DẠNG 3 GIÁ TRỊ NGUYÊN

CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG DẠNG TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC CĨ GIÁ TRỊ NGUYÊN I PHƯƠNG PHÁP + Tìm điều kiện xác định cần + Rút gọn biểu thức + Biến đổi biểu thức dạng P =m+ n , n ∈ Z+ f (x) - Nếu x số nguyên f (x) ước n - Nếu x ∈ Q , Chứng minh Min < f (x) < Max , giải trường hợp tương ứng + Đối chiếu điều kiện + Kết luận II VÍ DỤ Ví dụ Cho hai biểu thức: x +2 B= x −3 ; x x − − x + − x x + x − với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ a) Tính giá trị biểu thức A x = 64 b) Rút gọn biểu thức B c) Đặt M = A.B , tìm giá trị nguyên x để biểu thức M có giá trị nguyên A= Lời giải Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ biểu thức A, B xác định a) Ta thấy x = 64 thoả mãn ĐKXĐ, ta thay x = 64 vào biểu thức A ta x +2 64 + 10 = = =2 x −3 64 − Vậy A = x = 64 x x B= − − x + 1− x x + x − b) x x = + − x +2 x −1 x +2 x −1 A= x −1 + x = = ( ( x +2 x −1 x +2 Vậy ( )( B= ( )( ) )( ) x + −3 x ) x −1 ) x −1 = x +1 x +2 x +1 x + với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI c) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x + x +1 x +1 = x −3 x + x − với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ x +1 x −3+ 4 M= = = 1+ x −3 x −3 x −3 Ta có ∈ Z ⇒ 4M x − ⇒ x − ∈ { ±1; ± 2; ± 4} x − Để M có giá trị ngun M = A.B = ( ) ⇒ x ∈ { 1; 2; 4; 5; 7} ⇒ x ∈ { 1; 4; 16; 25; 49} x ∈ { 4; 16; 25; 49} Kết hợp ĐK x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ x nguyên ta có  x x + − 11 x  A= + + ÷ B= 9−x  x + x −  Ví dụ Cho biểu thức 1) Tính giá trị B x = 81 x −3 x +1 , x ≥ , x ≠ 2) Rút gọn A 3) Tìm số nguyên x để P = A.B số nguyên Lời giải 1) Thay x = 81 (thỏa mãn điều kiện) vào B ta được: 81 − − = = = 81 + + 10 B= Vậy x = 81 B=  x x + − 11 x  A= + + ÷ 9−x  x + x −  2) ( ) ( ) ( )( x − 3) (  x x −3 A= +  x +3  ( A= A= Vậy 3) P = A.B = )+ x + 3) ( x +1 x +3  ÷ x +3 ÷  −3 + 11 x x −3 )( ) 2x − x + x + x + − + 11 x ( ( x −3 )( 3x + x x −3 A= )( x +3 x +3 = ) ( ) x ( x −3 )( x +3 ) x +3 ) = x x −3 x x − với x ≥ , x ≠ 3 x x −3 x = = x − x +1 x +1 Để P nguyên ( ) x +1 − x +1 = 3− x +1 ∈ ¢ ⇔ x + 1∈ = ±1; ± 3} x +1 Ư( ) { TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x +1 −3 −1 x −4 (Không thỏa mãn) −2 ( Không (Thỏa mãn) (Thỏa mãn) thỏa mãn) x Vậy x ∈ { 0; 4} P số nguyên x x − 24 B= + x − Với x ≥ 0; x ≠ x + x −3 Ví dụ Cho hai biểu thức 1) Tính giá trị biểu thức A x = 25 A= 2) Chứng minh x +8 x +3 B= 3) Tìm x để biểu thức P = A.B có giá trị số nguyên Lời giải 7 = = 25 + + 13 A= 1) Thay x = 25 vào biểu thức ta có: 2) Ta có: B= = 3) Ta có: x x − 24 + = x −9 x −3 ( ( x − 3) ( x + 3) ( x + x − 24 P = A.B = x ( x −3 )( x − 3) ( x −3 = ( x +3 )( ) x +3 )= x + 3) x +8 ) + x − 24 x + x + x − 24 = x −9 x −3 x +3 ( )( ) x +8 x +3 x +8 = x +8 x +3 x +3 Để P có giá trị ngun x + ước hay (Do x + ≥ 3) x + = ⇔ x = ⇔ x = 16 (Thỏa mãn) Ví dụ 1) Cho biểu thức A= x −1 x + với x ≥ Tính giá trị A x = 16 x +3 − + x + 1 − x x − với x ≥ ; x ≠ Rút gọn B 2) Cho biểu thức 3) Tìm số hữu tỉ x để P = A.B có giá trị nguyên B= Lời giải 1) Với x = 16 ( thỏa mãn điều kiện: x ≥ ), ta có: Khi giá trị biểu thức A bằng: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN A= x = 16 = −1 = = 4+2 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI ( )( x +1 ) x −1 ) ( x − 1) + ( x + 1) + = x + x − + x + + ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x + 6) x + x+7 x +6 = = ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) = x − = ( x +3 + + x +1 x −1 x +3 = − + x + 1 − x x −1 B= 2) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x +3 3) Điều kiện: x ≠ ; x ≥ Ta có: P = A.B = x ≥ nên Vì x −1 x + x +6 = = x + x −1 x +2 x + ≥ suy x +2+4 =1+ x +2 x +2 ≤2 x +2 ⇒ < P ≤ 0< P ∈ { 2;3} Mà P ∈ ¢ nên Với P = Với P = Vậy với ⇒ 1+ =2 ⇔ x + = ⇔ x = ⇔ x = (t/m) x +2 ⇒1+ =3 ⇔ x + = ⇔ x = ⇔ x = (t/m) x +2 x ∈ { 0;4} P = A.B có giá trị nguyên x +2 x 3+8 x B= − − x≠ x − x + 4x − với x ≥ , Ví dụ Cho biểu thức x − a) Tính giá trị biểu thức A x = 25 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P = A − B đạt giá trị nguyên lớn Lời giải a) Thay x = 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A có: Vậy A = x = 25 b) B= B= ( A= 25 + 5+2 = =1 25 − 10 − x 3+8 x 9  − −  x ≥ 0, x ≠ ÷ 4 x − x + 4x − với  ) ( ( x − 3) ( ) x + − x x − − − x TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN x +3 ) PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI B= B= c) Có GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x + − 2x + x − − x (2 ( )( x −3 x +3 −2x − x )( x −3 x +3 P =A−B= = ) ( ) ( − x x +3 ) − x x −3 x +3 = x −3 )( ) x +2 − x x +2  − = = 1+  x ≥ 0, x ≠ x −3 x −3 x −3 x −3  9 ÷ 4 P có giá trị nguyên ⇔ x − có giá trị nguyên 1+ ⇔ x − có giá trị nguyên ⇔ ( M2 x − ⇔ x − ∈¦ ) ( 5) = { 1; −1;5; −5} Ta có bảng giá trị: x −3 −1 −5 x x −1 16 Đối chiếu điều kiện Thỏa m ãn (chọn) P Thỏa m ãn −4 Thỏa m ãn Giá trị nguyên x để biểu thức P = A − B đạt giá trị nguyên lớn x = III BÀI TẬP VẬN DỤNG Câu Cho hai biểu thức: A= x x + − 11 x x −3 − − ;B= x −9 x +3 3− x x + với ≤ x ; x ≠ 1) Tính giá trị B x = 25 2) Rút gọn A 3) Tìm số nguyên x để P = A.B số nguyên Lời giải x = 25 1) Thay (TMĐK), vào biểu thức B , ta được: 25 − − B= = = 25 + + TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Vậy với x = 25 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG B= 2) Với ≤ x ; x ≠ Ta có: x x +1 A= + − x +3 x −3 − 11 x ) ( x − 3) x ( x − 3) ( x + 1) ( x + 3) − = + ( x + 3) ( x − 3) ( x + 3) ( x − 3) ( = = = ( 2x − x x +3 )( x −3 ( x +3 + ) ( x +4 x +3 x +3 )( x −3 2x − x + x + x + − + 11 x x ( ( x +3 ( )( x +3 x +3 ) )( x −3 ) x −3 = ) − 11 x x +3 ( x −3 − 11 x − ) ( = )( x +3 )( x −3 3x + x x +3 )( x −3 ) ) ) x x −3 A= x