BÀI tập TOÁN KINH tế

HỌC VIỆN CƠNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THƠNG BÀI TẬP TOÁN KINH TẾ Biên soạn: TS Lê Thị Ngọc Diệp Khoa Quản trị Kinh doanh Hà Nội, Năm 2021 Bài tập Tốn Kinh tế MỤC LỤC CHƯƠNG MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ CHƯƠNG MƠ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG MƠ HÌNH BÀI TỐN VẬN TẢI 14 CHƯƠNG MÔ HÌNH BÀI TỐN TỐI ƯU TRÊN MẠNG 19 CHƯƠNG MƠ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CÔNG CỘNG 23 CHƯƠNG MƠ HÌNH QUẢN LÝ DỰ TRỮ 26 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình Tốn kinh tế CHƯƠNG MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ 1.1 Cho hàm tổng chi phí TC = 5000 + 5Q (Q sản lượng) Q3 a/ Tìm hàm chi phí cận biên MC b/ Tính chi phí trung bình AC Q = 100 c/ Vẽ đồ thị hàm chi phí biến đổi trung bình (VC/Q) d/ Tính hệ số co giãn TC theo Q Q = 17 Đáp số: b/ 54,85437; d/ 0,01638 1.2 Cho hàm tổng chi phí TC = 4000 + 10Q + 0,1Q2 (Q sản lượng) Giá P xác định phương trình Q = 800 – 2,5 P a/ Tìm hàm chi phí cận biên MC b/ Tìm hàm chi phí trung bình AC, khảo sát thay đổi c/ Tìm hệ số co giãn TC P = 80 Đáp số: c/ 1,695652 1.3 Một doanh nghiệp có hàm tổng doanh thu TR = - 10Q2 + 1000Q hàm tổng chi phí TC 2000 , Q sản lượng Hãy xác định mức sản lượng tối đa = Q3 – 25Q2 + 600Q + 3 hóa lợi nhuận mức lợi nhuận tối đa Lời giải có phù hợp với quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay khơng? Đáp số: Q* = 40 (đơn vị sản lượng); π* = 18000 (đơn vị tiền tệ) 1.4 Cho hàm sản xuất Y(t) = 0,2K0,4L0,8, đó: K = 120 + 0,1t; L = 200 + 0,3t a/ Tính hệ số co giãn Y theo K L b/ Tính hệ số tăng trưởng vốn K, lao động L kết sản xuất Y c/ Hãy cho biết hiệu việc tăng quy mô sản xuất trường hợp 1.5 Xét mơ hình lợi nhuận  (Q) = TR(Q) – TC(Q) – a.TR(Q) Trong đó: TR tổng doanh thu, TC tổng chi phí, a thuế suất theo doanh thu a/ Xác định biểu thức điều kiện Q để lợi nhuận đạt cực đại b/ Khi thuế suất tăng, mức Q tối ưu biến động nào? 1.6 Một doanh nghiệp cạnh tranh hồn hảo có hàm sản xuất dạng: Q = K0,65 + L0,35 với pK = 8, pL = p = Trong Q sản lượng; K vốn; L lao động TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình Tốn kinh tế a/ Hãy xác định mức sử dụng vốn lao động tối ưu b/ Hãy phân tích tác động giá vốn, giá lao động đến mức sản lượng DN Đáp số: a/ K* = 0,04; L* = 0,1066 1.7 Một doanh nghiệp cạnh tranh hoàn hảo có hàm chi phí biên: MC = 2Q2 - 12Q + 25, chi phí cố định FC giá bán sản phẩm p a/ Hãy xác định hàm tổng chi phí TC với FC = 20 Với p = 39 xác định mức sản lượng mức lợi nhuận tối ưu b/ Nếu giá p tăng 10% mức sản lượng mức lợi nhuận tối ưu biến động nào? Đáp số: a/ Q* = 7; Π* = 143,3 b/ Khi giá tăng 10% sản lượng tối ưu tăng 3,48% lợi nhuận tối ưu tăng 19% 1.8 Một doanh nghiệp có cơng nghệ sản xuất cho hàm sản xuất: Y(t) = 0,4 K(t) + 0,7 L(t) Trong Y(t) kết sản xuất năm t; K(t) vốn đầu tư năm t; L(t) sức lao động năm t (K > 0, L > 0) a/ Phân tích xu hướng thay đổi kết sản xuất theo vốn đầu tư theo sức lao động Hàm sản xuất có tính chất hiệu thay đổi theo quy mơ khơng? Vì sao? b/ Xác định hệ số thay sức lao động cho vốn ngược lại Đáp số: b/ MRTS(L,K) = - 0,5714, MRTS(K,L) = -1,75 1.9 Một doanh nghiệp có cơng nghệ sản xuất cho hàm sản xuất: Y t  A  t  K2  t  L1  t  , Y(t) kết sản xuất năm t, A  t   e 0.3t tác động tiến khoa học – công nghệ năm t, K t  K0  0.6t vốn đầu tư năm t; L  t  L0  0.5t sức lao động năm t a/ Xác định xu hướng thay đổi hệ số tăng trưởng kết sản xuất năm t K(t) thay đổi? Khi L(t) thay đổi? Khi A(t) thay đổi? Khi A(t), K(t), L(t) thay đổi? b/ Quá trình sản xuất doanh nghiệp có biến đổi theo quy luật hiệu thay đổi theo quy mơ khơng? Vì sao? 1.10 Tổng chi phí sản xuất doanh nghiệp cho hàm: C(Q) = Q3 – 5Q2 + 14Q + 144 (Q > 0), Q kết sản xuất a/ Khảo sát thay đổi tuyệt đối tổng chi phí sản xuất theo kết sản xuất, từ có nhận xét mở rộng sản xuất doanh nghiệp b/ Tính hệ số co dãn tổng chi phí sản xuất theo kết sản xuất Q = Với Q = 4, thuế doanh thu 20%, tìm điều kiện để doanh nghiệp có lãi? doanh nghiệp hịa vốn? doanh nghiệp lỗ vốn? Đáp số: b/ Hệ số co dãn C(Q) theo Q Q = 0,4783 Với Q  , thuế doanh thu 20%, doanh nghiệp có lãi p > 57,5, hịa vốn p = 57,5, lỗ vốn p < 57,5 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Toán Kinh tế Chương – Mơ hình Tốn kinh tế 1.11 Một cơng ty sản xuất cung ứng cho thị trường hai mặt hàng với hàm tổng doanh thu hàm tổng chi phí sau: TR = P1Q1 + P2Q2 , TC = 2Q12 + Q1Q2 + 3Q22 Trong đó: Pi, Qi giá sản lượng hàng hoá thứ i (i = 1,2) a/ Xác định cơng thức tính tổng lợi nhuận cực đại b/ Áp dụng công thức tìm câu a, tìm sản lượng cực đại lợi nhuận c/ Tính hệ số co giãn tổng chi phí theo mặt hàng hệ số co giãn đồng thời theo hai mặt hàng điểm cực đại lợi nhuận tìm câu b Đáp số : c/  QTC,Q (Q1* , Q2* )  2 1.12 Nhu cầu hai mặt hàng phụ thuộc sau: Q1 = 40 – 2P1 – P2 ; Q2 = 35 – P1 – P2 Tổng chi phí hàm sản lượng: TC = Q12 + 2Q22 + 12 Trong đó: Pi , Qi giá sản lượng hàng hoá thứ i (i = 1,2) a/ Xác định mức Q1, Q2 cho tổng lợi nhuận đạt cực đại b/ Tính chi phí cận biên cho mặt hàng mức tối ưu tìm câu a c/ Hai mặt hàng có thay lẫn tiêu dùng không? Đáp số : a/ Q1* = 25/7 ; Q2* = 65/14 c/ Hai mặt hàng không thay cho 1.13 Độ hữu dụng (U) người tiêu dùng tiêu thụ hai loại hàng hoá a b có dạng: U = 1,2A0,4B0,2 (trong A B mức tiêu thụ hàng hoá a b) a/ Độ hữu dụng biến động người tiêu dùng tăng mức tiêu thụ hai loại hàng hố lên 10%? b/ Có thể nói hai loại hàng hố thay cho với tỷ lệ 1:1 hay không? 1.14 Hàm lợi ích người tiêu dùng (U) tiêu dùng hai loại hàng hố 1, có dạng : U = (x1 + 2)(x2 + 1) (trong x1 x2 mức tiêu thụ hàng hoá 2) a/ Hai loại hàng hố thay cho theo tỷ lệ 1:1 hay khơng? Lợi ích biên chúng có khơng? b/ Cho biết giá hai loại hàng hoá p1 = 4, p2 = thu nhập người tiêu dùng M = 130 Hãy xác định mức cầu hai loại hàng hoá nhằm tối đa hoá lợi ích người tiêu dùng? Đáp số: b/ X1* = 16 ; X2* = 11 1.15 Mức cung loại nông sản (S) phụ thuộc vào giá nông sản (P), lượng mưa (R) có dạng: S = a + bP2 + R0,5, a < 0, b > a/ Hãy xác định biểu thức phân tích tác động (tương đối) riêng đồng thời giá, lượng mưa tới mức cung TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình Tốn kinh tế b/ Theo dự báo có khả thời tiết khô hạn nên mưa giảm Để ổn định mức cung nông sản, Nhà nước trợ giá cho nơng dân Hãy xác định biểu thức tính mức trợ giá cần thiết theo dự đoán mức giảm sút lượng mưa 1.16 Mức cầu tiền tệ (M) phụ thuộc vào thu nhập (Y) lãi suất (r) có dạng sau: M = 0,1Y0,02r -0,2 a/ Hãy xác định mối quan hệ mức cầu tiền tệ với thu nhập lãi suất b/ Trong trường hợp thu nhập không đổi, muốn giảm mức cầu tiền tệ 5% phải điều chỉnh lãi