FILE TẶNG 33 TRANG rút gọn BIỂU THỨC đại 9

CHUYÊN ĐỀ 1: RÚT GỌN BIỂU THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN A KIẾN THỨC CẦN NẮM CĂN THỨC BẬC • Căn bậc hai số thực a số thực x cho x = a • Cho số thực a khơng âm Căn bậc hai số học a kí hiệu bình phương a : a số thực không âm x mà a  x      a=x x = a  a  b  a b • Với hai số thực khơng âm a, b ta có: • Khi biến đổi biểu thức liên quan đến thức bậc ta cần lưu ý: A0 A + A2 = A =  A0 − A + A2 B = A B = A B với A, B  ; + A = B + + A.B = B2 A2 B = A B = − A B với A  0; B  A.B với AB  0, B  B M M A với A  ;(Đây gọi phép khử thức mẫu) = A A ( ) M A B M với A, B  0, A  B (Đây gọi phép trục thức mẫu) = A− B A B CĂN THỨC BẬC • Căn bậc số a kí hiệu • Cho a  R; a = x  x = • Mỗi số thực a có bậc • Nếu a  a  • Nếu a  a 0 • Nếu a = a = • a 3a với b  = b 3b • ab = a b với a, b • ab a  b • A B = A3 B • • ( a) A = B AB với B  B A A = B B3 3 a số x cho x3 = a =a A2 AB + B với A   B = A B A3 B B PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP • Dạng 1: Rút gọn biểu thức không chứa biến Phương pháp  A nÕu A  A2 = A =  − A nÕu A < AB = A = B A2 B = A (Với A  0; B  ) A B A B (Với A  0; B  ) (Với B  ) B (Với A  0; B  ) A B= A B = − A2 B A2 B A = B B A A B = B B (Với A  0; B  ) (Với A  0; B  ) AB (Với B  ) ( C AB C = A − B2 AB 10 C C = A B 11 ( A) 3 ( ) (Với A  0; A  B2 ) A B A− B ) (Với A  0; B  0; A  B ) = A3 = A Các ví dụ minh họa Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: M = 45 + 245 − 80 N = + 50 − 18 P = 125 − 45 + 20 − 80 A = 12 + 27 − 48 B = + 27 − 300 C = (2 − 27 + 12) : Hướng dẫn giải M = 45 + 245 − 42.5 N = + 50 − 18 P = 5 − 12 + − = 32.5 + 72  − 42.5 = 5.2 + − 2.3 = −5 =3 +7 −4 =6 = 10 + − = (10 + − 6) = 2 A = 12 + 27 − 48 B = + 27 − 300 C = (2 − 27 + 12) : = +3 −4 = + 32.3 − 102.3 = + 3.3 − 10 = (2 − 5.3 + 4.2 3) : = = −5 : = −5 = Nhận xét: Đây dạng tốn dễ Học sinh bấm máy tính để kiểm tra kết quả, đa phần áp dụng kiến thức đưa thừa số dấu để giải tốn A2 B = A B (B0 ) Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau: a) (3 − 2 ) d) (3 + a) (3 − 2 ) 2 2) − (3 + 2 ) + (1 − + 2) b) ( − )2 − ( + )2 e) ( (3 + 2 ) 2 − 2) + ( + 2) Hướng dẫn giải c) ( − )2 + (1 − )2 f) ( 2 + 1) − = 3−2 + 3+2 = 3−2 +3+2 = b) −4 Kết quả: c) e) d) f) 2 − Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức a) A = + b) B = − 15 c) C = − d) D = + 13 − − 13 e) E = + − − f) F = − 10 + 20 + Hướng dẫn giải a) A = + = ( +1 b) B = − 15 = ( 15 − c) C = − = ) ) (2 − ) d) D = + 13 − − 13 =   2 ( ) 13 + − ( = +1 = 15 − = −2 ( 14 + 13 − 14 − 13 2 13 −  =  ) e) E = + − − = + + − − + − 5)  A nÕu A  A2 = A =  − A nÕu A  Lưu ý: = ( ) 2 = ( + 1) − ( − 1) =| + 1| − | − 1|= + − + = f) F = − 10 + 20 + = ( 8= 5− ) + + 2 5− +2 5+ = 5− +2 5+ =3 Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: (áp dụng kiến thức tổng hợp) 6+2 5−2 + +1 3− 1 1 C= + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 E= + + 5− 6+ 6+ B= A= 3−4 3+4 − +1 5−2 D= + 7−4 2− F= 2 + − 2+ 3+ Hướng dẫn giải a) A = 6+2 5−2 +1 3− + = + =2 +1 3− +1 3− b) B = 3 + + = 5− 6+ 6+ ( 5+ ) + 4( 6− )+ ( 6− ) = 5+ 2+ 6− 2+ 6− 5=2 c) C = = ( ) ( −1 + d) D = = 1 1 + + + + 1+ 2+ 3+ 99 + 100 ) ( 3− + ) − + + ( ) 100 − 99 = 1 + 7−4 = + 4−4 +3 = + (2 − 3) 2− 2− 2− 2+ 2+ +2− = +2− = +2− = 2− (2 − 3)(2 + 3) e) E = (3 3−4 3+4 − = +1 5−2 )( (2 3) )− ( − −1 −1 52 = 22 − 11 26 + 13 − = 2− − 2+ 11 13 = 4−2 4+2  − =  2 2 f) F = = ( ( ) −1 − ( )( ) − (2 ) +4 5+2 2  +1  =  ) 1 2 = = + − + − 2+ 3+ 2+ 3 +1 ( 3+4 )( +1 + ) = ( ( 3+2 )( ) +1 + = ) 3( ) ( ( −1 − −1 = ( +1 + + ) ) ) ( )( + 1) − ( + ) ( + 1)( + ) −1 )( +1 (−2) = − 2 ) −1 = ( ) = 3( −1 ( − 1) ) = 3− −1 3 3 = 1− Kinh nghiệm: Đôi số toán rút gọn thức thực dễ dàng trục thức rút gọn hạng tử đề toán Nếu quy đồng mẫu số việc thực phép tính phức tạp Vì trước làm toán rút gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề tốn từ có định hướng giải đắn để lời giải ngắn gọn, xác Ví dụ 5: Thu gọn biểu thức sau a) A 18 50 b) B 27 3 3 c) C 8 2 Hướng dẫn giải a) A 18 50 b) B 27 3 2 52.2 32.3 7 2 7 ( Vì 22.2 3 7 3 c) C 32.2 7 10 3 2 2 7 1) Ví dụ 6: Thực phép tính a) b) 48 c) 2a 33 11 75 50a a3 3 32a với a Hướng dẫn giải a) 48 2 75 33 11 1 2 52.3 11 11 3 1 2 10 b) 5 5 10 3 3 22 2 5 ( Vì 17 3 1 5 23 1) c) 2a − 50a − a3 + 32a = 2a − 52.2a − a a + 42.2a = 2a − 2a − a a + 16 2a = −2a a + 16 2a ( Vì a  ) Ví dụ (Đè thi năm học 2014 – 2015 Thành phố Hồ Chí Minh) Thu gọn biểu thức sau: A = 5+ 5 + − 5+2 −1 + Lời giải A= = 5+ 5 + − 5+2 −1 + (5 + )( ( + 2)( = −5+ )+ − 2) ( −2 ( ) +1 )( −1 ( 3− − ) ) (3 + )(3 − ) +1 + − 15 + − + 15 − = −5+ 4 = −5+5−2 = Ví dụ Tính B = 21 ( 2+ + 3− ) ( −6 2− + 3+ ) −15 15 Lời giải ) ( ( ) 2 21 + + − − − + + + − 15 15 2 2 21 15 = + + − − 3 − + + − 15 15 = + − 15 15 = 60 2 B= ( ) ( ) ( ) Dạng 2: Tìm điều kiện xác định biểu thức BIỂU THỨC - ĐKXĐ: A ĐKXĐ: A  VÍ DỤ Ví dụ: x − 2018 ĐKXĐ: x  2018 A B ĐKXĐ: B  Ví dụ: x+4 x−7 ĐKXĐ: x7 A B ĐKXĐ: B  Ví dụ: x +1 x−3 ĐKXĐ: x3 A B ĐKXĐ: A  0; B  Ví dụ: x x −3 ĐKXĐ: x   x3  x  A B  A   B  ĐKXĐ:   A     B  x +1 x+2 Ví dụ: Cho a > ta có: x  a x2  a    x  − a Ví dụ: Cho a > ta có: ĐKXĐ: x  a x2     x  − a Ví dụ: x   −2  x  x2  a  − a  x  a Dạng 3: Rút gọn biểu thức chứa biến Phương pháp Các ví dụ x     Ví dụ 1: Rút gọn B =  + +  : 1 −  x +3  x x+3 x   x+3 