x −3 Vậy với ≤ x ; x ≠ x x −3 x P = A.B = = = 3− x −3 x + x +2 x +2 Ta có: Để P ngun x +2 x Vậy với x + ước ⇔ ( ) x + ∈ { ±1; ± 2; ± 3; ± 6} −6 −3 −2 −1 VN VN VN VN VN x ∈ { 0;1;16} P nguyên ⇔ C2: Để P nguyên x + ước x ≥ ⇒ x + ≥ ⇒ x + ∈ { 2;3;6} ( ) x + ∈ { ±1; ± 2; ± 3; ± 6}  1  3+ x B= − ÷ x , (với x > 0;x ≠ )  3− x 3+ x  Câu Cho biểu thức: Rút gọn biểu thức tìm tất giá trị nguyên x để Lời giải Ta có ( )( B> ) )  1  3+ x 3+ x − 3− x 3+ x B= − = ÷ x x  3− x 3+ x  3− x 3+ x TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ( PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI = x ( − x) ( + x) B> 3+ x x = 3− x ( ) 4− 3− x 2 ⇔ > ⇔ − >0⇔ >0 3− x 3− x 2 3− x ( 1+ x ⇔ GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ( 3− x ) ) > 0;( *) * ⇔ 3− x > ⇔ x < ⇔ < x< Vì + x > nên ( ) Vì x ∈ ¢ ⇒ x ∈ { 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8} ( )  15 − x  x +1 B = +  ÷: A=  x − 25 ÷ x−5 x +   25 − x Câu Cho hai biểu thức với a,b 1) Tìm giá trị biểu thức A x = 2) Rút gọn biểu thức B 3) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P = A.B đạt giá trị nguyên lớn nhât x +1 Lời giải 1) Với x = A= ( ) = 4( ) = 4.( + 1) = x +1 +1 25 − x 25 − 16 Thay vào A ta có : 2) Rút gọn biểu thức B Với x ≥ , x ≠ 25 , ta có:  15 − x  x +1 B= + ÷:  x − 25 ÷ x−5 x +     15 − x  x +1  B= + :  x+5  x + x−5 x−5   ( B= B= B= )( 15 − x + ( x+5 )( ( ) x −5 x−5 ) 15 − x + x − 10 ( ( x+5 )( x−5 x+5 x+5 )( x−5 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ) ) × ): : x +1 x−5 x +1 x−5 x−5 x +1 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG B= x +1 3) Tìm tất giá trị nguyên x để biểu thức P = A.B đạt giá giá trị nguyên lớn P = A.B = ( )× x +1 25 − x Ta có x +1 = 25 − x 4M25 − x) Để P nhận giá trị nguyên x∈ Z ( ( 25 − x) ∈ U( 4) = { −4; − 2; − 1; 1; 2; 4} hay Khi đó, ta có bảng giá trị sau: 25 − x x −4 −2 −1 29 27 26 24 23 P = A.B −1 −2 −4 Đánh giá Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Thỏa mãn Do P đạt giá trị nguyên lớn nên ta có P = Khi giá trị cần tìm x x = 24 x A= B= x−2 ; a) Tính A x = b) Thu gọn T = A – B x+2 Câu Cho + x x− c) Tìm x để T nguyên Lời giải A= −2 a) Khi x = : ta b) Điều kiện : x ≥ , x ≠ T =A −B= = =3 x  x − + = ÷ x −  x + x − ÷  x x+ x − x + − x ( ( ) ( x + 2) x − 2) ( = = ( x − 2) ( x + 2) ( x−2 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN = ( ( ) ( ( x − 2) ( x + − x− x + x−2 ) x + 2) )( x+2 ) x + 2) x−2 −4 x ) x−2 PHONE: 0983.265.289 Thỏ CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI T= b) x−2 x+2 x+2−4 = x+2 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG = 1− x+2 T nguyên 4M( x + 2) ⇔ x + = { ± 1; ± 2; ± 4} ⇒ x + = (loại) (loại) x + = −1 (loại) x + = x + = −2 x + = −4 (loại) ⇒ x = x = (loại) x + = x+4 x B= − x− x+2; x − với x ≥ ; x ≠ A= Câu Cho a) Tính giá trị biểu thức A x = 36 b) Rút gọn biểu thức P = B : A c) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị nguyên Lời giải a) Tính giá trị biểu thức A x = 36 Khi x = 36 ta có: x+4 36 + + 10 = = = = x+2 36 + + A= b) Rút gọn biểu thức P = B : A Với x ≥ ; x ≠ ta có: B= x − = x− x−2 ⇒ P = B:A = c) Với x ≥ ta có: A= Đặt ( x+2 =n − x ( ( x−2 x−2 x+4 )( )( ) x+2 x+2 ) : ) ( x+4 = x+2 ( x+2 x−2 ( − )( ( x−2 ) x+2 x+4 )( = ) ( ) x+2 ) − ( x−2 x+4 )( ) x+2 x+2 −1 = x+4 x−2 ) x+4 = 1+ x+2 x+2 , n∈ Z Từ cách đặt ta suy = n x + 2n Vì − ⇒ x= − 2n ( *) n − 2n ≥0 x ≥ nên n Ta xét trường hợp: TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG  − 2n ≥ n ≤ ⇔ ⇔ < n≤  n > n >   TH1:  − 2n ≤ n ≥ ⇔  n < (không thỏa mãn) TH2: n < Kết hợp trường hợp ta có < n ≤ x = ⇔ x = (thỏa mãn điều Vì n∈ Z nên n = Thay n = vào (*) ta kiện) Vậy với x = biểu thức A nhận giá trị nguyên Câu Cho hai biểu thức: A= ( )( x +1 x−3 ) x−2 B= x x−2 − x+6 x − với x ≥ 0;x ≠ 4;x ≠ 1) Tính giá trị biểu thức A x = 16 2) Rút gọn biểu thức M= B A 3) Tìm tất giá trị x để biểu thức 3M nhận giá trị nguyên Lời giải 1) Tính giá trị A x = 16 Với x = 16 ta thay vào biểu thức ( A= )( 16 + 16 − Vậy với x = 16 2) Rút gọn biểu thức B= Ta có )( x +1 x−3 x−2 ) ta ) =5 16 − M= ( A= A= B A x x−2 − x+6 x− TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 10 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Nhận xét < P ≤ Để P có giá trị số ngun P ∈ { 2; 3; 4; 5; 6} P = => + =2⇒ x +1 = ⇒ x + = ⇒ x = 16 x +1 P = => + = 3⇒ x +1 5 = ⇒ x +1 = ⇒ x = ⇒ x = 2 x +1 P = => + = 4⇒ x +1 5 = ⇒ x +1 = ⇒ x = ⇒ x = 3 x +1 P = => + =5⇒ x +1 5 1 = ⇒ x +1 = ⇒ x = ⇒ x = 4 16 x +1 P = ⇒ 1+ =6⇒ x +1 = ⇒ x +1 = 1⇒ x = x +1   x ∈ 16; ; ; ; 0 16   Vậy để P nhận giá trị nguyên Câu 10 Cho hai biều thức: x −1 A= x + x +3 B= − x +1 1− x + x −1 a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Với x > , tìm x đề biêu thức P = A.B có giá trị số nguyên Lời giải Điều kiện xác định: x ≥ , x ≠ a) Khi x = (Thỏa mãn điều kiện) ta thay vào Vậy x = B= b) = x +3 A= x +1 1− x + = x −1 x + x −3+5 x + 5+ ( )( x −1 −1 +1 = 3 − A= ) x +1 ( = x +3 ( TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ) ( x − 1) + ( x + 1) + ( x − 1) ( x + 1) x+7 x +6 )( x −1 ) x +1 = 15 x +6 x −1 ID1-10 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI Vậy x +6 B= b) Ta có: x −1 x −1 P = A.B = x +1 x +6 × x −1 Vì x > ⇒ x > ⇒ x + > Và x +1 >0 Từ suy Để P∈¢ ⇔ GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x +6 = ⇒ x +1 x +1 < = 1+ x +1 0< x +1 x +1 <  9 ∈ { 1; 2} ⇒ x ∈ 16 ;  4 x +1  ∈¢ ⇒  9 x ∈ 16 ;   P ∈ ¢  Vậy x −1 x + với x ≥ Câu 11 Cho hai biểu thức : x +3 B= − + x + 1 − x x − với x ≥ 0, x ≠ a) Tính giá trị A x = 16 A= B= x +6 x −1 b) Chứng minh c) Tìm số hữu tỉ x lớn để P = A.B có giá trị nguyên Lời giải −1 A= = x = 16 ( tmđk ) +1 a) Thay vào x +3 − + x + 1 − x x − Với x ≥ 0, x ≠ , B= b) = ( x +3 ) ( x − 1) + ( x + 1) + = x + x − x − + x + + ( x + 1) ( x − 