suất nào? Đáp số : b/ Muốn M giảm 5% cần tăng lãi suất lên 25% 1.17 Hàm cầu (D) hàm cung (S) loại hàng hố có dạng sau: D = 0,2p-0,1M0,2 ; S = 0,1p0,4q-0,05 Trong đó: p giá hàng hố, M thu nhập người tiêu dùng, q mức giá chung yếu tố sử dụng để sản xuất hàng hố Với mơ hình trên: a/ Nếu giá hàng hố tăng 10% mức cầu biến động nào? b/ Có thể cho giá hàng hố mức giá chung yếu tố sử dụng để sản xuất hàng hoá tăng tỷ lệ mức cung khơng đổi hay khơng? c/ Hãy phân tích tác động thu nhập, mức giá chung yếu tố sử dụng để sản xuất hàng hoá tới mức giá cân 1.18 Hàm cầu (D) hàm cung (S) loại hàng hố có dạng sau: D = 100 – 0,3p ; S = – 50 + 0,2(p – t) Trong đó: p giá hàng hoá, t thuế đánh vào đơn vị hàng hoá bán Cho t = 10 a/ Tính độ co giãn giá cân theo thuế t nêu ý nghĩa kết thu b/ Nếu Chính phủ muốn giá cân mức p = 280 trợ cấp hàng hoá cho phía cầu số trợ cấp cần thiết bao nhiêu? c/ Chính phủ muốn lượng cân 10 Để đạt mục tiêu đó, Chính phủ giảm thuế phía cung trợ cấp cho phía cầu Cách làm lợi xét quan điểm thu – chi ngân sách? 1.19 Cho mơ hình: Y = C + I + G + EX – IM Trong đó: C = βYd (0 < β < 1) ; IM = ρYd (0 < ρ < 1) ; Yd = (1 – t)Y; với Y thu nhập quốc dân, Yd thu nhập khả dụng, C tiêu dùng, I đầu tư, G chi tiêu Chính phủ, EX xuất khẩu, IM nhập khẩu, t thuế suất thuế thu nhập; β ρ tham số a/ Với β = 0,85; ρ = 0,3; I = 200; G = 500; EX = 150; t = 0,1, xác định thu nhập quốc dân, cán cân thương mại tình cân TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Toán Kinh tế Chương – Mơ hình Tốn kinh tế b/ Với tiêu câu a, có ý kiến cho rằng: Nếu Chính phủ tăng thuế suất 10% tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập quốc dân trạng thái cân Hãy nhận xét ý kiến 1.20 Một số tiêu kinh tế quốc dân có mối liên hệ sau: Y = C + I + G + EX – IM Trong đó: C = 0,9Yd; IM = 0,15Yd ; Yd = (1 – t)Y; với Y thu nhập quốc dân, Yd thu nhập khả dụng, C tiêu dùng, I đầu tư, G chi tiêu Chính phủ, EX xuất khẩu, IM nhập khẩu, t thuế suất thuế thu nhập Cho I0 = 200; G0 = 270; EX0 = 180; t0 = 0,15 a/ Tại mức thu nhập quốc dân cân bằng, có thặng dư hay thâm hụt ngân sách, có thặng dư hay thâm hụt thương mại hay khơng? b/ Có thể nói giảm xuất 10% Chính phủ tăng chi tiêu 10% mà không ảnh hưởng tới thu nhập quốc dân trạng thái cân hay khơng? c/ Chi tiêu Chính phủ cần tăng thêm để thu nhập quốc dân đạt mức Y = 1800, tiêu khác (đo biến nội sinh mô hình) thay đổi nào? 1.21 Một số tiêu kinh tế quốc dân có mối liên hệ sau: Y = C + I + G + NX C = 20 + 0,75Yd; G = 20 + 0,1Y ; Yd = (1 – t)Y với Y thu nhập quốc dân, Yd thu nhập khả dụng, C tiêu dùng, I đầu tư, G chi tiêu Chính phủ, NX xuất ròng, t thuế suất thuế thu nhập Cho I0 = 25; NX0 = 15 a/ Nếu Nhà nước muốn cân đối ngân sách phải định thuế suất t bao nhiêu? b/ Có ý kiến cho rằng: việc gia tăng đầu tư I khơng ảnh hưởng tới tình cân đối ngân sách câu a Ý kiến hay sai? Tại sao? TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình quy hoạch tuyến tính CHƯƠNG MƠ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 2.1 Cho tốn QHTT: f(x) = 6x1 - 7x2 + 4x3 – x4  max 3x1 - 2x2 + 3x3 + x4 = x1 + 2x2 - 4x3 + 3x4 = -2x1 + x3 + 3x4 = xj  ( j = ÷ 4) a/ Chứng minh hệ véc tơ A1, A2, A3- hệ véc tơ cột lập hệ số ẩn x1, x2, x3 hệ ràng buộc độc lập tuyến tính b/ Tìm PACB ứng với hệ véc tơ A1, A2, A3 có 2.2 Cho tốn QHTT: f(x) = x1 + 2x2 - x3 + 3x4  max 6x1 + 4x2 - 2x3 + 2x4 x1 + 2x2 - x1 - x4 = 16 = + 2x3 + 5x4 = 10 xj  ( j = ÷ 4) Tìm tất PACB suy biến toán sở tương ứng Đáp số: Vậy x = (0, 3, 0, 2) PACB suy biến (duy nhất) với sở tương ứng A1, A2, A4 A2, A3, A4 2.3 Cho toán QHTT: f(x) = 6x1 - 7x2 + 4x3 – x4 + x5  max 3x1 - 2x2 + 3x3 + 5x4 – x5 = 10 - 2x1 + x2 + 2x3 + x4 – 3x5 = 4x1 + 3x2 – x3 – 7x4 + x5 = xj  ( j = 1÷ 5) a/ Chứng minh hệ véc tơ A1, A2, A3- hệ véc tơ cột lập hệ số ẩn x1, x2, x3 hệ ràng buộc độc lập tuyến tính b/ Tìm PACB ứng với hệ véc tơ A1, A2, A3 có 2.4 Cho tốn QHTT: f(x) = 2x1 + x2 - 3x3 + 5x4 + x5  max 3x1 + 4x2 - x3 + x4 x1 - 3x2 -2x1 - = 11 x4 + x = + x3 + 3x4 = xj  ( j = 1÷ 5) Tìm PACB tốn sở TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình quy hoạch tuyến tính 2.5 Cho tốn QHTT: f(x) = 2x1 – x2 + 4x3  max x1 + 2x2 – x3 ≥ 3x1 – x2 + 4x3 ≤ 12 x1 + 2x3 ≤ 10 xj  (j = 1÷3) a/ Chứng minh tốn có phương án tối ưu b/ Với f(x)  min, chứng minh tốn khơng có phương án tối ưu Hãy dãy phương án mà f(x) giảm vơ hạn 2.6 Cho tốn QHTT: f(x) = x1 + 8x2 + 10x3  x1 + x2 + 4x3 = x1 - x2 + 2x3 = xj  ( j = 1,3 ) Không giải, chứng minh tốn có PACB tối ưu 2.7 Cho toán QHTT sau: f(x) = x1 + 4x2 + x3  max 4x1 + 11x2 + 3x3 ≥ - x1 + x - x = xj ≤ (j = 1,3 ) Không giải, chứng minh tốn có PACB tối ưu xác định PACB tối ưu 2.8 Cho toán QHTT: f(x) = x1 + 8x2 + x3  x1 + x2 + 4x3 = 10 - x1 - 2x2 + x3 = xj  ( j = ÷ 3) a/ Khơng giải, chứng minh tốn có PACB tối ưu b/ Tìm tập hợp PACB toán Đáp số: b/ Tập hợp PACB: X = {x1, x2} với x1 = (0, 10/9, 20/9) x2 = (2, 0, 2) 2.9 Giải toán QHTT sau phương pháp đơn hình: f(x) = x1 - x2 - 3x3  2x1 - x2 + x3  4x1 - 2x2 + x3  - 3x1 + x3  10 xj  ( j = ÷ 3) Đáp số: Phương án tối ưu: x* = (2/3, 22/3, 8) với fmin = - 92/3 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình quy hoạch tuyến tính 2.10 Giải tốn QHTT sau phương pháp đơn hình : f(x) = 2x1 + x2 - x3  x1 - 2x2 + x3 = x2 - 4x3  x2 - 2x3  - 10 xj  (j = ÷ 3) Hướng dẫn: Đưa tốn dạng tắc Sau lập tốn M, giải phương pháp đơn hình Từ bảng cuối xác định toán M khơng có lời giải nên tốn tắc có lời giải Vậy tốn gốc khơng có lời giải 2.11 Giải toán QHTT sau phương pháp đơn hình: f(x) = x1 + 5x2 + 4x3 - 6x4  max 2x1 + 3x2 - 4x3 - 5x4  5x1 - 6x2 + x3 - x4  4x1 + x2 - 2x3 + 3x4  xj  ( j = 1,4 ) 2.12 Cho toán QHTT: f(x) = - 10x1 + 3x2  mx1 + 3x2  mx1 + x2  15 x1  , x2  với m  a/ Bằng phương pháp đơn hình, giải biện luận toán theo tham số m b/ Áp dụng giải toán m = Hướng dẫn: Đưa dạng tắc; lập bảng đơn hình, giải biện luận theo bảng đơn hình Kết quả: với m < tốn khơng có lời giải; với m > lời giải toán là: xopt = (8/m, 0); fopt = - 80/m 2.13 Cho toán QHTT: f(x) = x1 + 2x2 + 2x3 + x4 + 6x5  max x1 + 3x2 + 3x3 + x4 + 9x5 = 18 x1 + 5x2 + 2x4 + 8x5 = 13 x3 + x5 = xj  ( j = 1,5 ) a/ Chứng tỏ véc tơ x0 = (0, 1, 2, 0, 1) phương án cực biên b/ Giải tốn phương pháp đơn hình xuất phát từ x0 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Toán Kinh tế Chương – Mơ hình tốn vận tải Tồn kho A2: 10 đơn vị hàng; A3: đơn vị hàng; A4: 50 đơn vị hàng Phương án X* tìm 3.4 Cho tốn vận tải tiêu chuẩn cước phí: Thu Phát A1 : 90 B1 : 85 B2 : 115 B3 : 130 B4 : 70 B5 : 95 10 A :110 12 A : 75 12 A : 80 Giải toán vận tải cho với điều kiện lượng hàng chở đến B3 khơng 130 đơn vị hàng Phương án tối ưu tốn có