ỨNG DỤNG CỦA TÍNH CHẴN, LẺ TRONG GIẢI TỐN SỐ HỌC I.KIẾN THỨC CẦN NHỚ: Tập hợp số nguyên chia thành hai tập con: Tập số nguyên lẻ tập số nguyên chẵn ( Số nguyên lẻ có dạng 2k + k ∈ ¢ ( Số ngun chẵn có dạng 2k k ∈ ¢ ) ) Hai số có tính chẵn ,lẻ tổng ( hiệu) chẵn Hai số khôngcùng tính chẵn ,lẻ tổng ( hiệu) lẻ Tích số lẻ số lẻ Tích số ngun lẻ tơng thừa số tích số lẻ Trong hai số ngun liên tiếp ln có số chẵn số lẻ II BÀI TẬP ỨNG DỤNG: 1.Ứng dụng vào toán chia hết: Bài 1: Cho số nguyên x1;x2;x3; ;x7 Viết số nguyên theo thứ tự khác ta y1;y2;y3; ;y7 Chứng minh ( )( ) ( ) A = x1 − y1 x2 − y2 x7 − y7 chia hết cho ( Đặt zi = xi − yi ) Giải Với i = 1;2; ;7 ( ) ( ) ( Ta có: z1 + z2 + + z7 = x1 − y1 + x2 − y2 + + x7 − y7 ( ) ( ) = x1 + x2 + + x7 − y1 + y2 + + y7 ) =0 Suy ra: số zi với i = 1;2; ;7 phải tồn số chẵn Do đó: AM { } Bài 2: Cho x1;x2;x3; ;xn ∈ −1;1 với n ∈ N * thỏa mãn x1.x2 + x2.x3 + + xn x1 = Chứng minh nM4 Giải { } { } Từ x1;x2;x3; ;xn ∈ −1;1 ⇒ x1.x2;x2.x3; ;xn x1 ∈ −1;1 Mà x1.x2 + x2.x3 + + xn x1 = nên n chẵn, tức n = 2m Lại có: ( = x1.x2 x3 xn ) = ( x x ) ( x x ) .( x x ) = ( −1) 2 n m ⇒ m = 2k Suy ra: n = 4k hay nM 2.Ứng dụng giải phương trình nghiệm nguyên: Bài 3: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình ( 2x + 5y + 1) ( 2014 x )( ( ) + y + x2 + x = 105 Giải x ) Vì 2x + 5y + 2014 + y + x + x = 105 105 lẻ nên 2x + 5y + lẻ Suy ra: 5y chẵn dẫn đến y chẵn ( ) Vì 2014x + y + x2 + x lẻ, y chẵn x + x = x x + chẵn nên 2014x lẻ Suy ra: x = ⇔ x = Thay x = vào phương trình ta được: ( y = 5y + y + = 105 ⇔ 5y + 6y − 104 = ⇔ y = −26 ∉ Z )( ) Vậy phương trình có nghiệm x = 0; y =4 Bài 4: Tìm số nguyên dương thỏa mãn đồng thời điều kiện sau ab + b − a ! = cb + c − b! = a2 − 2b2 + 2a − 4b = Giải Từ suy a phải chẵn Với a chẵn từ suy b lẻ (*) ( ) Vì b lẻ nên b + chẵn suy c b + chẵn hay cb + c chẵn từ suy b! lẻ (**) Từ (*) (**) suy b = Với b = thay vào suy c = Với b = thay vào suy a = ( ) ( ) Vậy a;b;c = 2;1;1 3.Ứng dụng số toán số học khác: Bài 5: Cho n số nguyên dương Tìm tổng tất số chẵn nằm n2 − n + n2 + n + ( Giải ) ( ) Ta có: n − n + = n n − + n + n + = n n + + số lẻ 2 Suy số chẵn nhỏ xem xét n2 − n + số chẵn lớn n2 + n Vậy tổng cần tìm là: ( n − n + 2) + ( n − n + 4) + + ( n + n − 2) + ( n + n ) = ( n − n + 2) + ( n − n + 4) + + ( n + n − 2) + ( n + n ) = ( n − n ) + + ( n − n ) + + + ( n − n ) + 2n − + ( n − n ) + 2n = n ( n − n ) + 2( + + + + n ) 2 2 2 2 2 2 = n − n + n2 + n = n3 + n Bài 6: Cho m n số nguyên lớn Chứng minh mn tổng m số nguyên lẻ liên tiếp ( ) ( ) Giải ( ) Đẳng thức m = 2k + + 2k + + + 2k + 2m − tương đương với n ( ) mn = 2km + + + + 2m − hay mn = 2km + m2 Suy rằng: k = ( ) m mn −2 − biệt tính chẵn lẻ số ngun m mn −2 − có khác BÀI TẬP RÈN LUYỆN: ( ) Bài 1: Ký hiệu S a số chữ số nguyên dương a Hỏi n lấy giá trị nguyên dương ( ) − S ( ) số chẵn n S n Bài 2: Tìm tất số nguyên tố p;q;r thỏa mãn pq + qp = r Bài 3: Tìm số nguyên dương x để x − 37 bình phương số hữu tỉ x + 43 ... suy b! lẻ (**) Từ (*) (**) suy b = Với b = thay vào suy c = Với b = thay vào suy a = ( ) ( ) Vậy a;b;c = 2;1;1 3 .Ứng dụng số toán số học khác: Bài 5: Cho n số nguyên dương Tìm tổng tất số chẵn... − biệt tính chẵn lẻ số ngun m mn −2 − có khác BÀI TẬP RÈN LUYỆN: ( ) Bài 1: Ký hiệu S a số chữ số nguyên dương a Hỏi n lấy giá trị nguyên dương ( ) − S ( ) số chẵn n S n Bài 2: Tìm tất số nguyên... dương Tìm tổng tất số chẵn nằm n2 − n + n2 + n + ( Giải ) ( ) Ta có: n − n + = n n − + n + n + = n n + + số lẻ 2 Suy số chẵn nhỏ xem xét n2 − n + số chẵn lớn n2 + n Vậy tổng cần tìm là: ( n − n