1) ( x + 1) ( x − 1) TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 16 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI = ( ( x + 1) ( x − 1) ( x+7 x +6 x −1 x + = x +1 x −1 P = A.B = c) Nhận xét: 0< = )( x + 1) ( x +1 )= x − 1) x +6 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x +6 x −1 x +6 = 1+ x +1 x +1 ≤5 x +1 ∈ { 1; 2; 3; 4; 5} x +1 Để P ∈ Z ⇒ x +1 x +1 5 5 x 2 16 4 16 x Vậy giá trị lớn x = 16 x +1 x x 3x + B= + − x − x x +3 x − x − với x > ; x ≠ Câu 12 Cho biểu thức: 1) Tính giá trị biểu thức A x = 36 A= 2) Rút gọn biểu thức B 3) Đặt P = B : A a) Tìm x để P< −1 b) Tìm giá trị x để P nhận giá trị nguyên lớn Lời giải 1) Với x = 36 ( TM ) ⇒ x = Thay x = 36 vào biểu thức A ta được: A= x +1 +1 = = x − x 36 − 3.6 18 Vậy với x = 36 A= 18 TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 17 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x x + − x +3 x −3 x x 3x + = B= + − x +3 x −3 x −9 2) B= B= B= B= x ( ( ) x + ) ( x ( x − 3) + x ( ( x + 3) ( x +3 )( x −3 x −3 ( x +3 x +3 )( ) x −3 ( 3x + x +3 )( x −3 ) 3x + − ) ( x +3 )( x −3 ) ) x − 3) x + − ( 3x + ) 2x − x + x + x − 3x − ( x +3 )( −3 x − ( x +3 )( x −3 x −3 ) = ) ( −3 ( x +3 x +3 )( ) ) x −3 = ( −3 x −3 ) x x −3 −3 x +1 −3 −3 x P = B:A = : = = x −3 x −3 x x −3 x +1 x +1 3) −1 ⇔ −3 x < −1 ⇔ −3 x + < ⇔ P< x +1 x +1 2 a) ⇔ −5 x + ( ) x +1 −6 x + x + ( ) x +1 ⇒ x +1 > ⇒ ⇔ −5 x < −1 Vậy với b) P= x> ⇔ x> ( ) x + > ⇒ −5 x + < 1 ⇔x> 25 −1 P< 25 x ≠ −3 x = −3 + x +1 x +1 Ta có: ⇒ x > với x TMĐK ⇒ −3 x < x + > với x TMĐK −3 x −3 x +1 ⇒ −3 < P < Vậy giá trị nguyên lớn P −1 ⇒ P = −3 + ⇒ −3 + Vậy với = −1 ⇔ x +1 3 1 = ⇔ x + = ⇔ x = ⇔ x = ( TM ) 2 x +1 P nhận giá trị nguyên lớn x= Câu 13 Cho hai biểu thức x +1 A= B= x − x +2 x −8 + x − x − x + với x ≥ , x ≠ , x ≠ 1) Tính giá trị biểu thức A 2) Rút gọn B x= 3) Tìm tất giá trị nguyên x để B có giá trị nguyên Lời giải x= 1) Tính giá trị biểu thức A Ta có: x= 4 (Thỏa mãn điều kiện) x= vào biểu thức A ta có: Thay +1 +1 =  −3  1 −2 −2 = : ÷   = −1 A= 2) Rút gọn B Với x ≥ , x ≠ , Ta có: B= x +2 x −8 + x −3 x −5 x +6 B= x +2 + x −3 B= B= ( ( ( )( x − 3) ( x +2 ( x −8 x −2 )( x −3 )+ x − 2) ( x −2 x −4+ x −8 x −3 )( x −2 = ) ( TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN ) x −8 x −2 )( x −3 ) ID1-10 x + x − 12 x −3 )( x −2 19 ) PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI B= ( ( )( x − 3) ( x −3 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ) x − 2) = x +4 x +4 x −2 3) Tìm tất giá trị nguyên x để B có giá trị nguyên Ta có: x +4 ⇔B= x −2 B= Để B có giá trị nguyên x +4 ⇔ 1+ x − nguyên x − nguyên ⇔B= x − nguyên ⇒ ⇒ x −2+6 = 1+ x −2 x −2 ( ) x − ∈ { ±1 ; ± ; ± ; ± 6} Ta có: x −2= x ∈ { 0,1,9,16, 25,64} Vậy giá trị nguyên x để B có giá trị nguyên Câu 14 Cho hai biểu thức: A= x+ x +1 x +1 B= − x+ − x +1 x − x x − x + x + với x ≥ , x ≠ a).Tính giá trị biếu