Trong các thập niên gần đây với đà phát triển nhanh chóng của công cụ máy vi tính, sự trợ giúp cho việc giải quyết các bài toán chuyên môn kỹ thuật bằng phương pháp số ngày càng chính xác và hữu hiệu. Vì vậy việc trang bị cho sinh viên và học viên các ngành kỹ thuật các kiến thức về thuật toán phương pháp số nhằm hiểu rõ bên trong các chương trình phần mềm kỹ thuật có sẵn trên thị trường cũng như ứng dụng được các thuật toán này để phục vụ trong ngành nghề của mình là một việc hết sức cần thiết. “Giáo trình Phương pháp tính Kỹ thuật” nêu lên các thuật toán cơ bản để ứng dụng tính toán cho các bài toán kỹ thuật thông dụng. Áp dụng các phương pháp số như phương pháp sai phân hữu hạn để giải những bài toán phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng tuyển tính, không tuyến tính và có điều kiện biên đa dạng trong lãnh vực dòng chảy, truyền nhiệt, cơ học đất, sức bền vật liệu, v.v... Từ những thuật toán đưa ra trong bài giảng và các đoạn chương trình con đơn giản viết bằng ngôn ngữ Matlab sinh viên có thể ứng dụng giải bài tập trên máy tính hoặc để kiểm tra kết quả tính toán giải bằng phương pháp thủ công, ngoài ra sinh viên có thể tự lập trình cho mình những bài toán kỹ thuật phức tạp hơn phục vụ cho mục đích chuyên môn cụ thể của mình. Trong quá trình biên soạn nhóm tác giả đã có tham khảo nhiều sách giáo trình, bài giảng, cũng như tài liệu của các tác giả khác ở trong và ngoài nước, cộng với ý tưởng và kinh nghiệm của tác giả nhằm đúc kết và làm phong phú thêm nội dung giáo trình này nói riêng, cũng như góp thêm phần nào vào việc ứng dụng các thuật toán của môn phương pháp tính kết hợp công cụ tin học vào các lãnh vực kỹ thuật nói chung. Do nội dung của môn học phương pháp tỉnh cho đến nay rất rộng và vì kiến thức của tác giả có hạn nên không tránh khỏi sự thiếu sót trong khi biên soạn, mong quý độc giả vui lòng góp ý và xây dựng thêm.
Trang 3Trần, Minh Thuận
“Giáo trình phương pháp tính - Kỹ thuật / Trần Minh Thuận (Chủ biên), Trằn Đức Trung, Lê Thành Phiêu Cần Thơ : Nxb Đại học Cần Thơ, 2020
156 tr, : minh họa ; 20x29 cm Sách có danh mục tài liệu tham khảo ISBN: 9786049653612
1, Engineering mathematics _ 2 Toán kỹ thuật
1.Nhan đề II Trần Đức Trung II Lê, Thành Phiêu
Trang 4LỜI GIỚI THIỆU
Nhằm góp phần làm phong phú nguồn tư liệu phục vụ nghiên cứu, học tập cho bạn
đọc, sinh viên, học viên và nghiên cứu ngành Kỳ thuật xây dựng Công trình thủy, Kỳ thuật Tài nguyên nước, Biến đồi khí hậu và Quản lý đồng bằng Nhà xuất bản Đại học Cần Thơ ấn hành và giới thiệu cùng bạn đọc giáo trình "Phương pháp tính - Kỹ thuật" do TS Trần Minh Thuận, ThS Trần Đức Trung, ThS Lê Thành Phiêu biên soạn
Gi
Sai số, Giải các phương trình phi tuyến và Tích phân bằng số Giáo trình là tài pháp tính - Kỹ thuật
trình gồm 6 chương, nội dung giới thiệu về Sự chính xác = Sự ôn định -
a tinh giá trị một hàm số; Nội suy; Đạo hàm
ệu học tập có giá trị liên quan đến Phương
Nhà xuất bản Đại học Cần Thơ chân thành cám ơn các tác giả và sự đóng góp ý kiến của quý thầy cô trong Hội đồng thâm định Trường Đại học Cần Thơ đề giáo trình “Phương pháp tính - Kỹ thuật” được ra mắt bạn đọc
Nhà xuất bản Đại học Cần Thơ trân trọng giới thiệu đến học viên, sinh viên,
giảng viên và bạn đọc giáo trình này
Trang 6LOENOI DAU
Trong các thập niên gần đây với da phát triển nhanh chóng của công cụ máy vi
tính, sự trợ giúp cho việc giải quyết các bài toán chuyên môn kỹ thuật bằng phương
pháp số ngày càng chính xác và hữu hiệu Vì vậy việc trang bj cho sinh viên và học
viên các ngành kỹ thuật các ién thức vẻ thuật toán phương pháp số nhằm hiễu rõ bên
trong các chương trình phần mềm kỳ thuật có sẵn trên thị trường cũng như ứng dụng được các thuật toán này để phục vụ trong ngành nghề của mình là một việc hết sức cân thiết
phương s nhấp sai TOME hữu hạn để giải nhữi
trình đạo hàm riêng tuyến tính, không tuyến tính và có điều
lãnh vực dòng chảy, truyền nhiệt, cơ học đất, sức bền vật liệu, v.v Từ những thuật
toán đưa ra trong bài giảng và các đoạn chương trình con đơn giản viết bằng ngôn ngữ Matlab sinh viên có thể ứng dụng giải bài tập trên máy tính hoặc đề kiểm tra kết quả tính toán giải bằng phương pháp thủ cơng ngồi ra sinh viên có thể tự lập trình cho mình những bài toán kỹ thuật phức tạp hơn phục vụ cho mục đích chuyên môn cụ thể của mình
da dang trong
Trong quá trình biên soạn nhóm tác giả đã có tham khảo nhiều sách giáo trình, bài giảng, cũng như tài liệu của các tác giả khác ở trong và ngoài nước, cộng với ý tưởng và kinh nghiệm của tác giả nhằm đúc kết và làm phong phú thêm nội dung giáo trình này nói riêng, cũng như góp thêm phần nào vào việc ứng dụng các thuật toán của môn phương pháp tính kết hợp công cụ tin học vào các lãnh vực kỹ thuật nói chung Do nội dung của môn học phương pháp tính cho đến nay rất rộng và vì kiến thức tác giả có hạn nên không tránh khỏi sự thiếu sót trong khi biên soạn, mong quý độc vui lòng góp ý và xây dựng thêm
Trang 8Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật
MỤC LỤC
Chương 1 SỰ CHÍNH XÁC - SỰ ÔN ĐỊNH - SAI SO
1.1 CÁCH BIÊU DIỄN DỮ KIỆN TRỊ SỐ TRONG MÁY VI TÍNH 1.2 GIÁ TRỊ XÁP XỈ - SỐ GẦN DUNG 1.3 CHỮ SÓ CÓ NGHĨA 14 LÀ 6 15 1.5.1 Sai số tuyệt đối 1.5.2 Độ ngờ tuyệt đối 1.5.3 Sai số tương đối 1.5.4 Độ ngờ tương đi 1.5.5 Chữ số đúng 1.6 CƠNG THỨC TÍNH TỐN SAI SĨ 1.6.1 Cơng thức tổng quát nã
