Đề tài Một số dạng toán ứng dụng định lý ViÉt34334

Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương lPHẦN I MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Dạy học giải toán vấn đề trọng tâm dạy học mơn Tốn trường THCS Đối với học sinh giải tốn hoạt động chủ yếu việc học tập mơn Tốn Do việc rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh việc làm cần thiết Trong trình giảng dạy, người thầy cần rèn luyện cho học sinh kỹ năng, phương pháp giải toán, độc lập suy nghĩ cách sâu sắc, sáng tạo Vì địi hỏi người thầy phải lao động sáng tạo, tìm tòi phương pháp hay để dạy cho học sinh Từ học sinh trau dồi tư logic, sáng tạo qua việc giải tốn Ở chương trình tốn học sinh làm quen định lý Vi – ét ứng dụng định lý Viet Đây nội dung quan trọng khơng thể thiếu kì thi THPT HSG lớp 9, đóng vai trị quan trọng khơng chương trình tốn học lớp mà cịn chương trình tốn học THCS Song qua việc giảng dạy Tốn trường T.H.C.S tơi nhận thấy em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán chưa thật linh hoạt, chưa biết khai thác sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại tốn, hệ thức Viét có tính ứng dụng rộng rãi việc giải toán Đứng trước vấn đề đó, tơi sâu vào nghiên cứu đề tài: “Một số dạng toán ứng dụng định lý Vi-ét” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, lực học tốn kích thích hứng thú học tập học sinh II PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CỦA CHUYÊN ĐỀ Phạm vi chuyên đề: - Phần kiến thức chương IV – đại số lớp - Áp dụng cho HS đại trà lớp Mục đích chuyên đề: - Trao đổi với giáo viên môn phương pháp giả số dạng toán ứng dụng định lý Vi–ét lớp - Giúp học sinh có thêm công cụ phương pháp giải số dạng tốn ứng dụng định lí Vi-ét - Giúp HS có kiến thức chuẩn bị cho kì thi vào lớp 10 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương PHẦN II NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ THUYẾT Định lí Vi-ét: Nếu phương trình ax2 + bx + c = (a  0) có nghiệm x1, x2 S = x1 + x = P = x1 x2 = b a c a   b    x x    a  a  vµΔ      x x  c    a  * Hệ quả: PT bậc 2: ax2 + bx + c = (*) - Nếu a + b + c = (*) có nghiệm x1 = 1, nghiệm x2 = - Nếu a - b + c = (*) có nghiệm x1 = - 1; nghiệm x2 = c a c a Định lý đảo: Nếu có số x1, x2 thoả mãn x  x  S  x x  P chúng nghiệm số phương trình: t2 - st + p = (Điều kiện  số x1, x2 s2 - 4p  0) Chú ý: * Trước áp dụng hệ thức Viet cần tìm điều kiện để phương trình có nghiệm  a   ฀ 0(฀'  0) *a+b+c=0x=1;a-b+c=0x=-1 * Nếu có: x =  ; y =  nghiệm hệ phương trình x  y  S  xy  P ,  nghiệm phương trình: t2 - St + P = ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương II MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai 1.1 Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có nghiệm – Cách làm: Xét tổng a + b + c a – b + c Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm phương trình sau: a) x  x  11  b) x  x   Giải: a) Ta có: a  b  c    (11)  nên phương trình có nghiệm x1  , nghiệm lại x2   c 11  a b) Ta có: a  b  c     nên phương trình có nghiệm x1  1 , nghiệm lại x2  c  a 1.2 Cho phương trình bậc hai, có hệ số chưa biết, cho trước nghiệm, tìm nghiệm lại hệ số chưa biết phương trình: Ví dụ 2: a) Phương trình x  px   có nghiệm 2, tìm p nghiệm cịn lại phương trình b)Phương