x Hướng dẫn giải x     B= + +  : 1 −  ( x  0) x +3  x x+3 x   x+3 x   x   x −2 =  + : +  x +3  x x x +3  x +3  =  x +1  : x +3   (     ( ) )( x + 3) +  = (  x ( x + 3)  x +1 x −2 ) x + x x =1 Ví dụ 2: (Đề thi năm 2014 – 2015 TP Đà Nẵng) Rút gọn biểu thức P = x 2x − , với x  0, x  7) + x−2 x+x ( x  0)  x +     x +    x  −2 x   x +      x +  Lời giải: Với điều kiện cho thì: P= 2x ( x 2+ x + ) ( ( x− x− )( ) x+ ) x + = 2+ x x+ =  x  x +3 Ví dụ 3: Thu gọn biểu thức sau: A =  với x  0, x   x + + x −  x +   Hướng dẫn giải Với x  x  ta có:   x −3 x +3 x +9 x +3 A= = −3  x +3 x x −3  x +9   ( )( ) Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: a) A = x − x − x + x  Lời giải b) B = x − x − + x + x − x  1  a) A = x − x − x + = x −  x −  = x − 2  + Nếu x 1  x  + Nếu x 1   x  x− x− 1 = x −  A= 2 x− 1 =− x+  A=2 x− 2 b) B = 4x − 4x −1 + 4x + 4x −1 = 4x −1 − 4x −1 + + x −1 + x −1 +1 Hay B = ( ) 4x −1 −1 + ( ) 4x −1 + = + Nếu 4x −1 −1   4x −1   x  + Nếu 4x −1 −1   4x −1   4x −1 + = 4x −1 −1 + 4x −1 + x − − = x − − suy B = x − 1  x  Ví dụ Cho số thực dương a, b ; a  b 4x −1 −1 + x − − = − x − + suy B = ( a − b) ( Chứng minh rằng: a− b ) − b b + 2a a + a a −b b 3a + ab = b−a Lời giải ( Ta có: Q = ( = = = a+ b )( ) a+ b a− b ( − b b + 2a a + a a −b b a− b ( ( a − b) ) ) 3 − b b + 2a a )( a − b a + ab + b )( a − b a + ab + b a+ − ) a a + 3a b + 3b a + b b + 2a a ( 3a + ab b−a ) − ( ( a− b a a− b 3a a + 3a b + 3b a − 3a a − 3a b − 3b a ( )( a − b a + ab + b Ví dụ Rút gọn biểu thức A = ) ( a+ b )( ) a+ b ) =0 ) =0 x + x − x − x + 19 x − x + − ; x  0, x  x −9 x + x − 12 x + x Lời giải A= = x + x − x − x + 19 x − x + − = x −9 x + x − 12 x + x x −3 )( x +4 x − x + 19 − ( x − 3)( x + 4) x −1 x − 15 ( x − 1)( x + ) = = x − x − x + ( )( ) x + x − + x − x + 19 − x + ( x −2 + x −3 ) x −5 x +4 Dạng 4: Rút gọn biểu thức, biết biến thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp Các ví dụ Ví dụ 1: Cho A = x 10 x , với x  0, x  25 − − x − x − 25 x +5 1) Rút gọn biểu thức A 2) Tính giá trị A x = Lời giải: A= x 10 x − − = x − x − 25 x +5 x ( ) ( ( x − 5)( x + 5) x + − 10 x − x −5 ) = x + x − 10 x − x + 25 ( x −5 )( Với x = ta có: x +5 ) = ( x − 10 x + 25 x −5 x = Vậy A = )( x +5 ( = ) ( x −5 x −5 )( ) x +5 )  A= − −2 = =− 3+5 x x 3x + , với x  0, x  + − x +3 x −3 x −9 Ví dụ 2: Cho P = 1) Rút gọn P 2) Tìm giá trị x để P = 3) Tìm giá trị lớn P Lời giải 1) P = x ( ) x −3 + x ( x −3 )( ( ) x + − 3x − x +3 ) x +3 = =  x + =  x = 36 (thỏa mãn ĐKXĐ) x +3 3 3) Với x  0, P =  =  Pmax = x = (TM) x +3 0+3 2) P =  Ví dụ 3: Cho biểu thức P = x3 + y x+ y ,x  y 2 x − xy + y x − y 1) Rút gọn biểu thức