1.6.2 Sai số của I biểu thức phức tạp
1.6.3 Bài toán ngược của sai số
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Chương 2 GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN VÀ TÍNH GIÁ TRỊ
MOT HAM ä
2.1 BƯỚC GIẢI SƠ BỘ MỘT PHƯƠNG TRÌNH
2.1.1 Khảo sát hàm số theo giải tích
2.1.2 Vẽ đồ thị của hàm số /(x)
2.1.3 Hoặc nếu được ta có thể biến đổi /(x) = 0 thành dạng /i(+) =,80) 4
2.2 GIAI MOT PHUONG TRINH PHI TUYEN BANG CAC PHUONG PHAP LAI aL
2.2.1 Phép lặp đây cung
2.2.2 Phép lặp Newton hay phép lặp tiếp tuyến
2.2.3 Phương pháp lặp don để giải một phương trình phi tuy: 2.3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
2.3.1 Giải hệ phương trình bằng phép lặp đơn
2.3.2 Đưa hệ phương trình về dạng lặp đơn dùng ma trận nghịch đảo hằng s 2.3.3 Dang lap đơn thay đổi ma trận nghịch đảo - Phép lặp Newton
2.4 DAISO DA THUC sess eee
2.4.1 Tính giá trị của | da thite - Thuat ton Horner,
2.4.2 Dùng thuật toán Horner tìm vây nghiệm của 1 đa thức
Trang 9
Chương 3 NỘI SUY
3.1 ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON 3.1.1 Sai phân cho các điểm x¡ cách đẻ
3.12 Đa thức nội suy Newton tiến Ứng với các điểm x¡ cách đi
3.2 CÔNG THỨC NỘI SUY LAGRANGE
3.2.1 Trường hợp với các điểm x: không cách đ
3.2.2 Trường hợp các điểm x¡ cách đều
3.3 NOI SUY VOI HAM 2 BIEN Hee
3.3.1 Phương pháp 2 lần nội suy đơn _ _ « 40
3.3.2 Phương pháp sai phân đôi
3.3.3 Công thức nội suy Lagrange của hàm 2 biến
3.4 XAP Xi ĐỀU TÓT NHẬT - PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG TƠI THIÊU 3.4.1 Xấp xi đều tốt nhất
3.4.2 Phurong phap binh phuong tdi tiểu, BÀI TẬP TỰ GIẢI
Chương 4 ĐẠO HAM VA TICH PHAN BANG SỐ ws ‘ 54 4.1 DAO HAM BANG SO
4.2 TICH PHAN BANG SO
4.2.1 Tích phân một lớp - Công thức tích phân Newton-Cotes 4.2.2 Phương pháp tích phân hai lớp
4.2.3 Tích phân Monte Carlo (áp dụng cho tích phân ba lớp), BÀI TẬP TỰ GIẢI Chương 5 GIẢI HỆ HƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH 5.1 GIỚI THIỆU 5.2 DẠNG TỎNG QUÁT 5.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI
5.3.1 Phuong phap Khir Gaus:
5.3.2 Phuong phap Khir Gauss - Jordan
5.4 PHUONG PHAP LA
Trang 10Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật
Chương 6: PHƯƠNG PHÁP SAI PHÂN HỮU HAN 96
6:1 MỠ ĐẦU -96
6.2 CÔNG THỨC XÁP XĨ GIỮA SAI PHÂN VÀ ĐẠO HÀM CỦA HAM | BIEN 96
6.3 PHÉP TÍNH XÁP XỈ CỦA CÁC VI PHÂN CÁP I VÀ CÁP II THEO CÔNG THỨC
TAYLOR
6.4 SAI PHAN HOA CAC DAO HAM RIENG
6.5 PHƯƠNG PHÁP SAI PHẦN ĐẺ GIẢI BÀI TOÁN BỜ (HAY BÀI TOÁN BIÊN TRỊ) 98
6.5.1 Theo sai phan ti
6.5.2 Theo sai phan trung tâm
6.6 PHUONG PHAP SAI PHAN DE GIAI PHUONG TRINH DAO HAM RIENG
Trang 12Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ nhuật
Chương l
SỰ CHÍNH XÁC - SỰ ON DINH - SAI SO
Ngày nay các ứng dụng của môn phương pháp tính trong việc cung cấp giải thuật tính toán cho các bài toán trong kỹ thuật được ứng dụng rất phô biến trên các máy vi tính thông qua các ngôn ngữ lập trình Vì vậy việc nhắc lại một số kiến thức cơ bản trong tin học để nhằm làm hiểu rð về sự chính xác và ôn định của thuật toán cũng như
sự biểu diễn các con số trên máy vi tính là thật sự cần thiết
1.1 CACH BIEU DIEN DU KIEN TRI SO TRONG MAY VI TINH
„Máy tính lưu trữ dữ kiện
trị xấp xỉ, các trị số này được mã hóa bằng một hệ tỈ
phan (binary digits hay bits) Hệ thống số nhị phân chỉ sử dụng 2 ký số 0 và I thay vi
10 ký số từ 0 đến 9 như trong hệ thống số thập phân Hai ký số nhị phân này chỉ diễn
tả được hai trị là 0 và 1, cho nên muốn diễn tả một con số lớn hơn thì cần phải kết hợp
nhiều bit đó với nhau tạo thành các bytes (nhóm cia 8 bits) chính xác tuyệt đối mà bằng giá ng số nhị ph: chữ số nhị
Các kiểu của dừ kiện số khác nhau sẽ được trừ bằng số bit khác nhau Chẳng hạn được biểu diễn bằng số có đấu chấm tĩnh (fixed point number), đơn vị chiều dài để chứa từ 2 đến 4 bytes, trong đó bịt đầu tiên là bịt dau (s) có trị theo quy ước = 0 nếu số dương và 1 nếu số âm Thí dụ 1.1 Tri nguyén 123 chita trong 2 bytes: 00000000 01111011 Trị -123 viết thành: 11111111 10000101 (Lưu ý trị -123 được viết theo kiểu phần bù của trị 123)
Kiểu số thực được biều diễn bằng số có đấu chấm động (floating point number)
Đối với các số cực nhỏ hay cực lớn gồm nhiều số không bên trái hay bên phải người ta
dùng cách viết dưc dạng § số mũ (Lưu ý trong máy tính dau phẩy trong số tượng trưng
cho phần ngàn, và dấu chấm phân biệt thập phân): 123,000,000 = 123 x 10° hay 1.23x 10* hay 0.123 x 10° Nhu vay | s6 X bat ky c6 thé duge dat trong dang: X=MBe
trong đó B là cơ số của hệ và e là số mũ là số vị trí cần dời dấu chấm đẻ có lại trị số
nguyên thủy Do đó có tên dấu chấm động Mỗi lần dời dấu chấm sang trái số mũ e tăng lên 1 đơn vị, mỗi lần dời dấu chấm sang phải số mũ e giảm đi 1 đơn vị M được gọi là phần định trị (Mantissa) Người ta thường biểu diễn M dưới dạng phân số sao
cho ký số đầu tiên bên trái (sau dấu chấm) khác 0
Trang 13
Thí dụ 1.2 123,000,000 = 0.123*109 với M= 0.123 và e= 9 0.00125 =0.125%102 với M=0.125 và e=~2 „Do đó vị trí hãng sô Cách bi
của dấu chấm của M và cơ số B không cần phải ghi nhớ vì đó là diễn này được gọi là dạng chuẩn
