Sáng kiến được tôi viết với mục đích truyền thụ cho các em phương pháp, cách thức học tập môn toán đơn giản, dễ hiểu nhất. Giúp các em thành công trong học tập, đạt kết quả cao trong các kì thi vào trung học phổ thông, kì thi học sinh giỏi. Và đặc biệt mang đến cho các em một hành trang vững chắc để các em có thể vững bước trong cuộc sống sau này và trở thành những những chủ nhân tương lai của đất nước vừa có tâm, có tài, có tầm nhìn khoáng đạt.
“Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” PHẦN I: MỞ ĐẦU ĐẶT VẤN ĐỀ Tốn học là một trong những khái niệm trừu tượng nhất mà bộ não con người phải tư duy. Khả năng đếm, tính tốn và sử dụng mối quan hệ giữa các con số là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của nhân loại. Tốn giúp cho học sinh có tư duy logic rành mạch, điều này mọi ngành nghề của các em sẽ làm trong tương lai ln cần tới, chính vì thế mà Tốn học rất quan trọng đối với bản thân mỗi người học. Do đó người giáo viên dạy Tốn phải ln trau dồi về kiến thức và phương pháp giảng dạy để theo kịp với xu hướng phát triển của bộ mơn và tư duy phát triển của nhân loại. Là một giáo viên dạy Tốn của trường trung học cơ sở bên cạnh việc giảng dạy cho các em về kiến thức cơ bản trong sách giáo khoa thì việc bồi dưỡng nâng cao cho các học sinh khá giỏi là một nhiệm vụ quan trọng Tơi ln ghi nhớ “Kết thúc đời học sinh chúng em sẽ khơng nhớ những thầy cơ giáo đã giảng cho những bài tốn khó. Học sinh chỉ nhớ những thầy cơ giáo đã khơi gợi, khuyến khích để chúng em có thể tự giải được những bài tốn đó” (Thế giới phẳng Thomas Friedman); hay một câu khác “Một thầy giáo vĩ đại là thầy giáo biết truyền cảm hứng”. Là giáo viên dạy tốn ngồi việc tiếp thu kiến thức của bộ mơn, của các nhà tốn học, tơi ln phải tìm tịi sáng tạo những phương pháp giảng dạy phù hợp cho từng đối tượng học sinh để mang lại cho các em hứng thú học tập và kết quả học tập tốt nhất. Trong những năm gần đây, qua q trình giảng dạy tơi nhận thấy có rất nhiều dạng tốn khó mà để giải được thì ta phải đưa về dạng tồn phương của đa thức bậc hai Trong chương trình tốn trung học cơ sở thì bảy hằng đẳng thức đáng nhớ vơ cùng quan trọng, đặc biệt là hai hằng đẳng thức đầu tiên: (A B)2=A2 2AB+B2. Chúng khơng những giúp cho học sinh phương pháp tính nhanh, một phép biến đổi để rút gọn một biểu thức mà chúng cịn được sử dụng vào các dạng tốn khó như: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… và khi biết vận dụng hai hằng đẳng thức này để đưa các đa thức về “Dạng tồn phương của đa thức bậc hai” thì việc giải các bài tốn đó lại khơng mấy khó khăn Trên thực tế ứng dụng “Dạng tồn phương của đa thức bậc hai” vào giải các bài tốn: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… chưa có tài liệu nào khai thác đầy đủ mọi dạng tốn đã nêu ở trên, trong khi đó các dạng bài tập này ln được đưa vào trong các 2/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 và đề thi vào các trường chun … học sinh muốn giải được thì phải sử dụng “Dạng tồn phương của đa thức bậc hai”. Từ lí do trên tơi xin phép giới thiệu sáng kiến “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” với hy vọng rằng sẽ giúp ích được cho q đồng nghiệp trong q trình dạy học MỤC ĐÍCH CỦA SÁNG KIẾN Sáng kiến được tơi viết với mục đích truyền thụ cho các em phương pháp, cách thức học tập mơn tốn đơn giản, dễ hiểu nhất. Giúp các em thành cơng trong học tập, đạt kết quả cao trong các kì thi vào trung học phổ thơng, kì thi học sinh giỏi. Và đặc biệt mang đến cho các em một hành trang vững chắc để các em có thể vững bước trong cuộc sống sau này và trở thành những những chủ nhân tương lai của đất nước vừa có tâm, có tài, có tầm nhìn khống đạt. Và nói theo cách nói của nhà văn huyền thoại Sơlơkhơp trong phần kết của truyện ngắn nổi tiếng “Số phận con người” thì: Những người này thì dù ở đâu, giữ cương vị gì thì họ cũng sẽ đóng góp tích cực, góp phần thúc đẩy sự phát triển của đất nước Việt Nam thân u của chúng ta! Bên cạnh đó tơi cũng mong muốn rằng những kinh nghiệm của mình được thể hiện trong sáng kiến có thể góp một phần nào đó giúp các đồng nghiệp của mình những kinh nghiệm nhất định trong giảng dạy Là