Nhiều định lý đã chứng tỏ được rằng mọi đa thức đều phân tích được thành tích các đa thức trên trường số thực R. Song đó là mặt lí thuyết, còn trong thực hành thì khó khăn hơn nhiều, và đòi hỏi những “kĩ thuật”, những thói quen và kĩ năng “sơ cấp”. Dưới đây qua các ví dụ ta xem xét một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử.
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THCS ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI” Thuộc lĩnh vực: Toán Người thực hiện: Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS , tháng năm 2019 CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: - Phịng Giáo dục Đào tạo - Hội đồng sáng kiến huyện Số TT Họ tên Ngày Nơi tháng năm cơng tác sinh Chức danh Trình độ chun mơn Trường Giáo viên Cao đẳng THCS Toán - Lý Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến 100% Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử bồi dưỡng học sinh giỏi ” Chủ đầu tư tạo sáng kiến – GV Trường THCS Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Toán lớp Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Sáng kiến áp dụng thử lần đầu vào ngày 13 tháng năm 2016 Mô tả chất sáng kiến: + Về nội dung sáng kiến: * Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nhiều định lý chứng tỏ đa thức phân tích thành tích đa thức trường số thực R Song mặt lí thuyết, cịn thực hành khó khăn nhiều, địi hỏi “kĩ thuật”, thói quen kĩ “sơ cấp” Dưới qua ví dụ ta xem xét số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử 1) Các phương pháp thông thường + Đặt nhân tử chung + Dùng đẳng thức + Nhóm nhiều hạng tử Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp ba phương pháp kể để phân tích đa thước thành nhân tử Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử M1 = 3a - 3b + a2 - 2ab + b2 = (3a - 3b) + (a2 - 2ab + b2) (Nhóm hạng tử) = 3(a - b) + (a - b)2 (đặt NTC dùng đẳng thức) = (a - b) (3 + a - b) (Đặt nhân tử chung) Ví dụ 2: M2 Phân tích thành nhân tử = a2 - b2 - 2a + 2b = (a2 - b2) - (2a - 2b) (Nhóm hạng tử) = (a - b) (a + b) - 2(a - b) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a -b) (a + b - 2) (Đặt NTC) Để phối hợp nhiều phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử cần ý bước sau đây: + Đặt nhân tử chung cho đa thức từ làm đơn giản đa thức + Xét xem đa thức có dạng đẳng thức khơng ? + Nếu khơng có nhân tử chung, khơng có đẳng thức phải nhóm hạng tử vào nhóm thoả mãn điều kiện nhóm có nhân tử chung, làm xuất nhân tử chung nhóm xuất đẳng thức Cụ thể ví dụ sau: Ví dụ 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2 Ta thấy M khơng có dạng đẳng thức, hạng tử khơng có nhân tử chung, làm để phân tích Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a - 5b2 có nhân tử chung Vì ta dùng phương pháp nhóm hạng tử đầu tiên: M3 = (5a2 - 5b2) + 3(a + b)2 Sau đặt nhân tử chung nhóm thứ để làm xuất đẳng thức: M3 = 5(a2 - b2) + (a + b)2 Sử dụng đẳng thức nhóm đầu làm xuất nhân tử chung hai nhóm (a + b): M3 = 5(a + b) (a - b) + (a + b)2 M3 có nhân tử chung là: (a + b) Ta tiếp tục đặt nhân tử chung M3 = (a + b)[5(a - b) + 3(a + b)] M3 = (a + b)(8a – 2b) Như M3 phân tích