Số mũ e có thể âm Để khỏi mắt 1 vị trí để chứa dấu, người ta cộng thêm 1 hằng số vào số mũ để luôn luôn có 1 tri dương C trong giới hạn biến thiên của số mũ, số C này được gọi là phần đặc trị Để biểu diễn số có dấu chấm động, người ta dùng 32 bits với hệ thống cơ số 16 trong đó gồm I bít cho dấu s, 7 bít cho phải i C = số mũ + 64 (64= 2/2), 24 bit còn lại biéu dién phan dinh trị theo dang chuẩn ` Thí dụ 1.3 cho số 123 =123i 12.3x10! = 1 23x10? 123x10 16°x7B = 16!x7.B = 162x0.7B Vậy phần định tri 1a 0.7B, số mũ là 2 và p 66=2+64 có thể được biểu diễn theo dạng số có đầu chấm động 32 bít như sau: 0 1000010 01111011 00000000 00000000 s Cc M Nếu kết theo từng nhóm 4 bít ta có: 0100 0010 0111 1011 0000 0000 0000 0000 (hệ2) 4 2 7 B 0 0 0 0 (hệl6)
trong đó S = 0 (dương), C = 64+2 = 66¡o = 4216, M = 12310 = 7Bis Khi biểu diễn theo phương pháp này không cần để ý đến dấu chấm
Độ chính xác của máy e»(số thập phân sau dấu chấm): biểu thị bằng chiều dài lưu trữ đẻ chứa phần định trị nói trên Thông thường máy biểu diễn được độ chính xác khoảng 17 số sau dấu chấm Lưu ý ém không phải là số chấm động nhỏ nhất mà một máy tính có thể biểu thị Số nhỏ nhất này tùy thuộc vào số bít của phần đặc trị (số mũ)
có thể chiếm, trong khí đó s» tùy thuộc vào số bít mà phần định trị có thể chiếm
Sự ồn định nghiệm
Hầu như với bắt cứ phép tính số học nào trên số chấm động, kết quả đều có một
sai số ít nhất là bằng độ chính xác của em Sai số này được gọi là sai số làm tròn Sai số
làm tròn được tích lăy khi tăng số lân tính toán lên Thí dụ khi thực hiện N phép tính số học như vậy, thì có thé một cách may mắn nhận được tổng sai số làm tròn vào
khoảng VNe„
Thường trong một thuật tốn khơng ồn định, sai số làm tròn sẽ đi vào trong tính
toán từ bước đầu của quá trình tính và sai số lũy tích sẽ lớn dần lên cho đến lúc nó làm sai lệch toàn bộ lời giải thật của nghiệm
Trang 14Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ nhuật Thí của một số: _AS<1 2 lụ 1.4 một thuật tốn khơng ồn định dùng để tính lũy thừa nguyên dương = 0.61803398
theo phép truy toán: g”"!= 6"! - 9"
với ý! =1 và ý! = 0.61803398 ta tính trượt dần để có các luỹ thừa nguyên dương ø của ó bằng cách đơn giản là dùng phép trừ thay vì phép nhân Tuy nhiên với ø cỡ khoảng = 25
(ứng với máy u trúc bus dữ liệu 32 bit máy bắt đầu cho ra giá trị hoàn toàn sai,
giá trị Ø" thấp nhất tính được chỉ đến 10° (xem phụ lục 1), do đó thuật truy toán trên
đây không ổn định, và không thẻ dùng cho mục đích tính toán nêu trên
1.2 GIÁ TRỊ XÁP XỈ - SỐ GAN DUNG
Trong tính toán các bài toán kỹ thuật kết quả thường là những giá trị gần đúng hay còn gọi là giá trị xấp xi Khi lấy giá trị xấp xi nay ta phai chấp nhận một sai số Sai số thường xuất phát từ hai nguyên nhân: sa do đo đạc không chính
xác hoặc con s6 e, m, ¥2,
mà trong hệ thập phân ta không thể lấy được giá trị chính xác và ta bắt buộc phải chọn số gần đúng bằng cách làm tròn số đến một con số thập phân nào đó Thí au 1.5 ta My sé V2 = 1.414213562373 , hai giá trị xấp xi “thiếu” và “dự” 141 1) 1 của
Thật vậy với mọi số chính xác A trong as io các số thực duong R* ta luén tim
được it nhất 1 số nguyên & sao cho
k k+l
—~< As—— 1.1
10" 10" at ee ae ey k+l
voi Tấn: là giá trị xấp xỉ thiêu của 4 và Tên là giá trị xấp xi thừa của 4 đến
mức = Theo quy tic làm tròn số ở phần chữ số đúng ta thấy trong hai giá trị xắp xi
Trang 151.3 CHỮ SÓ CÓ NGHĨA
Chữ số có nghĩa ở đây được định nghĩa là những chữ số chính xác của một con số hơn là nói lên độ lớn của con số đó Trong một số xắp xỉ a nào đó các chữ số có nghĩa là các chữ số: 1, 2, 3 , 9 Chữ số 0 tùy vị trí mà nó là chữ số có nghĩa hay không có nghĩa Thi du 1.6 Số 3,142: có 4 chữ số có nghĩa là: 3, 1, 4, 2 Số 0.2014: có 4 chữ số có nghĩa là: 2, 0, 1, 4 Số chính xác 02140: có 4 chữ số có nghĩa là 2, 1, 4, 0 Chữ số 0 cuối cùng là chữ số
Theo cơ số 10 (thập phân) trong số học, một số gần đúng a có các chữ số có nghĩa được diễn tả theo lũy thừa của 10 như sau:
a= alO™ +a, 10" ++ ay g lO 0 màn (1.2) Trong đó ơn # 0 và tat cả œ¡(ï=m, m~1, .m-kt1) đều là những chữ số có nghĩa
Thí dụ 1.7 Ta có thê viết một số 0,02140 ở dạng số học cơ số 10:
0,02140 = 2 107+ 1 10° +4 104+ 0 10%
1.4 LAM TRON SO
Trong tính toán, khi gặp một phép chia cho kết quả là thương số có nhiều chữ
sd thập phân không dứt, ta phải ngưng ở một chữ sỐ thập phân nào đó kể từ sau dau
phây và chấp nhận một sai số, được gọi là làm tròn số Làm tròn một số a là giữ lại
một số chữ số tính từ bên trái và xoá bỏ các chữ số khác với mục đích sai số nhỏ nhất càng tốt
Làm tròn đến n chữ số có nghĩa là xoá mọi chữ số ở sau chữ số thứ n Gọi chữ số
đầu tiên bị xoá là X, nếu X <5 ta để nguyên các chữ số còn lại Nếu X> S5, ta cộng I cho chữ số thứ n được giữ lại
5 SAI SỐ
Khi làm tròn một số ta được một số xắp xỉ và một sai số tương ứng Gọi a là giá
trị gần đúng của A Ta có các định nghĩa sau:
1.5.1 Sai số tuyệt đối của a
đA=LIA-a (13)
1.5.2 Độ ngờ tuyệt đối (AA)
Do A là giá trị chính xác thường không biết được nên dA không xác định được nên người ta phải đưa vào giới hạn trên của dA là AA (giá trị lớn nhất của dA) là có thê xác định dễ hơn
Trang 16
Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ nhuật
đA <AA hay a— A4<A<a+AA
hay: A=a+AA (A) Thi dụ 1.8 Khi tinh gid tri x ta có:
3,141592 << 3,1416
Ta có thể chọn Am bằng 0,0001 là giới hạn trên của đm
1.5.3 Sai số tương đối của ø (5)
Vi sai số tuyệt đối có thứ nguyên nên việc so sánh độ chính xác của các phép đo
hoặc tính tốn khơng thẻ thực hiện được do đó người ta đưa vào khái niệm sai số
