PHƯƠNG PHÁP TÍNH
SAI SỐ
Số gần đúng, sai số tuyệt đối và sai số tương đối
Trong các phép tính, nhiều số liệu như số e và số π thường không có giá trị chính xác mà chỉ gần đúng, điều này thường xảy ra trong đo lường và thống kê Vì vậy, sai số là một vấn đề phổ biến trong quá trình tính toán.
Nguyên tắc xác định sai số của kết quả dựa trên việc phân tích sai số của các số liệu ban đầu Nếu sai số của các số liệu ban đầu đã được cung cấp, chúng ta có thể xác định sai số của kết quả Ngược lại, nếu sai số của kết quả được cho trước, chúng ta sẽ xác định sai số của các số liệu ban đầu.
1.1.1 Số gần đúng a được gọi là số gần đúng hay số xấp xỉ của A nếu a khá gần với A
(a > A hoặc a < A) và nó được dùng thay A trong tính toán
Cho A, a = 3.14 là số gần đúng của A
Sai số thực sự của số gần đúng a là A – a Vì không biết chính xác
Sai số thực sự của a thường không thể xác định chính xác, vì vậy chúng ta cần tìm hiểu về trị tuyệt đối của sai số này, được gọi là sai số tuyệt đối.
Sai số tuyệt đối của số xấp xỉ a là mọi số dương a thỏa mãn bất đẳng thức: a a
Trong thực hành, chọn các số trong các số dương thỏa mãn phương trình (1.1) càng bé càng tốt làm sai số tuyệt đối
Như vậy, nhờ phương trình (1.1) dù không biết chính xác A nhưng ta lại biết miền giá trị của nó: a a A a a (1.2) hay a a
A là số và a = 3.14 Vì 3.14 3.15 nên a0.01 và
Sai số tuyệt đối không phản ánh mức độ chính xác của phép đo hay tính toán Để đánh giá sự chính xác, chúng ta cần sử dụng sai số tương đối.
Khi đo hai số xấp xỉ a1 = 20m và a2 = 5m, cả hai đều có sai số tuyệt đối là Δa1 = Δa2 = 0.001m Tuy nhiên, kết quả cho thấy phép đo a1 chính xác hơn, mặc dù sai số tuyệt đối của chúng giống nhau.
Sai số tương đối của số xấp xỉ a là tỉ số của sai số tuyệt đối của số xấp xỉ với trị tuyệt đối của nó a a a
Từ Ví dụ 1.3, chúng ta thấy rằng:
Sai số tương đối nhỏ hơn đồng nghĩa với độ chính xác cao hơn trong phép đo Do đó, trong ví dụ, phép đo a1 cho kết quả chính xác hơn phép đo a2.
Chú ý rằng sai số tuyệt đối có cùng thứ nguyên với số xấp xỉ, sai số tương đối không có thứ nguyên, biểu thị bằng “%”.
Chữ số tin cậy, chữ số nghi ngờ và chữ số có nghĩa
1.2.1 Chữ số tin cậy và chữ số nghi ngờ
Mọi số thập phân đều viết dạng:
Cho số a 9.35, số a có thể viết dưới dạng sau: a 1 10 2 3 10 1 9 10 0 3 10 1 5 10 2
Trong phương trình (1.5), chữ số a n gọi là chữ số tin cậy nếu sai số tuyệt đối của a thỏa mãn: a 0 5 10 n Ngược lại, a 0 5 10 n thì a n gọi là chữ số nghi ngờ
27 a với sai số tương ứng a0.0047 Ta thấy
Số 4 được coi là chữ số tin cậy, trong khi các chữ số bên trái như 2, 7, 5 cũng được xem là tin cậy Ngược lại, các số bên phải của số 4, bao gồm 8 và 3, lại là những số nghi ngờ.
Khi ghi số liệu, nguyên tắc là chữ số cuối cùng phải là chữ số nghi ngờ, trong khi các chữ số trước đó là chữ số tin cậy Chẳng hạn, với đồng hồ đo tốc độ có độ chính xác hai con số, ta có thể xác định tốc độ di chuyển khoảng 48 – 49 km/h Tuy nhiên, nếu quan sát kỹ, ta có thể ước lượng vận tốc khoảng 48.9 km/h, trong đó hai chữ số đầu (4 và 8) là tin cậy, còn chữ số 9 là nghi ngờ, vì nó có thể là 7 hoặc 8 Tất cả ba chữ số này đều mang ý nghĩa trong việc đo lường.
Khi viết một số thập phân có nhiều chữ số, các chữ số khác 0 tính từ bên trái được gọi là các chữ số có nghĩa.
Số a = 0.002040 có ba chữ số 0 đầu tiên không có nghĩa, trong khi bốn chữ số tiếp theo (2, 0, 4, 0) có ý nghĩa, với số 0 cuối cùng được xem là số nghi ngờ Tương tự, số b = 0.024 cũng có hai chữ số 0 đầu tiên không có nghĩa, nhưng hai chữ số sau (2, 4) lại có ý nghĩa, với số 4 được coi là số nghi ngờ.
1.2.3 Cách viết số gần đúng
Viết số gần đúng kèm theo sai số dưới dạng a ± Δa hoặc chỉ sử dụng chữ số đáng tin cậy Phương pháp này giúp xác định sai số tuyệt đối của số xấp xỉ, đảm bảo rằng sai số không vượt quá một nửa đơn vị của chữ số hàng cuối Ví dụ minh họa có thể tham khảo trong Bảng 1.1.
Bảng 1.1: Giá trị tuyệt đối và sai số
Các loại sai số
Khi một số có quá nhiều chữ số, việc tính toán có thể trở nên phức tạp và không cần thiết phải chính xác tuyệt đối Để đơn giản hóa, ta có thể làm tròn số bằng cách loại bỏ một hoặc nhiều chữ số cuối Sai số làm tròn được xác định bằng hiệu số giữa số đã làm tròn và số chưa làm tròn Quy tắc làm tròn: nếu chữ số đầu tiên bị bỏ đi lớn hơn hoặc bằng 5, ta cộng thêm 1 vào chữ số trước đó; nếu nhỏ hơn 5, giữ nguyên chữ số trước đó.
Chú ý rằng sai số làm tròn làm tăng sai số tuyệt đối của phép tính, ảnh hưởng đến kết quả tính toán
Ví dụ 1.7: a) 67.55 là số làm tròn của số 67.548 với 2 số lẻ b) Cho biểu thức sau:
Sai số của biểu thức với sử dụng số gần đúng (làm tròn) của 2 thể hiện ở Bảng 1.2
Bảng 1.2: Sai số làm tròn
Sai số tạo ra do tất cả các lần xấp xỉ và làm tròn
A , các phép tính được thực hiện đến 3 chữ số lẻ và đánh giá sai số làm tròn
Sai số làm tròn thực hiện đến 3 chữ số lẻ thể hiện ở Bảng 1.3
Bảng 1.3: Sai số trong Ví dụ 1.8
Tính giá trị số hạng Sai số làm tròn
Vậy a = 0.899 là giá trị gần đúng của A với sai số tính toán 9 10 4 Hay, A0.8999.10 4
Thay bài toán phức tạp thành bài toán đơn giản sẽ tạo ra sai số gọi là sai số phương pháp
Chẳng hạn, để giải phương trình f ( x ) 0 ta dùng phương pháp Newton-Raphson với giải thuật sau:
1 n n n n f x x x f x (1.6) Để giải, ta cần cho trước nghiệm ban đầu và sai số chấp nhận được (xem Chương 3)
A n n Chuỗi A đan dấu hội tụ nên tồn tại tổng Ta không thể cộng vô hạn số hạng được Do đó dùng phương pháp gần đúng, thay A bằng A n
A là sai số phương pháp, ta cần chọn n sao cho sai số tính toán cộng với sai số phương pháp 5.10 3
Theo lý thuyết chuỗi đan dấu ta có:
Nếu lấy A 6 làm giá trị gần đúng ta phạm phải sai số:
Vậy: A0.8994.10 3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Sai số của hàm số
Giả sử cần tính y theo công thức: y f(x 1 ,x 2 , ,x n ), hàm f khả vi đối với các biến số x i
Nếu x 1 ,x 2 , ,x n là các số gần đúng thì y cũng là giá trị gần đúng
Gọi X i ,Y là các giá trị đúng, X i ,Y là các sai số tuyệt đối, y x i
Để tính toán các sai số tương đối y và y dựa trên các sai số x i và x i, ta áp dụng công thức số gia theo kiểu nội suy Lagrange Trong đó, x i đại diện cho giá trị trung gian giữa x i và X i Do X i - x i có giá trị nhỏ, ta có thể gần đúng x i với x i, từ đó dẫn đến các kết quả chính xác hơn trong việc tính toán sai số.
Phương trình (1.8) là công thức tính sai số tuyệt đối của hàm y theo các sai số của đối số Chia hai vế của phương trình (1.8) cho
1.4.2 Sai số của các phép tính cơ bản
Sai số của các phép toán cơ bản được thể hiện ở Bảng 1.4
Bảng 1.4: Sai số phép tính cơ bản y y y
Cho yx 1 x 2 ; x 1 100.1; x 2 1000.5 Tính các sai số y y ,
Thể tích hình cầu được tính theo công thức: 3
R Tính sai số tuyệt đối và sai số tương đối của V
NỘI SUY VÀ NGOẠI SUY
Nội suy
2.1.1 Phương pháp nội suy tuyến tính
Nội suy tuyến tính là nền tảng cho nhiều sơ đồ số cơ bản, và thông qua việc áp dụng tích phân nội suy tuyến tính, người ta phát triển một sơ đồ tích phân được gọi là luật hình thang Hơn nữa, gradient của nội suy tuyến tính cung cấp một xấp xỉ cho đạo hàm bậc nhất của hàm số.
