Phương pháp tính ứng dụng trong tính toán kỹ thuật Nguyễn Hoài Sơn

PGS TS NGUYỄN HOÀI SƠN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH PHƯƠNG PHÁP TÍNH ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN KỸ THUẬT PGS TS NGUYỄN HOÀI SƠN NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH LỜI TỰA Một vấn đề quan trọng hiểu biết phân tích mô hình vật lí thành mô hình toán học thông qua định luật vật lí công cụ tính số giải Vì cần thiết thời gian giảng dạy nghiên cứu định mắt sách “PHƯƠNG PHÁP TÍNH ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN KỸ THUẬT” nhằm giúp sinh viên đại học người làm công tác nghiên cứu có tay công cụ tính toán số giải toán kỹ thuật có hiệu Ngoài ra, điều tách rời với máy tính , mà “Ngôn Ngữ Lập Trình Kỹ Thuật Matlab” điểm sáng thiếu chuỗi sách mà giới thiệu tính hiệu khả ứng dụng cao Việc mắt bạn đọc sách có tham gia tích cực hiệu nhóm tính toán mô (CSG) thuộc Khoa Kỹ Thuật Cơ Sở - Trường Đại Học Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh Các thành viên: Th.s Mai Đức Đãi, Th.s.Nguyễn Xuân Hùng, Th.s Lê Thanh Phong, Khương Anh Dũng, Quách Hoàng Dũng, Đào Duy Nhân, Trần Văn Phú, Lê Văn Tài Qua sách xin giới thiệu với bạn đọc phần mềm đầu tay phương pháp tính số “NUMERICAL METHOD V2.0” mà phát hành vào tháng năm 2004 phần mềm “người” trợ thủ đắc lực giúp bạn giải toán kỹ thuật cách có hiệu qua Cuốn sách có chương, bao gồm: Chương 1: SAI SỐ Chương 2: NỘI SUY –NGOẠI SUY Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN Chương 4: HỆ TUYẾN TÍNH VÀ PHI TUYẾN Chương 5: XỬ LÝ SỐ LIỆU THỰC NGHIỆM Chương 6: TÍCH PHÂN SỐ Chương 7: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong lần xuất đầu tiên, chắn không tránh khỏi vài thiếu sót Chúng hy vọng đón nhận đóng góp chân thàn h nhiều ý kiến thiết thực từ bạn đọc Qua đó, có kinh nghiệm cho lần xuất sau Chúng chân thành cảm ơn GS.TSKH Nguyễn Đăng Hưng (ĐH Liège – Bỉ), PGS.TS Thái Bá Cần (ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Thành Phố Hồ Chí Minh), GS.TSKH Nguyễn Đông Anh (Viện Cơ Học Hà Nội), PGS.TS Ngô Thành Phong (ĐH Tổng Hợp Thành Phố Hồ Chí Minh), TS.Trần Cảnh Vinh (ĐH Giao Thông Vận Tải Thành Phố Hồ Chí Minh), TS Bùi Công Thành (ĐH Bách Khoa Thành Phố Hồ Chí Minh) đồng nghiệp cho nhiều ý kiến đóng góp quan trọng thiết thực để hoàn thành sách Tác giả Numerical Methods PHƯƠNG PHÁP TÍNH SƠ ĐỒ NGUYÊN LÝ TÍNH TOÁN: Mô hình thực Mô hình vật lý       Mô hình toán Định luật vật lý Nguyên lý lượng Kết  Công cụ toán - Phương pháp giải tích - Phương pháp số Trong tính toán thường không tìm lời giải xác toán Chọn phương pháp gần đúng, nghiệm cần tìm gần Chấp nhận sai số phương pháp giải gần Đánh giá sai số lời giải tìm với lời giải xác có? không chứng minh hội tụ lời giải tìm Numerical Methods CHƯƠNG SAI SỐ 1.1 Số gần đúng, Sai số tuyệt đối sai số tương đối: 1.1.1 Số gần đúng: ‚a gọi số gần hay số xấp xỉ A a gần với A (a > A a < A) dùng thay A tính toán‛ 1.1.2 Sai số thực: ‚Sai số thực số gần a A-a‛ Vì xác A nên sai số thực cuả a Chính ta tìm trị tuyệt đối sai số thực gọi sai số