tương đổi theo định nghĩa: a
Sai số tương đối thường được tính bằng phần trăm (%) 1.5.4 Độ ngờ tương đối Giới hạn trên của sai số tương đối là độ ngờ tương đối, ta có: dA Ag AA a Ta 1.5.5 Chữ số đúng
Dựa vào sai số lớn nhất của con số được làm tròn ta thấy ø chữ số đầu có nghĩa của 1 số xấp xỉ z là đúng nếu sai số tuyệt đối của a thỏa:
là độ ngờ tương đối (1.6)
aA sfi0 ca (1.7) với m là số mũ lớn nhất của 10 trong số xáp xi z Ta thấy định nghĩa trên dựa vào
nguyên tắc làm tròn số Về phải của bất đẳng thức chính là sai số lớn nhất (độ ngờ) của
a trong phép làm tròn số (vì chữ số đầu tiên là X so với số 5 = zỊU và l0®
là con số thập phân có (ø — m~1) chữ số 0 sau dầu phây và trước chữ số I)
Trang 171.6 CƠNG THỨC TÍNH TỐN SAI SỐ
1.6.1 Cơng thức tổng quát
Cho hàm nhiều biến W = f(xi, x,
c biển Xi, X2, X3, Xu tương ứng
Nghia i: W+ dW = f ( xrtdxi, , Xotd%9) Str dung céng thie khai t cho ham nhiéu bién ta duge:
) khả vi Gọi đxi, đo, d:
ic sai SỐ này tạo ra sai đXu là các sai HD Ta lau + LÊ P TH OX Ẩ( xitdt, Xetdo, , Xe# đu) = [(X, X;
Vi dxi, dxo, , dn rat nho, nén ta othe công thức khai triển đến đạo hàm cấp
một và bỏ qua các số hạng có đạo hàm từ cắp hai trở lên Từ đó: - W+dW=f(x,x x)+ (1.12) eof Sum aw=¥ "ds tóx (1.13) theo định nghĩa đW là sai số tuyệt đối, dW >0 ¡ a-lsÊ£ (1.14) OX,
Ta có thể chọn được độ ngờ tuyệt đối:
Aw= ŸS ls| (với Ax: độ ngờ tuyệt đối của dx) “|2x (1.15) Sai số trơng đối: 9 cy ae (1.16)
Mễ
Độ ngờ tương đối:
Vậy: aoe & (1.17)
1.6.2 Sai số của 1 biểu thức phức tạp
Trang 18Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật athe” fre wer ứng dụng (1.16) và (1.17) ta được: dw da đồ dc dƑ de 2 —=m—+n—+p—-q r— SE TẾ ẽ AW — Aa, Ab, dc, Mf, Ae ——=m—+n—+p—+q +r— BẾP gy e 1.19 19) (1.18) va
1.6.3 Bài toán ngược của sai số
Cho hàm nhiều biến Jƒ= ƒ(xi,xa, xạ) nếu ta muốn JWƒ đạt được độ chính xác ấn
định trước nào đó thì những sai số cho phép Ax; phải được xác định ra sao? Bài tốn sẽ
khơng có cơ sở để xác định nếu ta không giả định các số hạng ax, trong công thức Ox, (1-15) được phân phối thé nao tir sai số A” =>) ow
o*x, “Ax,
Giả sử ta cho phân phối sai số theo nguyên lý ảnh hưởng đều, tức là các số hạng Lax, (/=1,2, ) sé anh huéng déng déu dén sai sé tong cong AW ex,
Nghĩa là: từ đó:
suy ra (120)
Thí dụ 1.10 Biết diện tích của hình tròn có sai số tương đối trong vòng 0,1%
Ta phải chọn độ chính xác thê nào khi đo bán kính # = 25,5cm và trong những trường
hợp đó nên chọn z với bao nhiêu số thập phân
Giải Diện tích hình tròn S= xR2 với öS= 0,1 % ; R ~ 25,5 cm
AS _ AZ
Tacó: ss= A947, 248-9001 s z R
Theo nguyên lý đẳng tác dụng ta phải có: “7 = ra =0,0005 z
Trang 19Và =0,0005 => AR = 0,006375 em, với kết quả này khó mà đo R cho đến
chữ số thập phân thứ 3 trong thực tế (chỉ đo được đến 0,Imm = 0,01 cm)
Vi vậy ta chọn x =3,142 => An =L10”**! = 0/0005 => ÂZ = 09005 3 a 3,142 _ 0001so Suy ra: 2B as ~A2 -0,001-0,000159 = 0,000841 7
=> AR =0,000841 R/2 = 0,011 cm, vậy sai số cho phép này có thẻ chấp nhận được
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài II Để xác định độ cứng trụ của tắm mỏng chịu uốn người ta dùng công
thức: D = 124—y?)
Biết h = 20cm (chiều dày tắm); E =20 GPa (mô đun đàn hồi); v = 0,25 Các độ ngờ tương đối được cho như sau:
BE = 1%; dh = y= 0,1%
Tinh 2 và suy ra D
(HD: áp dụng công thức sai số của biểu thức phức tạp)
Bài L2 Tính thể tích V của hình nón biết: đường kính R = (5,60 + 0,05)em, h= (7.45 + 0,02) em và x= 3.14 (Hướng dẫn: V =3zRh và áp dụng công thức sai số của biểu thức phức tạp) 3(1-2r) Bài 13 Tính giá trị của hệ số biến dạng thể tích:Ø = o, ® Biét v= 0,25 40,05; o =0,15+0,01; E=20+0,1 (HD: áp dụng công thức sai số của biểu thức phức tap)
Bài I4 Cho diện tích xung quanh của một mặt hình cầu (4zR?) có sai số tương đối
trong vòng 0,1% Ta phải chọn độ chính xác thế nào khi đo bán kính R = 22,5cm và trong những trường hợp đó nên chọn œ với bao nhiêu số thập phân
(HD: áp dụng bài toán ngược của sai số)
Bài 1.5 Cho diện tích xung quanh của mái nhà hình nón tròn xoay (xRL), có bán kính là R> 5m, L> 50m Biết AS = 1m” (S là diện tích) Tính sai số cho phép của x, R và L
Trang 20Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật
Chương 2
GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
VÀ TÍNH GIÁ TRỊ MỘT HÀM SỐ
Trong các bài toán kỹ thuật phức tạp, ở bước tính tốn trung gian đơi khi ta phải đi tìm nghiệm của một số phương trình phí tuyến, các nghiệm này thường không phải là số nguyên mà là các số thực có các chữ số thập phân không dứt Vì thế việc tim
nghiệm phải được thực hiện tương đối tỉ mỉ và mắt thời gian dé đạt được yêu cầu theo độ chính xác cho trước Trong chương này ta sẽ nói các trình tự các bước đề giải ng như hàm đa thức và hệ các phương trình phi tuyến
tìm nghiệm về mặt thời gian và độ chính xác
một phương trình phi tuyến c nhằm tăng hiệu quả của
2.1 BƯỚC GIẢI SƠ BỘ MỘT PHƯƠNG TRÌNH Khi ta cần giải phương trình:
Sx) = 0 (2.1)
với /tx) là hàm số thực và x là biến số thực
Ta được yêu cầu phải tìm hết các nghiệm hoặc chỉ một số nghiệm cần thiết (chẳng hạn nghiệm đương) Muốn thế ta phải tìm xem phương trình có bao nhiêu nghiệm và nằm trong khoảng nào Ta có nhiều cách để giải:
2.1.1 Khảo sát hàm số theo giải tích
Tại những đoạn [a,b] có chứa một nghiệm duy nhất phải có /{a) khác đấu với
Trang 21
Hình 2.]
