (LCMV) là để hạn chế đáp ứng của beamformer, cho phép tín hiệu từ hướng quan tâm được thông qua với tăng ích và pha xác định, trong khi chọn trọng số để giảm thiểu sai số đầu ra hoặc năng lượng của đối tượng Điều này bảo vệ tín hiệu mong muốn và giảm thiểu các thành phần không mong muốn ở đầu ra Bộ lọc FIR có trọng số được lựa chọn để tối thiểu hóa năng lượng các thành phần ở đầu ra, nhằm hạn chế đáp ứng của tín hiệu có tần số.

Trong phần 1.2, đáp ứng của beamformer đối với một nguồn tín hiệu tại một góc và tần số nhất định được tính toán thông qua công thức ( ) Để đảm bảo rằng mọi tín hiệu đến từ góc và tần số đó được truyền qua đầu ra với đáp ứng g, ta cần hạn chế tuyến tính các trọng số sao cho ( ) = g, với g là hằng số phức Để giảm thiểu nhiễu và các tín hiệu không mong muốn từ các hướng khác, việc chọn trọng số được thực hiện nhằm tối thiểu hóa năng lượng đầu ra hoặc sai số Vấn đề LCMV liên quan đến việc lựa chọn trọng số được diễn tả như sau:

Phương pháp hệ số nhân Lagrange có thể được dùng để giải phương trình (1.17), kết quả là: g * ( ) ( ) ( ) (1.18)

Trong thực tiễn, sự hiện diện của nhiễu không tương quan đảm bảo khả năng nghịch của hệ thống Khi g = 1, công thức (1.18) được gọi là beamformer với công thức sai số tối thiểu không biến dạng (MVDR) Điều này thể hiện rằng phương trình (1.18) tương đương với nghiệm SNR cực đại trong (1.16) khi thay thế các yếu tố thích hợp vào công thức (1.18) và áp dụng các bổ sung của ma trận nghịch đảo.

Các hạn chế tuyến tính đơn trong công thức (1.17) có thể được mở rộng thành các hạn chế tuyến tính để kiểm soát beampattern hiệu quả hơn Chẳng hạn, khi có một nguồn gây nhiễu cố định ở một hướng chưa xác định, mục tiêu là tăng cường ích Zero theo hướng đó đồng thời duy trì đáp ứng g với tín hiệu mong muốn.

Khi có hạn chế tuyến tính trên w, chúng ta biểu diễn chúng bằng ma trận C kích thước và vector f có L chiều, được gọi là ma trận hạn chế và vector đáp ứng Các hạn chế này được giả định là độc lập tuyến tính, do đó ma trận C có hạng L Vấn đề LCMV và nghiệm cho phương trình hạn chế tổng quát hơn được trình bày trong bảng 1.1.

Có nhiều lý thuyết khác nhau để lựa chọn ma trận giới hạn và vector đáp ứng, trong đó các phương pháp điểm đặc trưng, đạo hàm và giới hạn vector đặc trưng được sử dụng phổ biến Mỗi giới hạn tuyến tính khai thác một bậc tự do trong quá trình phân tích.

Page | 26 vector trọng số, do đó với L các giới hạn, chỉ có bậc tự do có sẵn để tối thiểu hóa sai số

GSC (Generalized Sidelobe Canceller) là một phương pháp thay thế cho vấn đề LCMV, giúp đơn giản hóa việc thực hiện beamformer LCMV và hỗ trợ phân tích hiệu quả Phương pháp này cũng làm rõ mối quan hệ giữa MSC và LCMV trong việc định hướng búp sóng Cốt lõi của GSC là chuyển đổi bài toán giới hạn tối thiểu thành dạng không bị giới hạn, mang lại những lợi ích đáng kể trong xử lý tín hiệu.

Các thuật toán thích nghi của định hướng búp sóng

Các phương trình của vector trọng số beamformer tối ưu yêu cầu thông tin về thống kê thứ hai, thường không có sẵn Tuy nhiên, với giả định ergodicity, các thống kê và trọng số tối ưu có thể được ước lượng từ dữ liệu hiện có Ngoài ra, các thống kê này có thể thay đổi theo thời gian do sự biến động của nhiễu Để khắc phục những vấn đề này, trọng số thường được xác định thông qua các thuật toán thích nghi.

Có hai thuật toán thích nghi cơ bản:

 Thích nghi khối, với các tham số được ước lượng từ một khối thời gian của dữ liệu mảng và sử dụng trong phương trình tối ưu trọng số;

Thích nghi liên tục với việc điều chỉnh trọng số trong quá trình lấy mẫu dữ liệu giúp chuỗi vector trọng số hội tụ đến các giải pháp tối ưu Khi môi trường thay đổi nhưng có thể dự đoán, thích nghi khối có thể được áp dụng, miễn là trọng số được tính toán lại định kỳ Thích nghi tối ưu thường được sử dụng khi các tham số thay đổi theo thời gian hoặc khi số lượng trọng số thích nghi M từ trung bình đến lớn, giá trị trở nên phổ biến.

Trong số các thuật toán thích nghi nổi bật cho định hướng búp sóng, vòng lặp thích nghi Howells-Applebaum, phát triển vào cuối những năm 1950, và thuật toán phủ LCMV là hai ví dụ đáng chú ý Thay vì tính toán lại các thuật toán thích nghi cho từng beamformer tối ưu như trong bảng 1.1, chúng ta có thể áp dụng một phương pháp tiếp cận thống nhất thông qua mô hình bộ lọc thích nghi tiêu chuẩn như được mô tả ở bên phải hình 1.7.

Trong hình 1.7, vector trọng số w M được lựa chọn nhằm ước tính tín hiệu mong muốn, được hình thành từ tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong vector dữ liệu u Mục tiêu của việc chọn w M là giảm thiểu sai số trung bình bình phương (MSE).

( ) được tối thiểu hóa bằng:

So sánh công thức (1.23) với tiêu chuẩn liệt kê trong bảng 1.1 cho thấy vấn đề của bộ lọc tiêu chuẩn này tương đương với vấn đề của MSC beamformer (với u = x a) và vấn đề tính hiệu tham chiếu của beamformer (với u = x) Tuy nhiên, vấn đề LCMV lại khác biệt Qua việc phân tích hình 1.6, công thức (1.22) và (1.24) đã chỉ ra những điểm khác nhau rõ rệt.

Page | 30 rằng vấn đề của bộ lọc thích nghi tiêu chuẩn là tương đương với vấn đề LCMV thực hiện với cấu trúc GSC Đặt và kéo theo và

Giá trị SNR cực đại của beamformer không thể được thể hiện qua hình 1.7 và công thức (1.24) Tuy nhiên, theo (1.18), nếu tín hiệu mong muốn là tín hiệu băng hẹp, thì giá trị SNR cực đại và LCMV của beamformer sẽ tương đương.