P 2) Tính giá trị P x = − y = − Lời giải x3 + y x+ y x+ y 1) P = = x − xy + y ( x − y )( x + y ) x − y 2) Với x = − = − y = − = − Thay vào P ta được: P = Ví dụ 4: Cho biểu thức A = − + −1 (2 − 3) − ( ) −1 1 x + − 2+ x 2− x 4− x = 3+ =− 3− ( x  0, x  4) Rút gọn A tìm x để A = Lời giải 10 x −5 x +5 x Mà Do 3 x 3 P x 3 x 3 Vậy khơng có giá trị hữu tỷ x để P nguyên   x −1 − x  +  , (với x  x  1) x x + x   Bài 7: Cho biểu thức P = 1 −  :  x   a) Rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị biểu thức P x = 2022 + 2018 − 2022 − 2018 Hướng dẫn giải a) Ta có − Và = x x −1 x x −1 − x x −1 +1 − x + = = x x+ x x +1 x ( ) ( ( ) x + 1) x −1 x x b) Có x = 2022 + 2018 − 2022 − 2018 = = 2018 + − = ( x −1 nên P = x +1 2018 + 2 − ( 2018 − ) x +1 x 2018 − = 2018 + − 2018 + = thỏa mãn điều kiện x  x  +1 = + Vậy giá trị biểu thức P x = là: Bài 8: Cho hai biểu thức A = x +2 B = x −5 20 − x với x  0, x  25 + x − 25 x +5 a) Tính giá trị biểu thức A x = b) Chứng minh B = x −5 c) Tìm tất giá trị x để A = B x − Hướng dẫn giải a) Tính giá trị biểu thức A x = Khi x = ta có A = + 3+ = =− −5 3−5 b) Chứng minh B = 19 ) x −1 x + = x x −1 x −5 Với x  0, x  25 B = = ( ( ) x + )( x − + 20 − x x −5 = ) 20 − x = + x − 15 x +5 + x +5 x − 15 + 20 − x ( x +5 )( x −5 = ) ( 20 − x ( x +5 )( x −5 x +5 x +5 )( x −5 ) ) (đpcm) x −5 = c) Tìm tất giá trị để A = B x − Với x  0, x  25 Ta có: A = B x −  x +2 = x −5 x−4  x +2= x−4 x −5 Nếu x  4, x  25 (*) trở thành :  x− x −6 =  Do x +  nên ( x −3 )( Do x +  nên x +2= x−4 ) x +2 =0 x =  x = (thỏa mãn) Nếu  x  (*) trở thành :  x+ x −2=0  (*) ( )( x −1 x +2 = 4− x ) x +2 =0 x =  x = (thỏa mãn) Vậy có hai giá trị x = x = thỏa mãn yêu cầu toán Bài 9: Cho biểu thức B x x x a) Rút gọn B b) Tìm giá trị x để B x x với x x 0; x 16 c) Tính giá trị x cho B khơng vượt d) Tìm giá trị B x thỏa mãn đẳng thức x x e) Tìm x để giá trị B số nguyên Hướng dẫn giải a) Với x x 20 x 0; x 16 B x 4 x x x x x x x x x x x x x 4 x x x x 2x x x x b) B x x x x x ( thỏa mãn x x x Vì x 16 ) Vậy x 3 B x x 1 với x 0; x d) Ta có 2x thỏa mãn x Vì 0; x x x e) B x x (x 16 ) x x 0; x TH2: B x x TH3: B x x Vậy x 21 0; ;36 B x x Z 3x 12 x x x x x 1 x x x 1 x với x x x2 2x Vậy x x 0; x x x2 2x x x 16 2x 1 với x với x 0; x x x B x ( 3 3 3 x x x 0;1;2 Suy B Mà B Z nên B 3 1 B 16 nên x x x 16 B x x 16 ) 0; x x x TH1: B x B x x 16 nên 3 x với x 0; x 1 B khơng vượt q x (*) x x Suy (*) Kết hợp với điều kiện x 0; x 16 Vậy 2x x x 0; x c) B không vượt 3 x Vậy với x x x x x x 0; x 16 ) 16 0 ( thỏa mãn) x x 3 x x ( thỏa mãn) x x 36 ( thỏa mãn) x 1( Bài 10: Cho biểu thức P 1: x x x x x x x 1 với x x a) Rút gọn P