trình x  x  q  có nghiệm 5, tìm q nghiệm cịn lại phương trình c) Phương trình x  x  q  biết hiệu hai nghiệm 11 Tìm q hai nghiệm phương trình d) Phương trình x  qx  50  có hai nghiệm nghiệm gấp đơi nghiệm kia, tìm q hai nghiệm Giải: a) Thay x1  vào phương trình ta  p     4p   p  Phương trình cho trở thành x  Từ x1 x   x  x5 5 9  ( x1  x   x   x1    ) x1 2 2 Câu b tương tự Giả sử hai nghiệm phương trình x1 , x có vai trị ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương c) Theo đề ta có x1  x  11 Theo định lí Vi-et ta có x1  x   x1  x  11 ta x1  9, x  2  x1  x  Giải hệ phương trình  q = x1 x  9(2)  18  x2   x  5 d) Ta có x1  2x Theo định lí Vi-et ta có x1 x  50  x  50  x  25   2 Với x  x1  10 , q  x1  x = 10 + = 15 Với x  5 x1  10 , q  x1  x = (- 10) + (- 5) = - 15 * Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm nghiệm phương trình: a) x  24 x  19  b) x  (m  5) x  m   Bài 2: Xác định m tìm nghiệm cịn lại phương trình a) x  mx  35  biết nghiệm – b) x  (m  4) x  m  biết nghiệm – c) mx  2(m  2) x  m   biết nghiệm Dạng 2: Lập Phương trình bậc hai 2.1.Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Ví dụ 1: Lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm Giải: S  x1  x     P  x1 x  3.2  Theo Định lí Vi-et ta có  Vậy hai nghiệm phương trình: \Ví dụ 2: Cho x1 = 1 ; x2 = x  Sx  P  hay x  x  =0 1 Hãy lập phương trình bậc hai có ngiệm: x1; x2 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Giải: Ta có Trường THCS Đồng Cương x1 = Nên 1 ; x2 = 1 =  1  1   1 1 = 2 1 x1.x2 = x1 + x2 = 1 + = 1 3 Vậy phương trình có hai nghiệm x1; x2 x2 - Hay 1 3x+ =0 2x2 - x + = 2.2.Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm phương trình cho trước Ví dụ 1: Cho phương trình x  x   có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1  x  1 ; y  x1  x1 x2 - Nhận xét: tốn dạng có hai giải: Cách 1: + Tính trực tiếp y1 ; y cách: Tìm nghiệm x1 ; x phương trình cho thay vào biểu thức tính y1 ; y Phương trình x  x   có a  b  c   (3)   nên phương trình có hai nghiệm x1  1; x  Ta có y1  x  1 1    3; y  x1   1  x1 x2 2 + Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm y1 ; y (dạng 2.1)  2 P  y1 y   2 S  y1  y   Phương trình cần lập có dạng: y  Sy  P  hay y  9 y 0 2 ( y  y   ) ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Cách 2: Khơng tính y1 ; y mà áp dụng Định lí Vi-et tính S  y1  y ; P  y1 y sau lập phương trình bậc hai có nghiệm y1 ; y Theo Định lí Vi-et ta có: S  y1  y  x  ( x2  1 x  x2 1   x1   ( x1  x )      ( x1  x )   3  x1 x2 x1 x 2  x1 x  1 1 ).( x1  )  x1 x     11  2 x1 x2 x1 x Phương trình cần lập có dạng: y  Sy  P  hay y  9 y   ( y  y   ) 2 Ví dụ 2: Cho phương trình x  x   có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1  x1  1 ; y  x2  x2 x1 Nhận xét: - Nếu làm theo Cách 1: Phương trình x  x   có    4.3.(6)  97 nên có hai nghiệm vơ tỉ là: x1    97   97 ;x  6 Việc tính y1 ; y , S, P phức tạp nhiều thời gian y1  x1  6  ; y  x2   x  97 x1  97 S  y1  y   ; P  y1 y   Phương trình cần lập: y  Sy  P  hay y  y 0 ( hay y  y   ) - Cách thích hợp phương trình ban đầu có nghiệm x1 ; x hữu tỉ nên chọn Cách để việc tính tốn đơn giản nhanh hơn, cụ thể: Theo Định lí Vi-et, ta có: ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương  1 x1  x 1   x   ( x1  x )      ( x1  x )  S  y1  y  x1     x1 x x2 x1 2  x1 x  P  y1 y  ( x1  1 1 ).