ta tìm được 3 đoạn chứa nghiệm là [-1,3; -1,1] , [-0,2; 0] và (1,1; 1,3]
2.1.3 Hoặc nếu được ta có thẻ biến đổi f(x) = 0 thành dạng fi(x) = Ð(x)
Trong đó fi, 6 là những hàm số có dé thi dé vẽ; sau đó ta vẽ các đồ thị của f(x), ÿ(x) trên cùng một hệ trục toạ độ Những điểm tại đó hai đồ thị cắt nhau sẽ
cho các giá trị thô sơ của các nghiệm của ffx) = 0
Thí dụ 2.3 Tìm đoạn chứa nghiệm của hàm số x? - logx — 6 = 0 Ta phân ra làm 2hảm f (x)= f(x) => f(x)=x?— 6 và f(x) = logx Vẽ 2 đồ thị trên cùng 1 hệ toạ
độ (hình 2b) ta thấy đoạn chứa nghiệm là [2; 3], tương đương với đoạn chứa nghiệm khi ta vẽ đồ thị của hàm ffx) (hình 2a) fis) Ð@) Hinh 2.2.a Hinh 2.2.b
Trang 22Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật
2.2 GIẢI MỘT PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN BẰNG CÁC PHƯƠNG PHÁP LẬP 2.2.1 Phép lặp dây cung,
Trước hết ta tìm được đoạn [a, ] chứa một nghiệm x* của phương trình /tx) và ta
muốn tính chính xác nghiệm này Trên [a, Đ], /x) /'(x) /"+) phải thoả các giả thiết #)./'œ),/"@) đều liên tục
/#) #0 và không đồi dầu #"{x) #0 và không đổi dầu y vì Je % Yo vi “ ® xt My yO ox † - - = fix) k y=fay Hình 2.4.a Hình 2.4.b
Trong phép lặp dây cung ở lân cận điểm x*, ta lập các đoạn dây cung trương các đoạn cung biểu điễn hàm fox) Trude tiên ta chọn một điểm có định x = É, sao cho /#) cùng đấu với / "(+), sau đó ta chọn giá tri ban dau x e[a, b], ta vẽ dây cung qua 2 điểm (k ,/49) va (o,f), day cung sẽ cắt trục hoành tại điểm x°” Lập dây cung
thứ hai qua 2 điêm (k , /Ÿ&)) và @', 8x2) t trục hoành tại điểm x2), Làm tiếp tục
như vậy ta sẽ có được các điềm cắt trên trục hoành là: x'9, x0), x2), x9, Dãy này sẽ tiến đến x* từ một phía bên trái (hình 4a) hoặc bên phải (hình 4b) Nếu ta lập công
thức tính zan(ø) cho hai tam giác đồng dạng lập được bởi mỗi dây cung ta được:
x) ok 7°)-/09
Trang 23Ấx)= x + 3ln(x) - x? 1+ 3/x = 3x? = 3)x?- 6x k fk) Chon k= 13 -0.10991 m xo fxt®) 1 12 0.01896 2 1.214716 0.00589 3 1.219035 0.00165 4 1.220253 0.00045, xO (1,15; 1,4) <0 <0 f'(k) -1.76231 Bảng tính theo phương pháp lặp dây cung am" 1.214716 1.219055 1.220253 1.220578 £"(k) -9.57515 J xf x0] 0.014716 0.004339 0.001198 0.000325
Vậy nghiệm gần đúng là: x = 1,221 (làm tròn của nghiệm với số lần lặp m=4 và
sai biệt giữa 2 nghiệm kế tiếp nhau thỏa độ chính xác < 10°)
ĐỂ thực hiện nhanh thuật toán lặp ta xem đoạn chương trình MatLab để giải một phương trình phi tuyến theo phương pháp lặp dây cung như sau:
Trang 24Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật
2.2.2 Phép lặp Newton hay phép lặp tiếp tuyến
Trong phép Hip Newton, các đoạn dây „
cung biểu diễn hảm /x) trong phép lặp dây
củng được thay bằng những đường tiếp tuyến
với đường cong tại các điểm (x”", /'”) với yy - + Muôn vậy trước tiên ta chọn
trị ban đầu lax e[a, b] sao cho fx)
cùng dấu với ƒ"(), ta vẽ tiếp tuyến tại điểm
@', /'9)) nó sẽ cắt trục hoành tại xt) Tiếp
tục làm tương tự ta lập được day x, x0,
Hho „”" là các giao điêm của trục hoành với
đường tiếp tuyển của đường cong f(x) y=/0) Day x, x), x, x2 sẽ tiến đến x* từ một Hình 2.5
phía (xem hình 3) Nếu lập công thức tính tan( al) = f(x") ta duge:
ye
aint ted £2") Ø3]
re)
Thi dụ 2.5 Dùng phương pháp lặp tiếp tuyến tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 10? của phương trình: /(x)=sinx+x” —I,5 =0, cho biết nghiệm nằm trong khoảng, x € (0.5; 1,2) Giai f(x) = siny + x? -1,5-0 551.2) f(x) = cos x +2x >0 f"@X)= — ¬sinx+2 >0 x f(x) f" (x) f"(x) Chọn xe= 0.9 009333 2.42161 1.216673
Phương pháp tiếp tuyến
i xen) faem) f@) ent) j xi xt] 1 0.9 009333 2.42161 0.861461 0.038539 2 08614461 0400091 2374251 0.861078 0.000383
va tha sai s6 < 107
Vậy nghiệm gần đúng là: 0,861 sau số lần lặp
Dưới đây là đoạn chương trình MatLab để giải phương trình phi tuyến theo
Trang 25% Lap tiep tuyen giai phuong trinh f(x)=5*x*3-20*x 43-0; x=(0; 1) clear,cle syms f x df real £=5*x43-20*x +3 df=diff(f,x), d2f=di ff (df, x) a=0, b=l, n=10 °fim gia tri ban dau xo sao cho f(k)cung dau voi f''(x) while (i <n) & (fr*d2fr<0) x=ati*h dfr=eval (df) d2fr=eval (d2f) fr=eval(f) xo=x , i=i4l end X=xo formt long err_x=10*(-3), ex=err_x+l, j=0
while (ex > err_x) & (j<10) % Vongl ap
xl=x-f/df % Cong thuc tinh lap tiep tuyen xIr=eval(xl), ex=abs(x-xIr) xexlr, j=jtl end x 2.2.3 Phương pháp lặp đơn để giải một phương trình phi tuyến Để giải phương trình fx)=0
trong đó fx) là hàm khả vi, trước hết ta tìm được một đoạn chứa nghiệm x* của
phương trình là [a, b] Dé làm chính xác nghiệm đó, ta tìm cách đưa phương trình f(x) = 0 về dạng phương trình: x=¿@) (2.4) trong đó $(x) la ham kha vi trên [a, b] và thoả điều kiện: |ø(x|<€ <1, x0 [a, b] (2.5) ta sẽ có công thức lặp:
xo) =9(x) (với m=0, I,2, ) (2.6) với giá trị ban đầu là: x!” 'i[a,b] ta lap duge day x, x, x,
Trang 26Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật (2.7)
Néu day (2.6) được ngừng tại một bước lặp m nào đó và x'”'được chọn làm giá trị của x*, thì )có thể đánh giá bằng a
phương trình f(x) =0,046cos(2,62x)—0,0476x° +0,114x-0,046=0 theo
phép lặp đơn dé tim x (don vi m) là hoành độ của độ võng cực đại của tắm chịu uốn,
cho e= 103 m Cho biết nghiệm x; e [0,2 ; 1]