Phương pháp tiếp cận thích nghi khối (1.24) sử dụng ước lượng và hình thành từ K mẫu của và , ( ) Phổ biến nhất là ma trận sai số lấy mẫu ̂ ∑ ( ) ( )

Và vector lấy mẫu sai số chéo: ̂ ∑ ( ) ( )

( ) ( ) nhỏ, là ma trận đơn vị

( ) ( ) Nhân lên mỗi lần cập nhật Đặt tính hiệu suất

Dưới một số điều kiện nhất định, sự hội tụ đến vector trọng số tối ưu về mặt thống kê được đảm bảo Tốc độ hội tụ có thể được điều chỉnh thông qua giá trị lan truyền riêng; khi giá trị này lớn, sự hội tụ sẽ diễn ra chậm hơn.

Đại diện cho nghiệm bình phương nhỏ nhất với mỗi hằng số và tối ưu trong một ý nghĩa xác định, việc hội tụ đến vector trọng số tối ưu về mặt thống kê thường nhanh hơn so với việc sử dụng thuật toán LMS, nhờ vào tính độc lập với giá trị lan truyền riêng.

Bảng 1.2 so sánh thuật toán thích nghi trọng số LMS và RLS

Các thuật toán thích nghi liên tục có thể được triển khai dễ dàng theo hình 1.7 và công thức (1.23) Trong đó, j(w M) biểu thị bề mặt lỗi bậc hai, với bề mặt lỗi bậc hai của "Hessian" R u là ma trận sai số dữ liệu, cho thấy tính tích cực nhất định Điều này cho thấy bề mặt lỗi có hình dạng giống như một "bowl", với cấu trúc riêng của R u xác định hình dạng của nó Vector trọng số tối ưu w opt tương ứng với đáy của "bowl".

Một phương pháp tiếp cận bộ lọc thích nghi là hình dung một điểm trên bề mặt lỗi tương ứng với vector trọng số hiện tại w M (k) Chúng ta chọn một vector trọng số mới w M (k+1) nhằm giảm thiểu bề mặt lỗi Vector gradient sẽ được sử dụng trong quá trình này.

Cho ta biết hướng để điều chỉnh vector trọng số Thuật toán LMS thay thế ( ) với ước tính gradient tức thời ̂ ( ) , ( ) ( ) ( ) ( ) ( )- Biểu thị ( ) ( ) ( ), ta có

Hằng số tăng ớch điều khiển đặc điểm hội tụ của các vector ngẫu nhiên w M (k), với bảng 1.2 cung cấp hướng dẫn lựa chọn Thuật toán LMS nổi bật nhờ vào sự đơn giản và hiệu quả trong nhiều ứng dụng Tuy nhiên, đặc điểm hội tụ của nó phụ thuộc vào hình dạng bề mặt lỗi và cấu trúc đặc biệt của R u Khi các giá trị riêng phân tán rộng, cần xem xét các thuật toán thích nghi khác có đặc tính hội tụ tốt hơn Các biện pháp thay thế cho việc tìm kiếm lỗi bề mặt đã được tích hợp vào các thuật toán cơ bản như bình phương tối thiểu và bộ lọc Kalman, yêu cầu tốc độ hội tụ cao.

Một sự thay thế cho hệ thống quản lý học tập (LMS) là thuật toán RLS (Recursive Least Squares) Tại bước thời điểm thứ K, thuật toán này được sử dụng để tối thiểu hóa tổng trọng số của bình phương lỗi.

Hằng số dương nhỏ hơn một, ký hiệu là (1.29), là cơ sở cho thuật toán RLS, được phát triển từ việc mở rộng biên độ bình phương và áp dụng cho bổ đề ma trận nghịch đảo Bảng 1.2 tổng hợp hai thuật toán LMS và RLS.

Khử nhiễu và Định hướng búp sóng thích nghi một phần

Các yêu cầu tính toán cho mỗi lần cập nhật trong các thuật toán thích nghi tỉ lệ thuận với kích thước vector trọng số M (LMS) hoặc với bình phương số chiều.

Khi M lớn, việc đáp ứng yêu cầu tín hiệu (RLS) trở nên khó khăn và tốn thời gian thực Do đó, việc giảm M là cần thiết để cải thiện hiệu suất Hơn nữa, tỉ lệ hội tụ của thuật toán thích nghi đến nghiệm tối ưu cũng chậm khi M lớn Việc giảm M có thể giúp nâng cao tính hội tụ của thuật toán này.

Khái niệm "bậc tự do" liên quan đến số lượng không bị giới hạn hoặc trọng số "tự do" trong quá trình thực hiện Cụ thể, trong trường hợp của beamformer LCMV, bậc tự do thể hiện khả năng điều chỉnh các trọng số mà không bị ràng buộc bởi các giới hạn, giúp tối ưu hóa hiệu suất trong ứng dụng xử lý tín hiệu.

Beamformer thích nghi có bậc tự do, cho phép thực hiện GSC phân tách vector trọng số không giới hạn Có M bậc tự do trong hệ thống, với beamformer thích nghi đầy đủ sử dụng tất cả bậc tự do có thể, trong khi beamformer thích nghi một phần chỉ sử dụng một bộ giảm trọng số tự do Việc giảm bậc tự do giúp giảm yêu cầu tính toán và cải thiện thời gian đáp ứng, nhưng hiệu suất sẽ bị ảnh hưởng tiêu cực Beamformer thích nghi một phần không thể hội tụ tối ưu như beamformer thích nghi toàn phần Mục tiêu thiết kế của beamformer thích nghi một phần là giảm bậc tự do mà không làm giảm đáng kể hiệu suất.

Thảo luận trong phần này áp dụng cho các loại beamformer khác nhau, mặc dù sử dụng nhiều kí hiệu từ GSC Beamformer được miêu tả bởi cấu trúc bộ lọc với tín hiệu mong muốn thu được bằng vector dữ liệu, và đầu ra beamformer là Để phân biệt giữa việc triển khai thích nghi đầy đủ và một phần, ta phân tích T thành hai ma trận Cn và TM, trong đó Cn phụ thuộc vào beamformer cụ thể và TM đại diện cho ánh xạ giảm bậc tự do MSC và GSC thu được như là trường hợp đặc biệt của đại diện này, với w o là vector N để lựa chọn phần tử chính, Cn là ma trận N để lựa chọn phần tử phụ, và TM là ma trận để lựa chọn phần tử.

M phần tử phụ được sử dụng thực tế trong điều khoản của GSC C n được xác định trong phần 1.4.4, trong khi T M là một ma trận giúp giảm bậc tự do.

Mục đích của việc thiết kế beamformer thích nghi một phần là để chọn T M

Để đảm bảo rằng thuộc tính nhiễu tốt được duy trì ngay cả khi M nhỏ, cần xem xét khả năng hủy bỏ đồng thời hai nguồn băng hẹp từ hướng và tần số cụ thể Việc hủy bỏ lý tưởng hai nguồn này yêu cầu phải chọn những điều kiện phù hợp để đạt được hiệu quả tối ưu.

Với g(i) là đáp ứng của nhánh nhiễu thứ i, giả sử g(i) và h(i) độc lập tuyến tính và khác không, thì tồn tại ít nhất một lựa chọn thỏa mãn điều kiện (1.30) Mở rộng lý luận này cho thấy có thể chọn M để khử nhiễu băng hẹp, với giả định rằng g(i) là độc lập tuyến tính và khác không, mà không phụ thuộc vào T Sự khử toàn bộ xảy ra khi đáp ứng của T hoàn toàn phù hợp với nhánh đáp ứng đến nhiễu Tổng quát, các nguyên tắc này giúp tối ưu hóa quá trình khử nhiễu trong hệ thống.