( x  )  x1 x     2     x2 x1 x1 x 2 Phương trình cần lập: y  Sy  P  hay y  y   (hay y  y   ) Ví dụ 3: Tìm hệ số p q ph-ơng trình: x2 + px + q = cho hai nghiƯm x1; x2 cđa ph-ơng trình thoả x1 x 3 x  x  35 m·n hệ: Giải: Điều kiện = p2 - 4q  (*) ta cã: x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Tõ ®iỊu kiƯn: x  x 2  25  x1  x     3 2 x  x  35 x  x  x1  x1 x2  x2  35   x  x 2  4x x  25    x  x    35 x x x x 2      p  q  25  p q Giải hệ tìm đ-ợc: p = 1; q = - p = - 1; q = - C¶ hai cặp giá trị thoả mÃn (*) * Bi tập áp dụng: Bài 1: Lập phương trình bậc hai có nghiệm là: a) -3 b) 36 – 104 c)   d)  2 Bài 2: Cho phương trình x  x   có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1  x1 ; y  x 4 Bài 3: Cho phương trình x  x   có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1  x1  3; y  x  Bài 4: Lập phương trình bậc hai có nghiệm nghịch đảo nghiệm phương trình x  mx  = ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Bài 5: Cho phương trình x  x  m  có hai nghiệm x1 ; x Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm y1  x1  1; y  x  Bài 6: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x thỏa mãn  x1  x   3  x1  x  26 Hướng dẫn: - Giải hệ phương trình tìm x1 ; x - Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm x1 ; x tìm Dạng 3: Tìm hai số biết tổng tích chúng Ví dụ 1: Tìm hai số a b biết S = a + b = - 3, P = ab = - Giải: Hai số a b nghiệm phương trình x  x   Giải phương trình ta x  1; x  4 Vậy a = b = - 4; a = - b = * Lưu ý: khơng phải lúc ta tìm hai số thỏa mãn yêu cầu đề Ví dụ 2: Tìm hai số a b biết S = a + b = 3, P = ab = Giải: Hai số a b nghiệm phương trình x  x      4.1.6   24  15  Phương trình vơ nghiệm nên khơng tồn hai số a b thỏa mãn đề * Lưu ý: Với trường hợp ta nhận xét S  P   4.6   24  15  nên không tồn hai số a b thỏa mãn yêu cầu đề mà chưa cần lập phương trình * Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm hai số biết tổng S = tích P = 20 Bài 2: Tìm hai số x, y biết: a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66 Bài 3: Tìm hai số x, y biết: x  y  25; xy  12 Dạng 4: Dạng toán biểu thức liên hệ nghiệm phương trình bậc hai * Cách biến đổi số biểu thức thường gặp: ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương x12  x2  ( x12  x1 x2  x2 )  x1 x2  ( x1  x2 )  x1 x2 x13  x23  ( x1  x2 )( x12  x1 x2  x2 )  ( x1  x2 )  ( x1  x2 )  x1 x2  x14  x2  ( x12 )  ( x2 )  ( x12  x2 )  x12 x2  [( x1  x2 )  x1 x2 ]  x12 x2 x  x2 1   x1 x2 x1 x2 Và tương tự học sinh biến đổi nhiều biểu thức theo S  x1  x2 ; P  x1 x2 4.1 Tính giá trị biểu thức chứa nghiệm Với dạng tốn ta khơng giải phương trình để tìm nghiệm mà biến đổi biểu thức cần tính giá trị theo tổng tích nghiệm, sau áp dụng Định lí Vi-et để tính Ví dụ 1: Cho phương trình x  x  15  có hai nghiệm x1 ; x2 tính a) x12  x2 b) 1  x1 x2 c) x1 x2  x2 x1 Giải: Ta có x1  x2   b c  8; x1 x2   15 a a a) x12  x2  ( x1  x2 )  x1 x2  82  2.15  64  30  34 b) x  x2 1    x1 x2 x1 x2 15 x1 x2 x12  x2 34    c) x2 x1 x1 x2 15 Nhận xét: Với dạng ta không cần giải phương trình để tìm nghiệm Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phương trình x  72 x  64  có hai nghiệm x1 ; x2 