khơng? Vì sao? Tìm tập phương án tối ưu (nếu có) Hướng dẫn: đưa tốn vận tải với chi phí điểm phát giả tương ứng với B3 M>> để phân thiếu hàng vào ô Phương án tối ưu X* tìm không Tập phương án tối ưu toán vận tải cho: D = { X *  (1   ) X * }, 0 85  70 20 0   0 110 0   0 110 0   X * =      , X* =   0 15 60 0 0 75      80 0   80 0 20 3.5 Cho tốn vận tải tiêu chuẩn cước phí: Thu B1: 30 Phát B2: 20 B3: 70 A1: 40 A2: 30 A3: 30 a/ Giải toán vận tải cho Phương án tối ưu tốn có khơng? Vì sao? Tìm tập phương án tối ưu (nếu có) b/ Thay cước phí c’13 = c13 +  c’33 = c33 +  , giữ ngun cước phí cung đường cịn lại Tìm điều kiện  để phương án tối ưu toán cho phương án tối ưu tốn thay cước phí TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT 15 Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình toán vận tải 3.6 Cho toán vận tải theo tiêu chuẩn tổng chi phí nhỏ với số liệu sau: Thu: bj 105 Phát: 115 90 100 125 12 85 11 80 15 (35) 14 100 12 14 (80) 17 (65) 60 cij (25) 11 16 (xij) (40) (60) 10 19 11 (50) (75) a/ Chứng tỏ hệ {xij} phương án cực biên tối ưu toán vận tải b/ Thực phép biến đổi: c’33 = c33 + α ; c’43 = c43 + α ; cij khác giữ nguyên Xác định α để phương án cho tối ưu Với trị số α tốn có vơ số phương án tối ưu? Khi phương án cực biên tối ưu khác phương án tối ưu không cực biên c/ Nếu phép biến đổi có dạng c’i3 = ci3 + α (i = 1÷ 4); cịn cij khác giữ ngun, α > - 15 có kết luận phương án tối ưu tốn vận tải mới? 3.7 Cho toán vận tải tập phương án cực biên đánh dấu * Thu: bj 150 85 75 115 90 100 2* 11 4* 245 4* 12* 10 9* 120 7* 8* 19 14 16 55 17 19 25 18* 22 Phát: cij a/ Hãy xác định phương án tương ứng với ô chọn đánh dấu * Giải tốn xuất phát từ phương án b/ Giả sử b4 = 115+α, a2 = 245+α, tìm trị số α để phương án tối ưu tốn có tập chọn trùng với lời giải câu a 3.8 Cho toán vận tải tập phương án cực biên đánh dấu * bảng a/ Hãy xác định phương án tối ưu tốn b/ Giảm cước phí c42 xuống cịn c42’ = 14, chứng minh tốn có vơ số phương án tối ưu Tìm phương án tối ưu mà trạm phát A2 chuyển cho trạm thu B1 lượng hàng 45 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT 16 Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình tốn vận tải đơn vị, phương án có phải phương án cực biên tối ưu hay không? Thu: bj 51 Phát: 54 60 45 80 50 10* 11 10 9* 90 12* 12* 13 11 70 19 18* 6* 14 15 80 18 17 15 12* cij 3.9 Cho toán vận tải tiêu chuẩn cước phí: Thu Phát B1: 100 B2: 120 B3: 90 A1: 120 10 14 A2: 120 10 A3: 130 12 12 Giải toán vận tải cho với điều kiện trạm phát A1 phải ưu tiên phát hết hàng 3.10 Cho toán vận tải tiêu chuẩn cước phí: Thu Phát B1: 110 B2: 90 B3: 110 A1: 80 15 17 14 A2: 60 12 10 11 A3: 100 20 16 21 Giải toán vận tải cho với điều kiện trạm thu B1 phải ưu tiên nhận đủ hàng 3.11 Cho tốn vận tải tiêu chuẩn cước phí: Thu B1: 60 Phát B2: 50 B3: 100 B4: 60 A1: 60 5 A2: 80 15 12 A3: 90 14 11 13 A4: 90 10 Hãy tìm phương án vận chuyển tối ưu với điều kiện trạm phát A2 không phát hàng cho trạm thu B2 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT 17 Bài tập Toán Kinh tế Chương – Mơ hình tốn vận tải 3.12 Cho toán vận tải tiêu chuẩn cước phí: Thu Phát B1: 200 B2: 50 B3: 300 A1: 250 20 21 24 A2: 250 18 15 14 A3: 70 11 11 A4: 130 15 12 13 a/ Hãy tìm phương án vận chuyển tối ưu với điều kiện trạm phát A1 không tồn kho 80 đơn vị hàng b/ Phương án tối ưu có khơng? Vì sao? Tìm tập phương án tối ưu (nếu có) 3.13 Cho tốn vận tải tiêu chuẩn cước phí: Thu B1: 20 Phát B2: 40 B3: 35 B4: 30 A1: 30 11 18 12 19 A2: 18 A3: 20 14 20 15 A4: 37 16 10 11 a/ Chứng minh tốn có vơ số phương án tối ưu b/ Hãy tìm phương án tối ưu với điều kiện trạm phát A3 chuyển cho trạm thu B1 lượng hàng đơn vị hàng Phương án có phải phương án cực biên hay không? 