thức A x = b).Rút gọn biểu thức B c).Tìm x cho C = −A.B nhận giá trị số nguyên Lời giải a).Tính giá trị biếu thức A x = A= Có x+ x +1 x +1 = ( )( )= x −1 x + x +1 x −1 x3 − x −1 23 − x= 2⇒ A = = 2 −1 −1 Khi TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 20 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI b).Rút gọn biểu thức B B= = = x+ − x +1 − x −1 x x −1 x+ x +1 Ta có = GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x + x + − ( x + 2) − ( ( )( ( x −1 x + −x + x )( )( x + 1) x +1 ) x −1 ) x −1 x + x + − x x+ x +1 c).Tìm x cho C = −A.B nhận giá trị số nguyên x3 −  − x  x C = −A.B = −  ÷= = − x −  x + x + ÷ x +1 x +1  Có x + ≥ 1, x ≥ , x ≠ C nhận giá trị số nguyên ⇔ x + = ⇔ x = (nhận) Câu 15 Cho hai biểu thức A= x B= x − 16 x −1 x − − x − x − x x > 0, x ≠ 4, x ≠ 16 a) Tính giá trị A x = b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên Lời giải a) Tính giá trị A x = A= 9 −3 = = − 16 −15 b) Rút gọn biểu thức B TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 21 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI x −1 x − = − x −2 x −2 x B= = = x − x −5 x +8 x ( ( x −2 x −4 x ( )( ) x −2 x −2 ) ) ( x = ) − x −8 x − 2) x ( x − 2) ) x ( x − 2) − ( x − 2) x ( x − 2) x −1 x −8 − = x −2 x x −2 x −2 x −4 x +8 = ( x −2 ) GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG = ( x( x −1 x x −4 x c) Tìm x để P = A.B có giá trị nguyên x x −4 = P = A.B = x − 16 x P= Để ( ( x − 4) ( ) x + 4) x −4 x x − nguyên 9M x − ⇒ ( ) ( x = x −4 ) x − ∈ U ( 9) U ( ) = { ±1; ± 3; ± } Ta có bảng giá trị: x −4 −9 −3 −1 x −5 13 25 49 169 x Vậy x ∈ { 1;9;25;49;149} Câu 16 ) Cho hai biểu thức A= P = A.B có giá trị nguyên x +2 B= x − x +5 7− x + x − với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ x +1 1) Tính giá trị biểu thức A x = 16 2) Chứng minh B= x +2 x −1 3) Tìm tất giá trị nguyên x để M= A B có giá trị nguyên Lời giải 1) Thay x = 16 ( TMDK ) vào biểu thức A ta TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN A= 22 16 + =6 16 − PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy x = 16 giá trị biểu thức A = 2) Với x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ Ta có x +5 7− x + = x −1 x +1 B= = 3) Ta có x + x −5+7− x M= ( )( x +1 ) x −1 ( = x +5 ( )( ) x −1 + − x )( x +1 ) x −1 ( ( x + 1) ( x − 1) ( x+3 x +2 = )( x +1) ( x +1 ) x − 1) = x +2 x +2 x −1 A x +2 x +2 x −1 = : = = 1+ B x −3 x −1 x −3 x −3 Để M có giá trị nguyên ( 2M x − ) hay ( ) x − ∈ U ( ) = { ±1; ±2} ⇒ x ∈ { 1; 4;16;25} x ∈ { 4;16;25} So sánh với điều kiện x ≥ 0; x ≠ 1; x ≠ ta Vậy x ∈ { 4;16; 25} M có giá trị nguyên  x  x +1 A= − ÷: B= x − x − x   x + Câu 17 Cho biểu thức: x > 0, x ≠ 1, x ≠ x x − với a)Tính giá trị biểu thức B x = 36 b)Rút gọn biểu thức A c)Tìm giá trị x nguyên nhỏ để biểu thức P = A.B nguyên Lời giải a)Tính giá trị biểu thức B x = 36 Khi x = 36 (thỏa mãn điều kiên xác