Từ khi được giao nhiệm vụ dạy Toán đã nhiều lần tôi tự hỏi tại sao lực học của các em còn yếu?. Có nhiều lí do nhưng có lẽ phương pháp học của trò và phương pháp dạy của thầy còn nhiều vấn đề phải bàn. Chính vì vậy khi được nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, tôi bắt đầu thực hiện ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức. Khi dạy về hệ thức Viét tôi thấy nếu chỉ dạy theo thứ tự lí thuyết và bài tập như ở SGK, SBT thì chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải các bài tập thuộc chủ đề này. Quan trọng hơn việc nhớ kiến thức của các em sẽ không có hệ thống.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN “MỘT SỐ DẠNG TOÁN ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ET” Thuộc lĩnh vực: Dạy học mơn Tốn Người thực hiện: Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS , tháng năm 2019 CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến huyện Tỷ lệ Ngày Số TT Họ tên tháng năm sinh (%) Nơi công tác Chức (hoặc nơi Trình độ đóng chun góp vào mơn việc tạo danh thường trú) sáng kiến Trường THCS Giáo viên Đại học Tốn 100% Là tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: “Một số dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét” 1.Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Họ tên: - Giáo viên trường THCS Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Áp dụng sáng kiến lĩnh vực dạy học môn Tốn lớp chương trình THCS phần kiến thức Hệ thức Vi-ét ứng dụng Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 26/3/2018 Mô tả chất sáng kiến : Sáng kiến "Một số dạng toán ứng dụng hệ thức viet-ét" A Thực trạng vấn đề cần nghiên cứu Là giáo viên dạy Toán trường THCS , trường không xa trung tâm kết học tập trung bình em cịn chưa cao khơng muốn nói cịn yếu Từ giao nhiệm vụ dạy Tốn nhiều lần tơi tự hỏi lực học em yếu? Có nhiều lí có lẽ phương pháp học trò phương pháp dạy thầy nhiều vấn đề phải bàn Chính nhà trường phân công ôn tập cho học sinh thi vào THPT, với thời lượng cho phép, bắt đầu thực ôn tập cho học sinh theo chủ đề kiến thức Khi dạy hệ thức Vi-ét thấy dạy theo thứ tự lí thuyết tập SGK, SBT chưa cung cấp đủ phương tiện cho học sinh để giải tập thuộc chủ đề Quan trọng việc nhớ kiến thức em khơng có hệ thống Như kết làm em không cao, bên cạnh hầu hết đề thi vào THPT tỉnh nói chung tỉnh nói riêng có phần kiến thức hệ thức Vi-ét Chính thế, tơi tiến hành nghiên cứu SGK, SBT toán lớp tài liệu tham khảo để tập hợp tập hệ thức Vi-ét Sau tiến hành phân dạng với dạng rõ ứng dụng Từ cách nghĩ cách làm tơi nảy sinh việc viết sáng kiến “Một sơ dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét ” Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu toán xếp theo dạng tốn mà việc giải sử dụng hệ thức Vi-ét Đối tượng áp dụng sáng kiến: học sinh lớp trường THCS toàn huyện Nội dung sáng kiến: Sáng kiến: “ Một số dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét ” ơn lại lí thuyết hệ thức Vi-ét khai thác sâu ứng dụng vào giải tốn Đại số Các dạng toán phân theo dạng, dạng tốn đưa có phương pháp giải tổng quát kèm theo ví dụ minh họa cụ thể, chọn lọc Sách giáo khoa (SGK), Sách tập (SBT), đề thi tuyển sinh mơn Tốn lời giải chi tiết Bên