tuyệt đối 1.1.3 Sai số tuyệt đối: Sai số tuyệt đối số xấp xỉ a số dương a thỏa mãn bất đẳng thức: A  a  a (1.1) Trong thực hành Chọn số số dương thỏa mãn (1.1) bé tốt làm sai số tuyệt đối Như vậy, từ (1.1) dù xác A ta biết miền giá trị nó: a  a  A  a  a (1.2) hay A  a  a với (1.3) A  a  a, a  a 1.1.4 Sai số tng đối: ‚Sai số tương đối số xấp xỉ a tỉ số sai số tuyệt trị tuyệt đối nó‛ a a  (1.4) a Ví dụ 1: Đo hai số xấp xỉ a1  10m, a2  5m chúng có sai số tuyệt đối a1  a2  0.001m , kết phép đo a1 xác dù sai số tuyệt đối chúng 0.001 0.001 a1   0.01%, a2   0.02% 10 Ta kết luận rằng: ‚sai số tương đối nhỏ độ xác phép đo cao, phép đo a1 xác hơn‛ Chú ý: sai số tuyệt đối có thứ nguyên với số xấp xỉ, sai số tương đối thứ nguyên, biểu thị % 1.2 Chữ số tin cậy chữ số nghi ngờ: 1.2.1 Chữ số có nghóa: Numerical Methods Khi viết số dạng thập phân gồm nhiều chữ số, chữ số kể từ chữ số khác không tính từ trái sang phải gọi chữ số có nghóa 1.2.2 Chữ số tin cậy: Mọi số thập phân viết dạng: a   an 10 n ,  an  (1.5) Ví dụ 2: Cho soá 139.35  2.10  7.101  9.100  3.10 1  5.10 2 ‚Trong (1.5) chữ số an gọi chữ số tin cậy sai số tuyệt đối a thỏa mãn: a  0.5.10 n , ngược lại a  0.5.10 n an gọi chữ số nghi ngờ‛ 1.2.3 Cách viết số gần Viết số gần kèm theo sai số: a  a Viết toàn chữ số đáng tin, cách viết cho ta biết sai số tuyệt đối số xấp xỉ không vượt nửa đơn vị hàng cuối bên phải 1.3 Các loại sai số: 1.3.1 Sai số làm tròn: Khi số có nhiều chữ số, không tiện tính toán, không cần xác ta cần bỏ hay nhiều chữ số cuối cho gọn, ta gọi làm tròn số Sai số gọi sai số làm tròn = số làm tròn – số chưa làm tròn Qui tắc làm tròn: Nếu chữ số bỏ  cộng thêm vào chữ số trước Còn chữ số bỏ  giữ nguyên chữ số trước Sai số làm tròn làm tăng sai số tuyệt đối phép tính Như vậy, ảnh hưởng đến kết tính toán Ví dụ 3: Làm tròn 67.548 với số lẻ  67.55  1   A       1.4 1.4142     1   2  1 0.0040960 0.005050   99  70 3  2  99  70 0.008000 0.005053 0.006 1.3.2 Sai soá tính toán: ‚Sai số tạo tất lần xấp xỉ làm tròn‛ 1.3.3 Sai số phương pháp: Thay toán phức tạp thành toán đơn giản tạo sai số gọi sai số phương pháp Chẳng hạn để giải phương trình thuật sau: f ( x)  ta dùng phương pháp Newton với giải Numerical Methods xn1  xn  f ( xn ) f ' ( xn ) (1.6) Để tìm nghiệm, ta cần cho trước nghiệm ban đầu sai số chấp nhận (xem chương 2) Ví dụ 4: 1 Tính A     (1) n1  , a  5.10 3 Chuỗi A đan dấu hội tụ nên tồn n tổng Ta cộng vô hạn số hạn Do dùng phương pháp gần đúng, thay A An A  An sai số phương pháp, ta cần chọn n cho sai số tính toán cộng với sai số phương pháp  5.10 3 1    (1) n1 3 n Theo lyù thuyết chuỗi đan dấu ta có: 1 A  An     ; 3 (n  1) (n  2) (n  1) An  A  Giả sử lấy n = A  A6  Vaäy A6  0.899  9.10 4 1   3.10 3 343 Nếu lấy A6 làm giá trị gần ta phạm phải sai số: A  0.899  A  A6  A6  0.899  A  A6  A6  0.899  3.103  9.104  4.103  5.103 Vậy: A  0.899  4.103 thỏa mãn yêu cầu toán 1.4 Sai số hàm số: 1.4.1 Qui tắc chung: Giả sử cần tính y theo công thức: y  f ( x1 , x2 , , xn ) , hàm f khả vi biến số xi Nếu x1 , x2 , , xn số gần y giá trị gần Gọi X i ,Y giá