M các nhiễu băng hẹp có thể được khử sử dụng M bậc tự do thích nghi với hạn chế tương đối yếu trên T

Không như các quy tắc tồn tại trên trường hợp băng rộng Ở đây khử hoàn toàn các nhiễu đơn cần chọn T do đó đáp ứng của nhánh thích nghi,

Mức độ khử nhiễu phụ thuộc vào đáp ứng phù hợp của nhánh và hướng của nhiễu, tần số, và T Trong một số trường hợp, khử nhiễu có thể đạt hiệu quả tốt, trong khi ở những trường hợp khác, mặc dù có M lớn, nhưng kết quả khử nhiễu lại không khả quan.

Một loạt các kĩ thuật trực quan và tối ưu hóa cho thiết kế T M mà đạt được sự khử nhiễu tốt với hệ số tự do tương đối nhỏ

Tổng kết chương

Beamformer tạo ra tín hiệu vô hướng bằng cách kết hợp các trọng số từ dữ liệu nhận được ở mảng phần tử, xác định đặc tính bộ lọc không gian và phân chia tín hiệu trùng lặp tần số từ các vị trí khác nhau Các trọng số này độc lập với dữ liệu được chọn, giúp duy trì đáp ứng cố định Beamformer tối ưu thống kê lựa chọn trọng số nhằm tối ưu hóa đáp ứng dựa trên số liệu thống kê của dữ liệu, tuy nhiên, do các thống kê này thường không biết và có thể thay đổi theo thời gian, nên thuật toán thích nghi được áp dụng để tìm trọng số hội tụ về nghiệm tối ưu Thời gian tính toán và đáp ứng là yếu tố quan trọng, dẫn đến việc xem xét sử dụng beamformer thích nghi một phần cho các mảng có số lượng lớn phần tử.

Phần tiếp theo ta sẽ nghiên cứu về lý thuyết lấy mẫu nén – đây là cơ sở của định hướng búp sóng được nghiên cứu trong luận văn này

LÝ THUYẾT LẤY MẪU NÉN

Giới thiệu chung về lấy mẫu nén

Chúng ta đang chứng kiến cuộc cách mạng kỹ thuật số với sự phát triển không ngừng của các hệ thống lấy mẫu có độ phân giải ngày càng cao Nền tảng lý thuyết của cuộc cách mạng này dựa trên công trình của Kotelnikov, Nyquist, Shannon và Whittaker, cho thấy rằng tín hiệu, hình ảnh, video và dữ liệu khác có thể được phục hồi chính xác từ các mẫu với tần số lấy mẫu tối thiểu gấp đôi tần số lớn nhất, được gọi là tần số lấy mẫu Nyquist Nhờ phát hiện này, nhiều tín hiệu đã chuyển từ dạng tương tự sang dạng số, giúp việc lấy mẫu và xử lý tín hiệu trở nên dễ dàng hơn, dẫn đến việc tín hiệu số ngày càng được sử dụng rộng rãi hơn so với tín hiệu tương tự.

Sự thành công trong việc phát triển dữ liệu từ phương pháp lấy mẫu đã dẫn đến sự gia tăng nhanh chóng về số lượng dữ liệu Tuy nhiên, trong nhiều ứng dụng quan trọng hiện nay, số lượng mẫu theo định lý Nyquist vẫn còn cao hơn mong đợi hoặc quá tốn kém Mặc dù có tiến bộ trong khả năng tính toán, việc thu thập và xử lý tín hiệu trong các lĩnh vực như hình ảnh, video, y tế, giám sát từ xa, quang phổ và phân tích gen vẫn là thách thức lớn Để giải quyết những thách thức này, chúng ta thường sử dụng nén dữ liệu Mục tiêu hiện tại là tìm ra các chuẩn chính xác nhất để đạt được mức độ nén cao mà vẫn đảm bảo độ chính xác chấp nhận được Một trong những kỹ thuật nén phổ biến là mã hóa, dựa vào việc tìm kiếm tín hiệu cơ sở hoặc khung để nén tín hiệu thành các nhóm hoặc đại diện bằng một số hệ số khác không.

Quá trình xấp xỉ thưa (sparse-approximation) cho phép biểu diễn tín hiệu rời rạc và nén với độ chính xác cao bằng cách giữ lại các giá trị và vị trí của các hệ số lớn nhất Điều này tạo nền tảng cho chuyển đổi mã hóa phối hợp, khai thác tín hiệu rời rạc và nén, bao gồm các tiêu chuẩn như JPEG, JPEG2000, MPEG, và MP3.

Lấy mẫu nén, dựa trên các khái niệm về chuyển đổi mã hóa, đã nổi lên như một phương pháp mới trong xử lý tín hiệu và thiết kế lấy mẫu Phương pháp này cho phép giảm đáng kể số lượng mẫu cần thiết và chi phí tính toán Trong khi định lý Nyquist - Shannon xác định số lượng mẫu tối thiểu để nắm bắt tín hiệu trong một dải tần nhất định, việc xử lý tín hiệu rời rạc trong một cơ sở đã biết giúp giảm kích thước lưu trữ Ý tưởng cốt lõi của lấy mẫu nén là thay vì lấy mẫu với tốc độ cao rồi nén dữ liệu, chúng ta có thể thu thập dữ liệu trực tiếp dưới dạng nén với tốc độ lấy mẫu thấp hơn Lấy mẫu nén được phát triển từ nghiên cứu của Candes, Romberg, Tao và Donoho, những người chứng minh rằng tín hiệu hữu hạn chiều có thể được phục hồi từ một tập hợp nhỏ các phép đo tuyến tính không thích nghi Thiết kế hệ thống đo lường và mở rộng mô hình dữ liệu thực tế là những thách thức chính trong lĩnh vực này.

Vấn đề nghiên cứu xử lý tín hiệu đã thu hút sự chú ý đáng kể trong thời gian gần đây, nhưng những ý tưởng về nó đã xuất hiện từ thế kỷ 18 Cụ thể, vào năm 1795, Prony đã đề xuất một thuật toán để xác định các thông số của một số hàm mũ phức tạp trong điều kiện có nhiễu Đến đầu thế kỷ 20, Carathéodory đã đưa ra những bước nhảy vọt lý thuyết khi chứng minh rằng một tín hiệu hình sin có thể được xác định duy nhất thông qua giá trị của nó tại một thời điểm nhất định.

Cách tiếp cận này cho phép mẫu hóa với số lượng mẫu Nyquist tỷ lệ rất ít khi t là nhỏ và phạm vi tần số có thể lớn.

Vào năm 1990, nghiên cứu của George, Gorodnitsky, và Rao đã tổng quát hóa tín hiệu rời rạc trong hình ảnh sinh học và các lĩnh vực khác Đồng thời, Bresler, Feng và Venkataramani đã đề xuất một phương pháp lấy mẫu để thu thập các mẫu tín hiệu với băng thông khác nhau, mặc dù việc phục hồi tín hiệu không đảm bảo chính xác Đến đầu những năm 2000, Blu, Marziliano, và Vetterli đã phát triển một phương pháp lấy mẫu cho các lớp tín hiệu nhất định, cho thấy rằng tín hiệu có thể được lấy mẫu và phục hồi từ chỉ 2 mẫu.