3.14 Giải toán vận tải tiêu chuẩn thời gian với số liệu cho bảng sau (tij – thời gian vận chuyển hết hàng từ Ai đến Bj) Thu B1: 40 Phát B2: 70 B3: 50 A1: 50 A2: 70 A3: 60 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT tij 18 Bài tập Toán Kinh tế Chương – Mơ hình tốn tối ưu mạng CHƯƠNG MƠ HÌNH BÀI TỐN TỐI ƯU TRÊN MẠNG 4.1 Đồ thị trọng số G = (X, A) hình vẽ sau a/ Tìm đường ngắn từ X1 đến X7 b/ Vẽ đồ thị đối ngẫu đồ thị c/ Xác định ma trận liên hệ trực tiếp đồ thị 60 X2 30 X1 X5 50 40 20 X4 20 40 40 10 70 50 X3 X7 X6 Đáp số: a/ x1  x3  x4  x7 với chiều dài 100 (đơn vị độ dài) 4.2 Cho đồ thị trọng số G = (X, A) hình vẽ X2 X5 X1 X6 X3 X4 a/ Xác định ma trận liên hệ cung – đỉnh đồ thị b/ Vẽ đồ thị đối ngẫu với đồ thị G = (X, A) hai cặp điều kiện đối ngẫu hai đồ thị c/ Tìm đường ngắn từ X1 đến X6 vẽ đồ thị đối ngẫu Đáp số: x1  x3  x4  x6 với chiều dài 12 (đơn vị độ dài) 4.3 Cho đồ thị G = (X, A) sau: x2 Nguồn x1 x9 2 x5 x4 2 x6 x3 x1 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT x7 x8 Đích x1 19 Bài tập Toán Kinh tế Chương – Mơ hình tốn tối ưu mạng a/ Tìm đường ngắn từ x1  x8 b/ Tìm đường ngắn từ x2  x11 c/ Tìm đường ngắn từ x5  x8 Đáp số: a/ x1  x2 → x3 → x4 → x8 x1  x5 → x6 → x4 → x8 với chiều dài 17 đơn vị độ dài b/ Khơng có đường từ đỉnh x2  x11 c/ x5 → x6 → x4 → x8 với chiều dài 11 đơn vị độ dài 4.4 Hãy xác định phương án kết nối điểm đồ thị cho tổng chiều dài mạng liên thông ngắn A B 14 G C L 12 11 E J 10 D H N 11 M F 4.5 Cho đồ thị hình vẽ sau Nguồn đỉnh 1, đích đỉnh 6, tổng số hàng vận chuyển từ nguồn đến đích đơn vị Trên cạnh có cặp số thứ tự mà số thứ chi phí vận chuyển đơn vị hàng hố cạnh, số thứ hai khả thông qua cạnh Hãy xác định phương án vận chuyển cho vận chuyển hết lượng hàng theo yêu cầu từ nguồn đến đích với tổng chi phí vận chuyển nhỏ (4,1) (3,4) Nguồn (2,4) Đích (1,2) (6,3) (1,4) (1,2) (5,3) Đáp số: Luồng hàng cần vận chuyển là: x12 = 2; x14 = 4; x32 = 1; x25 = 3; x36 = 2; x43 = 3; x46 = 1; x56 = với tổng chi phí vận chuyển 60 (đơn vị tiền) TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT 20 Bài tập Toán Kinh tế Chương – Mơ hình tốn tối ưu mạng 4.6 Cho đồ thị hữu hạn G = (X,A) (Các số ghi cạnh, cung khả thông qua cạnh, cung đó) a/ Từ đồ thị cho G = (X,A): - Xác định ma trận liên hệ cung nút đồ thị - Bỏ cung ( x5 , x7 ) Vẽ đồ thị đối ngẫu với đồ thị lại Xác định cặp điều kiện đối ngẫu hai đồ thị b/ Xác định luồng lớn mạng cho đồ thị G = (X,A), x1 đỉnh nguồn, x8 đỉnh đích 4.7 Tính tiêu thời gian, tìm đường găng độ dài đường găng sơ đồ mạng sau: Đáp số: Đường găng: x1 → x4 → x6 → x7 → x8 với độ dài 22 (đơn vị độ dài) 4.8 Tìm đường găng độ dài đường găng sơ đồ mạng sau: 5 11 8 9 1 6 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT 21 Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình toán tối ưu mạng Đáp số: Đường găng: x1 → x3 → x7 → x10 → x12 với độ dài 29 (đơn vị độ dài) 4.9 Lập sơ đồ mạng lưới