Giải Ta biến đổi /x) thành dạng: x=đ(x)= ~0,06026sin(2,62x) + 0,057 Sau đó tính |đ()|= <C< l; với xe [0,2; 1]: Thỏa điều kiện hội tụ Vậy ta có thể tính lặp theo dang x!) = g (x) véi x = 0,1 theo bảng dưới đây: Giải phương trình phi tuyến theo phép lặp đơn Bước m x) x)= (al) 1’ | sai b met) _ xí) 1 61 0454441172 0.159740305 0354441172 2 0454441172 0,693236979 0,162862096 0,238795807 3 0,693236979 0,677517123 0,170320691 0,015719856 4 0,677517123 0678363959 0,170923074 0000846836 'Vậy nghiệm x = 0,6784 sau số lần lặp m=4 và thỏa sai số |x!”°"~ x'”|< 103,
2.3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN
Trang 27Dùng ký hiệu véc to ta dat:
X=(X.Xe X)
và
ta viết hệ phương trình trên đây dưới dạng véc tơ: f(x)=0 (2.12) Giải hệ phương trình trên là để tìm véc tơ x*=(x„x;, x,) trong R" để cho f(x*®)=0
2.3.1 Giải hệ phương trình bằng phép lặp đơn
Trong hệ f(x)=0 các hàm số thực f(x) khả vi đối với các biến x¡ Giả sử ta đã
tách được một nghiệm x* của hệ trên một miền đóng D Để làm chính xác nghiệm x*, ta tìm cách đưa phương trình (2.12) về một dạng phương trình: x=ø(X) với È¡( x) là hàm khả vi đối với các biến x; và thoả điều kiện: le(©)|<c<1 xrD (2.13)
trong đó ®(x)= Ox, à ma trận Jacoby của véc tơ hàm g(x)
Trang 28Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật
Thí dụ 2.7 Dùng phương pháp lặp đơn với dạng #'”"" = j(š'”') để tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 102 của hệ phương trình:
_ ° cho biết nghiệm gần đúng là: x= 0,7 va y= 1,09 42y—x` =ð(x.y) xÌ~y+2 và tính ma tran Jacoby xe—s— a) j “ ory] =O(x,y)= aie x ĐC x -1/2 ta thay Joc) =0,6137<1 với x = (0,7; 1,09) ; nên ta có thể dùng phép lặp đơn theo dang x= gx): Lap don theo dang x = g(x) m xe ODS gx) Sai biệt=|§”? ~ g 9| 1 »„ 1,09 1,087658034 0,0023419655 + 0,7 0,7 00000000000 2 » 1,087658034 1,086149736 0,0015082988 x 07 0701170983 0,0011709828 3 y 1,086149736 1085554757 0,0005949792 SẼ 0,701170983 0,702745506 0,0015745229 4 y 1,085554757 1,085672929 0,0001181727 + 0,702745506 0,704 148245 0,0014027389 5 y 1,085672929 1,086193006 0,0005200771 x 0,704 148245 0,705075911 0,0009276660 Vậy nghiệm š là (x=0,705 ; y=1,086) 6 lin lap m=5 thỏa sai bi #Ð|< 10%, 2.3.2 Đưa hệ phương trình về dạng lặp đơn dùng ma trận nghịch đảo hằng số Với ƒ(%)=Ũ_ tương đương với dạng của hệ phương trình: ~4ƒ(8) (2.17)
trong đó 44 là ma trận vuông cấp ø không suy biến Vậy ta có thẻ chọn dạng của véc tơ
hàm ổ (š) là về phải của (2.17) và chon A sao cho |(b(x)|< C <1 trong Ð đang xét
Trang 29
Chẳng hạn với dạng (2.17), lấy đạo hàm riêng của ø(x) theo xị ta được:
®(x}E- AF(x) (2.18)
E là ma trận đơn vi cap n, F(x) la ma tran Jacoby của véc to ham f(x) Dé chon
A ta có thể lấy véc tơ ban đầu x [1 D va cho
A=F '(x9)=ma trận hằng số (2.19)
Thé A vao (2.17) va tinh cho x", x®, ,x , ta có cơng thức lặp ở dạng:
xm) = yf) pt (x) £(x) (m=0, 1,2, ) (2.20)
Thí dụ 2.8 Trở lại với thí dụ 2.7 và dùng phương pháp lặp đơn với ma trận nghịch đảo Fˆ'(x') là hằng số theo từng bước lặp để tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 102 của hệ phương trình: F(x, | LOS) ~2xy+y „ cho biết nghiệm gần đúng là: x= 0,7 và y =1.09 ~2x-y+2=0 3x'-2y -2x+2y 2x-2 H1 thay x=0,7 và y=1,09 vào F(x') và tính Fˆ!x!)) = ma trận hằng số
Giải Tính đạo hàm của f(x) ta được ma trận Jacoby: F = Lặp đơn giữ nguyên giá trị ma trận nghịch đảo F”!(x')) m |x F(x) Fx) fx) |F!(x"#Wx")|xt®'Ð= x9)- [Sai biệt Fl@®)* fiery fx”) 0 0,7]-0,71 0,78] -0,8489 -0,6621] 0,005100] -0,004329 0,7043] 0,004329 109| -06 -I| 05093 -06027| 0,000000| _0,002598 1,0874| 0,002598 1Ì 0.70433 -08489 -06621| 0,000069] -0.000071 0.7044) 0,000071 1.0874 05093 -06027| 0.000019| — 0.000024| 10874| 0.000024
Vậy nghiệm x là (x=0,704 ; y=1,087) ở sau lần lặp và thỏa sai biệt |x'”! — x/°?"|< 103, Dưới đây là đoạn chương trình MatLab để giải cho hệ hai phương trình theo phương pháp lặp đơn:
UCB BEBE BOE OEE nhanh)
%* Giai he hai phuong trinh phi tuyen theo PP Lap don *) %* dùng mm trận nghịch đảo hằng số *) %* Khoa Cong Nghe - Truong Dại Hoc Can Tho *) %* Lap trỉnh: Tran Mnh Thuan *)
ĐÁ 3X XS XE + + Y4 ET2£X4CTCEECK KP KEO CC K X4 4C S4 408 4 #)
clear,ele
Trang 30Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật
formats Long,
@Nhap hai \phiiong trinh
SIx*3ˆ2*x*y+y^2;~x^2-2*x-y+2]
$Tinh ma tran Ốacoby
Jatdite(f (1), x), diff (£(1),y) diff (£(2),x) diff (£(2),y)] x=0.7, y=1.09
Ma tran Jacoby giu khong doi
Ma tran nghich dao cua Jacoby giu khong doi Do chinh xac cua nghiem x
Do chinh xac cua nghiem y ` oe ex=err_x+1,ey=err_y+l while (ex > err x)&(ey > err y) &(i<10) fr=eval (£) v=[x;y]~J_inv*fr xi=v(1), yl=v(2) ex=abs (x-xl), ey=abs(y-y1) x=x1, y=y1 i=i+1 end
2.3.3 Dạng lặp đơn thay đổi ma trận nghịch đáo - Phép lặp Newton
Gọi š* là một véc tơ nghiệm của hệ phương trình ƒ() =Ö, và Ð là một miễn lân in cia ¥* tại đó định thức Jacoby của véc tơ hàm ƒ(š) khác không Ta chọn một
điểm #' trong lân cận dy, va lap khai trién Taylor tai # cho vée to ham ƒ(#*) đến đạo hàm riêng cấp 1: 0= 7G9= FE) HERON EA FO Giải hệ phương trình trên theo #* ở bước lặp thứ nhất, ta sẽ được giá đúng của š* gọi là x': F(R OFM FO) = FR”) Ta tiếp tục phép lap theo dang FREY RO" ZO = FG) (m=0, 1,2, ) = F(a) F(x) (2.21) Ở phép lap Newton, mdi buse Lip ta phai tim ra ma tran nghich dao #3) mới, vì né thay déi theo ¥ cua timg bude lap Mudn don gian hơn, ta có thé giữ nguyên ma trận #*!( 9) cho nhiều bước lặp liên tiếp nhau giống như phương pháp lặp đơn