Hình 2.1: Nội suy tuyến tính
Nội suy tuyến tính là tìm một đường thẳng khớp với những điểm dữ liệu đã cho (Hình 2.1), được xác định bởi:
Trong đó, f(a) và f(b) là giá trị đã biết của f(x) tại x = a và x = b
Sai số của phép nội suy: a b f(a) f(b x y f(b) f(x) g(x) b a
Trong phương trình (2.2), giá trị phụ thuộc vào x, nhưng việc đánh giá chính xác là một thách thức Dù vậy, chúng ta có thể phân tích e(x) khi f(x) gần như bằng hằng số trong khoảng [a, b].
Nếu hàm f''(x) biến đổi chậm trong khoảng [a, b] nhỏ, ta có thể xấp xỉ f''(ξ) bằng f''(xm), với xm là điểm giữa a và b: xm = (a+b)/2 Phương trình (2.2) cho thấy rằng sai số xấp xỉ lớn nhất xảy ra tại điểm giữa hai dữ liệu, và sai số này gia tăng khi khoảng cách b - a tăng, cũng như khi f'' tăng Ngoại trừ các trường hợp mà f''(x) = 0 trong [a, b], vì trong trường hợp đó, f'' không thể được xấp xỉ như một hằng số.
2.1.2 Phương pháp nội suy Lagrange
Để tìm hàm phù hợp với nhiều điểm dữ liệu, một trong những phương pháp cơ bản là nội suy đa thức, cho phép khớp 3, 4 hoặc nhiều điểm dữ liệu với một đường cong.
Nội suy đa thức có thể được biểu diễn dưới nhiều dạng khác nhau, bao gồm nội suy Lagrange và nội suy Hermite Newton, cả tiến và lùi Các dạng này cho phép chuyển đổi linh hoạt giữa các phương pháp nội suy để phù hợp với yêu cầu cụ thể của bài toán.
Bậc đa thức thứ N đi qua N+1 điểm là duy nhất, có nghĩa là mọi công thức nội suy đều khớp các điểm dữ liệu với cách tính tương tự Giả sử có N+1 điểm dữ liệu, bao gồm các điểm lưới x0, x1, x2, , xN và các giá trị tương ứng f0, f1, f2, , fN.
0 x x tương ứng (Hình 2.2) Một đa thức bậc N đi qua N+1 điểm dữ liệu được viết:
Trong đó, a i là hệ số chưa biết Từ các cặp giá trị đã biết (x i , f i ), ta xây dựng được hệ phương trình sau:
Mặc dù hệ số a i có thể được xác định bằng cách giải hệ phương trình bằng máy tính, việc này gặp khó khăn do cần một chương trình để giải hệ tuyến tính và độ chính xác không cao Số mũ của x i trong các phương trình có thể rất lớn, dẫn đến ảnh hưởng nghiêm trọng của việc làm tròn số Tuy nhiên, có những phương pháp hiệu quả hơn để giải bài toán nội suy đa thức mà không cần giải hệ phương trình tuyến tính, như công thức nội suy Lagrange, Hermite, và Newton tiến/lùi Để hiểu rõ hơn về công thức Lagrange, chúng ta cần xem xét kết quả của các yếu tố đã cho.
Biểu thức trên được liên kết với N+1 điểm dữ liệu đã cho trước
Hàm V 0 là đa thức bậc N của x và đạt 0 tại x = x 1, x 2 , … x N Nếu chia )
V cho V 0 (x 0 ) ta được một hàm sau đây:
Tương tự, ta có thể viết tổng quát cho V i (x), như sau:
Trong đó tử số bao gồm (x - x i ) và mẫu số không chứa (x i -x i ) Hàm
V i (x) là đa thức bậc N đạt duy nhất tại x = x i và bằng 0 khi x i = x j , ji f 0 f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 y x
Thêm vào đó, nếu ta nhân V 0 (x), V 1 (x), V 2 (x)… V N (x) với f 0 , f 1 , … f N , theo thứ tự rồi sau đó cộng chúng lại với nhau, phép tổng trở thành một đa thức bậc N và f i với i = 0…N
Như vậy, công thức nội suy Lagrange bậc N được viết như sau:
Giải phương trình (2.8) tương đương với việc giải hệ phương trình phi tuyến
Tỷ trọng của Natri cho ở 3 nhiệt độ khác nhau như sau: i Nhiệt độ (T i ) Tỉ trọng ( i )
860 Tìm tỉ trọng của Natri ở 251 0 C bằng cách sử dụng nội suy Lagrange
Vì số điểm dữ liệu là 3, nên ta chọn bậc đa thức của công thức Lagrange N = 2
2.1.3 Phương pháp nội suy đường cong bậc ba
Khi dữ liệu bài toán lớn, việc làm mịn đường cong nội suy mang lại kết quả chính xác cao, giúp giảm thiểu sai số Để đạt được điều này, chúng ta thường sử dụng các phương pháp nội suy như Cubic bậc 3, Bezier, Spline và Nurb.
Trong nội suy đường cong bậc 3, đường cong này được áp dụng giữa hai điểm dữ liệu liên tiếp và có 4 hệ số, do đó cần 4 điều kiện Hai điều kiện đầu tiên yêu cầu đa thức phải đi qua 2 hoặc 3 điểm dữ liệu, trong khi hai điều kiện còn lại liên quan đến đạo hàm bậc nhất và bậc hai của đa thức để đảm bảo tính liên tục và sự chuyển tiếp mượt mà qua mỗi điểm dữ liệu.
Xét khoảng x i xx i 1 , chiều dài h i = x i+1 -x i trong dãy nội suy như Hình 2.3 Sử dụng hệ toạ độ địa phương s = x- x i , đa thức cubic cho một khoảng được viết như sau:
+ es bs + cs g(s)= a + 2 3 với 0sh i (2.9) Đầu tiên phương pháp này đòi hỏi g(s) được biết ứng với giá trị hàm f(s) ở s = 0 và s = h i, nghĩa là:
Trong bài viết, f i và f i+1 đại diện cho các giá trị đã biết tại s = 0 và s = h i Hơn nữa, các đạo hàm g’ và g” là liên tục tại các điểm i và i + 1, với đa thức bậc 3 ở khu vực lân cận Chúng ta ký hiệu các đạo hàm này tại điểm i của lưới bằng g i ' và g i Đạo hàm bậc hai của phương trình (2.9) dẫn đến kết quả es c+.
Như vậy ở điểm i và i+1 các đạo hàm bậc hai tương ứng:
Giải hệ phương trình (2.12) trên, ta được c và e như sau:
Hệ số a đã cho từ phương trình (2.10) Hệ số b được xác định bởi việc khử a, c, và e trong các phương trình (2.10 - 2.13), ta được: i i i i i i g g h h f b f
Do đó, phương trình đường cong đa thức (2.9) được viết lại như sau:
(2.15) Đạo hàm bậc nhất của phương trình (2.15) tại s = 0 và s = h là:
Trong đó, h = xi+1 – xi Đối với khoảng dữ liệu khác của i i x x x 1 , ta được:
Trong đó, h i-1 được xác định là x i – x i-1 Để đảm bảo đạo hàm bậc nhất liên tục, g i của phương trình (2.18) cần phải bằng g i của phương trình (2.16) Bằng cách khử g i giữa hai phương trình này, ta thu được một phương trình mới.
Khi giá trị hàm tại hai điểm biên chưa biết, chúng ta sử dụng phương pháp ngoại suy Phương trình (2.19) được áp dụng cho mọi điểm trong lưới, ngoại trừ hai điểm biên Giá trị của hai điểm này được xác định thông qua phép ngoại suy từ hai điểm bên trong lưới lân cận Giả thuyết rằng số điểm dữ liệu được ký hiệu bởi i = 0, 1, 2,…, N, dẫn đến hệ phương trình trên.
Giả sử ta có lưới điểm gồm 4 khoảng bằng nhau i = 04, áp dụng hai kiểu tính điều kiện biên được minh hoạdưới đây:
Trong đó, g 0 và g 4 là giá trị tính dựa trên phép ngoại suy như sau:
Trường hợp tổng quát, g 0 và g N đạt được bởi:
Khi đó, phương trình (2,21) trở thành:
Giải hệ phương trình (2.24) ta thu được g 1 , g 2 , g 3 Thay các giá trị này vào phương trình (2.15) ta được hàm s của phương trình (2.9)
Cho bảng dữ liệu sau: x f(x)
Sử dụng nội suy đường cong bậc 3, giá trị f(x)với x = 0.1, 0.2,…,1.0 điểm dữ liệu cho trước được mô tả từ một hàm thử f(x)
Trong bảng (2.1), chúng ta tính toán sai số giữa hàm thử sin(x) và hàm nội suy g(x) là đường cong bậc 3 Do không có giá trị biên cho đạo hàm bậc hai trong bảng dữ liệu đã cho, chúng ta áp dụng phương pháp ngoại suy Kết quả của quá trình nội suy và đánh giá sai số được trình bày trong bảng dưới đây, với các giá trị x, g(x), f(x) và sai số (f(x) - g(x)).