một người giáo viên việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một nhiệm vụ vơ cùng quan trọng với ngành giáo dục và với nhà trường. Bên cạnh đó việc viết sáng kiến kinh nghiệm là một hình thức tự rèn luyện trau dồi thêm chun mơn nghiệp vụ về phương pháp để khơng ngừng nâng cao chất lượng giảng dạy. Và đó cũng là trách nhiệm của mỗi chúng ta đối với sự phát triển của ngành giáo dục và sự phát triển của đất nước. NHIỆM VỤ CỦA SÁNG KIẾN Nghiên cứu cơ sở lí luận của phương pháp dạy học Tốn theo định hướng hình thành và phát triển năng lực người học Xây dựng phương pháp học Tốn theo định hướng hình thành và phát triển năng lực của học sinh. Truyền thụ cho học sinh những phương pháp, khả năng tư duy lơgic của Tốn học góp phần nâng cao thành tích giáo dục của học sinh nói riêng và nhà trường nói chung Tiến hành thực nghiệm sư phạm trong nhà trường PHẠM VI NGHIÊN CỨU 3/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” Những cơ sở lý luận để nghiên cứu giải pháp. Thực trạng học và giải các dạng tốn của học sinh Những giải pháp rèn luyện kĩ năng giải “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” cho học sinh lớp 8, 9 đạt kết quả cao trong các kì thi Đối tượng nghiên cứu: Các dạng tốn: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của đa thức Các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10, đề thi vào trường chun lớp chọn PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu trong các sách bồi dưỡng, sách nâng cao và phát triển, các đề thi học sinh giỏi, đề thi vào lớp 10 và các đề thi vào các trường chun lớp chọn, nghiên cứu trên mạng internet, nghiên cứu qua đồng nghiệp … Nghiên cứu thực nghiệm: Tiến hành soạn giảng giáo án và dạy thực nghiệm trên học sinh lớp 8A, 8B trong trường tơi cơng tác và dạy cho các đội tuyển học sinh giỏi và học sinh thi vào lớp 10 và thi vào các trường chun lớp chọn Phân tích đối chiếu: Phân tích đối chiếu u cầu giữa chuẩn kiến thức, chuẩn kĩ năng đối với học sinh lớp 8, 9 bậc trung học cơ sở với những bài kiểm tra, khảo sát của học sinh, tìm ra những hạn chế chủ yếu của các em khi Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Đưa ra những giải pháp để giáo viên vận dụng vào việc rèn luyện kĩ năng sử dụng “Dạng tồn phương của đa thức bậc hai” cho học sinh nhằm phát huy khả năng tư duy, sáng tạo, của các em học sinh. THỜI GIAN NGHIÊN CỨU Từ tháng 9 năm 2012 đến tháng 6 năm 2015 4/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” PHẦN II: NỘI DUNG CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÍ LUẬN CỦA VẤN ĐỀ Trong q trình giảng dạy mơn Tốn cho học sinh, sau khi học xong hai hằng đẳng thức “Bình phương của một tổng” và “Bình phương của một hiệu” thì việc ứng dụng hai hằng đẳng thức đó vào việc giải các loại bài tập: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất … ln có tần suất cao nhất trong bẩy hằng đẳng thức đáng nhớ, chính vì vậy học sinh cũng thuộc hai hằng đẳng thức này một cách nhanh nhất, nhiều nhất và nhớ lâu nhất Thực tế càng về gần đây những bài tập giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm cực trị của một đa thức bậc hai và những đa thức được quy về đa thức bậc hai xuất hiện ngày càng nhiều trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh vào lớp 10 và thi vào các trường chun lớp chọn … ngồi những bài tập có thể giải theo các phương pháp cơ bản đã được giới thiệu trong sách giáo khoa thì có rất nhiều các bài tập khó khơng thể áp dụng ngay dạng cơ bản được và khi đó “Dạng tồn phương của một đa thức bậc hai” là một ứng dụng vơ cùng hữu hiệu. Các dạng tổng qt mà học sinh cần nhớ để giải tốn 1.1 Hằng đẳng thức bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu A2 + AB + B = ( A + B ) A2 − AB + B = ( A − B ) 1.2 Dạng toàn phương của một đa thức Tổng quát : 5/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” Một đa thức bậc hai viết dạng a1A 12 + a2A 22 + a3A 32 + + anA n2 + c trong đó a1;a2 ;a3 ; ;an ;c là các số thực, còn A 1;A ;A ; ;A n là các đa thức chứa biến ta gọi là dạng toàn phương của đa thức bậc hai 1.3 Giải phương trình A1 = 2 2 Tổng quát : a1A + a2A + a3A + + anA n = A2 = An = Trong đó a1,a2 ,a3 , ,an là các số thực cùng dấu 1.4 Chứng minh bất đẳng thức Tổng quát : a1A 12 + a2A 22 + a3A 32 + + anA n2 + c c Trong đó : a1,a2 , ,an ,c R;a1,a2 , ,an > và A 1,A , ,A n là các đa thức chứa biến A1 = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1.5 A2 = An = Tìm cực trị của một đa thức bậc chẵn 1.5.