tính a) x12  x2 b) 1  x1 x2 Bài 2: Cho phương trình x  14 x  29  có hai nghiệm x1 ; x2 tính a) x13  x23 b)  x1  x2  x1 x2 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương 4.2 Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc tham số Ta làm theo bước sau: + Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm x1 ; x2 ( a  0;   ) + Viết hệ thức S  x1  x2 ; P  x1 x2 Nếu S P không chứa tham số ta có hệ thức cần tìm Nếu S P chứa tham số khử tham số từ S P sau đồng vế ta hệ thức liên hệ nghiệm không phụ thuộc tham số Ví dụ 1: Cho Phương trình mx  (2m  3) x  m   ( m tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 b) Tìm hệ thức liên hệ x1 ; x2 không phụ thuộc vào m Giải: a) Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 m  a  m        28m   m   28 2m  3   x1  x2  m   m (1) b) Theo định lí Vi-et ta có:   x x  m    (2)  m m 12  x1  x2    4( x1  x2 )  8(3) m m 12   x1 x2 (4) (2)    x1 x2  m m (1)  Từ (3) (4) ta được: 4( x1  x2 )    x1 x2 hay 4( x1  x2 )  x1 x2  11 Ví dụ 2: Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình (m  1) x  2mx  m   Chứng minh biểu thức A  3( x1  x2 )  x1 x2  không phụ thuộc giá trị m Nhận xét: 10 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Bài toán cho trước biểu thức liên hệ hai nghiệm phương trình nội dung khơng khác Ví dụ Khi làm cần lưu ý: + Ta tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm + Biểu thức A có giá trị số xác định với m thỏa mãn điều kiện Cụ thể: Để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 m  a  m         5m   m  2m   x1  x2  m  Theo định lí Vi-et ta có:  x x  m  m 1  Thay vào A ta được: A  3( x1  x2 )  x1 x2  = 2m m4  8  0 m 1 m 1 m 1 Vậy A  3( x1  x2 )  x1 x2  = với m  m  hay biểu thức A không phụ thuộc vào m Bài tập áp dụng: Bài : Cho phương trình x  (m  2) x  2m   có hai nghiệm x1 ; x2 Hãy lập hệ thức liên hệ x1 ; x2 cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m Bài 2: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009) Cho phương trình x  2(m  1) x  m   0(1) a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm tất giá trị m để (1) có nghiệm c) Tìm hệ thức kiên hệ hai nghiệm x1 ; x2 (1) cho hệ thức khơng phụ thuộc tham số m 4.3 Tìm giá trị tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước Cách làm: + Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 ( a    0) + Từ biểu thức chứa nghiệm cho, áp dụng hệ thức Vi-et để giải phương trình tìm m 11 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương + Đối chiếu với điều kiện để xác định m Ví dụ 1: Cho phương trình mx  6(m  1) x  9(m  3)  Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2 Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 a  m  m      '  9(m  1)  m  1 6(m  1)   x1  x2  m Theo định lí Vi-et ta có:   x x  9(m  3)  m Từ x1  x2  x1 x2  6(m  1) 9(m  3)  m m  6m   9m  27  3m  21  m  (TMĐK) Vậy với m = phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  x1 x2 Ví dụ 2: Cho phương trình mx  2(m  4) x  m   Tìm giá trị tham số m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Nhận xét: Ví dụ khác ví dụ 11 chỗ hệ thức không chứa sẵn x1  x2 x1 x2 nên ta áp dụng hệ thức Vi –et để tìm tham số m Vấn đề đặt ta phải biến đổi biểu thức cho biểu thức chứa x1  x2 x1 x2 tìm m ví dụ m   Giải: Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 là:  16 m  15 (m  4)   x1  x2  m Theo định lí Vi-et ta có:  (1) m  x x   m  x1  x2  x2  2( x1  x2 )  x1 x2 (2) 2( x1  x2 )  x1 Từ x1  x2    12 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Thế (1) vào (2) ta phương trình m  127 m  128  , phương trình ẩn m Có hai nghiệm là: m1  1; m2  128 (TMĐK) Vậy với m  m  128 phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Ví dụ 3: Tìm m để phương trình x  4(m  1) x  m  4m   có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn 1   ( x1  x2 ) x1 x2 Nhận xét: Với toán ta cần xét điều kiện  '  a    m  2  Hay m  4m      m  2  - Cần thêm điều kiện P  để có (*) 1 m   ; x1 x2 - Một sai lầm học sinh hay mắc phải biến đổi 1   ( x1  x2 )  2( x1  x2 )  ( x1  x2 ) x1 x2 x1 x2 Hai vế đẳng thức chứa x1  x2 nên rút gọn để  x1 x2 Điều sai có trường hợp x1  x2 = Do ta phải chuyển vế để đưa dạng tích: ( x1  x2 )(2  x1 x2 )   4(m  1)(m  4m  5)  m    m  1  m  - Ta thấy m = - không thỏa mãn (*) nên loại Vậy m = m = giá trị cần tìm Ví dụ 4: Cho phương trình x  2( m  1) x  2m   Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm x1; x2 với m Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: 13 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương ( x12  2mx1  2m  1)( x22  2mx2  2m  1)  Giải: a)  ' = m2 – 4m + = (m – 2)2 + > 0,  m  pt ln có nghiệm phân biệt với m  x1  2(m  1)x1  2m   b) Phương trình có hai nghiệm x1; x2 nên:   x  2(m  1)x  2m    x12  2mx1  2m    2x1   x  2mx  2m    2x  x1  x  2m   x1.x  2m  Theo định lí Vi-et ta có :  Theo ta có : (x12  2mx1  2m  1)(x 22  2mx  2m  1)   4  2x1  4  2x    16  x1  x   4x1x   16  2m    2m     m  Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho phương trình x  (m  1) x  5m   Tìm giá trị tham số m để hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Bài 2: Cho phương trình mx  2(m  1) x  3(m  2)  Tìm giá trị tham số m để hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x  Bài 3: Cho phương trình x2 – 2mx + 4m – = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = Bài 4: Cho phương trình x  (2m  1) x  m  a) Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x1  x2  Bài 5: Cho phương trình x  (2m  1) x  m   Tìm giá trị tham số m để hai nghiệm 2 x1 ; x2 thỏa mãn x1 x2  5( x1  x2 )   Bài 6: Cho phương trình x  x  m   (*) (x ẩn số) 2 14 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Định m để phương trình (*) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa điều kiện: x14  x24  x13  x23 HD: ∆’ = 16  8m   8(1  m ) Khi m = 1 ta có ∆’ = tức : x1  x2 x14  x24  x13  x23 thỏa Điều kiện cần để phương trình sau có nghiệm phân biệt là: m  hay   m  Khi m  hay   m  ta có x14  x24  x13  x23  x12  x22 x12  x22  x1  x2 x12  x22  x1.x2   x1  x2 x12  x22  x12  x22  x1.x2 (Do x1 khác x2)  x1  x2 x1  x2   x1 x2   ( x1  x2 )  x1.x2  S ( S  P )  S  P    1(12  P )  12  P (Vì S = 1)  P   m   (vơ nghiệm) Do u cầu toán  m  1 Bài 7: Cho phương trình : x  3m   x  3m  1  Tìm m để nghiệm x1 x2 thoả mãn hệ thức : x1  x2  Bài 8: Cho phương trình x2 – (m+1)x + m – =  x1  x2  Xác định tham số m để phươg trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn  x  x  32  HD:   (m  1)  4(m  5)  (m  1)  20  0m Theo Vi- ét ta có S= x1 + x2 =m+1; P = x1.x2 = m – Theo giả thiết: x1- x2 = x13 –x23 = 32 nên ta biến đổi: x13 –x23 = (x1- x2)(x12 + x1x2 + x22) =4((x1+x2)2 – x1x2) = 4((m+1)2 – (m-5)) = 32  m2 + m + = m    m  2 15 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Cả hai giá trị m=1 m=-2 thỏa mãn Bài 9: Định m để phương trình x2 –(m-1)x + 2m = có hai nghiệm phân biệt x1, x2 độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng có cạng huyền HD: (x12 + x22 = 5) Bài 10: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 4m = (1) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thỏa mãn (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 HD: Ta có  '  m  1  4m  m  1  phương trình ln có nghiệm với m 2  S  m  1  P  4m Áp dụng định lí Vi-et ta có:  Để (x1 + m)(x2 + m) = 3m2 + 12 x1x2 + (x1 + x2) m - m2 – 12 = 0, : 4m + m.2(m + 1) – 2m2 – 12 = 6m = 12 m= Bài 11: Cho phương trình x  3x  m  (1) (x ẩn) Tìm giá trị m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn x12   x22   3 HD: Tìm m để x1 , x2 thỏa mãn Pt (1) có hai nghiệm phân biệt Theo định lí Viet x12   x22   3     4m   m  (1) x1  x2  3, x1 x2  m Bình phương ta x12  x22   ( x12  1)( x22  1)  27  x12  x22  x12 x22  x12  x22   25 Tính x12  x22  ( x1  x2 )  x1 x2   2m đưa hệ thức dạng m  2m  10  m  (2)  m  2m  10  m  16m  64  18m  54  m  3 Thử lại thấy m  3 thỏa mãn pt (2) điều kiện (1) Bài 12: Cho phương trình : x2 – 2mx + m2 – m + = Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn: Đ/a: Vậy m = x12 + 2mx = phương trình cho có nghiệm x1, x2 : x1 + 2mx = 16 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Bài 13: Trường THCS Đồng Cương Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 + = (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1  2(m  1)x  3m  16 2 4.4 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức nghiệm Cách làm: Cũng tương tự dạng ta áp dụng hệ thức Vi-et để biến đổi biểu thức cho tìm giá trị lớn nhất( nhỏ nhất) Ví dụ 1: Cho phương trình : x  (m  1) x  m  m   Gọi nghiệm phương trình x1 x2 Tìm giá trị m để x12  x22 đạt giá trị nhỏ Giải: Ta có: x12  x2  x1  x2   x1 x2  (m  1)  2(m  m  2) m  2m   2m  2m   3m  4m  = 5 11    m  m    3(m  2m   ) 3 9  11 11  3(m  )   3 Vậy GTNN x   x22 11 m = 3 Ví dụ 2: Cho phương trình x2 – 2(m+4)x + m2 - = (1) m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt GTLN Giải: Ta có  ’ = (m+4)2 – (m2-8) = m2 + 8m + 16 – m2 + = 8m + 24 Để phương trình (1) có nghiệm thì:  ’   8m + 24   m  - Ta có: x1 + x2 = 2(m+4); x1x2 = (m2 – 8) A = x1 + x2 – 3x1x2 = 2m+ - 3(m2 – 8) = -3m2 + 2m + 32 A = -3(m2 - 97 97 97 m + )  3(m  )   3 3 Vậy Max A = 97 Dấu ‘=’ xảy m = 3 Ví dụ 3: Cho phương trình x2 + 2x – m = (1) (x ; ẩn, m tham số) Tìm tất giá trị m để phương trình (1) có nghiệm Gọi x1, x2 hai nghiệm (có thể nhau) phương trình (1) Tính biểu thức P = x14 + x24 theo m, tìm m để P đạt giá trị nhỏ 17 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương Giải: Phương trình (1) phương trình bậc (vì hệ số x2  0) có  ’ = + m   m  – Vậy phương trình (1) có nghiệm  m  –1 Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét, ta có: x1 + x2 = –2 ; x1.x2 = – m Do đó, P = x14 + x24 = (x12 + x22)2 – x12.x22 = [(x1 + x2)2 - x1.x2] – 2(x1.x2)2 = (4 + 2m)2 – 2m2 = 2m2 + 16m + 16 Vì m  –1  m +  nên ta có: P = 2m2 + 16m + 16 = 2(m2 + 2m + 1) + 12m + 14 = 2(m + 1)2 + 12(m + 1) +  Suy P đạt giá trị nhỏ m + =  m = –1 Ví dụ 4: Cho a, b, c số thực thoả mãn điều kiện: a  a c    Tìm GTNN a (Xác định b, c a min) b a a  b  c  abc bc  a Giải: Từ giả thiết tốn ta có:  b  c  abc  a  a  a Theo Viet: b, c nghiệm phương trình bậc 2: x2 - (a3 - a)x + a2 =   = (a3 - a)2 - 4a2   a2 [(a2 - 1)2 - 4]   (a2 - 3) (a2 + 1)   a2 -   a2  a Vậy: amin = (a > 0)  a = b = c = b = c = 3 Ở toán vai trị a, b, c nên yêu cầu tìm của1 biến a, b, c Ví dụ 5: Cho phương trình : x  mx  m   Gọi x1 x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn biểu thức sau: 18 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương B x1 x2  x  x22  x1 x2  1  x1  x2  m  x1 x2  m  Ta có: Theo hệ thức Vi -ét :  B x1 x2  x1 x2  2(m  1)  2m     2 x  x2  x1 x2  1 ( x1  x2 )  m2  m 2 Cách 1: Thêm bớt để đưa dạng phần (*) hướng dẫn Ta biến đổi B sau: B m   m  2m  1 m2  Vì m  1   m  1 m  1  1 m2  2 m2    B 1 Vậy max B=1  m = Với cách thêm bớt khác ta lại có: 1 m  2m   m m  4m   m   m  2  2 B 2   2 m 2 m 2 m   Vì m     Vậy B   m   2 m   0 B  m  2 Cách 2: Đưa giải phương trình bậc với ẩn m B tham số, ta tìm điều kiện cho tham số B để phương trình cho ln có nghiệm với m B 2m   Bm  2m  B   m 2 (Với m ẩn, B tham số) (**) Ta có:    B (2 B  1)   B  B Để phương trình (**) ln có nghiệm với m   hay 2 B  B    B  B    2 B  1B  1  19 ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương   B    2 B       B  B 1       B 1  2 B     B       B    B   Vậy: max B=1  m = B    m  2 Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm m để phương trình x  2(m  4) x  m   có hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn: a) A  x1  x2  x1 x2 đạt giá trị lớn b) B  x12  x2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài 2: Cho phương trình x  (4m  1) x  2(m  4)  có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm m để A  ( x1  x2 ) đạt giá trị nhỏ Bài 3: ( Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT 2004 – 2005 )   Cho phương trình m  x  m x  (m  2m  2)  (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Gọi x1 ; x2 nghiệm phương trình (1).Tìm giá trị lớn x1  x2 Bài 4: (Đề thi tuyển sinh lớp 10 THPT năm học 2008 – 2009) Cho phương trình x  (3m  1) x  2(m  1)  (1) ,(m tham số) a) Giải phương trình (1) m = b) Chứng minh (1) ln có nghiệm với m c) Gọi x1 ; x2 hai nghiệm (1), tìm giá trị nhỏ biểu thức A  x12  x2 Bài 5: Cho phương trình x  2(m  1) x   m  Tìm m để hai nghiệm x1 ; x2 thỏa mãn x12  x2  10 Bài 6: Cho phương trình x  (m  2) x   , với m tham số 20 ThuVienDeThi.com ... ThuVienDeThi.com Vũ Thị Phát Trường THCS Đồng Cương II MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ ỨNG DỤNG ĐỊNH LÍ VI-ÉT Dạng 1: Nhẩm nghiệm phương trình bậc hai 1.1 Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có nghiệm – Cách... nghiệm x2 = c a c a Định lý đảo: Nếu có số x1, x2 thoả mãn x  x  S  x x  P chúng nghiệm số phương trình: t2 - st + p = (Điều kiện  số x1, x2 s2 - 4p  0) Chú ý: * Trước áp dụng hệ thức Viet... Bài 1: Tìm hai số biết tổng S = tích P = 20 Bài 2: Tìm hai số x, y biết: a) x + y = 11; xy = 28 b) x – y = 5; xy = 66 Bài 3: Tìm hai số x, y biết: x  y  25; xy  12 Dạng 4: Dạng toán biểu thức