Trong đó, g(x) là nội suy đường cong bậc 3; f(x) là hàm chính xác;
2.1.4 Phương pháp nội suy Lagrange cho bài toán hai chiều
Giả sử giá trị của hàm f(x,y) được cho trên lưới chữ nhật (x,y) tương ứng giá trị (x i ,y i ) như Hình 2.4 Giá trị tương ứng của hàm f(x,y)
(đại lượng cần đo) tại vị trí này ký hiệu là f i,j = f(x i ,y i ) Như vậy, nội suy
Nội suy Lagrange cho bài toán hai chiều là quá trình thực hiện nội suy kép, bao gồm hai bước Mỗi bước trong quá trình này được thực hiện như một nội suy một chiều.
Hình 2.4: Nội suy hai chiều
Chẳng hạn, chúng ta cần xác định giá trị của hàm tại một vị trí nào đó trong miền xác định j j i i y y y x x x
1 (2.25) Đầu tiên, ta nội suy theo phương y để tìm giá trị của hàm tại E và F: j i j j j j i j j j F j i j j j j i j j j E y f y y f y y y y f y y f y y f y y y y f y
Sau đó, ta nội suy giữa f E và f F bằng nội suy tuyến tính:
Cuối cùng, ta tổ hợp hai bước trên, ta thu được công thức nội suy hai chiều như sau:
Ngoại suy hai điểm
Ngoại suy hai điểm dựa trên ý tưởng cơ bản sau: chúng ta có thể xấp xỉ hàm f (x )bằng cách xấp xỉ sai phân hữu hạn theo các bước h, 2h,
… nhưng chúng ta thật sự mong muốn: h x f h x f h
F(h) = a 0 1 p r với r > p (2.30) Trong đó, giả sử hệ số mũ p và r đã biết, hệ số a 0 , a 1 cần tìm Mục đích là tính:
Chẳng hạn, cho sơ đồ vi phân tiến với cấp chính xác bậc nhất:
Từ phương trình (2.30), ta có:
Khử a1 từ phương trình (2.33), ta được:
Có a 0 , chúng ta dễ dàng tính toán a 1 từ phương trình (2.33)
Để tính toán chính xác năng lượng của hàm chịu uốn U và hệ số C, cần biết năng lượng xấp xỉ tương ứng với lưới kích thước h là U_h và lưới kích thước h/2 là U_{h/2}.
Theo sơ đồ ngoại suy Richard-Son sau: p h C h
Trong đó, p là bậc đa thức xấp xỉ Ta có
Cho p = 2, U h = 1.476, U h / 2 =1.126, h=0.02 Giải hệ (*) và (**) ta tìm được U và C là U = 1.5927 và C = 0.47.10 -4 Có U và C ta tính toán sai số năng lượng tuyệt đối với lưới h và h/2 như sau:
Ta thấy rằng sai số năng lượng tuyệt đối tương ứng với h nhớ hơn tương ứng với h/2 Vậy lưới h xấp xỉ tốt hơn.
Bài tập
Bài 2.1 Viết nội suy Lagrange, đi qua các điểm dữ liệu sau đây:
Biết f(0.6)1.822, đánh giá sai số tại x = 0.2, 0.6, 1.0
Bài 2.2 Dùng phương pháp nội suy đa thức Lagrange và nội suy đường cong bậc ba để tìm hàm đi qua các điểm dữ liệu cho bảng dưới đây:
0 0.1649 0.2808 0.3653 0.4207 Đánh giá sai số những công thức nội suy trên tại x = 0.6.
PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾT MỘT BIẾN
Định nghĩa
Cho phương trình một biến f(x): R → R, nếu f(x) = 0 thì x được gọi là nghiệm của hàm số f(x) Một cách tổng quát, hàm f(x) có thể không có nghiệm, có một nghiệm, hoặc có vô số nghiệm Ví dụ, hàm f(x) = e^x không có nghiệm (Hình 3.1), trong khi f(x) = e^x - e^(-x) có một nghiệm (Hình 3.2).
(x x f có vô số nghiệm (Hình 3.3)
Hình 3.1: Hàm một biến y=exp(x)
Hình 3.2: Hàm một biến y = exp(x) - exp(-x)
Hình 3.3: Hàm một biến y = cos(x)
Khảo sát nghiệm của phương trình một biến ax = b
Phương trình có nghiệm duy nhất nếu a0, vô nghiệm nếu
b a và vô số nghiệm (xR) nếu a 0 & b 0
Cho mạch điện một chiều phi tuyến như hình vẽ (Hình 3.4)
Hình 3.4: Mạch điện một chiều phi tuyến
Trong mạch điện, E đại diện cho suất điện động, x là hiệu điện thế biến đổi giữa hai đầu điện trở, R là giá trị của điện trở, và y là dòng điện chảy qua mạch, phụ thuộc vào sự thay đổi của x.
R x y=g(x) y g(x) (E-x)/R Áp dụng định luật Ohm cho mạch này, ta có:
R x x E g x f Đây là phương trình một biến x và có 3 nghiệm.
Phương pháp giải lặp
3.2.1 Tính chất chung của giải thuật
Xây dựng chương trình con (kiểu function) cho f ( x ), f ' ( x )
Gọi các hàm này từ chương trình chính Tính giá trị các hàm này
3.2.2 Hạn chế của giải thuật
Giải thuật đề ra chỉ tìm được một nghiệm thuộc khoảng chứa nghiệm Nghiệm ban đầu đưa ra phải nằm trong khoảng chứa hay lân cận nghiệm cần tìm
3.2.3 Phương pháp giải phương trình phi tuyến bằng giải lặp
Nghiệm xuất phát ban đầu x ( 0 ) , nghiệm ứng với bước lặp thứ k là
Tính x ( k 1 ) từ x (k ) cho mỗi lần lặp Trong mỗi lần lặp phải tính
( hay f f f ở trạng thái đó, chẳng hạn ở bước lặp thứ k tính
Chọn tiêu chuẩn dừng (kết thúc) giải thuật Thông thường, ta cho trước sai số (là một số dương rất nhỏ) Quá trình lặp dừng nếu
Tốc độ giải thuật tùy thuộc và chi phí tính toán cho f ( x ), f ' ( x ) và số lần lặp
3.2.4 Phân tích sai số và tốc độ hội tụ
Giả sử x ( k ) x * với f(x * )0, nhanh như thế nào để x ( k ) x * ? Sai số sau k lần lặp:
+ Hội tụ tuyến tính: Tồn tại hằng số c 0 , 1 sao cho:
( x c x x x k k với k đủ lớn (3.4) + R-hội tụ tuyến tính: Tồn tại c 0 , 1 , M 0 sao cho: k k x Mc x ( 1 ) * với k đủ lớn (3.5) + Hội tụ toàn phương (bậc hai): Tồn tại c0 sao cho:
( x c x x x k k với k đủ lớn (3.6) + Siêu hội tụ: Tồn tại c k với c k 0, sao cho:
+ Nếu x * 0,gọi số chỉnh lý (thặng dư) ở lần lặp thứ k:
+ Hội tụ tuyến tính cho mỗi lần lặp thì thặng dư: c r r ( k 1 ) ( k ) log 10 (3.9)
+ Hội tụ toàn phương cho mỗi lần lặp:
Với x * 1 k x ( k ) 1 0 5 hội tụ là tuyến tính (với
k k k k x x k k x ( ) 10.5 2 hội tụ toàn phương (với c = 1):
Tối độ hội tụ được thể hiện ở Hình 3.5 và Bảng 3.1
Hình 3.5: Mạch điện một chiều phi tuyến
Bảng 3.1: Giá trị từng vòng lặp k k x ( k ) 1 0 5 k x ( k ) 10.5 2 k k k x k
+ Vẽ hàm f(x): ta dễ dàng tìm nghiệm đề nghị ban đầu
Phương pháp lặp mịn theo giải thuật tính từ nghiệm đề nghị ban đầu bao gồm phương pháp lặp với điểm cố định (Fixed Point Iteration) Phương pháp này đơn giản và được áp dụng khi hàm cần lặp có tính hội tụ.
Nghiệm đề nghị ban đầu x 0 và điều kiện dừng tol for k = 1,2, x k = g(x k-1 ) if hội tụ, dừng end
Giải phương trình phi tuyến:
) ( old old old new old old new x x x g x x x g x
Kết luận cho thấy rằng g 1 (x) hội tụ, g 2 (x) phân kỳ và g 3 (x) hội tụ rất nhanh Điều này cho thấy rằng tốc độ hội tụ hay phân kỳ của vòng lặp phụ thuộc vào cách chọn phương pháp g(x).