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc chẵn Tổng quát: A = a1A 12 + a2A 22 + a3A 32 + + anA n2 + c c Trong đó : a1,a2 , ,an ,c R;a1,a2 , ,an > và A 1,A , ,A n là các đa thức chứa biến A1 = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: A2 = An = => Giá trị nhỏ nhất của đa thức A là c 1.5.2. Tìm giá trị lớn nhất của một đa thức bậc chẵn Tổng quát: A = a1A 12 + a2A 22 + a3A 32 + + anA n2 + c c Trong đó : a1,a2 , ,an ,c R;a1,a2 , ,an < và A 1,A , ,A n là các đa thức chứa biến 6/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” A1 = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : A2 = An = => Giá trị lớn nhất của đa thức A là c CHƯƠNG 2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Từ xưa đến nay Vấn đề đổi mới phương pháp dạy học mơn Tốn ln được các cấp quản lí quan tâm chỉ đạo một cách sát sao. Vì vậy, về cơ bản đa số giáo viên nắm chắc phương pháp, vận dụng sáng tạo với tình hình thực tế và đối tượng học sinh. Tuy nhiên vẫn cịn một số giáo viên chưa tích cực nghiên cứu, chưa tìm ra phương pháp dạy học đạt hiệu quả dẫn đến chất lượng học tập của học sinh chưa được nâng lên, nhất là chất lượng các bài tập nâng cao dạng giải phương trình; chứng minh bất đẳng thức; tìm cực trị của một đa thức Từ thực trạng đó, trong q trình giảng dạy của bản thân cũng như của đồng nghiệp, tơi xin đưa ra những hạn chế trong phương pháp giảng dạy của giáo viên và phương pháp tự học, tự nghiên cứu của học sinh như sau: 2.1. Đối với giáo viên: Giáo viên ít nghiên cứu sách tham khảo, sách nâng cao và phát triển, các đề thi học sinh giỏi, thi vào trường chun lớp chọn các câu cuối của các đề thi vào lớp 10 hàng năm 2.2. Đối với học sinh: 7/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” Học sinh thường lười đọc sách tham khảo, lười tư duy sáng tạo và suy nghĩ theo kiểu lối mịn, chỉ nhớ được vài phương pháp cơ bản trong sách giáo khoa, học bài nào biết bài đấy. Do vậy khi gặp các bài tập khó như câu cuối của các đề thi vào lớp 10, trong các kì thi học sinh giỏi, thi vào trường chun lớp chọn. khơng áp dụng được các phương pháp thơng thường là học sinh đi vào bế tắc và khơng tìm ra cách làm Chính vì vậy điểm thi của các em trong các kì thi vào lớp 10 hàng năm cịn rất ít điểm tối đa. Kết quả thi học sinh giỏi hàng năm cịn thấp, chưa có giải cao. Tỉ lệ học sinh đỗ vào các trường chun lớp chọn cịn ít 2.3. Đối với thực tế Trong sách giáo khoa và các sách tham khảo thì chưa có tài liệu nào khai thác đầy đủ và tồn diện về các dạng tốn: Giải phương trình, chứng minh bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất… trong khi đó thì hàng năm các dạng tốn này thường xun xuất hiện trong các đề thi: vào lớp 10, thi học sinh giỏi và thi vào trường chun lớp chọn CHƯƠNG 3 MỘT SỐ DẠNG TỒN PHƯƠNG CỦA ĐA THỨC BẬC HAI 3.1. Dạng tồn phương của đa thức 3.1.1. Tổng qt : Một đa thức bậc hai viết ở dạng a1A 12 + a2A 22 + a3A 32 + + anA n2 + c trong đó a1;a2 ;a3 ; ;an ;c là các số thực và A 1;A ;A ; ;A n là các đa thức chứa biến ta gọi là dạng tồn phương của đa thức bậc hai 3.1.2. Bài tập áp dụng Ví dụ 1. Viết đa thức sau ở dạng tồn phương a) A = x − 8x + 15 b) B = 3x − 5x + c) C = −2x + 3x + Giải: a) A = x − 8x + 15 = x − 2x.4 + 42 − = (x − 4)2 − 8/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” b) 5 25 13 B = 3x − 5x + = x − x + = x − 2x + − 3 36 36 = x− c) − 13 36 = x− − 13 12 3 41 C = − 2x + 3x + = − x − x − = − x − 2x + − 16 16 = −2 x − − 41 16 = −2 x − + 41 Ví dụ 2. Viết đa thức sau ở dạng tồn phương: A = x − 4xy + 5y + 10x − 22y + 28 Giải: A = x − 4xy + 5y + 10x − 22y + 28 = x − 4xy + 10x + 5y − 22y + 28 = x − 2x(2y − 5) + (2y − 5)2 − (2y − 5)2 + 5y − 22y + 28 = (x − 2y + 5)2 + y − 2y + + = (x − 2y + 5)2 + (y − 1) + Ví dụ 3. Viết đa thức sau ở dạng tồn phương: B = x + y − xy + x − y Giải: B = x + y − xy + x − y = x − xy + x + y − y = x − 2x B= x− = x− y −1 2 y −1 + y −1 + + y −1 − y − y− y− − y −1 + y2 − y = x− y −1 2 + y − 2 y+ − 3 * Nhận xét: Để đưa một đa thức bậc hai về dạng toàn phương ta sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc một hiệu. Trước hết ta chọn một biến để đưa về hằng đẳng thức( bình phương của một tổng hoặc một hiệu) chứa biến đó, phần cịn lại của đa thức ta lại làm như vậy với biến thứ hai và cứ tiếp tục làm như vậy đến khi hết các biến có trong đa thức Ví dụ 4. Viết đa thức sau ở dạng tồn phương: C = x + 5y + 3z2 − 4xy − 2yz − 2xz + 6x − 16y − 20z + 41 9/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” Giải: C = x + 5y + 3z2 − 4xy − 2yz − 2xz + 6x − 16y − 20z + 41 = x − 4xy − 2xz + 6x + 5y + 3z2 + 2yz − 16y − 20z + 41 = x − 2x(2y + z − 3) + (2y + z − 3) − (2y + z − 3) + 5y + 3z + 2yz − 16y − 20z + 41 2 2 = (x − 2y − z + 3)2 + y − 2yz − 4y + 2z2 − 14z + 32 = (x − 2y − z + 3)2 + y − 2y(z + 2) + (z + 2) − (z + 2)2 + 2z2 − 14z + 32 = (x − 2y − z + 3)2 + (y − z − 2)2 + z2 − 18z + 81 − 53 =(x − 2y − z + 3) + (y − z − 2) + (z − 9) − 53 Ví dụ 5. Viết đa thức sau ở dạng tồn phương: D = 3x + 5y + 40z + 41t − 6xy + 18xz − 12xt − 26yz + 24yt − 70zt + 6x − 14y + 64z − 90t + 88 2 2 Giải: D = 3x + 5y + 40z2 + 41t − 6xy + 18xz − 12xt − 26yz + 24yt − 70zt + 6x − 14y + 64z − 90t + 88 =3x − 6xy + 18xz − 12xt + 6x + 5y + 40z2 + 41t − 26yz + 24yt − 70zt − 14y + 64z − 90t + 88 = 3x − 6x(y − 3z + 2t − 1) + 3(y − 3z + 2t − 1)2 + 2y − 8yz + 12yt − 8y + 13z2 − 34zt + 46z + 29t − 78t + 85 =3 x − 2x(y − 3z + 2t − 1) + (y − 3z + 2t − 1)2 + 2y − 8yz + 12yt − 8y + 13z2 − 34zt + 46z + 29t − 78t + 85 = 3(x − y + 3z − 2t + 1)2 + 2y − 4y(2z − 3t + 2) + 2(2z − 3t + 2)2 + 5z2 − 10zt + 30z + 11t − 54t + 77 = 3(x − y + 3z − 2t + 1)2 + y − 2y(2z − 3t + 2) + (2z − 3t + 2)2 + 5z2 − 10zt + 30z + 11t − 54t + 77 =3(x − y + 3z − 2t + 1)2 + 2(y − 2z + 3t − 2)2 + 5z2 − 10z(t − 3) + 5(t − 3)2 + 6t − 24t + 32 = 3(x − y + 3z − 2t + 1)2 + 2(y − 2z + 3t − 2)2 + z2 − 2z(t − 3) + (t − 3)2 + 6(t − 4t + 4) + = 3(x − y + 3z − 2t + 1)2 + 2(y − 2z + 3t − 2)2 + 5(z − t + 3)2 + 6(t − 2)2 + 3.2. Giải phương trình 3.2.1. Tổng quát : A1 = 2 2 a1A + a2A + a3A + + anA n = A2 = An = Trong đó a1,a2 ,a3 , ,an là các số thực cùng dấu 3.2.2. Bài tập áp dụng Ví dụ 1. Giải phương trình x + y + z2 + t + = x(y + z + t + 1) ( Đề thi học sinh giỏi tốn 9 Thành phố Hồ Chí Minh 2003 2004) 10/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” Giải: x + y + z2 + t + = x(y + z + t + 1) x + y + z2 + t + − x(y + z + t + 1) = x − 2x x− ( x − y + z+ t +1 2 x− ) x− + y − 2y 2 + + y− + y− z+ t + ( + 2 + y + z + t +1= 2 z+ t +1 + + z −2 z(t + 1) − zt + z + t z − ) ( + z −2 3 3 + z+ t +1 z+ t +1 2 y(z + t + 1) z+ t +1 2 y − y + z+ t +1 y + z+ t + + y + z+ t +1 − 2 y + z+ t +1 y + z+ t +1 x− + 2 y + z+ t +1 2 2 2 − + =0 zt + z + t z − + t+1 3 t + z(t + 1) + t t+1 ) + 2 t + 2 + 3 t − 2t + z+ t +1 y− t +1 z− ( t − 1) 2 =0 =0 =0 y + z+ t +1 =0 z+ t +1 y− =0 t +1 z− =0 t −1= x− x=2 y = z= t =1 Phương trình có nghiệm (x;y;z;t) = (2;1;1;1) Cách khác: x + y + z2 + t + = x(y + z + t + 1) x + y + z2 + t + − x(y + z + t + 1) = 4x + 4y + 4z2 + 4t + − 4xy − 4xz − 4xt − 4x = x − 4xy + 4y + x − 4xz + 4z2 + x − 4xt + 4t + x − 4x + = 11/32 =0 y + z+ t + z+ t + t+1 x− + y− + z− + ( t − 1) = 3 2 =0 y + z+ t + z+ t + t+1 1 + y− + z− + t2 − t + = 3 2 y + z+ t +1 x− t + =0 = “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” 3x + y + = z ( x + ) y2 + 2z + = 2x ( y + 2) 3z + x + = y ( z + ) (Đề thi vào lớp 10 THPT năng khiếu TP Hồ Chí Minh năm 2013 2014) Giải: 3x + y + = z ( x + ) 3y2 + 2z + = 2x ( y + 2) 3z + x + = y ( z + ) 3x + y + + y + z + + z + x + = z ( x + ) + x ( y + ) + y ( z + ) x + y + + y + z + + z + x + = xz + z + xy + x + yz + y ( x − xy + y ) + ( x − xz + z ) + ( y − yz + z ) + ( x − x + 1) + ( y − y + 1) + ( z 2 2 2 ( x − y ) + ( x − z ) + ( y − z ) + ( x − 1) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 2 2 ( x − y ) = ( x − z ) = ( y − z ) = ( x − 1) = ( y − 1) = ( z − 1) = 2 2 2 2 ) − 2z + = x = y; x = z; y = z; x = 1; y = 1; z = Thử lại ta có (x;y;z) = (1;1;1) là nghiệm của hệ phương trình đã cho Ví dụ 16: Giải