thành tích hai nhân tử (a + b) (8a - 2b) Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy Trước hết xác định xem dùng phương pháp trước ? Ta thấy hạng tử chứa nhân tử chung 3xy + Đặt nhân tử chung M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1) Trong ngoặc có hạng tử xét xem có đẳng thức khơng? + Nhóm hạng tử: M4 = xyx2 - 2x + ) - (y2 + 2y z + z2 + Dùng đẳng thức: M4 = 3xy ( x - 1)2 - ( y + z)2 xem xét hai hạng tử ngoặc có dạng đẳng thức nào? + Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương ta có: M4 = 3xy (x + y + z - 1) (x - y - z - 1) Vậy: M4 phân tích đa thức thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học để bước phân tích rõ ràng, mạch lạc triệt để (đa thức khơng thể phân tích nữa) 2) Một số phương pháp phân tích đa thức khác Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo phương pháp phân tích thành nhân tử thơng thường (đã học SGK) kết hợp phương pháp sau để làm tốn khó + Phương pháp tách hạng tử + Phương pháp thêm, bớt hạng tử + Phương pháp đặt ẩn phụ + Phương pháp tìm nghiệm đa thức + Phương pháp dùng hệ số bất định a) Phương pháp tách hạng tử Ví dụ 5: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 – 16x2 + 100 Tách hạng tử thứ ( Tách – 16x2 = 20x2 – 36x2 ) x4 – 16x2 + 100 = x4 + 20x2 + 100 - 36x2 = (x4 + 20x2 + 100) - 36x2 = (x2 + 10)2 – (6x)2 (Nhóm hạng tử) (Dùng đẳng thức ) = (x2 – 6x + 10)( x2 + 6x + 10) (Dùng đẳng thức ) Vì x2 – 6x + 10 = (x-3)2 + không phân tích Và x2 + 6x + 10 = (x + 3)2 + khơng phân tích ( Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn lớp Phịng GDĐT năm học 2017-2018) Ví dụ Phân tích đa thức thành nhân tử: 3x2 – 8x + Cách 1: Tách hạng tử thứ ( Tách – 8x = – 6x – 2x ) 3x2 – 8x + = 3x2 – 6x – 2x + = (3x2 – 6x) – (2x - 4) (Nhóm hạng tử) = 3x(x – 2) – 2(x – 2) (Đặt nhân tử chung) = (x – 2)(3x – 2) (Đặt nhân tử chung) Cách 2: Tách hạng tử thứ ( Tách 3x2 = 4x2– x2 ) 3x2 – 8x + = 4x2– x2 – 8x + = (4x2 – 8x + 4) - x2 (Nhóm hạng tử) = (2x – 2)2 – x2 (Dùng đẳng thức) = (2x – + x)(2x – – x) (Dùng đẳng thức) = (x – 2)(3x – 2) Ví dụ 7: Phân tích đa thức thành nhân tử: N = a2 - 6a + Cách 1: a2 - 4a - 2a + (Tách - 6a = (- 4a) + (-2a) = (a2 - 4a) - (2a - 8) (Nhóm hạng tử) = a (a - 4) - (a - 4) (Đặt nhân tử chung) = (a - 4) (a - 2) (Đặt nhân tử chung) Có thể tách hạng tử tự tạo thành đa thức có nhiều hạng tử kết hợp làm xuất đẳng thức nhân tử chung với hạng tử lại Cách 2: N = a2 - 6a + - (Tách = - 1) = (a2 - 6a + 9) - (nhóm hạng tử - xuất đẳng thức) = (a - 3)2 - (Dùng đẳng thức) = (a - +1) (a - - 1) (Dùng đẳng thức ) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC) Cách 3: N = a2 - 4a + - 2a + (Tách = + 4, - 6a = - 4a + ( - 2a) = ( a2 - 4a + 4) - ( 2a - 4) (Nhóm hạng tử) = (a - 2)2 - 2(a -2) (Dùng đẳng thức đặt NTC) = (a - 2) ( a - 4) (Đặt NTC - biến thành nhân tử) Ta thấy có để tách hạng tử thành hạng tử khác cách tách sau thông dụng nhất; - Phương pháp tách 1: Tách hạng tử tự thành hạng tử cho đa thức đưa hiệu hai bình phương (cách 2) làm xuất đẳng thức có nhân tử chung với hạng tử lại (cách 3) - Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc thành hạng tử dùng