cạnh với dạng có nhận xét đánh giá ví dụ vừa đề cập nhằm nhấn mạnh khó khăn, sai sót mà học sinh hay mắc phải giải toán cách khắc phục Sau đưa tập áp dụng cụ thể giúp cho việc cụ thể hóa tập liên quan Sáng kiến “Một số dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét ” có khả áp dụng rộng rãi cho giáo viên dạy toán lớp trường đại trà Giúp giáo viên có tài liệu phương pháp giảng dạy, ôn tập kiến thức hệ thức Vi-ét cách đầy đủ khoa học Giúp học sinh nâng cao kết việc giải toán hệ thức Vi-ét củng cố nhiều kiến thức tốn học khác Từ góp phần nâng cao kết thi vào THPTcho học sinh tạo tiền đề vững cho em q trình học tập sau Tính sáng kiến: Có nhiều sáng kiến nghiên cứu vấn đề xong chưa đưa đầy đủ dạng tốn mạng tính hệ thống đầy đủ cho học sinh Các dạng tốn thi vào THPT người đưa vào lồng dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét nên ôn thi em cho dạng tốn lạ khó Có thể nói sáng kiến khắc phục hạn chế việc phân loại thiếu dạng toán cung cấp cho em nhìn tổng thể dạng tập ứng dụng hệ thức Các phương pháp dạy học sử dụng: Áp dụng sáng kiến cần kết hợp phương pháp dạy học tích cực Bên cạnh phương pháp truyền thống thuyết trình, Nêu giải vấn đề Cần kết hợp phương pháp hhư dạy học dự án; Phương pháp khăn trải bàn; Hẹn hị .Tăng cường hoạt động nhóm, trao đổi, thảo luận Làm tăng hứng thú khả ghi nhớ cho em nhằm thu hiệu cao Khả áp dụng Áp dụng cho Giáo viên học sinh lớp trình giảng dạy học tập tồn huyện q trình ơn tập, bồi dưỡng thi THPT B MÔ TẢ SÁNG KIẾN Khảo sát điều tra ban đầu Khi dạy hệ thức Vi-ét, chương trình thời lượng khơng nhiều có tiết lí thuyết tiết luyện tập Thông thường giáo viên thực nhiệm vụ theo phân phối chương trình với nội dung SGK mà không đầu tư cho việc hệ thống, phân dạng tập hệ thức Vi-ét Bên cạnh tập thể SGK SBT số lượng không nhiều, chưa đề cập hết dạng cần thiết để học sinh có đủ kiến thức giải tập dạng đề thi vào THPT Tháng năm 2018 sau hoàn thành việc giảng dạy ơn tập tốn hệ thức Vi-ét chưa áp dụng áp dụng sáng kiến, tiến hành kiểm tra khảo sát học sinh khối lớp với đề toán sau (thời gian làm 45 phút): Câu1: (2.0 điểm) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai a) b) (m − 1) x − (2m + 3) x + m + = với m ≠ x − 2019 x − 2020 = Câu 2: (2.0 điểm): Tính tổng tích hai nghiệm phương trình (m tham số ): a) -x2 + 5x + = b) 3x2 - 2x + m = Câu 3: (3,0đ): Tìm hai số biết tổng chúng -23 tích 120 Câu (3,0 điểm): Cho phương trình x − x + 4m − = Tính giá trị m, 2 x + x = 14 biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện Với ba toán đưa ra, kiểm tra kiến thức tơi thấy số lượng em giải trọn vẹn bốn chiếm ít, số em giải toán 1,2, phần a, phần lớn em trình bày lời giải cịn mắc nhiều sai lầm, lúng tings hệ số có tham gia tham số Bài em làm thấy hai số khơng u,v nhầm dấu, khơng kết luận đủ số nghiệm cần tìm ; Bài đa số khơng tìm hướng làm * Nguyên nhân: - Không nắm hệ thức Vi-ét ứng dụng - Không biết làm để xuất mối liên hệ kiện cần tìm với yếu tố, điều kiện biết để giải tập * Kết khảo sát : Sau chấm theo thang điểm 10 kết cụ thể sau: Sĩ học 2017-2018 số 120 2018-2019 92 Năm Giỏi SL % 4 Khá SL % 12 10 7.6 TB SL 68 Yếu % SL % 56.7 28 24.3 55 59.7 20 21.7 Kém SL % 6 6.5 Qua kết ta thấy