hệ phương trình: x + y = 4z − y + z = 4x − x + z = 4y −1 (Đề thi vào lớp 10 THPT Chun, Đại học Sư phạm Hà Nội vịng 1) Giải : Nhân hai vế của mỗi phương trình với 2 rồi cộng theo từng vế các phương trình của hệ ta được: ( ) ( 4x − − + ) ( 4y −1 −1 + ) 4z − − =0 Vậy x = y = z = 1/2 Ví dụ 17: Cho hệ phương trình: 2x + y = + m (m x − y = −8 + m R) a) Giải hệ phương trình b) Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) sao cho x + y nhỏ nhất 4 (Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán tỉnh An Giang năm 2013 2014) Giải: a) (x;y) = (m;2m) 20/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” b) x + y = m4 + ( − m ) = ( m ) − 2m ( − m ) + ( − m ) + 2m ( − m ) 2 2 = m2 − ( − m ) + 2m ( − m ) = ( 4m − ) + ( m − m ) 2 2 = 16 ( m − 1) + ( m − 1) − 1 = ( m − 1) + 12 ( m − 1) + 2 2 => Min( x + y ) = 2 khi m = 1 Vậy m = 1 thì hệ phương trình có nghiệm là (1;1) thỏa mãn đề bài Ví dụ 18: Tìm k để phương trình sau có nghiệm: (x + ) x − x ( 2k − 1) + 5k − 6k + 3 = x + (Đề thi vào lớp 10 Chu Văn An và Amsterdam vòng 2) Giải: (x + ) x − x ( 2k − 1) + 5k − 6k + 3 = x + (x (x 2 + ) x − x ( 2k − 1) + ( 4k − 4k + 1) + ( k − 2k + 1) + 1 = x + + ) ( x − 2k + 1) + ( x + ) ( k − 1) + ( x − 1) = ( x − 2k + 1) ( k − 1) = ( x − 1) = 2 2 =0 x = k =1 Vậy phương trình có nghiệm khi và chỉ khi k = 1 và khi đó phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 3.3. Chứng minh bất đẳng thức 3.3.1. Tổng qt : a1A 12 + a2A 22 + a3A 32 + + anA n2 + c c Trong đó : a1,a2 , ,an ,c R;a1,a2 , ,an > và A 1,A , ,A n là các đa thức chứa biến A1 = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : A2 = An = 3.3.2. Bài tập áp dụng Ví dụ 1. Cho x + y + z = 3 Chứng minh rằng x + y + z2 + xy + yz + zx 21/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” ( Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chun Đại học Quốc gia Hà Nội 2006 2007) Giải: x + y + z = 3 z = 3 x y A = x + y + z2 + xy + yz + zx = x + y + (3 − x − y)2 + xy + y(3 − x − y) + x(3 − x − y) = x + y + xy − 3x − 3y + Đưa A về dạng toàn phương ta được y−3 A = x + + ( y − 1) + 6 Vậy x + y + z2 + xy + yz + zx dấu " = " xảy ra khi x = y = z = 1 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) ( Đề thi học sinh giỏi tốn 9 tỉnh Gia Lai 2003 2004) Ví dụ 2. Chứng minh rằng (a + b + c + d)2 Giải: (a + b + c + d)2 3(a + b + c + d)2 (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 8(ab + ac + ad + bc + bd + cd) a2 + b2 + c2 + d2 − (ab + ac + ad + bc + bd + cd) Đưa vế trái về dạng tồn phương ta có VT = a2 + b2 + c2 + d2 − (ab + ac + ad + bc + bd + cd) = a − 2a = a− b+ c+ d + b+ c+ d b+ c+ d + b+ c+ d = a− b+ c+ d = a− 3 b − 2b 2 + (b c+ d c+ d + b− 2 c+ d + b− 2 Vậy (a + b + c + d)2 + + c2 + d2 − bc − bd − cd) c+ d 2 − c+ d + 2 c + d2 − 2cd) ( + 2 ( c − d) (ab + ac + ad + bc + bd + cd) 22/32 + c2 + d2 − cd “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” dấu " = " xảy ra khi a = b = c = d Ví dụ 3. Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) ( Đề thi học sinh giỏi tốn 9 Thành phố Hồ Chí Minh 2005 2006) Giải: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 a(b + c + d + e) a2 + b2 + c2 + d2 + e2 − a(b + c + d + e) Đưa vế trái về dạng tồn phương ta có VT = a − b+ c+ d+ e 2 + b− Vậy a2 + b2 + c2 + d2 + e2 c+d+e + c− d+e 2 + ( d − e) a(b + c + d + e) dấu " = " xảy ra khi a = 2b =2c = 2d = 2e 3.4. Tìm cực trị của đa thức bậc chẵn 3.4.1. Tổng quát 3.4.1.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc chẵn Tổng quát : A = a1A 12 + a2A 22 + a3A 32 + + anA n2 + c c Trong đó : a1,a2 , ,an ,c R;a1,a2 , ,an > và A 1,A , ,A n là các đa thức chứa biến A1 = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : A2 = An = => Giá trị nhỏ nhất của đa thức A là c 3.4.1.2. Tìm giá trị lớn nhất của một đa thức bậc chẵn Tổng quát : A = a1A 12 + a2A 22 + a3A 32 + + anA n2 + c c Trong đó : a1,a2 , ,an ,c R;a1,a2 , ,an < và A 1,A , ,A n là các đa thức chứa biến A1 = Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : A2 = An = => Giá trị lớn nhất của đa thức A là c 3.4.2. Bài tập áp dụng Ví dụ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + y + xy − 2x − 3y ( Đề thi học sinh giỏi