phương pháp nhóm hạng tử đặt nhân tử chung làm xuất nhân tử chung (cách 1) Ví dụ 8: Phân tích tam thức bậc hai: ax2 + bx + c thành nhân tử Tách hệ số b = b1 + b2 cho b1 b2 = a.c Trong thực hành ta làm sau; + Tìm tích a.c + Phân tích a.c thừa số nguyên với cách + Chọn thừa số mà tổng b Ngồi tách đồng thời hai hạng tử (hạng tử tự hạng tử bậc nhất) (như cách 3) b) Phương pháp thêm bớt hạng tử - Thêm, bớt số hạng tử để xuất đẳng thức hiệu hai bình phương: Ví dụ 9: Phân tích đa thức 4x4 + 81 thành nhân tử 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 ( Thêm bớt 36x2 vào đa thức) = (4x4 + 36x2 + 81) - 36x2 (Nhóm hạng tử - xuất đẳng thức) = (2x2 + 9)2 – 36x2 (dùng đẳng thức) = (2x2 + 9)2 – (6x)2 (dùng đẳng thức) = (2x2 + + 6x)(2x2 + – 6x) (dùng đẳng thức) = (2x2 + 6x + )(2x2 – 6x + 9) Ví dụ 10: Phân tích đa thức x8 + 98x4 + thành nhân tử x8 + 98x4 + = (x8 + 2x4 + ) + 96x4 ( Tách 98x4 = 2x4 + 96x4 nhóm hạng tử ) = (x4 + 1)2 + 16x2(x4 + 1) + 64x4 - 16x2(x4 + 1) + 32x4 ( Dùng đẳng thức ; Thêm, bớt 16x2(x4 + 1)) = (x4 + + 8x2)2 – 16x2(x4 + – 2x2) ( Dùng đẳng thức; Đặt NTC = (x4 + 8x2 + 1)2 - 16x2(x2 – 1)2 ( Dùng đẳng thức) = (x4 + 8x2 + 1)2 - (4x3 – 4x )2 ( Dùng đẳng thức) = (x4 + 4x3 + 8x2 – 4x + 1)(x4 - 4x3 + 8x2 + 4x + 1) Ví dụ 11: Phân tích đa thức P1 = x4 + thành nhân tử P1 = x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 (thêm 4x2, bớt 4x2) = (x4 + 4x2 + 4) - 4x2 (nhóm hạng tử) = (x2 + 2)2 - (2x)2 (dùng đẳng thức) = (x2 + 2x + 2) (x2 - 2x + 2) Ví dụ 12: Phân tích đa thức : P2 = a4 + 64 thành nhân tử P2 = (a4 + 16a2 +64) - 16a2 (thêm 16a2, bớt 16a2) = (a2 + 8)2 - (4a)2 = (a2 + 4a + 8) (a2 - 4a + 8) Như việc thêm bớt hạng tử làm xuất đẳng thức tiện lợi, song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất đẳng thức nào? bình phương tổng hay hiệu hai bình phương phân tích triệt để - Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ 13: x7 + x2 + = (x7 – x) + (x2 + x + ) = x(x6 – 1) + (x2 + x + ) = x(x3 - 1)(x3 + 1) + (x2 + x + ) = x(x – 1)(x2 + x + ) (x3 + 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)[x(x – 1)(x3 + 1) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x2 - x + 1) Ví dụ 14: x7 + x5 + = (x7 – x ) + (x5 – x2 ) + (x2 + x + 1) = x(x3 – 1)(x3 + 1) + x2(x3 – 1) + (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)(x – 1)(x4 + x) + x2 (x – 1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1) =(x2 + x + 1)[(x5 – x4 + x2 – x) + (x3 – x2 ) + 1] = (x2 + x + 1)(x5 – x4 + x3 – x + 1) Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + c) Phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 15: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 = [x(x + 10)][(x + 4)(x + 6)] + 128 = (x2 + 10x) + (x2 + 10x + 24) + 128 Đặt x2 + 10x + 12 = y, đa thức có dạng: (y – 12)(y + 12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2 – 16 = (y + 4)(y – 4) = ( x2 + 10x + )(x2 + 10x + 16 ) = (x + 2)(x + 8)( x2 + 10x + ) Ví dụ 16: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Giả sử x ta viết x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x2 ( x2 + 6x + – x + ) x = x2 [(x2 + Đặt x - 1 ) + 6(x )+7] x