cho dự án gồm công việc từ a1 đến a19 với trình tự thực công việc sau: Công việc a1, a2, a3 a11 bắt đầu Cơng việc a1 làm trước a4 a5 ; a3 làm trước a7 Công việc a4 làm trước a8 a9 ; a6 làm sau a2 Công việc a9 làm trước a15 a16 ; a10 làm sau a5 Công việc a11 làm trước a17 a18 Công việc a12 làm trước a8 ; công việc a13 làm sau a6, a7 a10 Công việc a14 làm sau a8 a16 ; a17 làm trước a19 Các công việc a13, a14, a15, a18 a19 làm cuối Cho biết thời gian hoàn thành công việc: a1 – 6h; a2 – 7h; a3 – 5h; a4 – 4h; a5 – 8h; a6 – 9h; a7 – 3h; a8 – 7h; a9 – 6h; a10 – 9h; a11 – 4h; a12 – 3h; a13 – 6h; a14 – 8h; a15 – 7h; a16 – 5h; a17 – 4h; a18 – 6h; a19 – 7h Tìm đường găng tính độ dài đường găng tìm 4.10 Lập sơ đồ mạng lưới cho dự án gồm công việc từ a1 đến a20 với trình tự thực cơng việc sau: Cơng việc a1, a2, a3 a4 bắt đầu Công việc a1 làm trước a5 ; a2 làm trước a6, a7 a8 Các công việc a3 làm trước a9 a10 ; a11 làm sau a4 Công việc a12 làm sau a5 a6 ; công việc a13 a14 làm sau a8 a9 Các công việc a15 a20 làm sau a10 a11 Các công việc a16 a18 làm sau a7 a13 Công việc a19 làm sau a14 a15 Công việc a17 làm sau a12 a16 Các công việc a17, a18, a19 a20 làm cuối Thời gian hồn thành cơng việc sau: a1 – 1h; a2 – 5h; a3 – 2h; a4 – 2h; a5 – 6h; a6 – 3h; a7 – 8h; a8 – 6h; a9 – 1h; a10 – 4h; a11 – 2h; a12 – 8h; a13 – 7h; a14 – 9h; a15 – 6h; a16 – 5h; a17 – 3h; a18 – 5h; a19 – 9h; a20 – 6h Tìm đường găng tính độ dài đường găng tìm TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT 22 Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình hệ thống phục vụ cơng cộng CHƯƠNG MƠ HÌNH HỆ THỐNG PHỤC VỤ CƠNG CỘNG 5.1 Một trạm xử lý tin nóng có 10 máy làm việc tự động, máy xử lý trung bình tin Dòng tin cần xử lý dịng Pốt xơng dừng với tốc độ trung bình 30 tin Nếu tin đến gặp lúc có máy rỗi nhận vào xử lý, cịn tất máy bận tự động bỏ qua a/ Vẽ sơ đồ trạng thái, cho biết hệ thống nói hệ thống phục vụ loại gì? b/ Hãy xác định tiêu đánh giá chất lượng xử lý tin trạm 5.2 Bộ phận kiểm tra sản phẩm có máy làm việc tự động, suất máy sản phẩm phút Mỗi sản phẩm khỏi dây chuyền đến phận kiểm tra gặp lúc có máy rỗi kiểm tra máy rỗi, ngược lại sản phẩm nhập kho không qua kiểm tra Dòng sản phẩm khỏi dây chuyền dịng Pốt xơng dừng, mật độ trung bình sản phẩm/phút Thời gian kiểm tra sản phẩm phân phối theo luật số Người ta muốn nâng tỷ lệ sản phẩm kiểm tra dự định hai phương án sau: a/ Tăng thêm máy có suất máy cũ b/ Nâng suất gấp lần cho máy có Hãy chọn phương án đáp ứng yêu cầu đặt cao hơn? 5.3 Một phịng khám có bác sỹ, thời gian bác sỹ khám cho bệnh nhân trung bình 15 phút Giả sử dịng bệnh nhân đến khám dịng Pốt xơng dừng, trung bình có bệnh nhân đến phịng khám Phịng khám có chỗ chờ tối đa cho bệnh nhân a/ Vẽ sơ đồ trạng thái, cho biết phịng khám nói hệ thống phục vụ loại gì? b/ Hãy tính tiêu đánh giá hoạt động phịng khám 5.4 Một cửa hàng bảo dưỡng xe máy có cơng nhân làm việc diện tích để 10 xe chờ Mỗi công nhân bảo dưỡng xe Dịng xe có nhu cầu bảo dưỡng giả thiết dịng tối giản, trung bình xe/giờ Thời gian bảo dưỡng trung bình xe cơng nhân hết Hãy tính tiêu: - Xác suất phục vụ - Số cơng nhân bận trung bình - Số xe chờ trung bình thời gian chờ trung bình 5.5 Một bưu cục trung tâm có quầy làm việc độc lập, quầy nhân viên đảm nhận, trung bình giải giao dịch Trung bình có 36 