tốn 9 Thành phố Cần Thơ 2004 2005) 23/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” Giải: A = x + y + xy − 2x − 3y = x + 2x = x+ 2 y−2 2 + y − 2y + y−2 16 − + y−2 + = x+ y−2 y − 2y − 2 + y− − −7 3 y−2 =0 x= −7 A Min = 4 y− =0 y= 3 Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + 2y − 2xy + 4x − 2y + 12 x+ ( Đề thi học sinh giỏi tốn 9 Thành phố Hải Phịng 2005 2006) Giải: A = x + 2y − 2xy + 4x − 2y + 12 Viết đa thức A ở dạng toàn phương ta được A = x + 2y − 2xy + 4x − 2y + 12 = (x − y + 2)2 + (y + 1)2 + 7 => A Min = x−y+2= y +1= x = −3 y = −1 Ví dụ 3. Tìm giá trị lớn nhất của A = −x − 5y − 4xy + 2x + 2y − Giải: A = −x − 5y − 4xy + 2x + 2y − Viết đa thức B ở dạng toàn phương ta được A = −x − 5y − 4xy + 2x − 2y − = −(x + 2y − 1)2 − (y + 3)2 + 5 => A Max = x + 2y − = y + 3= x=7 y = −3 Ví dụ 4. Tìm giá trị lớn nhất của B = −2x − 3y + 3xy + 5x − 3y + ( Đề thi học sinh giỏi tốn 9 Thành phố Hồ Chí Minh 1999 2000) Giải: B = −2x − 3y + 3xy + 5x − 3y + Viết đa thức B ở dạng tồn phương ta được 24/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” B = −2x − 3y + 3xy + 5x − 3y + 3y + = −2 x − 15 − y− + 36 3y + =0 36 BMax = y − =0 Ví dụ 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của 36 y= x− x= D = 2x + 5y + 35z2 − 4xy + 12xz − 24yz − 4x − 14y + 4z + 56 Giải: D = 2x + 5y + 35z2 − 4xy + 12xz − 24yz − 4x − 14y + 4z + 56 Viết đa thức D ở dạng toàn phương ta được D = 2x + 5y + 35z − 4xy + 12xz − 24yz − 4x − 14y + 4z + 56 2 = 2x − 4x(y − 3z + 1) + 2(y − 3z + 1) + 3y − 12yz − 18y + 17z + 16z + 54 2 2 = 2[ x − 2x(y − 3z + 1) + (y − 3z + 1) ] + 3y − 12yz − 18y + 17z + 16z + 54 2 2 = 2[ x − 2x(y − 3z + 1) + (y − 3z + 1) ] + 3y − 6y(2z + 3) + 3(2z + 3) + 5z − 20z + 27 2 2 = 2[ x − 2x(y − 3z + 1) + (y − 3z + 1) ] + 3[ y − 2y(2z + 3) + (2z + 3) ] + 5(z − 4z + 4) + 2 2 = 2(x − y + 3z − 1) + 3(y − 2z − 3) + 5(z − 2) + 7 D Min = 2 x − y + 3z − = y − 2z − = z− 2= x=2 y=7 z=2 Ví dụ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết : A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) ( x − 3) 4 2 ( Đề thi vào lớp 10, Thành phố Hà Nội năm 2008 2009) Giải : A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) 4 ( x − 3) Viết đa thức A ở dạng tồn phương ta được : 25/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” A = ( x − 1) + ( x − 3) + ( x − 1) = ( x − 1) = ( x − − x + 3) 2 + ( x − 3) =8 + ( x − 1) ( x − 3) + ( x − 1) ( x − 3) = + ( x − 1) ( x − 3) = 8( x − 1) + ( x − 1) ( x − 3) 2 + ( x − 1) ( x − 3) ( x − 3) 2 ( x − 3) + 16 ( x − 1) ( x − 3) + 16 ( x − 1) ( x − 3) + 1 + 2 A = 8( x − 4x + 4) + = 8( x − 2) + 8; ∀x A Min = x − = x=2 Ví dụ 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A biết : A = x + y + xy − x − y + 2002 (Vịng 16 Vyolimpic Tốn 9 năm 2015) Giải Viết đa thức A ở dạng tồn phương ta được : A = x + y + xy − x − y + 2002 y − y − 10 y + 25 y2 y 1 = x + x + +3 − + + 1995 4 2 y −5 = x+ 2 y +3 − 2 + 1995 1995; ∀x, y Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: y −5 =0 y − =0 2 x+ x=2 y =1 Vậy A Min = 1995 x = & y = Ví dụ 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P biết : P = x + y + xy − x − y + 25 (Vịng 16 Vyolimpic Tốn 9 năm 2015) Giải Viết đa thức A ở dạng tồn phương ta được : 26/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” P = x + y + xy − x − y + 25 = x + x ( y − 3) + ( y − y + ) + ( y + y + 1) + 15 = ( x + y − 3) + ( y + 1) + 15 15; ∀x, y 2 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x + y −3 = x=4 y +1 = y = −1 Vậy PMin = 15 x = & y = −1 Ví dụ 9. Tìm giá trị nhỏ nhất của M = 5x + y + z2 − 4x − 2xy − z − ( Đề thi học sinh giỏi toán 9 tỉnh Kiên Giang 2012 2013) Giải: M = 5x + y + z2 − 4x − 2xy − z − = ( x − 2xy + y ) + ( 4x − 4x + 1) + z2 − z + = ( x − y) + ( 2x − 1) + z − 2 − − 4 9 − ∀x;y;z 4 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: x−y=0 2x − = z− = x=y x= z= x = y = z = Ví dụ 10. Với những giá trị của x thỏa mãn điều kiện x 2, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Vậy M Min = − f ( x ) = 2x + 5x + + x + − 2x ( Đề thi vào lớp 10 Đại học quốc gia Hà Nội năm học 2006 2007) Giải: 27/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” f ( x ) = 2x + 5x + + x + − 2x ( 2x + 1) ( x + 2) = + x + − 2x 2f ( x ) = −4x + ( ( 2x + − x + f ( x) +4 x+3 ( 2x + 1) ( x + 2) + x + 2) − ( x + − = − 2x + − =− ( 2x + 1) ( x + 2) ) −( ) ) x + + + 10 x + − + 10 10 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 2x + = x + x +3=4 x = 1( tm ) Vậy MaxF(x) = 5 khi x = 1 Ví dụ 11. Xét các số x, y, z thỏa mãn điều kiện: x + y + z = 2012 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = 2xy – yz zx ( Đề thi vào lớp 10 chun Tốn Tin Hà Nội năm học 2012 – 2013) Giải: Do: x + y + z = 2012 x + y + z − 2012 = M = x + y + z + 2xy − yz − xz − 2012 = ( x + y) − ( x + y) z + z = x+y− 2 z 3z + − 2012 4 3z + − 2012 −2012 => Min M = 2012 khi z = 0 và x = − y = 1006 3.5. Bài tập đề nghị Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = 10x + y − 6xy − 10x + 2y − Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x + y + xy − 3x − 3y + 2002 Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = − 5x − y − 4xy + 2x Bài 4. Cho x, y, z l à các số thực không âm thoả mãn: x+ y+ z = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = -z2 + z(y +1) + xy Bài Tìm giá trị nhỏ biểu thức : B = 2x + 3y + 3xy + 5x − 3y + 28/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” Bài 6: Cho x, y là các số thực thoả mãn x + y + z = 10 và x, y, z 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = xy + 2yz + 3xz 2x = y + Bài7: Giải hệ phương trình: 2y = z + 2z = x + Bài 8: Giải phương trình (x + y)2 = (x + 1)(y − 1) Bài 9: Giải phương trình : x + = x − 5x + 14 Bài 10: Cho x, y, z là ba số thỏa mãn điều kiện: 4x +2 y + 2z2 − 4xy − 4zx + 2yz − 6y − 10z − 34 = Hãy tính S = ( x − 4) 2005 + ( y − 4) 2005 ( z − 4) 2005 Bài 11: Cho x + y + z = 1. Chứng minh x + y + z2 + 2xy + 2yz + 2xz PHẦN III: KẾT QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Trước khi triển khai chuyên đề với học sinh khá giỏi của nhà trường tôi đã tiến hành khảo sát học sinh Đề bài: (Thời gian làm bài 30 phút) Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + 6x + 2 Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x x + 3 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + 2xy + 2y + 3y + *Thống kê kết quả: Lớp 20122013 20132014 Lớp 8A 8B 8A 8B 5đ 6,4đ SL % 24 60 25 62,5 22 55 23 57,5 29/32 6,5đ 7,9 đ SL % 12 30 11 27,5 12 30 12 30 8đ 10đ SL % 0 0 0 0 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” 8A 20 50 11 27,5 2,5 8B 21 52,5 12 30 2,5 ( Đề các năm sau khác đề trên nhưng có mức độ tương tự) * Nhận xét: Sau khi kiểm tra các lớp 8A, 8B của trường tơi thấy học sinh cịn tồn tại như sau: Một số học sinh chưa biết cách giải một số bài tốn đơn giản về tìm cưc trị dạng như bài kiểm tra(cụ thể là khơng biết phương pháp giải bài 3), lời giải cịn trình bày dài dịng, chưa rõ ràng, cịn thiếu sót nhiều hoặc sai lầm khi chỉ ra dấu đẳng thức Học sinh chưa phát huy được khả năng tư duy sáng tạo, khả năng học hỏi, sự tìm tịi kiến thức mới Sau triển khai chuyên đề với học sinh giỏi nhà 2014 2015 trường tôi đã tiến hành khảo sát học sinh để kiểm tra sự lĩnh hội của các em về đề tài này Đề bài: (Thời gian làm bài 30 phút) Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x + 2x − Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x 2xy + 5y + 4y + 3 Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x xy + y + 3x 2y + 5 *Thống kê kết quả: 5đ 6,4đ 6,5đ 7,9 đ 8đ 10đ SL % SL % SL % 16,7 15 41,7 15 41,6 8A 20122013 19,4 13 36,1 16 44,5 8B 20 14 35 18 45 8A 20132014 10 25 12 30 18 45 8B 15 10 25 24 60 8A 20142015 12,5 12 30 23 57,5 8B ( Đề năm sau khác đề năm trước nhưng có cùng mức độ) Kết quả chung: Năm học Lớp Sau khi triển khai sáng kiến với các lớp học khá, giỏi của trường tơi thấy so với trước khi triển khai chun đề học sinh có một số tiến bộ sau: 30/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” Học sinh đã biết cách trình bày lời giải bài tốn tìm cực trị một cách khoa học hơn, chỉ ra điều kiện của biến để xảy ra cực trị rõ ràng và chính xác hơn . Học sinh giải có thể tự ra đề bài và nêu được hướng giải bài tốn dạng trên Kết quả được nâng lên rõ rệt Học sinh tiếp tục phát triển tư duy sáng tạo, tăng cường học hỏi bạn khác, tự tìm tịi