(5) b) Phương pháp chia đôi khoảng (bisection method)
Xét hàm một biến f ( x ) : R R , liên tục trong khoảng [a, b] Nghiệm của hàm f(x) tìm được trên khoảng đóng [a,b] nếu (Hình 3.6):
Hình 3.6: Phương pháp chia đôi khoảng
Cho trước khoảng nghiệm [a, b] và tiêu chuẩn hội tụ for k = 1, 2, … x m =
If f(x m )*f(x a )>0 a=x m else b=x m end {if} if hội tụ, dừng end {for}
Lưu đồ: x in b x a tol x f x a x b x f a f x f b x a k tol b a m m m m m m m
Sử dụng phương pháp chia đôi khoảng tìm nghiệm phương trình sau:
Kiểm tra điều kiện có nghiệm trong khoảng [a, b], thay giá trị x bằng 3 và 4 vào phương trình (*), ta được:
Tiếp tục như trên, nghiệm đạt được sau khi điều kiện dừng thỏa mãn Các vòng lặp tiếp theo được thể hiện ở Bảng 3.2 sau:
Bảng 3.2: Giá trị sau mỗi vòng lặp k a b x mid f(x mid)
Tiêu chuẩn dừng của phương pháp chia đôi khoảng
+ x k x k 1 tol : sai số tuyệt đối
+ f(x k ) tol: sai số tuyệt đối hàm
+ f(x k ) tolmax f(a), f(b): sai số tương đối của hàm
Khoảng sai số trên phương x và phương y của phương pháp chia đôi khoảng được thể hiện trên Hình 3.7
Hình 3.7: Hàm một biến y = exp(x) c) Phương pháp Newton-Raphson
Cho hàm một biến f ( x ) : R R liên tục và khả vi Phương pháp
Newton – Raphson có thể xây dựng dựa trên giải thích hình học
Từ Hình 3.8, đạo hàm bậc một tại x 1 tương đương đường dốc:
Phương trình (3.13), có thể viết lại như sau:
Phương trình (2.15) chính là giải thuật của phương pháp lặp Newton – Raphson để tìm nghiệm của phương trình f(x)
Hình 3.8: Phương pháp Newton-Raphson
Tiêu chuẩn dừng của phương pháp Newton-Raphson tol x x k k 1 hoặc f(x k ) tol
Lưu đồ: x in tol x f tol x x x f x x f x k tol x k k k k k k k
Tìm nghiệm phương trình f(x)xx 1 / 3 20 (*) bằng phương pháp Newton – Raphson
Giải: Đạo hàm bậc một của (*): 2 / 3
Sử dụng phương trình lặp (3.15):
Quá trình lặp với các giá trị x, f’(x) và f(x) được thể hiện ở Bảng 3.3 sau:
Bảng 3.3: Giá trị sau mỗi vòng lặp k x k f ' ( x k ) f ( x k )
) ( , có nghiệm duy nhất ở x = 0 (Hình 3.9) Sử dụng phương pháp Newton – Raphson để giải phương trình trên với hai giá trị nghiệm ban đầu khác nhau: x ( 0 ) 0 9 và x ( 0 ) 1 1
Trong nghiên cứu, chúng tôi nhận thấy rằng với giá trị ban đầu x(0) = 0.9, nghiệm đạt được chỉ sau 5 vòng lặp, cho thấy sự hội tụ nhanh chóng Ngược lại, trường hợp thứ hai không tìm được nghiệm do vòng lặp không hội tụ Điều này cho thấy rằng giá trị khởi đầu có ảnh hưởng quyết định đến khả năng và tốc độ hội tụ của phương pháp Newton – Raphson, điều này được minh họa rõ ràng trong Hình 3.10.
Hình 3.10: Hàm một biến y = exp(x) d) Phương pháp dây cung (Secant method)
Hình 3.11: Phương pháp dây cung Đối với phương pháp này, chúng ta cần cho trước 2 nghiệm x k và
1 x k , đạo hàm xấp xỉ của hàm f(x) được xác định như sau (Hình 3.11):
Tương tự như phương pháp Newtion – Raphson, nghiệm của phương trình có thể đạt dựa trên công thức lặp sau:
Lưu đồ: x in tol x f tol x x x f x f x x x f x x k tol x x k k k k k k k k k k
Phương pháp dây cung có độ hội tụ tương tự như phương pháp Newton – Raphson, với ưu điểm nổi bật là không yêu cầu tính đạo hàm Tuy nhiên, để áp dụng phương pháp này, cần cung cấp hai giá trị ban đầu cho nghiệm.
Sử dụng phương pháp dây cung tìm nghiệm phương trình: x e x f( ) x Hai giá trị đầu của nghiệm được cho là: x 0 0,x 1 1
Các vòng lặp khác được thể hiện ở Bảng 3.4 sau:
Bảng 3.4: Giá trị sau mỗi vòng lặp k x f(x)
Ta cũng thể thể kết hợp giữa phương pháp dây cung và phương pháp chia đôi khoảng Khi đó lưu đồ giải thuật lai hai phương pháp như sau:
Lưu đồ: x In tol x f x x x f x f x f x f x x x f x x k tol x x k k k k k k k k k k k k
Bảng 3.5 thể hiện quá trình lặp của phương pháp dây cung và phương pháp lai giữa dây cung và chia đôi khoảng của phương trình trong Ví dụ 3
Bảng 3.5: Vòng lặp hai phương pháp i x (secant) x (hydrid) f (secant) f (hydrid)
Tốc độ hội tụ của phương pháp lai nhanh hơn phương pháp dây cung, nhưng số bước thực hiện trong phương pháp lai lại nhiều hơn Điều này cho thấy rằng, khi hàm f(x) rất phức tạp và chi phí tính toán cao, phương pháp lai là sự lựa chọn tối ưu Ngược lại, với hàm f(x) đơn giản, phương pháp dây cung nên được ưu tiên nhờ vào tính đơn giản trong giải thuật.
* Nhận xét các phương pháp
Phương pháp chia đôi khoảng (bisection method)
Không đòi hỏi hàm khả vi (không cần tính đạo hàm)
Phải cho trước khoảng chứa nghiệm [a, b] với f ( a ) f ( b ) 0
Hội tụ tuyến tính đều (R-linear convergence)
Phương pháp Newton-Raphson là một kỹ thuật hiệu quả trong việc tìm nghiệm gần đúng, đặc biệt khi nghiệm ban đầu gần với nghiệm chính xác Tuy nhiên, phương pháp này có thể gặp vấn đề phân kỳ nếu giá trị x k+1 cách xa nghiệm đề nghị và đạo hàm f'(x k) gần bằng 0.
Phương pháp Newton-Raphson hội tụ nhanh hơn nhiều so với phương pháp chia đôi khoảng
Phương pháp Newton-Raphson đòi hỏi một công thức giải tích cho
Hội tụ toàn phương (quadratic convergence)
Phương pháp dây cung (secant method)
Không đòi hỏi hàm khả vi (không cần tính đạo hàm)
Phải cho trước 2 nghiệm ban đầu gần nghiệm chính xác
Hội tụ siêu tuyến tính (superlinear convergence).
Bài tập
Bài 3.1 Giải phương trình phi tuyến: f(x)x1.63.9cos(2x)0 bằng ba phương pháp sau:
2 Phương pháp Newton Nghiệm đề nghị ban đầu là:
3 Phương pháp dây cung Nghiệm đề nghị ban đầu là:
4 So sánh sai số và tốc độ hội tụ ba phương pháp trên
Hình 3.12: Đồ thị hàm f ( x ) x 1 6 3 9 cos( 2 x )
Bài 3.2 Giải phương trình phi tuyến: f(x)x 2 4sin(x)0 bằng ba phương pháp sau:
2 Phương pháp Newton Nghiệm đề nghị ban đầu
3 Phương pháp dây cung Nghiệm đề nghị ban đầu:
4 So sánh sai số và tốc độ hội tụ ba phương pháp trên
Hình 3.13: Đồ thị hàm f ( x ) x 2 4 sin( x )
Bài 3.3 Giải phương trình phi tuyến: f(x)x 2 sin(lnx)/ 1x 3 0 bằng ba phương pháp sau:
2 Phương pháp Newton Nghiệm đề nghị ban đầu
3 Phương pháp dây cung Nghiệm đề nghị ban đầu:
4 So sánh sai số và tốc độ hội tụ ba phương pháp trên
Hình 3.14: Đồ thị hàm f(x) x 2 sin(lnx)/ 1x 3
Bài 3.4 Xác định chiều cao h của khối chất lỏng trong ống hình trụ có thể tích V được xác định như sau:
2 Dùng phương pháp Newton-Raphson
3 Dùng phương pháp dây cung (Secant)
Bài 3.5 Xác định tần số dao động riêng của dầm một đầu ngàm và một đầu tự do Phương trình tần số cho bởi công thức sau: cos( L ) cosh( L ) 1 0 với:
, L: chiều dài dầm,: tần số riêng, EI: độ cứng chống uốn, : khối lượng riêng của dầm
2 Dùng phương pháp Newton-Raphson
3 Dùng phương pháp dây cung (Secant)
Bài 3.6 Cho một dầm chịu lực như hình vẽ Dầm chịu tác dụng tải trọng phân bố đều W
Tìm chuyển vị x của dầm trên bằng các phương pháp dưới đây:
2 Dùng phương pháp Newton-Raphson
3 Dùng phương pháp dây cung (Secant)
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN
Tổng quan về véc tơ và ma trận
4.1.1 Ma trận và véc tơ
Ma trận là một mảng chữ nhật, trong đó các phần tử được sắp xếp thành hàng và cột như sau:
Biểu thức (4.1) thể hiện một ma trận với m hàng và n cột, trong đó a ij đại diện cho các phần tử hoặc hệ số của ma trận A, với m và n là kích thước của ma trận.