định x > 0, x ≠ 1, x ≠ ), ta có: 36 B= = =2 36 − − Vậy B = x = 36 b) Rút gọn biểu thức A TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 23 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG   x +2 x  x +1  x A= − = − ÷: ÷ x ( x − 1)  x +  x −1 x − x  x +  x −1   x +2 x = − = ÷ x ( x − 1)  x +  x ( x − 1) = ( x + 1)( x − 1) x + = x ( x − 1) x +1 x −1 x +2 x ( x − 1) x + x +2 x c)Tìm giá trị x nguyên nhỏ để biểu thức P = A.B nguyên P = A.B = = x +2 x = x x −3 x +2 x −3 x −3+ 5 = 1+ x −3 x −3 ⇔ x − P = A.B Ta có: nguyên nguyên ⇔ x − ∈ { −5; −1;1;5} ⇔ x ∈ { −2;2;4;8} ⇔ 1+ x − nguyên ⇔ 5M( x − 3) ⇔ x ∈ { 4;16;64} (do x ≥ 0∀x ≥ ) Vậy x = giá trị nguyên nhỏ để biểu thức P = A.B nguyên ⇔ x ∈ { 2; 4;8} Câu 18 Cho biểu thức: x +7 B= x − A= x +8 + + x + − x x + x − với x ≥ , x ≠ a) Tính giá trị A biết x = + b) Rút gọn B c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên Lời giải a) Ta có: ( ) x = + = + 2.2 2.1 + = 2 + ⇒ x= A= (2 ) +1 = 2 +1 (thoả mãn điều kiện) , thay vào biểu thức A , ta có: ( ) 2 + + 2 + 2 2 + = = = 2 +1 2 +1−1 2 2 Vậy x = + , A = 2 + b) Với x ≥ , x ≠ ta có: B= x +8 + + x + 1− x x + x − TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 24 PHONE: 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ CĂN THỨC BẬC HAI − + x +2 x −1 = = ( = = x −1 x +8 ( x +2 − ( )( x −1 − x − + x + ( ) ( x − 1) ( x − 1) = ( x + 2) ( x − 1) = x +2 = ( ) x −1 x +2 ) ( x − 1) ( x + ) ( x − − 3( x + 2) + x + ( x + 2) ( x − 1) x +2 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ) ) ( x −1 x − x +1 x +2 x +8 + )( x +2 )( ) x −1 ) x −1 c) Ta có: P = A.B = x −1 x +2 x + x −1 = x −1 x + Ta có: x ∈ ¢ , để P ∈ ¢ ⇒ x +7 = 1+ x +2 x +2 ∈¢ ⇒ 5M x + x +2 ⇒ x + ∈ Ö ( ) ⇒ x + ∈ { ±1; ±5} Mà x + ≥ với x ≥ , x ≠ Do đó: x + = ⇒ x = ⇒ x = (thoả mãn) Vậy x = P = A.B có giá trị nguyên Câu 19 Cho hai biểu thức A=  x  x x −3 B= − : ÷ x −  x + với x > , x ≠ x + x−4 a) Tính giá trị A x = 25 b) Rút gọn biểu thức B c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức P = A.B có giá trị nguyên Lời giải a) Ta có x = 25 (thỏa mãn điều kiện), thay vào biểu thức A ta có: A= 25 − − = = = 25 + + Vậy x = 25 b) Với x > , x ≠ , ta có: A= TRƯỜNG THCS YÊN PHONG – Ý YÊN 25 PHONE: 0983.265.289 ... − 3) + x ( ( x + 3) ( x +3 )( x ? ?3 x ? ?3 ( x +3 x +3 )( ) x ? ?3 ( 3x + x +3 )( x ? ?3 ) 3x + − ) ( x +3 )( x ? ?3 ) ) x − 3) x + − ( 3x + ) 2x − x + x + x − 3x − ( x +3 )( ? ?3 x − ( x +3 )( x ? ?3 x ? ?3. .. ( ( x +3 ( )( x +3 x +3 ) )( x ? ?3 ) x ? ?3 = ) − 11 x x +3 ( x ? ?3 − 11 x − ) ( = )( x +3 )( x ? ?3 3x + x x +3 )( x ? ?3 ) ) ) x x ? ?3 A= x x ? ?3 Vậy với ≤ x ; x ≠ x x ? ?3 x P = A.B = = = 3? ?? x ? ?3 x +... x ? ?3 x +3 −2x − x )( x ? ?3 x +3 P =A−B= = ) ( ) ( − x x +3 ) − x x ? ?3 x +3 = x ? ?3 )( ) x +2 − x x +2  − = = 1+  x ≥ 0, x ≠ x ? ?3 x ? ?3 x ? ?3 x ? ?3  9 ÷ 4 P có giá trị nguyên ⇔ x − có giá trị