Trang 31
Thí dụ 2.9 Lay thi dy 2.8 va dùng phương pháp lặp đơn với ma trận nghịch đảo Fˆ'{%) thay đổi theo từng bước lặp để tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 102 của hệ phương trình: CRC FOO x`=2xy+y°=0 -2x-y+2= „ cho biết nghiệm gần đúng là: x= 0,7 và y= 1.09 Bxt-2y -2x © 2x -2y
2, m vao F ta duge F(x'") thay đổi theo từng bước lặp:
Giải Tính đạo hàm riêng F = = ta lần lượt thay x!” với m =0, 1, Lap Newton thay di gid tri ma tran nghịch đảo F"'(x'”) mỗi lần lặp mỊ xe FR™) FTq®) RE) | F™) | xO Par | Sai biet #fx”) |F'@"* Rx") 0 |0.7000 -0.71] 0.78|-0.8489 |-0.6621 |0.0051 |-0.0043 0.7043 0.00433 1.0900 -0.6 -1|0.5093 |-0.6027 |0.0000 |0.0026 1.0874 0.00260 1 |0.7043 ~0.6866|0.7661|-0.8775 |-0.6723 |0.0001 |-0.0001 0.7044 0.00007 1.0874 0.5913 -1|0.5189 |-0.6025 |0.0000 |0.0000 1.0874 0.00002 Vậy nghiệm gần đúng x vẫn là x= 0,704 và y = 1,087 sau 2 lần lặp thỏa sai biệt Bo _ EDI< 103, Dưới đây là đoạn chương trình MatLab để giải cho hệ hai phương trình theo phương pháp lặp Newton: D Tnhh nnn nh nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn
%* Giai he hai phuong trinh phi tuyen theo PP Lap Newton *)
%* dùng mm trận nghịch đảo thay doi *) %* Khoa Cong Nghe - Truong Dai Hoc Can Tho *) %* Lap trỉnh: Tran Mnh Thuan *)
ĐÁ YYYYYYYY****#*#*K** X#X*X XE TT TCTĐTOEODEEEOETOETOEEE OI) clear,cle sym f J x y real format long YNhap hai phuong trinh f-[x^3-2*x*y+y^2; x^2-2*x-y+2] %inh m tran Jacoby
J=[di ff(f(1),x), đi ff(fC1),y); diff(£(2), x), di ff(£(2), y) ] 7., y=l.09
err x=l0^(-5) % Do chỉnh xac cua nghiemx
Trang 32Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật J_inveìnv (Jrj v=[%;xv]-J` inv*fr x1lsv(1), yl=v(2} bx=abs (x~x1J/ ey=abs (y~y1) x°x1,~ý=y1 4Z1+1 end 2.4 DAISO DA THUC
2.4.1 Tính giá trị của 1 đa thức - Thuật toán Horner
a, Tinh giá trị của đa thức P„(x) tại x— ø, ta xét đa thức bậc ø với các hệ số thực ái có dạng:
PX) a0x"+ ax" H+ an ix + an (2.22)
Tại x=œ R ta có:
Ppl )= doc aya™!+ + dy.t0e + dn (2.23) 'Ta biến đổi biểu thức trên thành dạng:
Pu(G)= (( (((@60+ ai)0 + đ)0 + as)ort +da-t Jot + dn)
Để tính giá trị của P„(œ) ta bắt đầu tính biểu thức trong dấu ngoặc trong cùng trở
ra ngoài, ta đặt:
bo=do =>bi =(boa + ai) =>br = (brat ar)=> =>bnt= (bn2@+ ani) => bn = (dna + an)
Cuối cùng ta tinh được ð„ chính là giá trị của đa thức ,(œ) Thuật toán Horner có thể sắp theo bảng tính sau đây: Bang 1 a a sứ am + boo bo bụng ban bỉ bà bn
Trang 33Thay (2.25) vào (2.24) và khai triển ta được:
Pa(x) = box"+ (bi - bo ax"! (b2 = bi a)x*2+ +(Dn-1 = bn.2 @)X + (bạ bạn Œ)
So sánh với bảng | ta thay:
bo= ao; (bi- boa) = ar; (b2- bia) = a2; .5 (bn- bn-1 4) = an
va a; diing 1a cdc hé sé ctia da thite Pa(x) 6 dang dau tiên (2.22) Vậy giả thiết trên là đúng
Vì thế ta có thể tìm được các hệ số bự của Q„¡(x) và giá trị của P;(ø) theo thuật
toán Horner ma không cần chia P„(x) cho (x-0)
Thi dy 2.10, Cho Po(x) = 3x°+ 2x5 — 15x'+ 8x`+ x”— 12x - 60 Tính Po(2) va hãy xác định Q, (x) nh Xác định Qs(2) - Giải * Tinh Po(2) ta dùng bảng Homer: Po(x) 3 2-15 § 1 -12 +60 + 616 2_ 20 42 60 Q3 8 1 10 21 30 0 Ta thay Po(2)=0 1] x=2 là nghiệm của Pa(x) 1 Qs(x) = 3x8 + 8xt438 + 10x? + 21x + 30 * Tinh Qs(2): Quix) 3 8 1 10 21 30 + 6 28 58 136 314 Qn 3 14 29 68 l57 344 Qs(2) = 344 b Tinh dao ham cap k ciia da thire tai x = œ: Ta có thể dùng bảng Horner để xác định các đạo hàm P„*(g) Ta có: Pa(x) = @-g)Qaa(x) + Ra(g) (226) với: P;(œ) = Ra(0) Tương tự: Q›-i(x) = (X-)Qn-2(X) + Ra (0)
Thay thế vào (2.26) ta được:
Trang 34Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật
Tính đạo hàm cấp một ta được:
Pr’ (x) = 2(¢-c4) Deal) + (A-c4)?Qn.2 (2) + Rui (Ct) => P'(t) = Rr-()
và tiếp tục như thế cho Qy-2(x), Ona) Qi(x), Qolx)-
Trang 35với với Pox) 3 2 -l§ 8 1 -12 -60 + 6 16 2 20 42 60 Qs(x) 3 § 1 10 2130| 0 |¡: Ra2)=Pa(2)=0 + 6 28 58 lâ6 314 Q@œ) 3 14 29 68 157 | 344 |- Ra2)=Ps(2)=344 + 6 40 138 — 412 n(x) 3 20 69 206 | 569 P.(2 SẤN `“ + 6 52 22 x) 3 26 121 | 448 P.2 lu Ra(2)= at ) 448 Vay: Po(2) = 448.3! = 2688 c Tinh giá trị của đa thức khi x là số phức, với x=z= œ+i8 1 C (s6 phite) Ta có số phức liên hi Ta dat: của zlà: Z=ø —i/ (x-2)(x-Z) =x -2ax+a? +f? =< +px+q p=-2ø và q=ø2+ƒ# Trong phép chia P,(x) cho (x?+ px + q) ta được đa thức Q„2(x), thể hiện như sau: Pn(X) = (X”†px +q)Qa-2(X)†sX +t (2.28)
Qu.2(X) = cox"? + crx" 3 + cox™! + cnr (*)
Khi x= zthì @È+px +q) = 0 0 Py(z)= Ra(z) = sztt = satisp+t = (satt)+isB
Vay: Re(z) = satt (2.29) Im(z) = sB (2.30)
thay (*) vào (2.28) ta được:
P(x) = cox" + (ci +pco)x™! + (cr +pertqco)x"? + +(Pen-2 + Gens +8)X +4en2tt
đồng nhất với (2.22) ta duge: co= ao; ¢1 +pco = ai; c2+pertqeo = ars 5
Trang 36Giáo trình Phương pháp tính - KỸ thuật
Bang 3
a a a HN aya an ” + “âp — -cp <ensp <Gap
- -avg “GA — “enon oa e om Ls t Thi dy 2.12, Lay lai Po(x) cia thi dy trén; Tinh 22) e+ lx+3 ta lập bảng sơ đồ Horner sau: 3 2 “15 8 1 “12 -60 =2 |+ -6 8 32-104 110 -g=-3 9 12 48 -156 165 [3 4 -16 52 -55 -58 105 ¬"34 7 + 2x+3 x4 2x+3