Một vấn đề quan trọng trong phục hồi tín hiệu là từ việc quan sát một phần của biến đổi Fourier Beurling đã đề xuất một phương pháp ngoại suy các quan sát để xác định toàn bộ biến đổi Fourier Nếu tín hiệu chứa một số lượng hữu hạn các xung, phương pháp của Beurling có thể phục hồi chính xác toàn bộ biến đổi Fourier từ bất kỳ phần nào đủ lớn Cách tiếp cận của Beurling, nhằm tìm tín hiệu với mức ℓ1 nhỏ nhất trong số tất cả các tín hiệu thỏa mãn yêu cầu của biến đổi Fourier, có sự tương đồng đáng kể với một số thuật toán trong lấy mẫu nén.

Gần đây, Candes, Romberg, Tao, và Donoho đã chứng minh rằng tín hiệu có mẫu rời rạc có thể được phục hồi chính xác từ một số lượng nhỏ các phép đo tuyến tính không thích nghi, dẫn đến khái niệm lấy mẫu nén Kết quả này cho thấy khả năng thu được tín hiệu rời rạc chỉ bằng cách lấy mẫu rất ít Tuy nhiên, lấy mẫu nén khác với lấy mẫu cổ điển ở ba khía cạnh quan trọng: trong khi lý thuyết lấy mẫu truyền thống thường xem xét tín hiệu thời gian liên tục trong chiều dài hữu hạn, lấy mẫu nén lại tập trung vào các vector hữu hạn chiều trong miền.

Hệ thống lấy mẫu nén không chỉ lấy mẫu tại các điểm đặc trưng trong miền thời gian, mà còn thực hiện việc lấy mẫu trong các kết quả giữa các tín hiệu và nhiều chức năng kiểm tra tổng quát Phương pháp này phản ánh xu hướng hiện đại trong việc thu thập tín hiệu thông qua các phép đo tuyến tính tổng quát Sự ngẫu nhiên thường đóng vai trò quan trọng trong thiết kế các chức năng kiểm tra, góp phần nâng cao tính chính xác và hiệu quả của quá trình lấy mẫu.

Trong lĩnh vực phục hồi tín hiệu, có hai phương pháp chính: phương pháp lấy mẫu Nyquist - Shannon và phương pháp lấy mẫu nén Phương pháp Nyquist - Shannon sử dụng nội suy sinc để phục hồi tín hiệu, giúp thực hiện quá trình này một cách tuyến tính với ít phép tính và dễ hiểu Ngược lại, trong phương pháp lấy mẫu nén, việc phục hồi tín hiệu thường được thực hiện thông qua các phương pháp phi tuyến cao hơn.

Lấy mẫu nén đã có tác động mạnh mẽ trong nhiều ứng dụng, điển hình là trong hình ảnh y tế, nơi nó giúp tăng tốc độ MRI lên bảy lần mà vẫn đảm bảo chất lượng chẩn đoán cho trẻ em Nghiên cứu đã mở rộng ứng dụng của phương pháp này trong nhiều lĩnh vực, bao gồm hệ thống lấy mẫu phụ Nyquist, kiến trúc hình ảnh nén, và mạng lấy mẫu nén Theo định lý Shannon - Nyquist, để không mất thông tin và khôi phục tín hiệu hoàn toàn, tần số lấy mẫu phải cao hơn ít nhất gấp đôi băng tần của tín hiệu Trong các ứng dụng như ảnh số và camera số, tốc độ lấy mẫu Nyquist thường rất cao, dẫn đến việc thu thập quá nhiều mẫu không cần thiết, vì vậy nén tín hiệu trở nên cần thiết cho việc lưu trữ và truyền tải Đặc biệt, trong các ứng dụng như hệ thống ảnh số tốc độ cao và kỹ thuật siêu cao tần, việc tuân thủ định luật Nyquist yêu cầu tần số lấy mẫu rất cao, đòi hỏi các bộ chuyển đổi ADC tốc độ cao, gây khó khăn trong sản xuất và làm tăng chi phí.

Nghiên cứu này giới thiệu một phương pháp mới trong việc thu tín hiệu, cho phép lấy mẫu với tốc độ thấp hơn tốc độ Nyquist Phương pháp này được gọi là lấy mẫu nén, mang lại giải pháp hiệu quả cho việc xử lý tín hiệu.

Nén cảm nhận (compress sensing) sử dụng ánh xạ tuyến tính không thích nghi để lưu trữ cấu trúc của tín hiệu Sau đó, tín hiệu được tái tạo bằng các phương pháp tối ưu như ℓ1-minimization hoặc OMP.

Xét lại không gian vector

Trong lịch sử ngành xử lý tín hiệu, phần lớn tập trung vào các tín hiệu do hệ thống vật lý tạo ra Nhiều hệ thống tự nhiên và nhân tạo có thể được mô hình hóa tuyến tính Khái niệm này đã được áp dụng trong xử lý tín hiệu thông qua việc mô hình hóa các tín hiệu như vectơ trong không gian vectơ thích hợp.

Hình 2.1 Đơn vị hình cầu trong với định mức và với không gian tựa chuẩn (quasinorm) với

Cấu trúc tuyến tính cho phép chúng ta kết hợp hai tín hiệu để tạo ra một tín hiệu vật lý mới có ý nghĩa Không gian vectơ hỗ trợ việc áp dụng tính chất trực giao và các công cụ hình học như độ dài, khoảng cách và góc độ, giúp mô tả và so sánh các tín hiệu một cách hiệu quả Điều này đặc biệt hữu ích khi làm việc với tín hiệu trong không gian nhiều chiều hoặc không gian vô hạn chiều.

Không gian vector chuẩn (Normed vector spaces)

Trong miền vô hạn rời rạc, tín hiệu có thể được xem như là vectơ trong không gian Elip chiều Khi phân chia các vectơ trong không gian này, định mức ℓ p thường được sử dụng, với p thuộc khoảng [1, ∞).

Trong không gian Elip, chúng ta xét các tiêu chuẩn bên trong tiêu chuẩn trong mà:

〈 〉 ∑ i i Điều này dẫn đến định mức ℓ 2 :‖ ‖ 2 =√〈 〉

Trong một số trường hợp, việc mở rộng khái niệm định mức ℓ p là rất hữu ích Đối với trường hợp này, định mức được xác định trong công thức (2.1) không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác, dẫn đến việc nó không phải là một không gian tựa chuẩn Chúng ta sẽ thường xuyên sử dụng ký hiệu ‖ ‖ 0 :=| ( )|, trong đó ( ) * + biểu thị sự hỗ trợ của x và | ( )| là bản số của ( ).

Chú ý rằng không gian chuẩn với chuẩn ‖ ‖ 0 không phải là một không gian tựa chuẩn Tuy nhiên, chuẩn ℓ p có những đặc tính đáng chú ý với các giá trị khác nhau của p Hình 2.1 minh họa điều này trên vòng tròn đơn vị, trong đó ví dụ { ‖ ‖ } bao gồm mỗi chỉ tiêu trong không gian này.

