chuyen-de-duong-tron-nang-cao

CHUYÊN ĐỀ ĐƯỜNG TRÒN BỒI DƯỠNG MÔN TOÁN 9 I/ Những kiến thức cơ bản 1) Sự xác định và các tính chất cơ bản của đường tròn Tập hợp các điểm cách đều điểm O cho trước một khoảng không đổi R gọi là đường[.]

CHUN ĐỀ ĐƯỜNG TRỊN BỒI DƯỠNG MƠN TỐN I/ Những kiến thức : 1) Sự xác định tính chất đường trịn : - Tập hợp điểm cách điểm O cho trước khoảng khơng đổi R gọi đường trịn tâm O bán kính R , kí hiệu (O,R) - Một đường trịn hồn tồn xác định một điều kiện Nếu AB đoạn cho trước đường trịn đường kính AB tập hợp điểm M cho góc AMB = 900 Khi tâm O trung điểm AB cịn bán kính R = - AB Qua điểm A,B ,C không thẳng hàng ln vẽ đường trịn mà thơi Đường trịn gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - Trong đường trịn , đường kính vng góc với dây qua trung điểm dây Ngược lại đường kính qua trung điểm dây khơng qua tâm vng góc với dây - Trong đường tròn hai dây cung chúng cách tâm - Trong đường trịn , hai dây cung khơng , dây lớn dây gần tâm 2) Tiếp tuyến đường tròn : - Định nghĩa : Đường thẳng gọi tiếp tuyến đường trịn có điểm chung với đường trịn Điểm gọi tiếp điểm - Tính chất : Tiếp tuyến đường trịn vng góc với bán kính tiếp điểm Ngược lại , đường thẳng vng góc với bán kính giao điểm bán kính với đường tròn gọi tiếp tuyến - Hai tiếp tuyến đường tròn cắt điểm điểm cách đến hai tiếp điểm ; tia kẻ từ điểm qua tâm tia phân giác góc tạo hai tiếp tuyến ; tia kẻ từ tâm qua điểm tia phân giác góc tạo hai bán kính qua tiếp điểm - Đường tròn tiếp xúc với cạnh tam giác gọi đường tròn nội tiếp tam giác Tâm đường tròn nội tiếp tam giác giao đường phân giác tam giác - Đường tròn bàng tiếp tam giác đường tròn tiếp xúc với cạnh phần kéo dài hai cạnh 3) Vị trí tương đối hai đường trịn : - Giả sử hai đường tròn ( O;R) (O’;r) có R ≥ r d = OO’ khoảng cách hai tâm Khi vị trí tương đối hai đường trịn ứng với hệ thức R , r d theo bảng sau : Vị trí tương đối Số điểm chung Hệ thức Hai đường tròn cắt R – r R+r (d CD D F AB = CD AB < CD Bài : Cho (O) điểm I nằm bên đường tròn Chứng minh dây AB vng góc với OI I ngắn dây khác qua I Hướng dẫn chứng minh : Kẻ dây CD qua I không trùng với AB Nhờ mối liên hệ dây khoảng cách từ tâm đến dây , ta kẻ OK vng góc với CD OI > OK nên AB < CD O D K A C I * Từ tập thấy bán kính đường trịn R OI = B d hỏi : - Tính độ dài dây ngắn qua I ? - Tính độ dây dài qua I ? Bài : Cho (O;R) điểm M nằm ngồi đường trịn Hãy dựng cát tuyến MPQ với đường tròn cho MP = MQ Hướng dẫn : Phân tích : Giả sử dựng hình thỏa mãn đề Kẻ Q I P OI vuông góc với PQ Ta có : M N IP = 1 PQ  IP = MI  MP = MI 3 O Kẻ PN vuông góc MQ ta thấy MN = MO P giao đường trịn đường kính MN (O) Cách dựng : Dựng điểm N dựng điểm P… 2) Bài tập tiếp tuyến đường tròn : a Ứng dụng tiếp tuyến : - Từ tính chất tiếp tuyến , hai tiếp tuyến cắt ta đường thẳng vng góc , cặp đoạn thẳng cặp góc ; từ ta xây dựng hệ thức cạnh , góc - Từ tính chất tiếp tuyến vận dụng vào tam giác tìm cơng thức tính diện tích đường trịn nội tiếp , đường tròn ngoại tiếp đường tròn bàng tiếp tam giác , bán kính - Lưu ý : Chứng minh Ax tiếp tuyến (O;R) làm E theo cách sau : ❖ A  (O;R) góc OAx = 900 F ❖ Khoảng cách từ O đến Ax R ❖ Nếu X nằm phần kéo dài EF XA2 = XE.XF X A ( xem hình ) ❖ Góc EAX = góc AEF b Các ví dụ : Bài : Cho tam giác ABC vng A Gọi O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC ; d tiếp tuyến đường tròn A Các tiếp tuyến đường tròn B C cắt d theo thứ tự D E a) Tính góc DOE b) Chứng minh : DE = BD + CE c) Chứng minh : BD.CE = R2 ( R bán kính đường trịn tâm O ) d) Chứng minh BC tiếp tuyến đường trịn có đường kính DE Hướng dẫn chứng minh : E a) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh : ˆ E = DO ˆ A + EO ˆ A = (BO ˆ A + CO ˆ A) = 90 DO A D b) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta chứng minh : B O C DE = DA + EA = BD + EC c) Sử dụng tính chất tiếp tuyến ta có : BD.CE = DA.EA Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông cho tam giác DOE DA.EA = OA2 = R2 d) Trung điểm I DE tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác vng DOE Ta thấy OI đường trung bình hình thang vuông BDEC nên OI // BD // CE hay OI ⊥ BC hay BC tiếp tuyến đường tròn đường kính DE Bài : Cho hai đường trịn ( O) (O’) tiếp xúc A Kẻ đường kính AOB ; AOC’ Gọi DE tiếp tuyến chung đường tròn ; D  ( O ) ; E  ( O’) Gọi M giao điểm BD CE a) Tính số đo góc DAE b) Tứ giác ADME hình ? c) Chứng minh MA tiếp tuyến chung hai đường tròn Hướng dẫn chứng minh : a) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường tròn qua A O B O’ A cắt tiếp tuyến chung DE F Dựa vào tính chất tiếp C tuyến ta có FA = FD = FE Vậy tam giác DAE tam giác vng A hay góc DAE = 900 F D b) Tứ giác ADME có Dˆ = Aˆ = Eˆ = 90 nên hình E chữ nhật M c) Từ câu b) AM qua trung điểm DE hay AM trùng với AF nên AM tiếp tuyến chung hai đường tròn Lời bình : Với tập cho trước hai đường tròn tiếp xúc , ta nên lưu ý đến tiếp tuyến - chung chúng Nó thường có vai trị quan trọng lời giải - Với tập hỏi : ❖ CMR : góc OFO’ góc vng ❖ DE tiếp tuyến đường trịn ngoại tiếp tam giác OFO’ ❖ Các tia AD AE cắt (O) (O’) H ; K Chứng minh : SAHK = SADE Bài : Gọi a , b, c số đo cạnh tam giác ABC , r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác Tính diện tích tam giác theo p r , p nửa chu vi tam giác Hướng dẫn : A Gọi D , E , F tiếp điểm F E Theo tính chất tiếp tuyến : ID = IF = IE = r I Nên : SABC = SABI + SBCI + SACI = B D C ( a + b + c).r = pr S = pr Từ tập tính : - Bán kính r đường trịn nội tiếp tam giác vuông , tam giác theo cạnh tam giác - Các đoạn tiếp tuyến AE , BF , CD theo cạnh a , b, c tam giác 3) Bài tập loại góc đường trịn Bài : Cho A điểm cố định đường tròn (O) M điểm di động đường trịn N giao AM với đường kính cố định BC Chứng minh giao điểm đường tròn (O) với đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN cố định D Hướng dẫn chứng minh : A Kẻ DA // BC Kẻ đường kính DP B N O ˆ = Pˆ ( góc A ) Ta dễ thấy : N C Nên đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN qua P  (O) cố định Nhận xét : P Trong P cịn góc nội tiếp hai đường trịn nên đóng M vai trị đại lượng trung gian để chứng minh góc Kĩ gặp lại thường xuyên Bài : Cho tham giác ABC có góc nhọn Đường trịn (O) có đường kính BC cắt AB , AC theo thứ tự D , E Gọi I giao điểm BE CD a) Chứng minh : AI ⊥ BC ˆE ˆ E = IA b) Chứng minh : ID c) Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE tam giác Hướng dẫn chứng minh : A a) Dựa vào tính chất góc chắn nửa đường tròn , ta chứng minh I trực tâm tam giác ABC nên AI ⊥ BC E b) Góc IAE = EBC góc có cạnh tương ứng vng góc D I Góc EBC = EDC chắn cung EC B C O Từ hai điều suy điều chứng minh c) Góc BAC = 600  Góc DBE = 300 chắn cung DE  Số đo cung DE = 600  Góc DOE = 600 mà tam giác DOE cân đỉnh O nên DOE tam giác Bài : Cho đường trịn (O) đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Điểm C thuộc nửa đường tròn nửa mặt phẳng với Ax với bờ AB Phân giác góc ACx cắt đường trịn E , cắt BC D Chứng minh : a) Tam giác ABD cân b) H giao điểm BC DE Chứng minh DH ⊥ AB c) BE cắt Ax K Chứng minh tứ giác AKDH hình thoi D K E Hướng dẫn giải : C a) AD phân giác hai cung AE CE H A O B Dựa vào góc nội tiếp ta dễ dàng chứng minh BE vừa phân giác vừa đường cao tam giác ABD , nên ABD cân đỉnh B b) Dựa vào góc chắn nửa đường tròn Ta thấy H trực tâm ABD nên DH ⊥ AB c) Ta thấy KE = HE (vì AKH cân đỉnh A) AE = DE ( ABD cân đỉnh B) AD⊥KH nên tứ giác AKDH hình thoi * Từ tập câu hỏi khác : - Chứng minh OE ⊥ AC - Tìm vị trí C cung AB để ABD Bài : Cho tam giác ABC nội tiếp (O;R) Chứng minh : a) R = a b c = = 2SinA 2SinB 2SinC b) R = abc 4SΔ Hướng dẫn giải A a) Kẻ đường kính AA’lúc ACA’ vng C Dựa vào hệ thức lượng tam giác vuông góc nội tiếp b a chắn cung ta có : b = AA'.SinA Aˆ ' C = 2R.SinB O B C H A’ Hay R = b 2SinB Chứng minh tương tự b) Ta thấy hai tam giác vuông AHB ACA’ đồng dạng nên hay AH AC = AB AA' b 2S abc 2S b = mà h a = suy hay S = = c 2R ac 2R 4R a Từ tập tính bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác vuông , tam giác 4) Bài tập tứ giác nội tiếp đường tròn Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn theo cách sau : - Chứng minh tổng hai góc đối diện tứ giác 1800 - Chứng minh hai điểm nhìn hai điểm cịn lại góc - Tứ giác ABCD có AC cắt BD M mà MA.MC = MB.MD tứ giác ABCD nội tiếp - Tứ giác có hai cạnh bên AB CD giao M mà MA.MB = MC.MD tứ giác ABCD nội tiếp Các ví dụ : Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn với đường cao BD , CE a) Chứng minh BEDC tứ giác nội tiếp b) Chứng minh : AD.AC = AE.AB A c) Kẻ tiếp tuyến Ax đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC x Chứng minh : Ax // ED D E Hướng dẫn chứng minh : C B a) D, E nhìn BC góc 900 nên tứ giác BEDC nội tiếp b) Hai tam giác vuông ABD ACE đồng dạng Suy AD.AC = AE.AB c) xAˆ B = ACˆ B chắn cung AB ˆ B phụ với góc BED AEˆ D = AC Nên xAˆ B = AEˆ D Suy Ax // ED Nhận xét : Với giả thiết tốn khai thác toán theo nhiều hướng nhiều câu hỏi : - Kéo dài đường cao BD , CE , AF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D’ , E’ , F’ Chứng minh : • H tâm đường trịn nội tiếp tam giác D’E’F’ • H đối xứng với D’,E’,F’ qua AC , AB , BC • ED // E’D’ • OA ⊥ E’D’ • Các đường trịn tam giác : HAB , HBC, HCA có bán kính • SABC = - abc 4R Vẽ hình bình hành BHCK , I trung điểm BC Chứng minh : • Tứ giác ABKC nội tiếp với K nằm đường trịn (O) • ˆ H = OA ˆC BA • H , I , K thẳng hàng • AH // OI ; AH = 2.OI Nếu B , C cố định A di động bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ADE khơng đổi • Đường thẳng qua K song song với BC cắt AH M A,B,C,K,M nằm đường trịn Bài : Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) ; E điểm cung AB , hai dây EC , ED cắt AB P Q Các dây AD EC kéo dài cắt I , dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh : a) Tứ giác CDIK nội tiếp b) Tứ giác CDQP nột tiếp c) IK // AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA D A Hướng dẫn : I Q chắn hai cung ) Suy tứ giác DIKC nội tiếp E P a) D C nhìn IK hai góc ( góc nội tiếp K b) sđ (QDC + QPC) = ½sđ (BE + CB) + ½ sđ (ADC + BE) = ½ sđ( BE + CB + ADC + BE ) B = 1800 C Nên tứ giác CDQP nội tiếp c) sđ API = ½ sđ( CB + AE ) = ½ sđ ( CB + BE ) = sđ CDK = sđ CIK = ½ sđ CK Từ suy IK // AB d) EAQ = ADQ ( góc nội tiếp chắn cung ) Suy AE tiếp tuyến Bài : Cho tứ giác nội tiếp đường tròn (O) Chứng minh tích hai đường chéo tổng tích cặp cạnh đối diện Hướng dẫn : A B Giả sử ACD > ACB Lấy E BD cho ACB = DCE Hai tam giác ABC DEC đồng dạng : AB.DC = AC.DE E C D Hai tam giác ADC BEC đồng dạng : AD.BC = AC.BE Cộng vế hai đẳng thức suy điều chứng minh II Bài tập tổng hợp : Trong phần I , làm quen dần với dạng toán tương ứng với kiến thức đường tròn Trong phần II , nâng cao kĩ giả toán tập tổng hợp dạng toán 1) Các câu hỏi thường gặp tốn hình : Chứng minh : Nhiều điểm nằm đường tròn (đặc biệt điểm nằm đường tròn hay chứng minh tứ giác nội tiếp ) Chứng minh hai đường thẳng song song , vng góc với Chứng minh đẳng thức hình học Nhận biết hình hình ? ( tam giác cân , hình bình hành , hình thoi , hình chữ nhật , hình thang cân …) Lưu ý : Khi chứng minh tứ giác hình thang cân khơng chứng minh hình thang có hai cạnh bên Chứng minh đường thẳng đồng quy ; hay nhiều điểm thẳng hàng Chứng minh đường thẳng tiếp tuyến đường tròn , tiếp tuyến chung hai đường tròn Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt Tốn cực trị hình học Tốn đại lượng hình học : Đoạn thẳng , cung ,góc , chu vi , diện tích … Trong câu hỏi tùy theo mà câu hỏi cho có logic câu thứ , thứ hai câu sau Thông thường kết câu giả thiết để chứng minh câu dưới, cần vẽ thêm hình tốn trở lên đơn giản 2) Bài tập vận dụng Bài : Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB Từ A B kẻ tiếp tuyến Ax By Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến thứ cắt tiếp tuyến Ax By E F Chứng minh AEMO tứ giác nội tiếp AM cắt OE P , BM cắt OF Q Tứ giác MPOQ hình ? Tại ? Kẻ MH ⊥ AB ( H  AB) Gọi K giao MH EB So sánh MK KH Hướng dẫn : F 1) EAO = EMO = 900 Nên AEMO tứ giác nội tiếp M 2) Dựa vào tính chất hai tiếp tuyến cắt có E Q K MPO = MQO = 900 PMQ = 900 nên PMQO hình chữ P A H O nhật B 3) EMK  EAB  KHB (g.g)   EFB (g.g)  EM EF mà MF = FB = MK FB EM EF = MK MF EK AB EF AB EM EA mà ( Ta let)  = = = KH HB MK KH MF HB Vì EM = EA  MK = KH Bài : Cho (O) cắt (O’) A B Kẻ cát tuyến chung B C D CBD ⊥ AB ( C (O) D (O’).) Chứng minh A , O , C A ,O’, D thẳng hàng O’ O Kéo dài CA DA cắt (O’) (O) theo thứ tự A K I K Chứng minh tứ giác CKID