Ma trận mà tất cả các phần tử bằng không gọi là ma trận không
(zero matrix), hay: n j m i a matrix zero ij 0, 1, , ; 1, ,
Ma trận mà các phần tử trên đường chiếu bằng 1, các phần tử còn lại bằng 0 gọi là ma trận đơn vị, hay: j i a a n m matrix identity ii ij
Ma trận chéo hóa là ma trận chỉ có các phần tử trên đường chéo chính khác 0, ngoài ra các phần tử khác bằng 0:
Ma trận chuyển vị (transpose matrix) của ma trận A m n là ma trận
A , tạo ra bằng cách chuyển cột thành hàng và hàng thành cột, hay:
Ta có tính chất: A T R mxn ; A T T A ; một ma trận vuông là đối xứng nếu: AA T ,(a ij a ji )
Cho ma trận vuông không suy biến A, ma trận A -1 là ma trận nghịch đảo của A, nếu:
Trường hợp ma trận A chỉ có một hàng hoặc một cột, ta gọi là véc tơ Véc tơ x R n , viết theo cột:
4.1.2 Các phép toán ma trận a) Cộng và trừ ma trận
Cộng trừ hai ma trận được mô tả bởi công thức sau:
(4.9) Điều kiện để cộng trừ hai ma trận là số hàng và số cột của A và B phải bằng nhau b) Nhân một số vô hướng với ma trận
Nhân một số vô hướng với ma trận B được thực hiện bởi công thức sau:
(4.10) c) Tích ma trận với véc tơ
Cho ma trận A m n và véc tơ x n 1 , điều kiện để A nhân với x là số cột của A phải bằng số hàng của x và được xác định như sau:
Trong toán học, b là véc tơ cột với m hàng, và việc tích ma trận với véc tơ là phương pháp phổ biến để biểu diễn hệ phương trình dưới dạng ma trận và véc tơ.
Xét không gian R 3 Giả sử y f (x ) với: x y x y x y 1 3 , 2 2 , 3
Có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau:
Phép quay trục x (véc tơ x) theo chiều ngược chiều kim đồng hồ một góc có thể biểu diễn tích giữa ma trận A và véc tơ x như sau (Hình
Một hàm sóng biểu thị theo thời gian như Hình 4.2 Biết quan hệ giữa độ dốc y k , k 1 , , N theo hàm sóng x tại thời điểm có T có dạng:
Hình 4.2: Hàm một biến y=exp(x) x f(x) Độ dốc y k Độ dốc y k+1
Khi đó, mối quan hệ giữa y và x có thể biểu diễn ở dạng ma trận như sau:
d) Tích của hai ma trận
Phép nhân của hai ma trận A và B là ma trận C được biểu diễn như sau:
Trong đó, các phần tử của ma trận C được xác định theo:
Để thực hiện phép nhân giữa ma trận A và ma trận B, điều kiện cần thiết là số cột của ma trận A phải bằng số dòng của ma trận B Kết quả của phép nhân, ma trận C, sẽ có số hàng tương ứng với số hàng của ma trận A và số cột tương ứng với số cột của ma trận B.
Một số tính chất của nhân hai ma trận:
+ Trường hợp đặc biệt: AI IA, A là ma trận vuông
Cho sơ đồ khối và mối quan hệ như Hình 4.3:
Mối quan hệ y = A.B.x trong Hình 4.3 có thể tính như sau:
Ta thấy rằng y y nên ABBA e) Ma trận khối (block matrix)
Cho các ma trận sau:
Ta có thể biểu diễn ma trận A như sau:
A B (4.16) trong đó, A gọi là ma trận khối còn B, C, D, E là các khối của ma trận A Để tạo được ma trận khối A, kích thước các khối ma trận B, C, D,
Để đảm bảo tính tương thích, B và D cần có số cột giống nhau, trong khi B và C phải có số hàng tương đương Chúng ta có thể mở rộng bằng cách thêm nhiều khối hàng và khối cột theo quy tắc này Công thức áp dụng là x A z = B x B và y = A zx.
Phép tính cộng và nhân ma trận khối được thực hiện như sau:
4.1.3 Chuẩn ma trận và hạng ma trận
Những chuẩn được sử dụng rộng rãi trong toán học gồm:
Hạng ma trận (matrix rank) của ma trận A là số cột độc lập tuyến tính của A Kí hiệu là rank(A).
Giải hệ phương trình đại số tuyến tính
4.2.1 Phương trình đại số tuyến tính
Hệ có m phương trình và n biến x 1 ,x 2 , ,x n được viết:
Hình 4.4: Nội suy đa thức
Nội suy đa thức p(t)x 1 x 2 tx 3 t 2 x n t n 1 qua n điểm dữ liệu t 1 , y 1 , t 2 , y 2 , , t n , y n (Hình 4.4)
Chúng ta có thể tìm giá trị của các hệ số x 1 ,x 2 , ,x n bởi giải hệ phương trình sau: n n n n n n n n n n n y t x t x t x x t p y t x t x t x x t p y t x t x t x x t p
Viết dưới dạng ma trận T.x=y:
4.2.2 Sự tồn tại và duy nhất hệ phương trình tuyến tính
Cho hệ phương trình tuyến tính ghi ở dạng ma trận như sau: m n mxn R R
(4.21) Đặt Alà ma trận bổ sung thêm cột số hạng vào bên phải ma trận A:
(A A (4.23) thì hệ có nghiệm duy nhất Khi đó, ma trận A tồn tại A -1 và nghiệm của hệ là: x A 1 b
(A A (4.24) thì hệ có vô số nghiệm và phụ thuộc vào n - r ẩn tự do
(A rank A rank (4.25) thì hệ vô nghiệm
4.2.3 Phương pháp khử Gauss a) Trường hợp ma trận A của hệ là ma trận chéo hóa
Cho hệ phương trình tuyến tính Ax = b với
Sử dụng giải thuật trên, nghiệm của hệ là: x 1 1; x 2 2; x 3 3 b) Ma trận A là tam giác dưới hoặc tam giác trên
Trường hợp tam giác dưới:
Giải thuật cho Lx = b end
Trường hợp tam giác trên:
Cho Ax=b có nghiệm duy nhất Khi đó, giải thuật của phương pháp khử Gauss như sau:
A A A A A n i j for n i k for n i for ij ii ki kj kj ~ ~
Cho hệ phương trình: Ax=b với:
Bước 1: cộng 2 lần hàng (1) với hàng (2) và cộng hàng (1) với hàng (4):
Bước 2: trừ hàng (3) với hàng (2):
Bước 3: giải bằng thay thế ngược:
Phương pháp Gauss và LU là những phương pháp giải trực tiếp, tuy nhiên chúng yêu cầu nhiều phép tính và do đó không thích hợp cho các hệ phương trình lớn Đối với những hệ phương trình này, thường sử dụng các phương pháp lặp, còn gọi là phương pháp gián tiếp, như Jacobi và Gauss-Seidel để tìm nghiệm xấp xỉ hiệu quả hơn.
4.2.4 Phương pháp lặp Jacobi Để giải bằng phương pháp lặp Jacobi, hệ phương trình A.x = b có nghiệm duy nhất và các hệ số trên đường chéo chính của ma trận A không bằng 0 Đầu tiên ta chọn một nghiệm ban đầu (thường chọn x (0) = {0}) Khi đó vòng lặp Jacobi được thực hiện theo công thức sau:
(4.28) Phương trình 4.28 có thể viết ở dạng sau:
(4.29) Ở dạng ma trận, phương trình A.x = b có thể được viết như sau: b U)x L (D b
Sắp xếp lại phương trình (4.30, ta có:
Cuối cùng ta có phương pháp lặp Jacobi như sau:
Cho nghiệm ban đầu, x (0) và sai số dừng lặp TOL, số vòng lặp N
Tại vòng lặp k, tính giá trị x (k) bởi (4.28)
Tính norm(x (k) - x (k-1) ) hoặc norm(f(x)), nếu nhỏ hơn TOL, dừng lặp Cập nhật nghiệm mới và tăng, k = k+1
Giải hệ phương trình bằng phép lặp Jacobi với sai số là 10e-6
Phương trình (4.28), có thể thao tác bằng tay bằng cách đưa hệ (*) về dạng lặp như sau:
Chọn x (0) = {0}, ta có giá trị x (1) như sau:
Tương tự, ta có giá trị của x (k) trong Bảng 4.1 sau:
Bảng 4.1: Nghiệm lặp hệ bằng Jacobi k =0 k=1 k=2 k=3 … k=6 k=7 x1 0 0.37500 0.81875 0.90807 … 0.96487 0.96980 x2 0 1.4000 1.6250 1.7667 … 1.8145 1.8188 x3 0 -0.7500 -1.0146 -1.0891 … -1.1293 -1.1328 tol NaN 0.24368 0.06599 0.02039 … 0.00231 0.000794
4.2.5 Phương pháp Gauss-Seidel Đối với phương pháp Jacobi, giá trị của x i k đạt được trong vòng phương pháp Gauss-Seidel, ta sử dụng giá trị mới của x i k 1 ngay khi nó được tính toán Ví dụ, khi chúng ta tính toán x 1 k 1 từ phương trình đầu tiên, giá trị của nó sẽ được sử dụng cho phương trình thứ hai để tính
x k Khi đó, vòng lặp Gauss-Seidel được mô tả bởi công thức sau:
Thuật toán của phương pháp Gauss-Seidel tương tự như phương pháp Jacobi
Giải hệ phương trình trong Ví dụ 4.9 bằng phương pháp Gauss-Seidel
Giải: Đưa hệ phương trình về dạng lặp bởi công thức 7.36 như sau:
Với nghiệm ban đầu x (0) = {0}, ta có x (1) :
Tương tự, ta có kết quả lặp của phương pháp Gaus-Seidel của Ví dụ 4.9 thể hiện ở Bảng 4.2
Bảng 4.2: Nghiệm lặp hệ bằng Gauss-Seidel k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 x1 0 0.375 0.872135 0.959876 0.970538 0.971948 x2 0 1.475 1.779844 1.815839 1.820634 1.821253 x3 0 -1.02708 -1.11932 -1.13263 -1.13432 -1.13454 tol NaN 0.184055 0.024071 0.002876 0.000377 4.89e-05
C (4.39) thì điều kiện để phương pháp lặp Jacobi và Gaus-Seidel hội tụ là
4.2.6 Phương pháp Conjugate gradient method (CGM)
Chúng ta biết rằng, việc tìm nghiệm x* một hệ phương trình tuyến tính Ax = b đồng nghĩa với việc x* để cực tiểu (minimize) hàm toàn phương dạng: b x Ax x x T T f
Hay nói cách khác, việc giải phương trình tuyến tính Ax = b đồng nghĩa với việc tối ưu hóa phương trình (4.40)
CGM, hay phương pháp tối ưu lặp, là một trong những phương pháp tìm đường hiệu quả Các phương pháp này sử dụng quy trình lặp để đạt được kết quả tối ưu.