x 1 = y x2 + = y2 + 2, x x A = x2(y2 + + 6y + 7) = x2(y + 3)2 = (xy + 3x)2 = [x(x - ) + 3x]2 = (x2 + 3x – 1)2 x Chú ý: Ví dụ giải cách áp dụng đẳng thức sau: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + = x4 + (6x3 – 2x2 ) + (9x2 – 6x + ) = x4 + 2x2(3x – 1) + (3x – 1)2 = (x2 + 3x – 1)2 Ví dụ 17: A = ( x2 y z )( x y z )2 ( xy yz +zx)2 2 2 2 = ( x y z ) 2( xy yz +zx) ( x y z ) ( xy yz +zx) Đặt x y z = a, xy + yz + zx = b ta có A = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 = ( x y z + xy + yz + zx)2 Ví dụ 18: B = 2( x4 y z ) ( x2 y z )2 2( x2 y z )( x y z )2 ( x y z )4 Đặt x4 + y4 + z4 = a, x2 + y2 + z2 = b, x + y + z = c ta có: B = 2a – b2 – 2bc2 + c4 = 2a – 2b2 + b2 - 2bc2 + c4 = 2(a – b2) + (b –c2)2 Ta lại có: a – b2 = - 2( x y y z z x ) b –c2 = - 2(xy + yz + zx) Do đó: B = - 4( x y y z z x ) + (xy + yz + zx)2 4 x y y z z x2 x2 y y z z x2 8x yz 8xy z 8xyz xyz ( x y z ) Ví dụ 19: C = (a b c)3 4(a3 b3 c3) 12abc Đặt a + b = m, a – b = n 4ab = m2 – n2 2 a3 + b3 = (a + b)[(a – b)2 + ab] = m(n2 + m - n ) Ta có: C = (m + c)3 – m + 3mn 4c3 3c(m2 - n ) = 3( - c3 +mc2 – mn2 + cn2) = 3[c2(m - c) - n2(m - c)] = 3(m - c)(c - n)(c + n) = 3(a + b - c)(c + a - b)(c - a + b) Ví dụ 20: Phân tích thành nhân tử: D = (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất nhân tử chung) Ta thấy hạng tử đầu có nhân tử chung (x2+ x), ta đặt y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến) Khi ta có: D1 = y2 + 4y - 12 Ta dùng phương pháp tách thêm bớt D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y) D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung) D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung) Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x D phân tích thành nhân tử (x2 + x- 2) (x2 + x+ 6) Việc phân tích tiếp nhân tử cho triệt để dựa vào phương phápđã nêu Chú ý có tam thức khơng thể phân tích tiếp : x2 + x + = (x + ) + Do khơng phân tích tiếp Còn x2 + x - = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2) Khi D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2) d) Phương pháp tìm nghiệm đa thức Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm theo định lý Bơ du ta có: Nếu m nghiệm (1) m chứa nhân tử (x - m), dùng phép chia đa thức ta có: ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x + b'x + c'), nhân tử bậc hai phân tích tiếp dựa vào phương pháp nêu Các phương pháp tìm nghiệm đa thức bậc 3: + Nếu tổng hệ số: a + b + c + d = đa thức có nghiệm x = đa thức chứa nhân tử chung (x - 1) + Nếu tổng hệ số bậc chẵn tổng hệ số bậc lẻ tức a - c = b +d đa thức có x = -1 đa thức chứa nhân tử chung (x + 1) + Nếu không xét tổng hệ số ta xét ước hệ số tự d (hệ số không đổi) Nếu ước d làm cho đa thức có giá trị ước nghiệm Ví dụ 21: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 – x2 - Ta nhận thấy nghiệm f(x) có x = 1; 2; , có f(2) = nên x = nghiệm f(x) nên f(x) có nhân tử x – Do ta tách f(x) thành nhóm có xuất nhân tử x – Cách 1: 2 x3 – x2 – = x x x x x x x x( x 2) 2( x 2) = x 2 x x Cách 2: x3 x2 x3 x2 x3 x ( x 2)( x2 x 4) ( x 2)( x 2) = x x x ( x 2) ( x 2)( x x 2) Ví dụ 22: Phân tích đa