trị đúng, X i , Y sai số tuyệt đối, xi ,y sai số tương đối Theo nội suy Lagrange để tính sai số y, y theo sai số xi , xi Ta dùng công thức số gia Gọi xi giá trị trung gian xi X i Vì X i  xi bé nên ta chọn xi  xi , ta coù: Numerical Methods Yy  n y   i 1 n f ( x1 , x2 , , xn ) f ( x1 , x2 , , xn ) ( X  x )  xi Choïn   i i xi xi i 1 i 1 n f ( x1 , x2 , , xn ) xi xi (1.7) (1.7) công thức tính sai số tuyệt đối hàm y theo sai số đối số Chia vế (1.7) cho f ( x1 , x2 , , xn ) , ta coù: n y   i 1 f ( x1 , x2 , , xn ) / xi xi f ( x1 , x2 , , xn ) (1.8) f ( x1 , x2 , , xn ) / xi xi xi f ( x1 , x2 , , xn ) (1.9) hoaëc n y   i 1 (1.8) (1.9) sai số tương đối hàm y 1.4.2 Sai số phép tính bản: y x1  x2 y x1  x2 y x1 x1  x2 x2 x1  x2 x1  x2 x1  x2 x1 x1  x2 x2 x1  x2 x1 x2 x2 x1  x1 x2 x1  x2 x1 / x2 x2 x1  x1 x2 x22 x1  x2 Ví dụ 5: Cho y  x1  x2 ; x1  10  0.1; x2  100  0.5 Tính sai số y, y y  0.1  0.5  0.6 0.1 0.5 x1   0.01; x2   0.005; 10 100 x x  x2 x2 y  1  0.005 x1  x2 Ví dụ 6: Thể tích hình cầu tính theo công thức: V  R 3 Numerical Methods Cho R  3.7  0.5 (cm);   3.14  0.05 Tính sai số tuyệt đối sai số tương đối V 0.05 V    3R;    0.0159; 3.14 0.5 R   0.0135;  V  0.0159  3.0.0135  0.0564 3.7 V  3.14.(3.7)  106 (cm ); V  V V  106  0.0564  5.9784 Numerical Methods CHƯƠNG NỘI SUY – NGOẠI SUY 2.1.Giới thiệu: Hàm nội suy hàm qua điểm liệu cho trước Những hàm lấy từ bảng hàm mẫu lấy trực tiếp từ hàm biết Có nhiều phương pháp nội suy như: nội suy Lagrange hay Hermite kiểu nội suy tuyến tính, nội suy đa thức đơn giản thường sử dụng phương pháp giải số 2.2.Nội suy: 2.2.1 Phương pháp nội suy tuyến tính: Nội suy tuyến tính sở cho nhiều sơ đồ số Bằng cách lấy tích phân nội suy tuyến tính, người ta sơ đồ tích phân gọi luật hình thang Gradient nội suy tuyến tính xấp xỉ cho đạo hàm bậc hàm số Nội suy tuyến tính tìm đường thẳng thoả mãn điểm liệu cho bx xa (2.1) g ( x)  f (a)  f (b) ba ba Trong đó, f(a),f(b) giá trị biết f(x) x = a x = b f(x) y f(b) f(b ) g(x ) f(a) a Hình 2.1 b x Sai soá : (2.2) e( x)  ( x  a)( x  b) f '' ( ), a    b Trong  phụ thuộc x Phương trình (2.2)là hàm bất lợi cách để đánh giá xác  Tuy nhiên phân tích e(x) f’’(x) xấp xỉ số khoảng [a b] Nếu f‛ hàm biến đổi chậm [a,b] nhỏ để f‛ biến đổi ít, xấp xỉ f‛ (  ) f‛(xm) Trong đó, xm điểm a b: xm=(a+b)/2 Phương trình (2.2) rằng: a) Sai số xấp xỉ lớn xảy điểm hai điểm liệu b) Sai số gia tăng b-a tăng c) Sai số tăng f '' tăng ...PHƯƠNG PHÁP TÍNH ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN KỸ THUẬT PGS TS NGUYỄN HOÀI SƠN NXB ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH LỜI TỰA Một vấn đề quan trọng hiểu biết phân tích mô hình vật lí thành mô hình toán. .. PHƯƠNG PHÁP TÍNH SƠ ĐỒ NGUYÊN LÝ TÍNH TOÁN: Mô hình thực Mô hình vật lý       Mô hình toán Định luật vật lý Nguyên lý lượng Kết  Công cụ toán - Phương pháp giải tích - Phương pháp số Trong. .. công cụ tính toán số giải toán kỹ thuật có hiệu Ngoài ra, điều tách rời với máy tính , mà “Ngôn Ngữ Lập Trình Kỹ Thuật Matlab” điểm sáng thiếu chuỗi sách mà giới thiệu tính hiệu khả ứng dụng cao