số tỉ lệ giỏi chưa cao, tỉ lệ trung bình cịn nhiều Từ thực trạng vậy, dành nhiều th ời gian đ ể th nghiệm áp dụng sáng kiến năm 2017-2018; 2018-2019 khẳng định kết sáng kiến Các biện pháp 3.1 Ôn tập lí thuyết Về mặt lí thuyết hệ thức Vi-ét em học nên ch ỉ mang tính ch ất nhắc lại * Định lí Vi-ét: Nếu x1, x2 hai nghiệm phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) b x + x = − a x x = c a Áp dụng: Nhờ định lí Vi-ét, biết trước nghiệm phương trình bậc hai suy nghiệm - Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có a + b + c = phương trình c có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = a - Nếu phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có a - b + c = phương trình c có nghiệm x1 = - 1, nghiệm x2 = - a *Tìm hai số biết tổng tích chúng u + v = S u.v = P - Nếu hai số u, v thỏa mãn hai số hai nghiệm phương trình x2 – Sx + P = (Điều kiện để có hai số u, v S2 - 4P ≥ 0) 3.2 Phân loại đưa số dạng toán phương pháp gi ải Dạng Toán 1: Giải phương trình bậc hai cách nh ẩm nghiệm * Phương pháp giải: Xét phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) ta thấy : a) Nếu cho x = ta có (*) a.12 + b.1 + c = ⇔ a + b + c = Như vây phương trình có nghiệm x1 = nghiệm cịn lại x2 = c a b) Nếu cho x = − ta có (*) ⇔ a.( − 1)2 + b( − 1) + c = ⇔ a − b + c = Như phương trình có nghiệm x2 = − x1 = −1 nghiệm cịn lại c a Ví dụ: Dùng hệ thức VI-ÉT để nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x + x + = (1) b) x + x − 11 = (2) Ta thấy : Phương trình (1) có dạng a − b + c = 2-5+3=0 nên có nghiệm: x1 = −1 x2 = −3 Phương trình (2) có dạng a + b + c = 3+8+(-11)=0 nên có nghi ệm: x1 = x2 = −11 Bài tập áp dụng: Hãy tìm nhanh nghiệm phương trình sau: Bài tập 1: Khoanh tròn vào trước câu trả lời đúng: a) Nghiệm phương trình: 15 x − 26 x + 11 = A x1 = 1, x2 = 13 ; 15 B x1 = 1, x2 = 26 ; 15 b) Nghiệm phương trình 17 x + 26 x + = C x1 = 1, x2 = 11 ; 15 A x1 = −1, x2 = 26 ; 17 B x1 = 1, x2 = ; 17 C x1 = −1, x2 = −9 ; 17 Bài tập 2: Giải phương trình a) 35x2 - 37x + = Nhận thấy phương trình có a + b + c = 35 + (-37) + = Do ph ương c = trình có nghiệm x1 = 1, x2 = a 35 b) 2018 x − x − 2019 = Ta có a - b+c=2018 − (−1) + (−2019) = ⇒ x1 = −1, x2 = 2019 ; 2018 c) (5 − 1) x + (3 + 7) x − − = (Hệ số biểu thức phức tạp) Giải: Ta có a+b+c= (5 − 1) + (3 + 7) + (−8 − 6) = − + + − − = ⇒ x1 = 1, x2 = −8 − −86 − 38 = 49 −1 Bài tập 3: Tìm nghiệm phương trình sau ( Hệ số chứa tham số.) a) (m − 1) x − (2 m + 3) x + m + = với m ≠ Ta có a + b+ c = (m − 1) − (2m + 3) + m + = m − − 2m − + m + = ⇒ x1 = 1, x2 = m+4 m −1 Dạng tốn 2: Khơng giải phương trình, tính tổng tích hai nghiệm phương trình bậc hai * Phương pháp: Trước áp dụng định lí Vi-ét, ta cần kiểm tra điều kiện xem phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm hay khơng (T ức ki ểm tra a ≠ 0, ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ ) có thỏa mãn khơng) Tính tổng tích hai nghiệm theo Vi-et b x + x = − a x x = c a * Ví dụ: Ví dụ 1: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình: a) 2x2 - 17x + = b) 25x2 + 10x + = Giải a) 2x2 - 17x + = (a = ≠ 0, b = -17, c = 1) Ta có: ∆ = ( −17 ) − 4.2.1 = 281 > ⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt b 17 c x1 + x = − = , x1.x = = a a x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b) 25x2 + 10x + = (a = 25 ≠ 0, b = 2b’ = 10, c = 1) Ta có: ∆ ' = − 25.1 = ⇒ Phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức b 10 c x1 + x = − = − = − , x1.x = = a 25 a 25 Vi-ét, ta có: Bài tập áp dụng (Bài 30/SGK-Trang 54): Tìm giá trị m để ph ương trình có nghi ệm, r ồi tính tổng tích nghiệm theo m: b) x2 + ( a) x2 - 2x + m = m − 1) x + m2 = Giải a) x2 - 2x + m = (a = ≠ 0, b = 2b’ = - 2, c = m) ∆ ' = ( −1) − 1.m = − m Ta có: Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ − m ≥ ⇔ m ≤ Vậy với m ≤ , phương trình có hai nghiệm b c x1 + x = − = 2, x1.x = = m a a x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b) x2 + ( m − 1) m − 1) x + m2 = (a = ≠ 0, b = 2b’ = ( , c = m) ∆ ' = − ( m − 1) − 1.m = m2 − 2m + − m = − 2m Ta có: Để phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ' ≥ ⇔ − 2m ≥ ⇔ m ≤ 1 m≤ Vậy với 2, phương trình có hai nghiệm x1, x2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có: b −2 ( m − 1) c m2 x1 + x = − = = ( − m ) , x1.x = = = m2 a a Dạng toán 3: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm cịn l ại ph ương trình bậc hai ẩn cho biết trước nghiệm * Phương pháp: Giả sử phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) cho biết nghiệm x1 = m Tìm nghiệm cịn lại x2 ? Ta làm sau: Dùng hệ thức Vi-ét x1 + x = − b a Thay x1 = m vào hệ thức, b b c x = − − x1 = − − m x1.x = a a a Thay x1 = m ta có ta dùng hệ thức c c x = ÷: x1 = ÷: m a a vào hệ thức, ta có Ví dụ (Bài 39/SBT-Trang 44): a) Chứng tỏ phương trình 3x2 + 2x - 21 = có nghiệm -3 Hãy tìm nghiệm b) Chứng tỏ phương trình -4x - 3x + 115 = có nghiệm Tìm nghiệm Giải a) chứng tỏ x1 = - nghiệm phương trình 3x2 + 2x - 21 = Vì 3(-3)2 + 2.(-3) - 21 = 27 – – 21 = Tìm nghiệm cịn lại 10 Giải: Để phương trình có nghiệm ∆ ' = b '2 − ac = (−2) − (4m − 3) = − 4m + = − 4m ⇔ − 4m > ⇔m< Theo vi ét ta có b −(−4) c 4m − =− = =4 = = 4m − a a a) x1 + x2 ; x1.x2 = Để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x12 + x2 = 14 ⇔ (x1 + x ) − x1 x2 = 14 ⇔ 42 − 2(4m − 3) = 14 ⇔ 16 − 8m + − 14 = ⇔ −8m + = ⇔ m =1 Bài tập 2: (Bài 44/SBT-Trang 44): Cho phương trình x2 - 6x + m = Tính giá trị m, biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 − x = Giải Phương trình có hai nghiệm x1, x2 khi: ∆ ' ≥ ⇔ ( −3) − m = − m ≥ ⇔ m ≤ (1) x1 + x = x x = m (2) Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: Theo bài: x1 − x = (3) Giải hệ gồm (1) (3), ta được: 2x1 = 10 ⇔ x1 = ⇒ x = − x1 = − = Thay x1 = 5, x2 = vào (2), ta có: 5.1 = m ⇔ m = (thỏa mãn điều kiện) Vậy với m = x1 − x = Bài tập 3: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – = (có ẩn số x) 22 a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình cho Tìm giá tr ị nh ỏ 2 y = x1 + x Giải a) Ta có ∆ ' = ( m − 1) − ( 2m − ) = m − 2m + − 2m + = ( m − ) + > với 2 m Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 + x = 2(m − 1) = 2m − (1) x x = 2m − (2) b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có: 2 x + x Theo bài: y = = ( x1 + x ) − 2x1x (3) Thay (1) (2) vào (3), ta có: y = ( 2m − ) − ( 2m − ) = 4m − 12m + 12 = ( 2m − ) + Vì ( 2m − 3) ≥0 với m nên suy y = ⇔ 2m − = ⇔ m = ( 2m − 3) +3≥3 Dấu “=” xảy 3 m= Vậy ymin = ⇔ Nhận xét: Ngoài việc phải kết hợp với điều kiện phương trình có nghiệm để chọn giá trị m cần ý trường hợp tốn cịn có điều kiện ràng buộc khác (như ví dụ 3) ta cần đối chiếu giá trị m để loại bỏ giá trị khơng thích hợp Dạng tốn 8: Xét dấu nghiệm * Phương pháp: Dùng hệ thức Vi-ét ta xét dấu nghiệm x 1, x2 phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) dựa kết quả: -Phương trình có hai nghiệm trái dấu x1 < < x ⇔ P = c < a ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ ) -Phương trình có hai nghiệm dấu ⇔ P > 23 -Phương trình có hai nghiệm dương ⇔ -Phương trình có hai nghiệm âm ⇔ ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ ) P > S > ∆ ≥ ( ∆ ' ≥ ) P > S < * Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x – m + = Xác định m để phương trình: a) Có hai nghiệm trái dấu b) Có hai nghiệm dương phân biệt Giải a) Để phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔P= c =1− m < ⇔ m ∆ ' > ⇔ P > ⇔ 1 − m > ⇔ < m < S > 2 m + > ) ( Vậy với < m < phương trình có hai nghiệm d ương phân bi ệt Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Cho phương trình mx2 - 6x + m = Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm Giải Để phương trình có hai nghiệm âm x1 ≤ x < Thì điều kiện tương đương là; 24 a ≠ ∆ ' ≥ ⇔ P > S < m ≠ m ≠ 9 − m ≥ −3 ≤ m ≤ ⇔ m > ⇔ ⇔ −3 ≤ m < m 1 > 6 m < Do phương trình có hai nghiệm phân biệt 25 −p −5 = −p = −5 Theo định lí Vi-ét, ta có: x1 + x2 = , x1x2 = a) Ta có -x1 + (-x2) = - (x1 + x2 ) = p -x1(-x2) = x1x2 = - Vậy phương trình cần lập : x2 - px - = b) Ta có: 1 x1 + x − p p 1 1 = = = =− x1 + x = x x −5 , x1 x = x1x −5 p − Vậy phương trình cần lập : x2 - x = hay 5x2 - px - = Bài tập áp dụng Bài tập 1: ( Đề thi THPT tỉnh năm 2007-2008) L ập phương trình bậc hai có hai nghiệm là: 1 10 − 72 10 + Giải: Ta có S= x1 + x2 = P = x1.x = 1 20 + = 10 − 72 10 + 28 1 = 10 − 72 10 + 28 Vậy x1 , x2 nghiệm phương trình x2 − 20 x+ =0 28 28 Hay 28 x − 20 x + = Dạng tốn 10: Tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số *Phương pháp: Ta thực theo bước sau: Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x 1, x2 ( a ≠ 0, ∆ ≥ a ≠ 0, ∆ ' ≥ ) Bước 2: Áp dụng hệ thức Vi-ét tính S = x1 + x2, P = x1x2 theo tham số 26 Bước 3: Khử m để lập hệ thức S P, từ suy hệ th ức gi ữa hai nghiệm khơng phụ thuộc vào tham số * Ví dụ: Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - = (x ẩn) Tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải Phương trình x2 – 2mx + 2m - = có: ∆ ' = m − 2m + = ( m − 1) + > với m Do phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có: S = x1 + x = 2m (1) P = x1x = 2m − (2) Lấy (1) trừ (2) vế theo vế, ta S – P = ⇔ x1 + x2 - x1x2 = (không phụ thuộc vào m) Bài tập áp dụng: Bài tập 1: Cho phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = (x ẩn) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Khi tìm hệ thức liên hệ gữa x1, x2 không phụ thuộc vào m Giải Phương trình mx2 – (2m + 3)x + m - = có hai nghiệm phân biệt x 1, x2 m ≠ m ≠ m ≠ m ≠ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ −9 ∆ > ( 2m + ) − 4m ( m − ) > 28m + > m > 28 2m + 3 S = x + x = = + m m P = x x = m − = − m m Áp