thức thành nhân tử:f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Nhận xét: 1, không nghiệm f(x), f(x) khơng có nghiệm ngun Nên f(x) có nghiệm nghiệm hữu tỉ Ta nhận thấy x = nghiệm f(x) f(x) có nhân tử 3x – Nên f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – = 3x3 x x2 x 15 x 3x3 x2 x2 x 15 x 5 = x (3x 1) x(3x 1) 5(3x 1) (3x 1)( x x 5) Vì x x ( x2 x 1) ( x 1)2 với x nên khơng phân tích thành nhân tử Ví dụ 23: Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 + 5x2 + 8x + Nhận xét: Tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ nên đa thức có nhân tử x + x3 + 5x2 + 8x + = (x3 + x2 ) + (4x2 + 4x) + (4x + 4) = x2(x + 1) + 4x(x + 1) + 4(x + 1) = (x + 1)(x2 + 4x + 4) = (x + 1)(x + 2)2 Ví dụ 24: Phân tích đa thức thành nhân tử: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Tổng hệ số nên đa thức có nhân tử x – 1, chia f(x) cho (x – 1) ta có: x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + = (x – 1)(x4 - x3 + x2 - x - 2) Vì x4 - x3 + x2 - x - khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ nên khơng phân tích Ví dụ 25: Phân tích đa thức thành nhân tử E1 = x3 + 3x2 - xét tổng hệ số ta thấy a + b + c = + + (-4) = x1 = E1 = (x - 1) (x2 + 4x + 4) chia E1 cho (x - 1) Sau dùng phương pháp học để phân tích tiếp E1 = (x - 1) (x + 2)2 Ví dụ 26: Phân tích đa thức thành nhân tử E2 = x3 - 3x + Ta thấy tổng hiệu hệ số E2 loại x = Xét Ư(2) = có x = -2 nghiệm E2 E2 = (x + 2)(x2 - 2x + 1) (Chia E2 cho(x - 2)) E2 = (x + 2) (x -1)2 Các ví dụ số phương pháp để phối kết hợp với phương pháp thông thường giúp học sinh phân tích tốn khó thành nhân tử giúp cho trình rút gọn phân thức giải phương trình e) Phương pháp hệ số bất định : + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) a-1 a+1 số nguyên Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự Ví dụ 27: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số 1, không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a c 6 ac b d 12 ad bc 14 đồng đa thức với đa thức cho ta có: bd Xét bd = với b, d Z, b 1; với b = d = hệ điều kiện trở thành a c 6 ac 8 2c 8 c 4 a 2 a 3c 14 ac bd Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 28: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Nhận xét: đa thức có nghiệm x = nên có thừa số x - ta có: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + ax2 + bx + c) a 3 b 2a 7 a b 5 = 2x4 + (a - 4)x3 + (b - 2a)x2 + (c - 2b)x - 2c c 2b c 4 2c Suy ra: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(2x3 + x2 - 5x - 4) Ta lại có 2x3 + x2 - 5x - đa thức có tổng hệ số hạng tử bậc lẻ bậc chẵn nên có nhân tử x + nên 2x3 + x2 - 5x - = (x + 1)(2x2 - x - 4) Vậy: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + = (x - 2)(x + 1)(2x2 - x - 4) Ví dụ 29 : 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy – = (a x + by + 3)(cx + dy - 1) = acx2 + (3c - a)x + bdy2 + (3d - b)y + (bc + ad)xy – ac 12 bc ad 10 a c 3c a bd 12 b d 3d b 12 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - = (4 x - 6y + 3)(3x + 2y - 1) 3) Một số tập áp dụng Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x2 - 4x + cách (phương pháp tách) Gợi ý