Chúng ta thường sử dụng các chỉ tiêu để đo lường cường độ tín hiệu hoặc kích thước lỗi Ví dụ, trong quá trình đánh giá, chúng ta cần xác định các chỉ số cụ thể để đưa ra nhận định chính xác về chất lượng tín hiệu.

Chúng ta muốn biểu diễn một tín hiệu xấp xỉ bằng một điểm trong không gian một chiều A Để đo lỗi xấp xỉ, chúng ta sử dụng định chuẩn ℓ p, và nhiệm vụ của chúng ta là tìm ̂ nhằm giảm thiểu giá trị ‖ ̂‖p.

Hình 2.2 giá trị gần đúng nhất của một điểm trong bởi một không gian con một chiều sử dụng định mức ℓp với và không gian tựa chuẩn với

Sự lựa chọn định chuẩn ℓ p sẽ ảnh hưởng đáng kể đến các thuộc tính của lỗi xấp xỉ kết quả Hình 2.2 minh họa rõ ràng điều này Để tính toán điểm gần nhất trong A, chúng ta có thể hình dung sự gia tăng của các định chuẩn này.

ℓ p phụ thuộc vào Đây sẽ là điểm ̂ đó là gần nhất với đồng vị định chuẩn

Khi giá trị p tăng, lỗi sẽ phân bố đồng đều hơn giữa hai hệ số, trong khi giá trị p nhỏ dẫn đến lỗi phân bố không đều và thưa thớt Nhận thức này rất quan trọng trong việc phát triển lý thuyết lấy mẫu nén, đặc biệt khi xem xét số chiều cao hơn.

Mô hình tín hiệu thấp chiều

Xử lý tín hiệu chủ yếu liên quan đến việc phát triển các thuật toán hiệu suất cao nhằm xử lý và lấy mẫu thông tin từ nhiều loại tín hiệu và dữ liệu khác nhau Để thiết kế các thuật toán phù hợp cho từng vấn đề cụ thể, việc xây dựng một mô hình chính xác cho các tín hiệu quan trọng là điều cần thiết Mô hình này có thể được thể hiện dưới dạng mô hình phát.

Các mô hình xác suất Bayesian và các loại xác định đóng vai trò quan trọng trong việc phân loại tín hiệu Chúng giúp tăng cường hiệu suất trong việc xử lý, nén và giao tiếp dữ liệu, đặc biệt là trong các tín hiệu không cần quan tâm Kiến thức về các tín hiệu thiểu số là yếu tố quyết định để đạt được độ chính xác cao trong các ứng dụng này.

Xử lý tín hiệu cổ điển chủ yếu dựa trên việc mô hình hóa tín hiệu như các vectơ trong không gian vector Quan niệm này đã dẫn đến sự gia tăng đáng kể về số chiều dữ liệu cần xử lý Tuy nhiên, mô hình tuyến tính đơn giản không thể giữ lại nhiều cấu trúc trong các lớp tín hiệu phổ biến hiện nay, vì không phải tất cả các vectơ đều đại diện cho tín hiệu thực Để đáp ứng những yêu cầu này, đã xuất hiện nhiều quan điểm khác nhau về mô hình tín hiệu một chiều, trong đó khái niệm lượng tử hóa số bậc tự do trong tín hiệu đa chiều thường khá nhỏ so với các chiều xung quanh.

Trong bài viết này, chúng tôi sẽ trình bày tổng quan về các cấu trúc một chiều phổ biến trong lĩnh vực lấy mẫu nén Bắt đầu với các mô hình rời rạc truyền thống cho tín hiệu hữu hạn, chúng tôi sẽ mở rộng sang các phương pháp áp dụng cho tín hiệu vô hạn (liên tục theo thời gian) Ngoài ra, chúng tôi cũng sẽ đề cập đến ma trận thứ hạng thấp, các mô hình đa dạng và mối liên hệ giữa lấy mẫu nén với một số vấn đề nổi bật khác.

Hình 2.3 minh họa sự chuyển đổi wavelet multiscale của một hình ảnh, với a) là hình ảnh gốc và b) là đại diện wavelet Trong đó, các hệ số lớn được thể hiện bằng điểm ảnh sáng, trong khi các hệ số nhỏ lại được thể hiện bằng điểm ảnh tối Đáng chú ý, phần lớn các hệ số wavelet có giá trị gần bằng không.

Tín hiệu thường được mô tả như một tổ hợp tuyến tính của các yếu tố từ một thành phần cơ bản hoặc thư viện đã biết Khi biểu diễn này chính xác, tín hiệu được coi là rải rác Mô hình tín hiệu thưa cung cấp một khuôn khổ toán học hữu ích trong việc phân tích các tín hiệu đa chiều, thường chứa ít thông tin so với kích thước môi trường xung quanh Rải rác hóa tín hiệu có thể được xem như một phiên bản của nguyên tắc Occam's razor, khi lựa chọn cách đơn giản nhất để đại diện cho tín hiệu là phương án tốt nhất.

2.4.1.1 Phép lấy mẫu thƣa và gần đúng phi tuyến

Trong toán học, tín hiệu x được coi là thưa khi hầu hết các giá trị của nó khác 0, tức là ||x||0 cho phép biểu diễn tập hợp các tín hiệu rải rác k = { x : ||x|| 0 } Mặc dù chúng ta thường làm việc với các tín hiệu liên tục, nhưng tín hiệu này có thể nhận giá trị rải rác trong một vài cơ sở ϕ Trong trường hợp này, x vẫn được xem là tương đương với mẫu rải rác và có thể được biểu diễn dưới dạng x = ϕc với ||c||0.

Phép lấy mẫu rải rác đã được ứng dụng rộng rãi trong xử lý tín hiệu và lý thuyết xấp xỉ, đặc biệt cho các nhiệm vụ như nén và giảm nhiễu, cũng như trong thống kê và học máy để tránh hiện tượng overfitting Nó cũng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất thống kê và mô hình chọn lọc, cùng với việc nghiên cứu hệ thống thị giác của con người Kỹ thuật này đã được khai thác nhiều trong xử lý hình ảnh, nhất là khi chuyển đổi wavelet multiscale cung cấp cách biểu diễn gần như rời rạc cho hình ảnh tự nhiên Ví dụ minh họa có thể thấy trong hình 2.3.

Mô hình lấy mẫu thưa trong nén hình ảnh và giảm nhiễu hình ảnh rất quan trọng, đặc biệt khi xử lý các hình ảnh tự nhiên với mặt phẳng lớn và ít cạnh sắc nét Các tín hiệu có cấu trúc này gần như thưa khi sử dụng biến đổi wavelet multiscale Biến đổi wavelet phân chia hình ảnh thành các thành phần tần số thấp và cao, trong đó các thành phần tần số thấp nhất cung cấp hình ảnh thô gần đúng, trong khi các thành phần tần số cao hơn bổ sung chi tiết và độ phân giải sắc nét.

Khi tính toán biến đổi wavelet của một hình ảnh tự nhiên, hầu hết các hệ số đều rất nhỏ, cho phép chúng ta thiết lập một phép đo gần đúng của tín hiệu Bằng cách đặt các hệ số nhỏ xấp xỉ bằng không hoặc áp dụng ngưỡng, chúng ta có thể biểu diễn giá trị rời rạc một cách hiệu quả.