dụng hệ thức Vi-ét: 12 4S = + (1) m ⇔ 3P = − 12 (2) m Cộng vế theo vế, ta được: 4S + 3P = 11 hay 4(x1 + x2) + 3x1x2 = 11 (Không phụ thuộc vào m) Dạng tốn 11: Phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp: Phương trình ax2 + bx + c = ( a ≠ ) có nghiệm x1, x2 tam thức 27 ax2 + bx + c phân tích thành nhân tử sau: • ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) Ví dụ: Ví dụ Phân tích đa thức x2 – 5x + thành nhân tử Giải Phương trình x2 – 5x + = có a + b + c = – + = Do ph ương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = Vì đa thức x2 – 5x + = (x – 1)(x – 4) Ví dụ (Bài 33/SGK-Trang 54) Phân tích đa thức 2x2 – 5x + thành nhân tử Giải Phương trình 2x2 – 5x + = có a + b + c = – + = Do ph ương trình có hai nghiệm x1 = 1, x2 = Vì đa thức 2x2 – 5x + = 2(x – 1)(x – ) Dạng toán 12: Áp dụng hệ thức Vi-ét giải phương trình hệ phương trình 5−x 5−x x. x + ÷ ÷= x + x + Ví dụ Giải phương trình (*) Giải Điều kiện: x ≠ −1 5− x 5−x 5−x u = x. x + ÷ u + v = x. x + ÷+ x + x + ÷ u + v = (1) ⇒ ⇔ − x − x − x u.v = v = x + u.v = x. x + ÷ ÷ ÷ x +1 x +1 x +1 Đặt ⇒ u, v nghiệm phương trình: t2 – 5t + = ⇒ t1 = 3; t = Do u = v = u = v = 28 - Với u = v = (1) trở thành: x2 - 2x + = Ta có ∆' = – = - < ⇒ Phương trình vơ nghiệm u = v=3 - Với (1) trở thành: x2 - 3x + = Ta có a + b + c = – + = ⇒ x1 = 1; x2 = Vậy phương trình (*) có hai nghiệm x1 = 1; x2 = Ví dụ Giải hệ phương trình: x + y + xy = 2 a) xy + x y = 12 (Hệ đối xứng loại 1) x + y = xy = 27 b) Giải x + y + xy = x + y + xy = ⇔ xy + x y = 12 ( x + xy ) xy = 12 a) Đặt S = x + y, P = xy Ta có hệ S + P = SP = 12 Khi S P hai nghiệm phương trình: t2 – 7t + 12 = Giải phương trình t1 = 4; t2 = + Nếu S = P = x, y nghiệm c ph ương trình: u - 4u + = ⇒ u = u = Suy (x = 1; y = 3) (x = 3; y = 1) + Nếu S = P = x, y nghiệm c ph ương trình: v – 3v + = Phương trình vơ nghiệm ∆ = - 16 = - < Vậy hệ cho có hai nghiệm là: (1; 3); (3; 1) u = x u = x ⇔ y v = v = y Khi hệ phương trình có dạng: b) Đặt u + v = u + v = ⇔ ⇒ uv = uv = 27 ( ) u, v nghiệm phương trình: t2 – 4t + = ⇒ t1 = 1; t2 = Suy u = 1, v = u = 3, v = 29 - Với u = 1, v = x = 1, y = 27 - Với u = 3, v = x = 27, y = Vậy hệ cho có hai nghiệm là: (1; 27); (27; 1) 3.3 Các tập tương tự tổng hợp theo dạng toán.( Học sinh tự giải) Bài tập 1: Khơng giải phương trình, tính tổng tích nghiệm (n ếu có) phương trình sau: a) 4x2 + 2x – = 0; b) 9x2 - 12x + = 0; d) ( − )x2 + 4x + + = 0; f) 2x2 + 9x + = 0; c) 5x2 + x + = 0; e) 1,4x2 - 3x + 1,2 = 0; g) x2 + 2(m – 1)x + m2 = Bài tập 2: Tính nhẩm nghiệm phương trình sau: a) 7x2 - 9x + = 0; b) 23x2 - 9x - 32 = 0; 11 c) (5 + )x2 + (5 - )x - 10 = 0; d) x2 - x - = 0; e) 31,1x2 – 50,9x + 19,8 = 0; f) 2x2 + 9x + = 0; g) (m – 1)x2 - 2(m + 3)x + m + = với m ≠ Bài tập 3: Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x phương trình, tìm giá trị m trường hợp sau: a) Phương trình x2 - 13x + m = 0, biết nghiệm x1 = 12,5; b) Phương trình 4x2 + 3x – m2 + 3m = 0, biết nghiệm x1 = -2 Bài tập 4: Tìm hai số u v trường hợp sau: a) u + v = 14, u.v = 40; b) u - v = 10, u.v = - 24; c) u + v2 = 85, u.v = 18 Bài tập Cho phương trình 2x2 – 7x + = 0, nghiệm phương trình x1 x2 1) Khơng giải phương trình tính giá trị biểu th ức: a) x1 + x2 ; x1x2 3 b) x1 + x2 c) x1 + x2 Bài tập 6: Cho phương trình 2x2 - 6x + = a) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Tính x13 + x23 – 2(x12 + x22) + 3(x12x2 + x1x22) 30 x1 x2 b) Lập phương trình bậc hai có nghiệm x2 − x1 − Bài tập7: Cho phương trình (ẩn x): x2 - 2(m + 1)x + m2 - = Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x12+x22 = x1.x2 + Bài tập Cho phương trình: x − 2(m + 1) x + 2m = (1) (với ẩn x ) a) Giải phương trình (1) m =1 b) Chứng minh phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt v ới m ọi m c) Gọi hai nghiệm phương trình (1) x1 ; x2 Tìm giá trị m để x1 ; x2 độ dài hai cạnh tam giác vng có cạnh huy ền 12 Bài tập Gọi x1 , x2 hai nghiệm phương trình x + x − = Tính giá 3 trị biểu thức: Q = x1 + x2 Tìm m để phương trình x2 – 2(2m + 1)x + 4m2 + 4m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 − x2 = x1 + x2 Bài tập 10 Cho phương trình x2 – 2(m + 7)x + m2 - = Xác định m để phương trình: a) Tìm m để phương trình có nghiệm b) Có hai nghiệm trái dấu c) Có hai nghi ệm d ấu 3.4 Kết đạt Tháng 4/2018 tháng 3/2019 với đề kiểm tra nh phần khảo sát thực trạng thu kết sau: Sĩ Giỏi số SL % 2017-2018 120 12 10 Khá SL % 22 18.3 SL 72 % 78.3 2018-2019 16 58 52.2 Năm học 92 9.8 17.4 TB Yếu Kém SL % SL % 14 15.2 0 9.7 0 C KẾT LUẬN Qua việc nghiên cứu áp dụng sáng kiến nhận thấy sáng kiến “ Một số dạng toán ứng dụng hệ thức Vi-ét đem lại hiệu thiết thực Giúp giáo 31 viên học sinh hệ thống hóa dạng tập nâng cao Tuy nhiên áp dụng đòi hỏi người giáo viên phải sử dụng phương pháp dạy học tích cực để thu hút ham học học sinh góp phần nâng cao chất lượng người học Suy cho lý thuyết hay thực hành tốt đến đâu kết khả vận dụng kiến thức em Tôi cho ý thức tư người học đóng vai trị khơng nhỏ Chính mức độ thàn cơng áp dụng sáng kiến phụ thuộc vào yếu tố nói Với sáng kiến chủ quan tơi cho dễ áp dụng phù hợp với phần lớn học sinh tồn huyện Các giáo viên dạy thể nghiệm chương trình chuyên đề bổ sung ôn tập kiến thức hay bồi dưỡng học sinh ôn thi THPT; tham khảo chương trình ôn tập bồi dưỡng học sinh giỏi Sáng kiến việc cần thiết phải phân dạng toán hệ thức Vi-ét việc ứng dụng đồng thời rõ biện pháp cụ thể để thực nội dung Giúp giáo viên có tài liệu để giảng dạy chủ đề hệ thức Vi-ét cách đầy đủ, hệ thống, khoa học Từ nâng cao chất lượng cho học sinh không giới hạn việc giải toán hệ thức Vi-ét mà củng cố rèn luyện nhiều kiến thức tốn học khác Góp phần nâng cao kết kì thi vào THPT tạo tiền đề vững cho việc học toán sau em Những thông tin cần bảo mật : không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: * Điều kiện cần thiết: Thời gian để áp dụng hai buổi chiều sau học xong hệ thức Vi-ét ứng dụng * Về phía giáo viên học sinh Giáo viên cần nghiên cứu kĩ tài liệu, dạng toán phương pháp giải dạng toán Học sinh cần nghiên cứu hệ thức vi ét làm tập cuối * Khuyến nghị Đối với giáo viên: Cần nghiên cứu kĩ đề tài, nắm phương pháp giải tùng dạng toán; chuẩn bị kĩ giáo án; tích cực nghiên cứu tài liệu bắt tay giải toán học sinh 32 Đối với học sinh: Sáng kiến áp dụng với học sinh khối cho kết tốt thi học sinh nắm phương pháp giải dạng tốn phát huy tính chủ động sáng tạo, chăm rèn luyện, làm nhiều tập luyện