Giáo trình phương pháp tính - Trương Vĩnh An, Phạm Văn Hiển, Phan Tự Vượng

Untitled 1 GIÁO TRÌNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHAØ XUAÁT BAÛN ÑAÏI HOÏC QUOÁC GIA TP HOÀ CHÍ MINH BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM KYÕ THUAÄT THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH TRƯƠNG VĨNH AN PH[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯƠNG VĨNH AN - PHẠM VĂN HIỂN - PHAN TỰ VƯỢNG GIÁO TRÌNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM KỸ THUẬT THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH ******************* TRƢƠNG VĨNH AN – PHẠM VĂN HIỂN PHAN TỰ VƢỢNG GIÁO TRÌNH NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỜI NĨI ĐẦU Các toán ứng dụng kinh tế, kỹ thuật … thƣờng không “đẹp” giải theo phƣơng pháp tính Ngƣời ta cần phƣơng pháp giải có tính chất giải thuật và, kết gần sai số phải “đủ nhỏ” (vô bé) Cho dù phƣơng pháp địi hỏi lƣợng phép tính lớn với máy tính, tốn dễ dàng đƣợc giải Một ngành học nghiên cứu phƣơng pháp nhƣ Giải tích số Giáo trình phƣơng pháp tính đƣợc viết với mục đích nhập mơn Giải tích số dành riêng cho sinh viên Đại học Sƣ phạm Kỹ thuật TP HCM Với mục đích đối tƣợng nhƣ vậy, tài liệu không đào sâu sở tốn học giải thuật nhƣ tính tổng qt toán Các lập luận chủ yếu dùng lý thuyết mà sinh viên học toán cao cấp A1 nhƣ định nghĩa đạo hàm, định lý trung bình, khai triển Maclaurin… Trong lập luận, chứng minh tài liệu này, ngƣời đọc xem điều kiện “đầu vào” thỏa mãn đến mức cần thiết Ví dụ lập luận cần đến đạo hàm cấp f(x), xem nhƣ f(x) đảm bảo khả vi đến cấp 3… Cũng nhƣ tính nghiệm toán mặc định Dù cố gắng nhƣng chắn tài liệu cịn nhiều thiếu sót Rất mong ngƣời đọc đồng nghiệp quan tâm góp ý Nhóm tác giả Chƣơng SAI SỐ §1 SAI SỐ TUYỆT ĐỐI VÀ SAI SỐ TƢƠNG ĐỐI Sai số tuyệt đối Ta cần xấp xỉ A số gần a ta viết A ≈a Khi đó, sai số phép tính gần mức chênh lệch A a, tức A  a Tuy nhiên, khơng tính A đƣợc nên ta khơng thể tính đƣợc mức chênh lệch Chúng ta đánh giá sai số cận A  a   a (1.1) Khi  a đƣợc gọi sai số tuyệt đối giới hạn hay sai số tuyệt đối không sợ nhầm lẫn Rõ ràng sai số tuyệt đối có nhiều chọn lựa Ví dụ 1.1: Nếu lấy gần   3.14 , dù khơng biết xác số π nhƣng ta có   3,14  0,0016  0,002  0,003 Nhƣ ta chọn sai số tuyệt đối 0,0016 hay 0,002, hay nhiều chọn lựa khác Sai số tuyệt đối cho phép xác định khoảng giá trị đại lƣợng A, tức A  a  a ; a  a  hay viết A  a   a Do ta chọn  a nhỏ theo u cầu Thơng thƣờng, ta yêu cầu  a gồm chữ số khác Với u cầu đó, ví dụ trên, ta có   3,14  2.103 Sai số tƣơng đối Sai số tuyệt đối cho xác định miền giá trị đại lƣợng A nhƣng không cho biết mức xác phép tính Để so sánh sai số nhiều phép tính gần khác nhau, xét sai số tƣơng đối a  a (1.2) a  0,111 có sai số tuyệt đối 2.104 nhỏ ví dụ 1.1 nhƣng so sánh sai số tƣơng đối ta có Ví dụ 1.2: Phép tính 2.103 2.104 Vậy phép tính  0,111 có sai số lớn phép tính  3,14 0,111   3,14 §2 SAI SỐ QUY TRỊN Một số dạng thập phân có nhiều chữ số Những chữ số mà ta bỏ làm thay đổi giá trị số đƣợc gọi chữ số có nghĩa Nhƣ ta viết chữ số có nghĩa biểu diễn số Tuy nhiên, số có nhiều chữ số có nghĩa (thậm chí vơ hạn) ta cần quy tròn bớt Việc quy tròn làm phát sinh sai số Hãy xem ví dụ 1.1 1.2 minh họa Quy ƣớc quy tròn số: Nếu chữ số quy trịn nhỏ ta quy tròn xuống trƣờng hợp khác ta quy tròn lên Với số gần không quy trịn nhiều lần Ví dụ cần quy trịn 1,2345 giữ lại chữ số ta xét chữ số quy trịn thành 1,23 (khơng xét chữ số 5) Ví dụ 1.3: Tính gần tích phân I   e x dx Trƣớc hết thay tích phân (diện tích hình thang cong) diện tích hình thang I  1  e  , sai số đƣợc gọi sai số phƣơng pháp, đặt  Tiếp theo tính biểu thức dạng số thập phân 1  e   1,85914  1,859 , sai số quy tròn phát sinh 1,85914  1,859  2.104 Vậy ta có kết I  1,859    2.104  §3 CHỮ SỐ CHẮC Ví dụ 1.3 cho thấy sai số cuối tổng sai số phƣơng pháp sai số quy tròn Từ đặt yêu cầu quy trịn cho sai số quy trịn khơng làm tăng đáng kể sai số cuối Chúng ta đặt khái niệm chữ số để giải yêu cầu Cho A  a   a a gồm chữ số : a  a1a0 , a1 (chữ số hàng đơn vị a0, từ trái sang phải số giảm dần) Khi chữ số đƣợc gọi a  0,5.10i (1.3) Nhận xét: Nếu (1.3) với i=i0 với i>i0 (1.3) sai với i=i0 sai với i