Để đạt được kết quả gần đúng tốt nhất cho tín hiệu ban đầu, phương pháp sử dụng chuẩn p là một lựa chọn hiệu quả, giúp tối ưu hóa việc tính toán các thành phần cơ bản của tín hiệu.

Hình 2.4 lấy mẫu rải rác gần đúng của một hình ảnh tự nhiên

(b) Phép gần đúng của hình ảnh thu được bằng cách chỉ giữ 10% hệ số wavelet lớn nhất

Hình 2.4 minh họa một ví dụ về hình ảnh và giá trị gần đúng, thể hiện bản chất của phép tính gần đúng phi tuyến, trong đó việc chọn hệ số để duy trì giá trị gần đúng phụ thuộc vào tín hiệu Tín hiệu đã biết chỉ ra hình ảnh tự nhiên với khoảng biến đổi wavelet rời rạc, và quá trình cùng ngưỡng này đóng vai trò quan trọng trong việc khử tiếng ồn, một phương pháp phổ biến thường không xuất hiện trong biến đổi wavelet rải rác.

2.4.1.2 Dạng hình học của tín hiệu rời rạc

Rải rác hóa là một mô hình phi tuyến, trong đó việc lựa chọn các yếu tố thư viện cơ sở có thể thay đổi tùy theo từng tín hiệu Quan sát một cặp tín hiệu thưa cho thấy rằng tổ hợp tuyến tính của hai tín hiệu không còn thưa, cho thấy tín hiệu có thể không trùng khớp Điều này có nghĩa là, đối với bất kỳ z k nào, chúng ta không nhất thiết phải có x + z k, mặc dù x + z 2k vẫn có thể xảy ra Hình 2.5 minh họa rằng 2 tín hiệu được ẩn trong 3 tín hiệu, tức là tập hợp tất cả các tín hiệu hai giá trị thưa trong 3 tín hiệu.

Tập hợp không gian con được tạo bởi hai tín hiệu giá trị thưa trong không gian ba chiều 3, bao gồm tất cả các tín hiệu rải rác trong không gian này.

Tập tín hiệu rải rác k không tạo thành không gian tuyến tính mà bao gồm tất cả các không gian con chính tắc Trong hình 2.5, chúng ta chỉ có 3 không gian con, nhưng với giá trị lớn hơn của k, cần xem xét tiềm năng lớn của các không gian con này.

Page | 48 sẽ có những kết quả đầy ý nghĩa trong sự phát triển của các thuật toán gần đúng thưa và phục hồi tín hiệu thưa

2.4.2 Tín hiệu thƣa và có thể nén

Cho một tín hiệu rời rạc chiều dài hữu hạn, có thể biểu diễn như một vector cột trong R N với các thành phần x[n], n=1,2…N Bất kỳ tín hiệu trong

R N nào đều có thể biểu diễn thông qua một vector cơ sở trực chuẩn : { i }

Phép lẫy mẫu trong ma trận

Trong phần này, chúng ta sẽ tập trung vào mô hình lấy mẫu hữu hạn chiều tiêu chuẩn, đặc biệt là khi xem xét tín hiệu x n và m phép đo liên quan.

Trong hệ thống đo lường, phương trình toán học y = Ax được sử dụng, trong đó A là ma trận biểu diễn sự suy giảm số chiều, ánh xạ n (thường lớn) về m (thường nhỏ hơn nhiều so với N) Trong khuôn khổ lấy mẫu nén chuẩn, các phép đo được giả định là không thay đổi, với các hàng của A được cố định và không phụ thuộc vào kết quả đo trước đó Việc điều chỉnh thông số đo lường có thể nâng cao hiệu suất.

Mặc dù khuôn khổ lấy mẫu nén tiêu chuẩn giả định có chiều dài hữu hạn với giá trị rời rạc, trong thực tế, chúng ta thường thiết kế hệ thống đo lường để thu thập tín hiệu liên tục, chẳng hạn như tín hiệu theo thời gian hoặc hình ảnh Để mở rộng mô hình này, có thể sử dụng một phép biểu diễn rời rạc trung gian cho các tín hiệu có giá trị liên tục.

Trong lĩnh vực lấy mẫu nén, có hai câu hỏi lý thuyết chính cần được giải quyết: thiết kế ma trận đo A như thế nào để bảo toàn thông tin trong tín hiệu và cách khôi phục tín hiệu ban đầu từ các phép đo Khi dữ liệu thưa hoặc nén, việc thiết kế ma trận A sẽ cho phép phục hồi tín hiệu một cách chính xác và hiệu quả qua các thuật toán thực tiễn Bài viết này sẽ tập trung vào cách thiết kế ma trận đo A bằng cách xem xét các đặc tính mong muốn mà ma trận cần có, đồng thời cung cấp một số ví dụ về cấu trúc của ma trận đáp ứng những yêu cầu này.

2.5.1 Các điều kiện không gian không (Null) Để bắt đầu xét điểm A tự nhiên bằng cách xem xét một không gian rỗng A, kí hiệu

Để phục hồi tất cả các tín hiệu thưa x từ các phép đo Ax, cần phân biệt rõ ràng giữa bất kỳ cặp vector riêng biệt x và x’ Điều này chỉ khả thi khi Ax khác Ax’, vì nếu không, không thể phân biệt x từ x’ chỉ dựa trên các phép đo y Cụ thể, nếu Ax bằng Ax’, thì A(x – x’) = 0 với x – x’ thuộc 2k, cho thấy A chỉ đại diện duy nhất cho tất cả x k khi và chỉ khi không có vector nào trong 2k thuộc N(A) Một trong những cách phổ biến để diễn đạt tính chất này là khái niệm spark Spark của một ma trận A được định nghĩa là số lượng nhỏ nhất của các cột A có phụ thuộc tuyến tính Từ định nghĩa này, ta có thể đưa ra một đảm bảo đơn giản: Đối với bất kỳ vector y m nào, tồn tại nhiều nhất một tín hiệu x k sao cho y = Ax khi và chỉ khi spark (A) > 2.

Chứng minh rằng với bất kỳ y m, tồn tại nhiều nhất một tín hiệu x k sao cho y = Ax Giả sử điều kiện ngược lại (A) 2k, tức là có một số bộ giá trị tuyến tính độc lập với khoảng 2k cột, dẫn đến tồn tại một h N(A) với h 2k Do đó, có thể viết h = x – x’, với x, x’ 2 Vì h N(A), ta có A(x – x’) = 0, dẫn đến Ax = Ax’, mâu thuẫn với giả định ban đầu Do đó, ta kết luận rằng spark(A) > 2k Khi spark(A) > 2k, giả thiết rằng với một số y tồn tại x, x’ k sao cho y = Ax = Ax’ dẫn đến A(x – x’) = 0 và h = x – x’ có thể viết là Ah = 0.