Các phương pháp tìm đường khác nhau về cách tính (chọn) giá trị của kích thước bướcα (k ) và hướng tìm nghiệm p (k ) Đối với CGM, α ( k ) được tính bởi công thức:
) 1 ( ) ( ) ( ) ( k r k β k p k p (4.43) trong đó, r ( k ) thặng dư, được xác định bởi:
) 1 ( ) ( ) 1 ( ) ( k r k α k Ap k r (4.44) và β (k ) là hệ số cải tiến:
4.2.7 Phương pháp Preconditioned CGM (PCGM)
Phương pháp PCGM là một biến thể của phương pháp CGM, với sự điều chỉnh nhỏ thông qua hệ số cải tiến C Khác với việc tính β (k) theo công thức (4.45) trong CGM, hệ số này trong PCGM được tính theo cách riêng, giúp tối ưu hóa kết quả.
Với PCGM, hướng tìm nghiệm p (k ) được tính bởi:
Và kích thước bướcα (k ) thu được từ:
Thuật toán PCGM tương tự như CGM, với điểm khác biệt là cần tính thêm hệ số chỉnh lý h(k) trong bước 3 Ở bước 4 và 5, chúng ta sử dụng công thức (4.46) và (4.48) thay vì công thức (4.45) và (4.43).
Thuật toán của CGM và PCGM được trình bày trong Bảng sau:
Bảng 4.3: Thuật toán CGM và PCGM
Giải hệ trong Ví dụ 4.8 bằng CGM
Viết lại hệ phương trình:
Chọn x (0) = {0}, sử dụng giải thuật trong Bảng 4.3, ta có: p 0 r ( 0 ) bAx ( 0 ) 3 19 4 T
Có các giá trị mới x ( 1 ) ,r ( 1 ) ,p ( 1 ) , ta tính tiếp cho k = 2, 3,… Kết quả của các vòng lặp được thể hiện ở Bảng 4.4
Bảng 4.4 trình bày nghiệm lặp hệ thông qua phương pháp CGM với các giá trị k từ 0 đến 5 cho các biến x1, x2 và x3 Kết quả cho thấy x1 đạt giá trị ổn định 0.97216 từ k=3 đến k=5, x2 dao động quanh 1.82135, trong khi x3 giảm nhẹ từ -1.12994 xuống -1.13457 Đối với phương pháp PCGM, chúng ta áp dụng tương tự như CGM dựa trên thuật toán được mô tả trong Bảng 4.3, và kết quả các vòng lặp của phương pháp PCGM được thể hiện trong Bảng 4.5.
Bảng 4.5: Nghiệm lặp hệ bởi PCGM k=0 k=1 k=2 k=3 k=4 k=5 x1 0 0.376646 0.972109 0.972158 0.972158 0.972158 x2 0 1.757682 1.821818 1.821346 1.821346 1.821346 x3 0 -1.12994 -1.13385 -1.13457 -1.13457 -1.13457 tol NaN 0.167608 0.000366 8.54e-17 8.54e-17 8.54e-17
Tốc độ hội tụ của bốn phương pháp lặp cũng thể hiện ở Hình 4.5
Phương pháp CGM và PCGM cho thấy tốc độ hội tụ nhanh nhất, trong khi phương pháp Jacobi lại có tốc độ hội tụ chậm nhất.
Hệ phương trình phi tuyến
Hệ phương trình Ax = b được coi là phi tuyến khi A = A(x) hoặc b = b(x) Để giải quyết các hệ phương trình phi tuyến này, phương pháp lặp (iteration method) thường được áp dụng.
Giải hệ phi tuyến bằng phương pháp Newton-Raphson
Cho A xb với A ( n , n ) Viết thặng dư: f Ax b , lời giải nhận được khi:
Gọi x (k ) là nghiệm đề nghị ở bước lặp thứ k, tìm x (k ) để
Jacobi method Gauss-Seidel method CGM
Khai triển Taylor hàm f , ta được:
Bỏ đi số hạng bậc cao của hàm f trong chuỗi Taylor, ta được:
Nếu x ( k 1 ) là nghiệm của hệ, ta có:
Khi đó, ta đạt được vòng lặp Newton-Raphson như sau:
1 Đề nghị nghiệm ban đầu x (0)
2 Tại vòng lặp thứ k, tính giá trị hàm f(x (k) )
3 Nếu f ( x (k ) ) đủ bé thì dừng
4 Tính giá trị jacobian J(x (k) ) từ (4.52)
Sử dụng phương pháp Newton-Raphson giải hệ phi tuyến sau:
Chọn nghiệm ban đầu x (0) với kết quả được thể hiện ở Bảng 4.1 sau:
Bảng 4.6: Kết quả sau mỗi vòng lặp k x 1 x 2 x 3 x 4 f(x)
Bài tập
Bài 4.1 Cho mạch điện như Hình 4.6
Sử dụng luật Kirchoff ta suy ra được hệ phương trình sau đây:
Tính cường độ dòng điện I qua mạch bằng các phương pháp sau đây:
Bài 4.2 Hệ khung nhà bốn tầng, được mô phỏng như Hình 4.7
Áp dụng phương trình cân bằng lực ta có hệ sau:
Bài 4.3 Giải các hệ phi tuyến sau:
XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM
Luật tuyến tính, hồi quy tuyến tính
Cho các cặp dữ liệu: x i ,y i , i1,2, ,m tìm các hệ số , sao cho:
Mục tiêu là xác định , để thặng dư là nhỏ nhất Thặng dư được định nghĩa:
Hình 5.1: Ý nghĩa hình học Để xác định , , ta sử dụng hai tiêu chuẩn cực tiểu hóa thặng dư:
Trong tính toán thống kê và xác suất, thường ta chọn tiêu chuẩn thứ hai, khi đó:
Phương trình (5.5) chính là khoảng cách từ điểm dữ liệu đến đường xấp xỉ (Hình 5.1)
6 y Để (5.5) đạt cực tiểu, ta cần tìm , Điều này tương đương với việc giải hệ phương trình:
Giải phương trình (5.8) ta tìm được , :
xx x y xx xy x xy y x mS S d
Ví dụ 5.1: Độ mòn bề mặt segment theo thời gian cho bảng dữ liệu sau: với m = 6: x 0.1 0.4 0.5 0.6 0.7 0.9 y 0.61 0.92 0.99 1.52 1.67 2.03
Sử dụng luật tuyến tính, tính đường xấp xỉ từ bảng dữ liệu trên
Sử dụng phương trình (5.10), ta có:
Sử dụng phương trình (5.9), ta tìm , :
Vậy, phương trình tuyến tính cần tìm mô tả mối quan hệ giữa x và y là: y = 1.8857x+0.2843
Luật đa thức bậc cao, hồi quy đa thức bậc cao
Phương trình đa thức bậc cao có dạng (Hình 5.2): n n x a x a a x f( ) 0 1 (5.11)
Thặng dư của việc xấp xỉ: m i x f y r i i ( i ), 1,2, , (5.12)
Tìm a 0 ,a 1 , ,a n để r i 2 đạt cực tiểu Điều này tương đương với:
Viết dưới dạng ma trận:
Dựa vào bảng dữ liệu của ví dụ 1 Xây dựng phương trình hồi quy bậc hai
Phương trình hồi quy bậc hai có dạng:
Sử dụng phương trình (5.15), ta có:
Tính các phần từ trong ma trận A và b: A(1,1)= m =6
Giải phương trình trên (sử dụng LU hoặc Gauss), ta có: a 0 = 0.485; a 1 = 0.7845; a 2 = 1.1152
Vậy, phương trình hồi quy có dạng:
Luật phi tuyến
Các hàm hồi quy phi tuyến thường dùng: x c c x c xe c y x c y e c y
Hình 5.3: Luật hàm phi tuyến Để xác định lại hệ số của các phương trình (5.16), ta thường lấy logarit 2 vế để đưa về dạng tuyến tính (Hình 5.3): x c c x c xe c y x c y e c y
(5.17) Đặt lại các biến, ta thu được dạng tuyến tính như sau: b ax v b au v b; ax v
Sử dụng số liệu ở Ví dụ 5.1, xây dựng phương trình hồi quy dạng lũy thừa:
Lấy logarit và đặt lại biến như phương trình (5.17) và (5.8) Phương trình sau khi biến đổi có dạng: vaub với v ln y ; b ln c 1 ; u ln x , a c 2
Theo ví dụ 5.1, bảng dữ liệu sau khi lấy logarit: u -2.3026 -0.9163 -0.6931 -0.5108 -0.3567 -0.1054 v - 0.4943 -0.0834 -0.0101 0.4187 0.5128 0.7080
Sử dụng cách tính phương trình hồi quy tuyến tính, ta có:
1 i v i =1.0518 d=S u 2 mS uu = -18.2650 a=c 2 = 1 ( ) uv v u S mS d S =0.5277 b= 1 ( ) v uu uv u S S S d S = 0.6049 c 1 = e b =1.8311
Phương trình hồi quy cần tìm là: y = 1.8311 x 0.5227
Luật tổ hợp các hàm
Trong trường hợp tổng quát, các hàm số hồi quy đường thường không phải là dạng hàm đơn lẻ, mà là sự kết hợp của nhiều hàm khác nhau Gọi f(x) là tổ hợp các hàm, điều này cho thấy tính phức tạp và đa dạng trong việc xây dựng mô hình hồi quy.