khách hàng đến giao dịch bưu cục Nếu khách hàng đến bưu cục gặp lúc có quầy rỗi nhận vào phục vụ ngay, ngược lại khách hàng phải xếp hàng chờ Diện tích bưu cục đủ lớn, dịng u cầu đến bưu cục dịng Pốt xơng dừng, thời gian phục vụ khách hàng biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật số TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT 23 Bài tập Toán Kinh tế Chương – Mơ hình hệ thống phục vụ cơng cộng a/ Vẽ sơ đồ trạng thái, cho biết bưu cục nói hệ thống phục vụ loại gì? b/ Hãy xác định tiêu đánh giá chất lượng phục vụ bưu cục 5.6 Một bưu cục khai thác bưu kiện có tổ làm việc độc lập, suất tổ 20 bưu kiện Dòng bưu kiện bưu cục dịng Pốt xơng dừng với cường độ 100 bưu kiện ngày, ngày làm việc 10 Thời gian khai thác túi bưu kiện biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật số Một bưu kiện đến bưu cục gặp lúc có tổ rỗi nhận vào khai thác đó, ngược lại bưu kiện xếp vào kho theo thứ tự với dung tích kho không hạn chế a/ Vẽ sơ đồ trạng thái, cho biết hệ thống nói hệ thống phục vụ loại gì? b/ Hãy xác định tiêu đánh giá chất lượng phục vụ hệ thống 5.7 Một Trung tâm Bưu Điện có nhân viên làm gói dịch vụ điện thoại, người hồn thành gói dịch vụ khách hàng Trung bình có 18 khách hàng đến Trung tâm Bưu Điện để yêu cầu phục vụ Nếu khách đến Trung tâm gặp lúc có nhân viên rỗi phục vụ ngay, ngược lại phải xếp hàng chờ phòng chờ Phòng chờ đủ lớn cho khách hàng đến Trung tâm Bưu Điện để phục vụ Giả sử dòng khách hàng đến Trung tâm Bưu Điện dịng Pốt-xơng dừng, thời gian làm xong gói dịch vụ cho khách hàng biến ngẫu nhiên tuân theo quy luật số mũ a/ Vẽ sơ đồ trạng thái hệ dịch vụ Trạng thái hệ thống thay đổi theo quy luật gì? Vì sao? b/ Tính tiêu đánh giá chất lượng phục vụ hệ thống: P0 , Pc , Ppv , nb , nr , m c , t c Từ tiêu tính được, nhận xét chất lượng phục vụ hệ thống 5.8 Một phận kiểm tra sản phẩm sở sản xuất có máy làm việc tự động, suất máy 12 sản phẩm/giờ Mỗi sản phẩm khỏi dây chuyền sản xuất đến phận kiểm tra, gặp lúc có máy rỗi kiểm tra máy rỗi, ngược lại sản phẩm nhập kho không qua kiểm tra Dòng sản phẩm khỏi dây chuyền sản xuất dịng Pốt – xơng dừng, mật độ trung bình 24 sản phẩm/giờ Thời gian kiểm tra sản phẩm tuân theo quy luật số mũ a/ Vẽ sơ đồ trạng thái hệ thống Trạng thái hệ thống biến đổi theo quy luật gì? Vì sao? b/ Tính tiêu đánh giá chất lượng phục vụ phận kiểm tra c/ Nếu muốn tỷ lệ sản phẩm kiểm tra khơng nhỏ 99% tối thiểu cần máy tự động phận kiểm tra 5.9 Một trung tâm xử lý tin nhanh có tổ làm việc độc lập, suất tổ tin/giờ Mỗi tin đến trung tâm, gặp lúc có tổ rỗi xử lý tổ rỗi, ngược lại tin bị loại khỏi trung tâm Dòng tin đến trung tâm xử lý dòng TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT 24 .. .Bài tập Tốn Kinh tế MỤC LỤC CHƯƠNG MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ CHƯƠNG MƠ HÌNH QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG MƠ HÌNH BÀI TỐN VẬN TẢI 14 CHƯƠNG MÔ HÌNH BÀI TỐN TỐI ƯU... 26 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Tốn Kinh tế Chương – Mơ hình Tốn kinh tế CHƯƠNG MƠ HÌNH TỐN KINH TẾ 1.1 Cho hàm tổng chi phí TC = 5000 + 5Q (Q sản lượng) Q3... 57,5, lỗ vốn p < 57,5 TS Lê Thị Ngọc Diệp – Khoa QTKD1 – Học viện CNBCVT Bài tập Toán Kinh tế Chương – Mơ hình Tốn kinh tế 1.11 Một cơng ty sản xuất cung ứng cho thị trường hai mặt hàng với hàm