Page | 58 bộ giá trị lên đến 2k cột của A là độc lập tuyến tính, và do đó h = 0 Điều này sẽ có nghĩa x = x’, chứng minh định lý

Dễ dàng thấy rằng spark(A) [2;m + 1] Vì vậy, định lý 1.1 thỏa mãn yêu cầu

Khi xử lý các vector thưa có giá trị xác định, Spark cung cấp đầy đủ các đặc tính khi giá trị thô có thể khôi phục Tuy nhiên, với tín hiệu xấp xỉ thô, cần xem xét các điều kiện hạn chế hơn trên không gian rỗng của A Để đảm bảo N(A) không chứa bất kỳ vector nào có thể nén nhiều ngoài các vector thưa, chúng tôi định nghĩa các ký hiệu hữu ích từ đầu đến cuối cuốn sách Giả thiết rằng {1,2,…,n} là tập con của số mũ và cho phép c = {1,2,…,n} Bằng cách thiết lập các chỉ số đầu vào x từ c về 0, ta có thể thu được vectơ có chiều dài n Tương tự, A c được hiểu là thu được ma trận bằng cách thiết lập chỉ số các cột của ma trận A từ c về 0.

0 Định lý 1.2: Một ma trận A thỏa mãn tính chất không gian rỗng (NSP) trật tự k nếu có tồn tại một hằng số C> 0 sao cho,

Sao cho tất cả h  N (A) và tất cả sao cho | | k

Theo quan điểm của NSP, các vectơ trong không gian rỗng của A không nên tập trung quá mức vào một tập con của các số mũ Chẳng hạn, nếu một vectơ h là giá trị k-thưa xác định, thì tồn tại một giá trị sao cho ||h  c || 1 = 0, dẫn đến (2.3) cho thấy h  = 0 là đúng Do đó, nếu ma trận A thỏa mãn NSP, chỉ K sẽ được đảm bảo.

- vector thưa trong N(A) là có h=0

Để hiểu rõ vai trò của NSP trong việc khôi phục tín hiệu thưa thới, chúng ta cần tìm hiểu cách đo hiệu suất của thuật toán khôi phục tín hiệu thưa khi xử lý các tín hiệu không thưa Chúng ta sẽ xem xét phương pháp khôi phục rõ ràng m  n và tập trung vào việc đảm bảo mẫu.

Với mọi x, k(x) được xác định giống như mục (2.2), đảm bảo phục hồi chính xác tất cả các tín hiệu K-thưa Điều này cũng đảm bảo một mức độ thô với các tín hiệu không thưa, phụ thuộc vào cách các tín hiệu được xấp xỉ bởi K-vectơ thưa Sự đảm bảo này được gọi là minh chứng tối ưu, mang lại hiệu suất tối ưu cho từng trường hợp Sự khác biệt này cho thấy chỉ một số tập hợp con của tín hiệu có thể lấy mẫu, như tín hiệu thưa hoặc nén, và chất lượng của sự đảm bảo tương thích giúp lựa chọn những đặc tính cụ thể Đây cũng được gọi là đảm bảo đồng bộ, giữ đồng bộ cho tất cả các giá trị.

Chúng ta có thể tính toán các lỗi khôi phục bằng cách sử dụng các chuẩn p khác nhau, nhưng việc chọn giá trị cho p có thể hạn chế các tính chất của guarantee và dẫn đến sự thay đổi trong công thức NSP Hơn nữa, vế bên phải của (2.4) có vẻ bất thường khi đo lỗi xấp xỉ là k(x) 1/√ thay vì k(x) 2 Tuy nhiên, sẽ thấy rằng sự bảo đảm như vậy là điều không thể nếu không sử dụng một lượng lớn các phép đo, và (2.4) là phép đảm bảo tốt nhất mà chúng tôi có thể hy vọng đạt được.

Kí hiệu này thường được sử dụng để xác định chiều dài của vector bằng cách giữ lại các đầu vào tương ứng, hoặc để tạo ra ma trận bằng cách giữ lại những cột tương ứng với các yếu tố tương đương.

Việc sử dụng phải rõ ràng từ ngữ cảnh, nhưng trong nhiều trường hợp không tồn tại sự khác biệt giữa hai kí hiệu này

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ thấy rằng NSP với số bậc 2k là lựa chọn tối ưu để thiết lập bảo đảm theo mục (2.4) cho thuật toán phục hồi thực tế (1-minimization) Hơn nữa, một định lý chứng minh rằng nếu có bất kỳ thuật toán phục hồi nào thỏa mãn (2.4), thì ma trận A phải thỏa mãn các NSP với số hàng là 2k Cụ thể, Định lý 1.2 chỉ ra rằng với A: n m là ma trận mẫu và n m là thuật toán phục hồi tùy ý, nếu cặp (A; ) thỏa mãn (2.4), thì A sẽ thỏa mãn NSP với số hàng 2.

Chứng minh: Giả sử h N(A) và để đạt các chỉ số tương ứng với lớn nhất 2k Đầu vào của h Tiếp theo chúng tôi tách thành Λ 0 và Λ 1 , sao cho |Λ | 0 =|Λ | 1 k Đặtxh  1 h  c và

' 0 x  h  , do đó h = x – x’ Khi x’ k.Chúng ta có thể áp dụng công thực (2.4) để thu được x’ = (Ax’) Hơn nữa, vì h N(A), chúng ta có

Vì vậy Ax’ = Ax Do đó x’ = (Ax’) Cuối cùng ta thấy rằng

Có sự sai lệch với công thức (2.4)

2.5.2 Điều kiện giới hạn thuộc tính đẳng cự (RIP)

NSP là điều kiện cần và đủ để thành lập đảm bảo cho mẫu (2.4), tuy nhiên, các đảm bảo này không tính đến yếu tố nhiễu Khi các phép đo bị nhiễu hoặc gặp lỗi do các nguyên nhân như lượng tử hóa, cần xem xét các điều kiện liên quan.

Candés và Tao đã giới thiệu các điều kiện của phép đẳng cự trên ma trận A, nhấn mạnh vai trò quan trọng của nó trong việc lấy mẫu nén Định nghĩa 1.3 nêu rõ rằng một ma trận A thỏa mãn tính chất giới hạn thuộc tính đẳng cự (RIP) trật tự nếu tồn tại một k (0, 1) phù hợp.

Với tất cả các giá trị x k

Thuật toán khôi phục

Với phương pháp lấy mẫu nén chúng ta đã thu được tín hiệu:

Bài toán khôi phục tín hiệu từ các giá trị đã cho đòi hỏi sử dụng các phương pháp như ℓ1-minimization và OMP Mục tiêu là phục hồi lại X, tức là xác định chính xác các giá trị từ M phép đo Y Tuy nhiên, do M < N, số phương trình thiết lập được ít hơn số ẩn cần tìm, dẫn đến việc tồn tại vô số nghiệm thỏa mãn Nếu không có thêm thông tin về nghiệm cần tìm, chúng ta không thể xác định nghiệm nào là chính xác.

Trong trường hợp này, tín hiệu cần khôi phục có cấu trúc thưa K hoặc có thể nén Dưới giả thiết tín hiệu là thưa, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp tối thiểu hóa ℓ 1 để khôi phục tín hiệu một cách hiệu quả.