2.4.2 Dùng thuật toán Horner tìm vây nghiệm của 1 đa thức Cho đa thức: P,(x) = đu" + aix!
+ dn
Khi phân tích bảng Horner với x = (>0) nếu ta được cdc hé sé be > 0 (k= 0, 1,
2, m ) Lúc đó ta nói mọi nghiệm thực x: thoả x; < B Vì khi x => 0 và bạ > 0 ta có:
Pale) = (box! + Bix? b + but (ar = B) + by > 0 (2.36)
Tức là khi x càng lớn hon f thi ,(+) càng dương Vậy / là một cận trên của các nghiệm thực x,
Ta tiếp tục xét đa thức đối của P„(x):
DPrlx) = (-1)!" Pa(-x) = ox" = ax! tax’? + 4(-1)" dn (2.37)
Giả sử với x = œ (œ > 0), các hệ số b'¿ > 0 trong thuật toán Homer, tương tự như
trén ta c6: - xi Sa x¡ > - Œ
Vậy -ø là cận dưới của các nghiém x) Chứng minh:
Tại x = ơ (œ > 0) nếu áp dụng bảng Horner cho DP,(x) ta được dạng dưới đây: (-1)"Pa(-x) = (box! + by? x"?
thi ta sẽ tiếp tục phân tích cho 2 trường hợp: Khi ø lẻ:
(1)? = -1 => Py-x) <0 => Pyl-x) = Chờ x® = by? x"? -
sot Dna? x= a1) + by > 0 với bệ >0
Trang 37
Ta thấy khi x > ơ thì P;(-x) càng âm, vậy x¡< œ mới là nghiệm của P.(-x) hay: -%< ơ mới là nghiệm của P,(x) => x:> - :đpem
Khi n chin:
Ci"
Ta thdy khi x> a thi P(-x) cing duong, vậy x:< œ mới là nghiệm của P;(-x)
> Pa(-x) > 0 => Pn(-x) = (bo x®! + bị x2 +, + bại” )(X - 0) + bạ > 0 hay: -x:< ơ mới là nghiệm của P;(x) => x¡> -ư :đpcm
Vậy tắt cả các nghiệm thuc x; thoa xi [- @, fl
Thí dụ 2.13 Hãy xác định cận trên và dưới của các nghiệm thực của Po(x) = 3x6+ 2x” — 15x'+ 8x) + x?— 12x — 50 Giải Ap dung bang Horner cho Pz(2) ta được các hệ số bạ > 0 vậy nghiệm x¡< 2 Po(x) 3 2 “15 8 1-12 -50 + 6 16 2 2 42 60 bí 3 8 1 10 21 30 10 Ta xét " Pd(x)= 3x9- 2x5 — 15x! - 8xÌ+ x?+ 12x — 60 tại x= 3 Pox) 3 2 “15 8 1 12 -60 + 9 21 l8 30 42 108 be 3 7 6 10 31 $4 48
Ta thấy b¿> 0 vay -xi<3 hay nghiém x¡> -3 Vậy Ps(x) có nghiệm x; [1 [-3, 2]
2.5 TINH GIA TRI MOT HAM SO
ding cia him sé y = f{x) ta có thể dùng công thức Taylor
Dé xác định giá trị
để khai triển cho hàm x) thành một hàm đa thức xâp xỉ ở trong miễn lân của điểm
Trang 38Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật Trong đỏ:
PSE) 239)
là đa thức bậc ø của tông các luỹ thừa nguyên durong i cua nhj thite (x — xo) voi ¡ = 0,
Trang 39Bài 22 Dùng phương pháp lặp đơn tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 103 của
các phương trình phi tuyên sau đây:
a 5x`- 20x +3 = 0, biết đoạn chứa nghiệm là (0; 1) b, x`+3xÈ ~3 = 0, biết đoạn chứa nghiệm là (-2,75; -2,5) c x—cos x= 0, biết đoạn chứa nghiệm là (0; 1)
d, Tinh 0 khi biét oy =12 MPa, omin = -14 MPa và tạ = 20 MPa (hoặc ơuax = 27.38461538 MPa) Theo phương trình:
Ø Tớ,
min = cho biết øy 5 (-14 ; 27,385)
e Giải phương trình phí tuyến sau đây để tìm x (đơn vị m) là hoành độ của độ võng cực đại của tắm chịu uốn, cho e= 102m
A(x) = ~0,10885.cos(2,618.x) — 0,113.x2+ 0,0544
Cho biết nghiệm x¿ - (0,3 ; 0,7)
Bài 23 Dùng phương pháp lặp dây cung và lặp tiếp tuyến tìm nghiệm gần đúng với độ chính xác 102 của phương trình phi tuyến sau:
a x°+3x+5 =0; Cho biết nghiệm xỉ ï (-1-
0,8)
b x'-3x +1 =0; Cho biết nghiệm xi -' (0,1 ;0,5)
Bài 24 Hãy tìm nghiệm gần đúng bằng phép lặp đơn và Newton với
102 cho các hệ phương trình sau đây: chính xác 2xy=0 , cho biết nghiệm gần đúng là: x=- 0,1 va y=-1,2 y`+2=0 x+3logx=
b 2x? —xy-5x+1=0 có một nghiệm ở lân cận điểm x= 3,4, y=2,2
Bài 2.5 Cho P,(x) =x’ -2x°+x5 3x! +4x)=x” +6x~—L, Hãy tính Pz(3) và suy ra cận trên các nghiệm thực của Pz(x)
a) Hãy xác định 1 cận dưới b) Tính P;(-1,5)
Bài 2.6 Cho P,(x)=xÌ~=2xÌ+3x)+4x~l
a) Xác định các cận của các nghiệm thực của Pa(x) b) Hãy chia Pa(x) cho x? + x - 2
Bài 2/7 Hãy đặt đa thức: P,(x) =2xÌ+5x”+3x+1 theo các lũy thừa nguyên dương của
Trang 40Giáo trình Phương pháp tính - Kỹ thuật
Chương 3
NOI SUY
Jrong các bài toán kỹ thuật, ta thường gap các bảng tra số được tính sẵn từ các
Axn ) = Yn VOi xị thuộc vào đoạn [a, ð] Ta tìm cách thay thế chúng bằng một hàm đa
thức P,(a) có bậc < ø và thoả giả thiết:
Palo) = Vos Pr(X1) = Vi geeees Palin) = Yn
Hinh 3.1
Ta da ham đa thức là hàm tương đối dễ tính toán (như ở chương 2) sẽ rất tiện
lợi để thay thế cho các hàm phức tạp khác trong việc tính toán về sau (đạo hàm,
tích phân, v.v)
Giả sử hàm số /Qx) có đồ thị là (C) thì hàm đa thức (+) sẽ có đồ thị là (C')
Dé thi (C’) không nhất thiết phải trùng (C) nhưng bắt buộc phải đi qua các điểm
(xo, yo), (xi, y9) 0ø, y2), Hàm đã thức P;(x) được gọi là hàm nội suy