( (5.20) ở đây, f 1 (x),f 2 (x), , f n (x) là các hàm cơ sở với các hệ số là n i c i , 1,2, ,
Chú ý rằng f (x )là tổ hợp tuyến tính bất kỳ hàm tuyến tính hay phi tuyến nào Chẳng hạn 1,x,x 2 ,x 3 ,sinx,e x ,xe 4 x ,cos(ln5x)
Thặng dư của hàm tổ hợp: j n j j j i i i i c r x f c y x f y r
Cho m điểm dữ liệu x i , y i , xây dựng phương trình hồi quy dạng tổ hợp của 3 hàm cơ sở f (x),f (x),f (x)
Từ phương trình (5.19) hoặc (5.20), ta có:
Viết dưới dạng ma trận:
Thặng dư của hàm tổ hợp:
Cực tiểu hóa ta xác định được hệ số c: b A A) (A c b A A)c
Dựa trên số liệu của Ví dụ 5.1, xây dựng phương trình hồi quy dạng tổ hợp: x x c f(x)= c 1 2
Sử dụng trình tự như Ví dụ 5.3 cho 2 hàm cơ sở, ta được các ma trận sau:
Từ ma trận A và b, ma trận hệ số c được xác định bởi:
Phương trình cần tìm là: x x y 0 0365 2 2177
Cho bảng dữ liệu mối quan hệ giữa và max như sau: i max
Xây dựng hàm nội duy theo dạng:
2 Luật tổ hợp tuyến tính: c x x c
Sử dụng bảng dữ liệu, xây dựng các ma trận A và b:
Sử dụng phương trình c (A T A) 1 A T b , ta thu được phương trình hồi quy:
Ma trận A và b của luật tổ hợp như sau:
Tương tự trường hợp 1, hệ số c của luật tổ hợp được xác định:
Phương trình hồi quy tổ hợp có dạng: x 0 003555 x
Đồ thị của hai dạng hàm hồi quy được thể hiện ở Hình 5.4:
Chỉ số hiệu dụng
Để đánh giá được phương pháp nội suy nào tốt nhất, người ta sử dụng thuật ngữ chỉ số hiệu dụng Ta có công thức:
2 2là thặng dư của phép hồi quy
Giá trị r càng tiến về gần 1 thì phương pháp hồi quy (phương pháp xấp xỉ) đã chọn càng đáng tin cậy
Bài tập
Bài 5.1: Cho bộ dữ liệu thực nghiệm quan hệ giữa lưu lượng và chiều cao cột áp của bơm q(m 3 /s) 10 -4 8.10 -4 1.410 -3 h(m) 115 110 92.5
1/ Xác định các hệ số theo các luật sau: a) Dùng luật tuyến tính y ax b b) Dùng luật bậc hai y ax 2 bx c c) Dùng luật hàm mũ y ae bx d) Dùng luật lũy thừa y ax b e) Dùng luật tổ hợp bx x y a 2/ Tính chỉ số hiệu dụng tương ứng với các luật trên
Bài 5.2: Dữ liệu thực nghiệm đo độ mài mòn của cặp ma sát theo vị trí trục:
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá các loại luật toán học cơ bản, bao gồm: luật tuyến tính y = ax + b, luật bậc hai y = ax² + bx + c, luật hàm mũ y = ae^bx, luật lũy thừa y = ax^b, và luật tổ hợp y = a + bx Bên cạnh đó, chúng ta cũng sẽ tính toán chỉ số hiệu dụng tương ứng với từng loại luật trên để hiểu rõ hơn về ứng dụng của chúng trong các bài toán thực tiễn.
Bài 5.3: Cho bảng dữ liệu: x 0.1 0.4 0.5 0.7 0.7 0.9 y 0.61 0.92 0.99 1.52 1.47 2.03
Để xác định các hệ số, có thể áp dụng các luật sau: đầu tiên, sử dụng luật tuyến tính với công thức y = ax + b; tiếp theo, áp dụng luật bậc hai với y = ax² + bx + c; sau đó, dùng luật hàm mũ với y = ae^(bx); tiếp theo là luật lũy thừa với y = ax^b; và cuối cùng, áp dụng luật tổ hợp với y = a + bx + c + sin(x) + d*exp(x) Cuối cùng, cần tính chỉ số hiệu dụng tương ứng với các luật trên.
TÍCH PHÂN SỐ
Luật hình chữ nhật, luật hình thang
Trong thực tế, có nhiều tích phân rất khó giải, thậm chí không thể áp dụng phương pháp giải tích Trong những trường hợp này, phương pháp tích phân số trở thành giải pháp hữu hiệu Tích phân số là quá trình đánh giá giá trị của một tích phân.
Ý tưởng chính của tích phân số là sử dụng tổ hợp các đa thức xấp xỉ để rời rạc hóa tích phân của hàm Một số quy tắc phổ biến trong phương pháp này bao gồm luật hình chữ nhật, luật hình thang, luật Simpson 1/3 và luật Gauss toàn phương.
Luật hình chữ nhật, đây là công thức đơn giản nhất, khi ta chia miền tích phân [a, b] thành những miền nhỏ bằng nhau:
Trong mỗi miền nhỏ, ta gần đúng hàm f bằng hàm hằng f(x m j ), với giá trị f được tính từ điểm giữa mỗi đoạn x m j (Hình 6.1) Do đó, tích phân số theo quy tắc chữ nhật của hàm f(x) có thể được biểu diễn bằng công thức sau:
Hình 6.2: Luật hình thang Đối với luật hình thang (Hình 6.2), theo công thức nội suy tuyến tính, ta có:
Từ công thức nội suy (6.1), tích phân của hàm đã cho có thể đạt bởi: x E f x f x f x f x h f I n n trap
Từ (5.3), phương trình (5.2) có thể viết lại như sau:
E h Để đánh giá sai số của tích phân số này, ta dùng khai triển Taylor Sai số của phương pháp này có thể đánh giá bằng công thức sau:
Sử dụng luật hình thang để tính tích phân của vật thể tròn xoay, với biên dạng được xác định bởi phương trình y = 1 + (x/2)² trong khoảng 0 ≤ x ≤ 2.
Hình 6.3: Vật thể tròn xoay
Từ thông tin đã cho, thể tích của vật thể được xác định theo công thức:
Với số khoảng chia N = 2, ta có:
Giá trị tích phân, sai số với các giá trị N lớn hơn được thể hiên trên bảng sau:
Luật Simpson 1/3 theo luật nội suy đa thức bậc hai
Công thức tính tích phân số với luật Simpson 1/3 theo luật nội suy đa thức bậc hai được mô tả theo công thức sau:
Từ (5.7), phương trình (5.6) có thể viết lại:
Gọi N là số khoảng chia, tích phân số theo luật Simpson 1/3 có thể mô tả như sau:
Sai số của luật Simpson 1/3 có thể xác định dựa trên khai triển Taylor như sau:
Tính tích phân theo luật Simpson 1/3 cho vật thể ở Ví dụ 6.1
Với các giá trị N khác:
Luật Gauss toàn phương
6.3.1 Tích phân Gauss một chiều
Trong công thức tích phân Gauss, người ta giả sử rằng tích phân của một hàm f(x) được lấy trên khoảng 1x1 Thật vậy, bằng cách đặt: at b b x a
Khi đó, dt at b b f a dx x f b a
Ý tưởng chính của các công thức tích phân số là thay thế hàm dưới dấu tích phân bằng các hàm xấp xỉ nội suy Cụ thể, Gauss đã biểu diễn tích phân dưới dạng này.
Trong phương pháp tích phân Gauss, các điểm Gauss được ký hiệu là x₁, x₂, …, cùng với các trọng số tương ứng w₁, w₂, … nhằm xác định vị trí và giá trị của các điểm này Các điểm Gauss và trọng số được xác định để đảm bảo rằng biểu thức tích phân cho giá trị chính xác đối với các số hạng hằng số, bậc một và bậc hai trong đa thức nội suy Một trong những trường hợp đơn giản là tích phân Gauss toàn phương với một điểm.
Công thức tích phân Gauss một điểm được viết dưới dạng:
Hai ẩn chưa biết w1 và x1 được xác định thông qua việc áp dụng công thức tích phân cho các giá trị chính xác của hai số hạng đầu trong một đa thức.
Từ (6.17) và (6.18), ta tìm được w 1 = 2, và x 1 = 0 Vì vậy, công thức tích phân Gauss một điểm sẽ là:
Công thức Gauss một điểm cho giá trị chính xác cho hàm bậc nhất, trong khi các trường hợp khác chỉ cho giá trị xấp xỉ Đối với tích phân Gauss toàn phương hai điểm, điều này cũng tương tự.