2.6.1 Thuật toán khôi phục ℓ 1 -minimization a Sử dụng ℓ 0 : ̂ = ‖ ‖

Phương pháp khôi phục dữ liệu dựa trên điều kiện |* +| cho phép kiểm tra từng dữ liệu để thỏa mãn hai phương trình, tuy nhiên tốc độ tính toán chậm khiến thuật toán này ít được áp dụng trong thực tế và không được sử dụng trong lấy mẫu nén Một phương pháp khác sử dụng ℓ2 với ̂= || || = ∑ | | cũng cần được xem xét.

Phương pháp này không khôi phục đúng dữ liệu c Sử dụng ℓ 1 ̂= || || = ∑ | |

Thuật toán này cho phép khôi phục chính xác tín hiệu thưa K thông qua M phép đo tuyến tính không thích nghi với độ phức tạp M cKlog(N/K) Phương pháp này được áp dụng trong lấy mẫu nén nhằm phục hồi dữ liệu hiệu quả.

Nghiên cứu của Emmanuel J Candes, Michael B Walkin và Stephen P Boyd đã cải tiến phương pháp khôi phục tín hiệu, giới thiệu phương pháp ℓ1-minimization được trọng số hóa (Reweighted ℓ1-minimization) Phương pháp này cho phép khôi phục tín hiệu một cách chính xác hơn thông qua một phương trình cụ thể.

Ở đây ma trận W là ma trận chéo với w l ,w 2 w n là các trọng số dương nằm trên đường chéo, các trọng số còn lại bằng 0

Các trọng số dương của ma trận W này được tính toán sử dụng các bước trong thuật toán sau đây:

Bước 1 Thiết lập đặt l=0 và ( ) , i= 1,…,N

Bước 3 Cập nhập các giá trị trọng số: với i=1,…,n:

Bước 4 Kết thúc thuật toán nếu w hội tụ hoặc khi l đạt tới một số cực đại, ngược lại tăng l lên 1 đơn vị và quay trở lại bước 2

Phương pháp này khôi phục tín hiệu chính xác hơn, để minh họa điều này ta xét ví dụ sau: cho = | | (sơ đồ 1(a) thể hiện tín hiệu gốc x) và :

Ta có tín hiệu thu được :

Phương pháp ℓ 1-minimization, như thể hiện trong sơ đồ bên dưới, cho thấy ℓ 1 được mô tả như một quả bóng giao với đường biểu diễn tại vị trí ̂ | | Tuy nhiên, giá trị này dẫn đến kết quả không chính xác.

Ma trận trọng số W = diag | | trong sơ đồ 1(c) cho thấy rằng quả bóng "weighted ℓ 1" hội tụ chính xác đến điểm tín hiệu nguồn.

Hình 2.6 So sánh phương pháp ℓ 1 -minimization và ℓ 1 -minimization có trọng số

2.6.2 Thuật toán khôi phục OMP

2.6.2.1 Thuật toán đuổi khớp (Matching pursuit)

Nhiều phương pháp phân tích tín hiệu tìm cách biểu diễn một tín hiệu không biết x bằng một tổ hợp tuyến tính của các hàm số g n nào đó: x =∑

Việc biểu diễn tín hiệu tương tự như việc lựa chọn từ ngữ trong một quyển từ điển để tạo thành một câu có nghĩa Cụ thể, chúng ta chọn các hàm g n từ một tập hợp các hàm số để thể hiện tín hiệu một cách chính xác.

Các hệ số a n được tính bởi: =

Để biểu diễn tín hiệu không biết một cách chính xác nhất, chúng ta cần lựa chọn các hàm g n tối ưu từ một thư viện phong phú các hàm D Tuy nhiên, trong thực tế, việc biểu diễn tín hiệu x chỉ có thể thực hiện gần đúng thông qua công thức x ≈ ∑.

Điều kiện tối ưu cho phép biểu diễn của chúng ta là sai số giữa tín hiệu x thật và tín hiệu x gần đúng bằng các hàm g n phải đạt giá trị nhỏ nhất.

Để tìm sự kết hợp tuyến tính tối ưu của N hàm g n với sai số tối thiểu, chúng ta áp dụng thuật toán đuổi khớp (matching pursuit).

Thuật toán bắt đầu bằng việc chọn giá trị g Y0 lớn nhất thông qua phép nhân trong (inner product) với tín hiệu Trong từng bước, g Yn sẽ được khớp với tín hiệu R n x, và quy trình này tiếp tục diễn ra.

N hàm g n sẽ được tìm kiếm bằng thuật toán trên

2.6.2.2 Phương pháp khôi phục tín hiệu OMP trong lấy mẫu nén

OMP, hay phương pháp "đuổi khớp trực giao", là một kỹ thuật quan trọng trong xử lý tín hiệu, giúp tìm kiếm các thành phần chính trong tín hiệu X thưa K có chiều dài N, dựa trên M phép đo y_i trong vectơ cột Y.

Với là ma trận đo kích thước M N

Tín hiệu X được xác định là thưa K, nghĩa là chỉ có một thành phần khác không, trong khi các thành phần còn lại bằng không Mỗi thành phần y_i là sự kết hợp tuyến tính của các cột trong ma trận Để khôi phục tín hiệu X dài từ M thành phần của vectơ Y, chúng ta cần tìm một tổ hợp cột trong ma trận ϕ, với số cột là K, để thỏa mãn yêu cầu này.

Bài toán này giống như việc tìm kiếm các từ trong từ điển để tạo thành câu có nghĩa Chúng ta sử dụng thuật toán OMP (Orthogonal Matching Pursuit) để thực hiện quá trình này.

Vectơ dữ liệu nén Y Độ thưa K của tín hiệu đầu vào x a, Khởi tạo: = y, t = 1 b, Tính toán cột i t của ma trận : i t = argmax i || c, Tính : r t = y - P t y

Tổng kết chương

Lấy mẫu nén là một phương pháp mới, sử dụng một số lượng nhỏ mẫu phi truyền thống thông qua các ánh xạ ngẫu nhiên để tái tạo lại các tín hiệu thưa hoặc tín hiệu có thể Những lý thuyết cơ bản về lấy mẫu nén giúp hiểu rõ hơn về cách thức hoạt động và ứng dụng của nó trong việc xử lý tín hiệu.

Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ nghiên cứu ước lượng hướng búp sóng tới (DOA) bằng cách sử dụng một mảng các phần tử với phương pháp lấy mẫu nén Bằng cách áp dụng ánh xạ ngẫu nhiên cho dữ liệu tại các phần tử và kết hợp với bản ghi dạng sóng đầy đủ trên một phần tử tham chiếu, chúng ta có thể tái tạo một kịch bản không gian góc thưa, từ đó xác định số lượng nguồn và hướng búp sóng tới của chúng Số lượng ánh xạ này có thể rất nhỏ và tỷ lệ thuận với số nguồn.

PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH HƯỚNG BÚP SÓNG DỰA TRÊN CƠ SỞ LẤY MẪU NÉN

Tiêu đề	Nghiên Cứu Phương Pháp Định Hướng Búp Sóng Dựa Trên Kĩ Thuật Lấy Mẫu Nén
Tác giả	Hoàng Minh Giang
Người hướng dẫn	PGS.TS Nguyễn Hữu Trung
Trường học	Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội
Chuyên ngành	Kỹ thuật truyền thông
Thể loại	luận văn thạc sĩ
Năm xuất bản	2016
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	115
Dung lượng	2,04 MB