cách làm C1: Tách - 4x = - 3x + (-x) C2: Tách = - C3: Tách = 12 - C4: Tách - 4x = -2x + (-2x) = + Sau nhóm làm xuất đẳng thức nhân tử chung 81a4 + b) (thêm bớt hạng tử) Gợi ý: Thêm lần tích 9a2 Hằng đẳng thức Cụ thể: 36a2 (x2 + x)2 + 9x2 + 9x + 14 (phương pháp đổi biến) c) Gợi ý: đặt (x2 +x ) = y x3 - 2x2 - x + d) (phương pháp tìm nghiệm) Gợi ý: Xét tổng hệ số a + b + c = Ngồi sử dụng phương pháp khác để phân tích tập thành nhân tử Bài tập 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức M= a 4a a với a = 102 a a 14a Gợi ý: + Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ phương pháp nhóm đẳng thức đưa tử thành nhân tử + Phân tích mẫu thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử + Rút gọn nhân tử chung tử thứcvà mẫu thức + Thay a = 102 vào M rút gọn Bài tập 3: Giải phương trình sau: a) y2 - 5y + = Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử phương trình trở phương trình tích b) y - 2y2 - 9y + 18 = Gợi ý: Phân tích vế trái thành nhân tử, đưa phương trình cho thành phương trình tích giải phương trình tích Bài tập 4: Chứng minh đa thức sau A = (a2 + 3a + 1)2 - chia hết cho 24 Với a số tự nhiên Gợi ý: + Trước hết phân tích đa thức cho thành nhân tử A = (a2 + 3a + 2) (a2 + 2a) (Sử dụng đẳng thức hiệu hai bình phương) A = (a + 2) (a + 1) (a + 3)a = a (a + 1) (a + 2) (a + 3) (Sử dụng phương pháp tách hạng tử 3a = 2a + a) * Lập luận: + A cho tích số tự nhiên liên tiếp chứng tỏ ba số tự nhiên liên tiếp phải có số chia hết cho vậy: A M + Trong số tự nhiên liên tiếp có số chẵn liên tiếp nên hai số chia hết cho số cịn lại chia hết cho Vậy A M + Nhưng ƯCLN (3 ; 8) = nên tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 24 Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x2 - 4x + y2 + 2y + 12 Gợi ý: + Trước hết sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích A A = x2 - 4x + + y2 +2y + + (tách 12 = + + 1) A = (x2 - 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) + (nhóm hạng tử) A = (x- 2)2 + (y + 1)2 + * Lập luận Vì (x - 2)2 o (y + 1)2 0, dấu " = "xảy x = y = - nên A = (x - 2)2 + (y + 1)2 + Vậy AMin = x = 2; y = -1 Bài tập 6: Tìm giá trị nhỏ biểu thức A= x2 + 2y + z2 + 2x + y2 + 2z Gợi ý: + Trước hết ta phân tích A A= x2 + 2y + z2 + 2x + y2 + 2z A = (x2 + 2x) + ( y2+ 2y) + ( z2 + 2z) (nhóm hạng tử) A= (x2 + 2x + 1) + ( y2+ 2y + 1) + ( z2 + 2z + 1) – (Thêm, bớt hạng tử) A = ( x + 1)2 + ( y + )2 + ( z + 1)2 - * Lập luận Dấu " = "xảy x = -1 ; y = - z = -1 nên A = ( x + 1)2 + ( y + )2 + ( z + 1)2 – -3 Vậy AMin = -3 x = -1 ; y = - z = -1 Bài tập 7: Tìm giá trị lớn biểu thức A= -8x2 - 6y2 + 16x – 12y - + Trước hết ta phân tích A A= -8(x2 – 2x + 1) – 6(y2 + 2y + 1) + + – ( Thêm, bớt hạng tử) A= -8(x-1)2 - 6(y+1)2 + 13 ( Dùng đẳng thức) A= 13 - 8(x-1)2 - 6(y+1)2 * Lập luận Dấu " = "xảy x = 1; y = -1 nên A= 13 - 8(x-1)2 - 6(y+1)2 13 Vậy Amax = 13 x = y = -1 ( Đề thi chọn học sinh giỏi mơn Tốn lớp Phòng GDĐT năm học 2014-2015) + Về khả áp dụng sáng kiến: Sáng kiến áp dụng cho nhóm học sinh giỏi Tốn Trường THCS - - nói riêng cho việc bồi dưỡng chọn học sinh giỏi toán THCS trường học khác nói chung đồng thời