kiến thức mới. PHẦN IV: KẾT LUẬN Bài học kinh nghiệm Sau khi triển khai sáng kiến kinh nghiệm "Dạng tồn phương của đa thức bậc hai và một số ứng dụng" tại nhà trường tơi đã rút ra một số bài học sau: Để dạy học sinh giỏi có hiệu quả cần phải dạy cách học, cách tìm tịi kiến thức mới dựa trên nhứng kiến thức đã biết và phát triển các kiến thức đã học, việc tìm phương pháp giải một bài tốn như thế nào để học sinh cảm thấy đơn giản, dễ hiểu. Từ đó học sinh sẽ có hứng thú học tập và tích cực tự nghiên cứu nhiều hơn Cần tăng cường giáo dục học sinh tinh thần tự học, tự nghiên cứu kiến thức vì đây là con đường làm chủ và chiếm lĩnh tri thức một cách hiệu quả 2. Kết luận 31/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” Như đã trình bày đề tài này sau khi được áp dụng trong các buổi học bồi dưỡng học sinh giỏi hoặc các buổi ngoại khố mơn Tốn lớp 8, 9 tơi thấy nội dung nêu ra có tác dụng thiết thực: Bổ sung thêm kiến thức cho học sinh và phát triển tư duy tốn Gợi mở cho học sinh hướng vận dụng tính chất của luỹ thừa bậc hai Học sinh biết vận dụng cách đưa đa thức bậc hai về dạng tồn phương để giải quyết các bài tốn liên quan như tìm cực trị, giải phương trình nhiếu ẩn, chứng minh bất đẳng thức. Trên cơ sở các kết quả đã đạt được tơi dự kiến hướng tiếp tục nghiên cứu đề tài như sau: Tiếp tục tuyển chọn các đề tốn liên quan đến dạng tồn phương của đa thức bậc hai ở mức độ rộng hơn, u cầu học sinh vận dụng kiến thức đã học để luyện tập. Xuất phát từ bài tốn trên và các bài tập được vận dụng u cầu học sinh sáng tạo các đề tốn mới. Tơi xin ghi lại những chân thành trong nhiệt tình giảng dạy qua từng trang viết. Rất mong những ý kiến đóng góp xây dựng của bạn bè, của đồng nghiệp để sáng kiến của tơi hồn chỉnh hơn 3. Kiến nghị Trên toàn nội dung sáng kiến kinh nghiệm "Dạng tồn phương của đa thức bậc hai và một số ứng dụng" Có thể khẳng định sáng kiến này có tác dụng tích cực đến phương pháp học tập của học sinh. Việc tư duy giải tốn sau khi học chun đề này cũng giúp cho học sinh hình thành các tư duy giải một số dạng tốn khác có hiệu quả cao. Tơi cũng rất mong các đồng chí nghiệp vụ cấp trên quan tâm hơn nữa đến việc viết và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm bằng cách trao đổi, phổ biến các kinh nghiệm, sáng kiến được đánh giá cao cấp quận và cấp thành phố trong các đợt sinh hoạt chun mơn, nghiệp vụ. Bồ Đề, ngày 07 tháng 3 năm 2016 Tơi xin cam đoan đây là sáng kiến kinh nghiệm của mình viết, khơng sao chép nội dung của người khác 32/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” PHẦN V: TÀI LIỆU THAM KHẢO T TT 1 Tên tài liệu Tác giả Nhà xuất bản Nâng cao và phát triển tốn 8 Vũ Hữu Bình NXBGD Tốn nâng cao & các chun đề đại Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc số 8 Đạm NXBGD 33/32 “Một số dạng Tốn ứng dụng dạng tồn phương của đa thức bậc hai” Bài tập nâng cao & một số chuyên Bùi Văn Tuyên NXBGD đề toán 8 Nguyễn Đức Chí NXB Đại 500 bài tốn cơ bản và nâng cao 8 học sư phạm Tuyển chọn đề thi tuyển sinh vào Nguyễn Ngọc Đạm, Tạ Hữu lớp 10 chun mơn Tốn Phơ – NXB Hà Nội Tuyển chọn các đề thi học sinh giỏi Hoàng Văn Minh, Trần Đình trung học cơ sở mơn Tốn Thái – NXB Đại học sư phạm Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Bộ đề thi tuyển sinh vào lớp 10 mơn Hồng NXB Đại học quốc gia Tốn thành phố Hồ Chí Minh 34/32 ... đẳng? ?thức? ?bình? ?phương? ?của? ?một tổng, bình? ?phương? ? của? ?một? ?hiệu A2 + AB + B = ( A + B ) A2 − AB + B = ( A − B ) 1.2 Dạng? ?tồn? ?phương? ?của? ?một? ?đa? ?thức Tổng qt : 5/32 ? ?Một? ?số? ?dạng? ?Tốn? ?ứng? ?dụng? ?dạng? ?tồn? ?phương? ?của? ?đa? ?thức? ?bậc? ?hai? ??... sinh giỏi và thi vào trường chun lớp chọn CHƯƠNG 3 MỘT SỐ DẠNG TỒN PHƯƠNG CỦA? ?ĐA? ?THỨC BẬC? ?HAI 3.1.? ?Dạng? ?toàn? ?phương? ?của? ?đa? ?thức 3.1.1. Tổng quát : Một? ?đa? ?thức? ?bậc? ?hai? ?viết ở? ?dạng? ? a1A 12 + a2A 22 + a3A 32 +... sinh muốn giải được thì phải sử? ?dụng? ?? ?Dạng? ?tồn? ?phương? ?của? ?đa? ?thức? ?bậc hai? ??. Từ lí do trên tơi xin phép giới thiệu? ?sáng? ?kiến? ? ? ?Một? ?số? ?dạng? ?Tốn? ?ứng dụng? ?dạng? ?tồn? ?phương? ?của? ?đa? ?thức? ?bậc? ?hai? ?? với hy vọng rằng sẽ giúp ích