nội tiếp I Chứng minh BA , CK DI đồng quy G Hướng dẫn : CBA = DBA = 900 nên AC DA đường kính hay A,O, C thẳng hàng D ,O’,A thẳng hàng Từ câu 1) dựa vào góc nội tiếp chắn nửa đường tròn ta thây K , I nhìn CD góc vng nên tứ giác CDIK nội tiếp A trực tâm tam giác ADG có AB đường cao hay BA qua G Bài : Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt hai điểm A,B Các đường AO AO’cắt đường tròn (O) C D , cắt đường tròn (O’) E , F a) Chứng minh B , F , C thẳng hàng D b) Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp E A c) Chứng minh A tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE O’ O C B d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung (O) F (O’) Hướng dẫn : a) CBA + FBA = 1800 nên A , B , F thẳng hàng b) D, E nhìn CF góc vuông nên CDEF nội tiếp c) Tứ giác CDEF nội tiếp nên EDF = ECF ; ACB = ADB từ suy EDF = ADB Hay DE phân giác góc D BDE Tương tự EC phân giác góc E BDE Hai phân giác cắt A nên A tâm đường tròn nội tiếp BDE d) Giả sử DE tiếp tuyến chung hai đường trịn ta có OO’ // CE vng góc với AB : AOO’ = ACB mà ACB = FDE ( DCFE nội tiếp ) suy : AOO’ = ODE hay tứ giác ODEO’ nội tiếp (1) DE tiếp tuyến DE vng góc với OD O’E (2) Vậy ODEO’ hình chữ nhật : Hay OD = O’E ( Hai đường trịn có bán kính d Bài : Cho (O,R) đường kính AB , đường kính CD di động Gọi Q đường thẳng d tiếp tuyến đường tròn B Đường thẳng d cắt D đường thẳng AC , AD theo thứ tự P Q B 1) Chứng minh tứ giác CPQD nội tiếp đường tròn A O 2) Chứng minh AD AQ = AC.AP 3) Tứ giác ADBC hình ? Tại ? C 4) Xác định vị trí CD để SCPQD = 3.SACD Hướng dẫn : CPB = CDA ( CBA) nên CPB + CDQ = 1800 ADC P APQ (g.g) suy AD.AQ = AC.AP Tứ giác ADBC hình chữ nhật có góc vng Để SCPQD = 3.SACD  SADC = ¼ SAPQ tức tỉ số đồng dạng hai tam giác ½ Suy AD = ½ AP hay BC = ½ AP mà tam giác ABC vuông B nên C trung điểm CP  CB = CA hay ACB cân  CD ⊥ AB Bài : Từ điểm S nằm ngồi đường trịn (O) vẽ hai tiếp tuyến SA , SB cát tuyến SCD đường tròn 1) Gọi E trung điểm dây CD Chứng minh điểm S ,A , E , O , B nằm đường tròn 2) Nếu SA = OA SAOB hình ? Tại ? A K E O C S 3) Chứng minh AC BD = BC.DA = ½ AB.CD D Hướng dẫn chứng minh 1) Sử dụng tính chất tiếp tuyến , ta có A , B nhìn SO góc vng , nên tứ giác SADO nội tiếp đường trịn đường kính SO B Dựa vào tính chất đường kính vng góc với dây cung , ta có SEO = 900 Nên E thuộc đường trịn đường kính SO 2) Nếu SA = OA SA = AB = OA = OB góc A vng nên tứ giác SAOB hình vng 3) Ta thấy SAC SDA  AC SC = DA SA SCB Mà SA = SB  SBD  BC SC = BD SB AC BC  AC.BD = AD.BC (1) = AD BD Trên SD lấy K cho CAK = BAD lúc CAK BAD (g.g)  AC.DB = AB.CK BAC DAK (g.g)  BC.AD = DK.AB Cộng vế ta AC.BD + BC.AD = AB( CK+DK )= AB.CD (2) Từ (1) (2) suy : AC.BD + AC.BD = AB.CD hay AC.BD = ½ AB.CD Vậy AC.BD = AD.BC = ½ AB.CD Bài : Cho tam giác ABC vuông A Đường trịn đường kính AB cắt BC D Trên cung AD lấy điểm E Nối BE kéo dài cắt AC F 1) Chứng minh CDEF nội tiếp 2) Kéo dài DE cắt AC K Tia phân giác góc CKD cắt EF CD M N Tia phân giác góc CBF cắt DE CF P Q Tứ giác MNPQ hình ? Tại ? 3) Gọi r1 , r2 , r3 theo thứ tự đường tròn nội tiếp tam giác ABC , ADB , ADC Chứng minh : r = r12 + r22 Hướng dẫn : A K E 1) Dựa vào số đo cung ta thấy F C = DEB  C + DEF = 1800 Q M Nên tứ giác CDEF nội tiếp P B CNK C N D 2) BED BCQ ( g.g)  BPE = BQC  KPQ = KQP hay KPQ cân MK  EMK = CNK  BMN = BNM hay BMN cân  MN ⊥ PQ MN cắt PQ trung điểm đường Nên MNPQ hình thoi 3) ABC DAB r1 r2 r1 r2 r r2 = = DAC   = = BC AB AC BC2 AB2 AC r12 + r2 r12 + r2 r2  = = BC2 AB2 + AC2 BC2  r2 = r12 + r22 Bài : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ đường cao AD , BE tam giác Các tia AD , BE cắt (O) điểm thứ hai M , N Chứng minh : a) Bốn điểm A , E , D , B nằm đường tròn TÌm tâm I đường trịn b) MN // DE c) Cho (O) dây AB cố định , điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CED khơng đổi Hướng dẫn giải : a) E,D nhìn AB góc vng nên tứ giác A AEDB nội tiếp đường trịn đường kính AB có N I b) Ta thấy : ABE = ADE ( chắn cung AE ) O E mà ABE = AMN ( chắn cung AN ) nên ADE = AMN hay DE // MN H K B I ( trung điểm AB ) tâm c) Kẻ thêm hình vẽ Dựa vào góc nội tiếp tứ giác AEBD suy CN = CM nên OC ⊥ MM  C D M OC ⊥ DE Tứ giác HDCE nội tiếp đường tròn tâm K ( trung điểm HC) đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE  KD = KE ID = IE nên IK ⊥ DE hay IK // OC OI // CK nên OIKC hình bình hành  KC = OI không đổi Bài : Cho tam giác nội tiếp đường trịn (O,R) 1) Tính theo chiều R độ dài cạnh chiều cao ABC 2) Gọi M điểm di động cung nhỏ BC ( M  B,C ) Trên tia đối MB lấy MD = MC Chứng tỏ MCD 3) CMR : M di động cung nhỏ BC D di chuyển đường trịn cố định , xác định tâm vị trí giới hạn 4) Xác định vị trí điểm M cho tổng S = MA + MB + MC lớn Tính giá trị lớn S theo R Hướng dẫn : B E I H sđ BMC = ½ sđ BAC = ½ ( 3600 : 3).2 = 1200 D A C AB AB = AC = BC = R 2) Có MC = MD ( gt) M O 1) AH =  CMD = 600 Vậy CMD 3) IMC = IMD ( c.g.c)  IC = ID Khi M di động cung nhỏ BC D chạy đường tròn ( I ; IC ) Khi M  C  D  C ; M  I  D  E 4) ACM = BCD ( g.c.g )  AM = BD  S = MA + MB + MC = 2.AM  2.AI  S  4R S Max= 4R AM đường kính Bài : Cho ABC ngoại tiếp (O) Trên BC lấy M , BA lấy N , CA lấy P cho BM=BN CM = CP Chứng minh : a) O tâm đường tròn ngoại tiếp MNP b) Tứ giác ANOP nội tiếp đường trịn c) Tìm vị trí M , N , P cho độ dài NP nhỏ Hướng dẫn : A a) Từ tính chất tiếp tuyến cắt giả thiết suy : DN = EM = FP  ODA = OEM = OFP ( c.g.c ) P ON = OM = OP hay O tâm đường tròn ngoại tiếp MNP D F N B b) Từ câu a) suy OND = OPF nên tứ giác ANOP nội tiếp O M c) Kẻ OH ⊥ NP C E Có NP = NH = NO cosHNO = 2.NO.Cos(A/2) = 2.OE Cos (A/2) Vậy NPMin = 2r.cos(A/2) Khi M , N , P trùng với tiếp điểm Bài 10 : Cho hình vng ABCD có cạnh 3a Lấy AE = a cạnh AD DF = a cạnh DC Nối AF BE cắt H a) Chứng minh : AF ⊥ BE b) Tính cạnh tứ giác ABFE đường chéo theo a c) Tính theo a đoạn HE , HB d) Chứng minh : EDFH nội tiếp đường tròn Đường tròn cắt BF K Tính theo a đoạn BK Nhận xét điểm E , K ,C F D C Hướng dẫn : a) ADF = BAE DAF = EBA  BE ⊥ AF b) Pitago : BE = AF = a 10 ; EF = a ; BF = a 13 K c) Dùng hệ thức lượng : EH = E A H a 10 9a 10 ; HB = 10 10 d) Dựa vào tổng góc đối 1800 nên EDFH nội tiếp B BEK BFH  BK = BE.BH 9a 13 = BF 13 e) Dựa vào vng góc : E , K , C thẳng hàng