để nâng cao kĩ giải toán *Điều kiện để sáng kiến nhân rộng Hiện với việc dạy học theo định hướng phát triển lực học sinh việc dạy học theo chủ đề cần thiết Để nhân rộng sáng kiến thân tơi đồng nghiệp cần tích cực sưu tầm, tập hợp toán theo dạng để bổ sung vào nội dung sáng kiến Với việc làm tơi tin tưởng sáng kiến kinh nghiệm “ Một sơ dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi-ét ” ln khẳng định tính khả thi giá trị áp dụng Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả : Kết điều tra so sánh trước sau áp dụng sáng kiến.Với đề khảo sát thời gian 45 phút Câu1: (2.0 điểm) Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai a) b) (m − 1) x − (2m + 3) x + m + = với m ≠ x − 2019 x − 20120 = Câu 2: (2.0 điểm): Tính tổng tích hai nghiệm phương trình (m tham số ): a) -x2 + 5x + = b) 3x2 - 2x + m = Câu 3: (3,0đ): Tìm hai số biết tổng chúng -23 tích 120 Câu (3,0 điểm): Cho phương trình x − x + 4m − = Tính giá trị m, biết 2 phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 + x = 14 Trước áp dụng kết là: Năm Sĩ học 2017-2018 số 120 2018-2019 92 Giỏi SL % 4 33 Khá SL % 12 10 7.6 TB SL 68 % 56.7 Yếu SL % 28 24.3 55 59.7 20 21.7 Kém SL % 6 6.5 Sau áp dụng sáng kiến kết thu đươc là: Sĩ Giỏi Khá TB Năm học % SL % số SL % SL 2017120 12 10 22 18.3 72 78.3 2018 201892 9.8 16 17.4 58 52.2 2019 Yếu Kém SL % SL % 14 15.2 0 9.7 0 Qua số thống kê thấy rõ mức độ tiến học sinh Qua giảng dạy, ôn tập thấy em tự tin nhiều có yêu thích say mê giải dạng tốn hệ thức Vi-ét Đặc biệt kì thi vào THPT tháng 6/2018 học sinh giải phần tập tốt, Trong kì thi góp phần nâng cao điểm toán tỉ lệ đỗ vào THPT Với giáo viên sau áp dụng sáng kiến kinh ngiệm tự biên soạn cho tài liệu để giảng dạy hệ thức Vi-ét mà tâm đắc Danh sách ngừời tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu : Số TT Họ tên Ngày tháng năm sinh 28/10/1981 Phạm Thu Hoài 20/08/1978 Phạm Ngọc Hà 10/02/1982 Nơi cơng tác Chức danh Trình độ chuyên môn THCS Giáo viên Đại học Nội dung công việc hỗ trợ Áp dụng thử THCS Giáo viên Đại học THCS Phú Giáo viên Đại Học Xuyên Áp dụng thử Áp dụng thử Tôi (chúng tôi) xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật 34 Ngày 02 tháng năm 2019 Người làm đơn: 35 TÀI LIỆU THAM KHẢO - 1.SGK, SBT Toán (Nhà xuất GD- 2005) Bồi dưỡng phát triển Toán 9(Nhà xuất Đà Nẵng 2003) Luyện giải ơn tập Tốn (Vũ Dương Thụy - Nhà xuất GD 2005) Một số vấn đề phát triển Đại (Vũ Hữu Bình - Nhà xuất GD 1998) Các dạng toán đại số lớp (Lê Hải Châu + Nguyễn Xuân Quý - Nhà xuất GD 2000) Đề thi tuyển sinh lớp 10 Tỉnh mơn tốn 36 ... sáng kiến: Sáng kiến: “ Một số dạng toán ứng dụng hệ thức Vi- ét ” ơn lại lí thuyết hệ thức Vi- ét khai thác sâu ứng dụng vào giải tốn Đại số Các dạng toán phân theo dạng, dạng toán đưa có phương pháp... nảy sinh vi? ??c vi? ??t sáng kiến ? ?Một sơ dạng tốn ứng dụng hệ thức Vi- ét ” Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu toán xếp theo dạng toán mà vi? ??c giải sử dụng hệ thức Vi- ét Đối tượng áp dụng sáng... kiến ? ?Một số dạng toán ứng dụng hệ thức Vi- ét ” có khả áp dụng rộng rãi cho giáo vi? ?n dạy toán lớp trường đại trà Giúp giáo vi? ?n có tài liệu phương pháp giảng dạy, ôn tập kiến thức hệ thức Vi- ét