Công thức tích phân Gauss hai điểm được viết dưới dạng:
Bốn ẩn chưa biết w1, x1 và w2, x2 được xác định thông qua việc áp dụng công thức tích phân cho các giá trị chính xác của bốn số hạng đầu trong một đa thức.
Giải hệ bốn phương trình (6.23-6.26), ta nhận được:
Từ (6.23) đến (6.26), công thức Gauss hai điểm mang lại giá trị chính xác cho hàm ba, trong khi các trường hợp khác chỉ cho giá trị xấp xỉ Tích phân Gauss toàn phương ba điểm là một phương pháp hiệu quả trong việc tính toán tích phân.
Công thức tích phân Gauss ba điểm được viết dưới dạng:
Với tích phân Gauss ba điểm ta có 6 ẩn chưa biết w 1, x 1, w 2, x 2, w 3, x 3 được xác định từ 6 phương trình:
Giải hệ phương trình (6.29), ta nhận được:
Như vậy, công thức tích phân Gauss ba điểm là:
Công thức Gauss ba điểm cho giá trị chính xác với hàm bậc 5, trong khi các trường hợp khác chỉ cho giá trị xấp xỉ Tổng quát, tích phân n điểm đạt giá trị chính xác cho các hàm bậc ≤ 2n - 1 và cho giá trị xấp xỉ với các hàm bậc > 2n - 1.
Bằng cách áp dụng phương pháp tương tự như trong các trường hợp điểm Gauss 1, 2 và 3, chúng ta có thể xác định vị trí và trọng số tương ứng của các điểm Gauss cho bất kỳ số điểm nào Dưới đây là bảng kết quả cho một số lượng điểm cụ thể.
Bảng 6.1: Vị trí và trọng số tích phần Gauss một chiều
Số điểm Vị trí: x j Trọng số: w j Bậc
Số điểm Vị trí: x j Trọng số: w j Bậc
Sử dụng công thức tích phân Gauss, tính giá trị tích phân sau với 2,
Kết quả cho thấy rằng, với đa thức bậc năm, việc áp dụng công thức tích phân Gauss với 3 điểm sẽ mang lại giá trị chính xác Hơn nữa, giá trị tích phân vẫn giữ nguyên tính chính xác khi sử dụng bất kỳ số điểm Gauss nào lớn hơn 3.
6.3.2 Tích phân Gauss hai chiều
Công thức Gauss cho tích phân một chiều có thể được mở rộng dễ dàng cho trường hợp hai chiều, với yêu cầu miền tích phân là một hình vuông có cạnh dài 2 đơn vị, và gốc tọa độ được đặt tại trung tâm của miền Chúng ta sẽ tiến hành khảo sát trên tích phân liên quan đến hình vuông này.
Xét dãy tô đen theo phương đứng, với mỗi giá trị x cho trước, tích phân theo phương y có thể được tính bằng công thức Gauss một chiều n điểm Tương tự, tích phân theo phương x có thể sử dụng công thức Gauss với m điểm Cuối cùng, tích phân này có thể được viết lại một cách tổng quát.
Hình 6.4: Miền tích phân hai chiều
Việc xác định tọa độ và trọng số của các điểm Gauss tương tự như trong trường hợp một chiều Bảng dưới đây cung cấp giá trị cho một số trường hợp cụ thể.
Bảng 6.2: Vị trí và trọng số tích phần Gauss hai chiều x j y j w i w j
Sử dụng công thức tích phân Gauss tính giá trị tích phân sau với 2x2, 3x2, 3x3, 4x4 điểm Gauss:
Sử dụng công thức tính phân Gauss với 2x2 điểm, kết quả thu được như sau: Điểm x i, y j f(x i, y j) w i w j w i w j f ( x i , y j )
Sử dụng công thức tính phân Gauss với 3x2 điểm, kết quả thu được như sau: Điểm x i, y j f(x i, y j) w i w j w i w j f ( x i , y j )
Sử dụng công thức tính phân Gauss với 3x3 điểm, kết quả thu được như sau: Điểm x i, y j f(x i, y j) w i w j w i w j f ( x i , y j )
Kết quả khi dùng phép Gauss 4x4: Điểm x i, y j f(x i, y j) w i w j w i w j f ( x i , y j )
Trong tích phân Gauss, các tích phân 3x3 và 4x4 cho giá trị chính xác vì chúng có giá trị giống nhau Số điểm lấy tích phân và bậc đa thức phải thỏa mãn điều kiện p ≤ 2n - 1, trong đó p là bậc đa thức và n là số điểm lấy tích phân.
6.3.3 Tích phân Gauss ba chiều
Tương tự như tích phân hai chiều, việc phát triển công thức Gauss cho ba chiều yêu cầu miền tích phân là một thể tích lập phương có cạnh 2 đơn vị, với gốc tọa độ nằm tại tâm khối Chúng ta sẽ khảo sát tích phân này trong bối cảnh đó.
Hình 6.5: Lập phương 2 đơn vị
Gọi m, n, p, w 1 , w 2 , w 3 , lần lượt là số điểm Gauss và các trọng số tương ứng theo các phương x, y, z Công thức Gauss cho các tích phân thể tích sẽ là:
Tọa độ và trọng số của các điểm Gauss được xác định tương tự như trong trường hợp một và hai chiều Bảng 6.3 cung cấp giá trị cho một số trường hợp cụ thể.
Bảng 6.3: Vị trí và trọng số của tích phân Gauss ba chiều x i y j z k w i w j w k
Sử dụng công thức tích phân Gauss, tính giá trị tích phân sau với 1x2x3, 2x2x2, 3x3x3 điểm Gauss:
Sử dụng công thức (6.35) và Bảng 6.3, ta thu được kết quả tích phân Gauss như sau:
Trong ba trường hợp, trường hợp 3x3x3 điểm tích phân cho kết quá chính xác nhất vì thỏa mãn điều kiện: p52(n3)1.
Tích phân kép
Xét miền hình học với biên trái và phải là đường thẳng, còn biên trên và dưới là các đường cong y = d(x) và y = c(x) Tích phân trên miền này được xác định bằng công thức: I = ∫∫ f(x, y) dy dx với giới hạn từ a đến b theo chiều x và từ c đến d theo chiều y.
Phương trình (6.36) cũng có thể viết ở những dạng khác như sau:
Trong đó, A là miền hình học a x 1 x 2 x 3 b y=d(x) y=c(x)
Trong mọi tình huống, cần đưa bài toán về dạng công thức (6.19) trước khi áp dụng phương pháp tính số Nguyên tắc chính để giải bài toán này bằng phương pháp số là thực hiện các biến đổi nhằm liên kết với những bài toán một chiều, từ đó ta có: dy f(x,y).
(6.38) Đưa về dạng như phương trình (6.19):
Hơn nữa, để giải một bài toán tích phân số bất kỳ dễ dàng hơn ta nên đưa về dạng sau:
Trong phương trình (6.38), W i đại diện cho trọng số, trong khi x i là tọa độ tương ứng của các trọng số đó Giá trị G(x i ) được xác định bằng một số cụ thể Khi đặt x = x i, phương trình có thể được viết lại dưới dạng dy y x f x.
Bài toán tích phân kép đã trở thành bài toán một chiều khi chỉ còn biến y tham gia Phương trình (6.24) có thể được giải bằng các phương pháp của bài toán một chiều đã được đề cập trước đó Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp hình thang mở rộng cho tích phân sau: \( I = \int_a^b \int_c^d f(x, y) \, dx \, dy \).
Khoảng [a, b] của tích phân được chia thành N khoảng, mỗi khoảng có kích thước h x = (b-a)/N Lưới điểm được xác định bởi các giá trị x 0, x 1, x 2,…,x N Áp dụng quy tắc hình thang trên trục x, ta có thể tính toán giá trị tích phân.
Công thức (6.43) được viết lại đơn giản hơn:
Miền hình học của tích phân (6.41) [c(x i ), d(x i )] được chia thành N khoảng với kích thước mỗi khoảng được tính bởi:
Giá trị y của lưới điểm được chỉ rõ bằng y i,0 , y i,1 , y i,2 , …, y i,N Sau đó dùng phương pháp hình thang mở rộng:
Tương tự, ta có thể dùng Simpson hay Gauss toàn phương để giải bài toán này
Sử dụng tích phân số tính tích phân sau:
Giải bằng Simpson 1/3 mở rộng lưới điểm trên trục x lần lượt là: x 0 =1, x 1 =2, x 2 =3
5 exp 3 sin Hay: dx dy y x I b a x d x c
Giải từng tích phân bằng luật Simpson 1/3:
Như vậy, giá trị của tích phân kép là:
Bài tập
Bài 6.1 Tính tích phân số sau:
Bài 6.2 Tính tích phân số sau bằng phương pháp hình thang và phương pháp Simpson 1/3: a)
Bài 6.3 Một ôtô khối lượng M = 5400 kg chuyển động với vận tốc 30 m/s Đột ngột tắt máy (xem t = 0 ở trạng thái này), xác định khoảng thời gian t, biết vận tốc xe ở thời điểm này là 15 m/s Phương trình mô tả chuyển động xe như sau:
Bài 6.4 Tính các tích phân sau bằng 3 phương pháp: hình thang,
Bài 6.5 Tính công lực đẩy Piston duy chuyển một khoản 1 x 2 5: x
Bài 6.6 Thông lượng dòng chảy trong một ống có tiết diện thay đổi như hình vẽ được cho bởi công thức:
Biết, vận tốc tại một điểm bất kỳ trong ống có phương trình V =