cịn tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp em học sinh Đề tài đề cập đến vấn đề nhỏ trình bồi dưỡng học sinh giỏi, nhiên, theo tơi mạch kiến thức trọng tâm chương trình Tốn Những thơng tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Bồi dưỡng HSG môn Toán để học sinh đạt giải (đặc biệt giải cao ) kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện việc làm khó khăn, vất vả tốn nhiều cơng sức thầy trị, nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Huyện, cấp Tỉnh, nhiều năm có tốn chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử Vậy điều kiện cần thiết phải có để áp dụng sáng kiến phải chọn đối tượng học sinh khá, giỏi mơn Tốn lớp 8,9 người giáo viên phải tìm phương pháp bồi dưỡng hiệu quả, phải hiểu sâu rộng vấn đề cần truyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống phương pháp đại; lấy học sinh làm trung tâm trình dạy học; phát huy khả tự học, tính tích cực, sáng tạo tự giác học sinh cần thiết khơng giúp học sinh học tập dễ dàng mà rèn cho em lĩnh kiên cường, tự tin bước vào kỳ thi Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả: 7.1 Theo ý kiến tác giả Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trường THCS năm học 2016 – 2017 thu kết khả quan Kết học tập học sinh nâng lên rõ rệt qua học, qua kỳ thi, đặc biệt em hứng thú học toán hơn, sử dụng thành thạo thủ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để làm dạng tốn có liên quan đến việc phân tích đa thức đạt kết tốt, nhiều học sinh chủ động tìm tịi định hướng phương pháp làm chưa có gợi ý giáo viên, mang lại nhiều sáng tạo kết tốt từ việc giải toán rút phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.Bên cạnh phương pháp giúp em dễ dàng tiếp cận với dạng tốn khó kiến thức việc hình thành số kỹ trình học tập giải tốn học mơn Tốn * Bài tập khảo sát: Tìm giá trị lớn biểu thức A= -8x2 - 6y2 + 16x – 12y - * Kết quả: - Trước áp dụng: Tổng số HS Điểm – Điểm – Điểm - Điểm – 10 Điểm – Điểm – Điểm - Điểm – 10 3 - Sau áp dụng: Tổng số HS 7.2 Theo ý kiến tổ chức, cá nhân tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu, kể áp dụng thử (nếu có): Khơng Danh sách người tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Số Họ TT tên vàNgày thángNơi côngChức năm sinh tác danh 05/11/1991 Trường THCS Trình độNội dung cơng việc chun hỗ trợ môn Giáo viên Cao đẳng Áp dụng sáng kiến Tốn - Lý Tơi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật , ngày tháng năm 2019 Người nộp đơn KẾT QUẢ CHẤM CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN NHÀ TRƯỜNG …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ... phân tích đa thức thành nhân tử Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học để bước phân tích rõ ràng,... để (đa thức khơng thể phân tích nữa) 2) Một số phương pháp phân tích đa thức khác Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo phương pháp phân tích thành nhân tử thơng thường (đã học. .. ý: + Phân tích tử thức a3 - 4a2 - a+ phương pháp nhóm đẳng thức đưa tử thành nhân tử + Phân tích mẫu thức thành nhân tử cách dùng đẳng thức, đặt nhân tử chung, tách hạng tử + Rút gọn nhân tử chung