b) Tính giá trị P biết x c) Tìm x để P x d) Tìm m để có giá trị x thoả mãn P m e) Tìm giá trị nhỏ P Hướng dẫn giải a) Với x P x 1: x x x x x x x Vậy với x x x x 1 x x 1 x x x x x x x x 1: P x x x x x 1 x 1 x x x 1 x x x x x x 1 x 3 2.2 P x x x x x x x b) Với x x 3 3 thỏa mãn điều kiện x ( P x x x x c) P x x Vậy với x P x x x m x x m x d) P x 3) 3 3 Vậy với x Vì nên (1) phương trình bậc hai x t Đặt t (1) trở thành t 22 m 1t (2) x 2x x m x x x 1 (thỏa mãn x (1) 0) m Ta có m m m2 m m m Phương trình (1) có nghiệm m2 2m m 3m 3 Phương trình (2) có nghiệm dương TH1: Phương trình (2) có nghiệm dương m m S m P 0 m m m TH2: Phương trình (2) có nghiệm trái dấu S ( vơ lý) Loại TH3: Phương trình (2) có nghiệm dương nghiệm 0 thay vào (2) ta 02 Với t Vậy m e) P Vì x m 1 x x x nên x x Dấu “=” xảy P 0; x x x x x x Loại 0; x x c) Tìm x Z để P d) So sánh P với Z ta được: x ( thỏa mãn x x x x b) Tính giá trị P biết x x; a) Rút gọn P 23 ( vô lý ) 1 Vậy giá trị nhỏ P Bài 11: Cho biểu thức P với x 1 giá trị cần tìm Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho hai số dương x : x x 0) x x x x x x e) Tìm giá trị x để P x Hướng dẫn giải a) Với x P 0; x x x x x x : 1 x : x x x x 2 x x x : x x x x x : x x x x x x x x x Vậy với x x : x 1 x : x x x x 2 x x x x x x x x x x x x x x 0; x x x x x x x x 2 x x P x x 2 b) Với x 2 5 5.1 4 5 x P 5 Z Ư(3)= 24 x x 5 x x c) P P x 1; ( 2 1) 5 5 5 5 1 10 5 x x Z 3 x 1 x x Ư(3) 5 thỏa mãn x 0; x x Mà x 0; x x 1 TH2: x Vậy x P x x TH1: d) Xét hiệu P Suy P e) P Đặt x x x x 0; x nên: ( thỏa mãn) ( loại) Z x x 1 x x x 1 x x 0; x x x x x x x x x x t t 0; t (2) trở thành: t 3 t 3t x x x x (2) 4.1.( 1) 13 2 13 TM t x x 13 13 22 loai 13 ( thỏa mãn điều kiện) 22 13 Vậy x giá trị cần tìm x Bài 12: Cho biểu thức: A với x x a) Khi x tính giá trị biểu thức A 15 x x với x : x 25 x x c) Tìm x để biểu thức M B A nhận giá trị nguyên b) Rút gọn biểu thức B 0; x Hướng dẫn giải thỏa mãn điều kiện x a) Với x Ta có x 5 5 x 1 A b) Với x B 25 5 0; x 15 x x 25 5 x : x x 5 ( 1) 5 5 x 15 x x x : x x ... dụ Cho biểu thức C = a 2 − − a − 16 a −4 a +4 1) Tìm điều kiện a để biểu thức C có nghĩa rút gọn C 2) Tính giá trị biểu thức C a = − Lời giải a  a  a − 16  a  16   1) Biểu thức C... trị cần tìm x Bài 12: Cho biểu thức: A với x x a) Khi x tính giá trị biểu thức A 15 x x với x : x 25 x x c) Tìm x để biểu thức M B A nhận giá trị nguyên b) Rút gọn biểu thức B 0; x Hướng dẫn giải... Thu gọn biểu thức sau: A =  với x  0, x   x + + x −  x +   Hướng dẫn giải Với x  x  ta có:   x −3 x +3 x +9? ?? x +3 A= = −3  x +3 x x −3  x +9   ( )( ) Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức: