(SKKN HAY NHẤT) một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: : - Hội đồng Sáng kiến huyện Duy Xuyên Thông tin chung TT Họ tên 01 Nguyễn Đình Sang Ngày tháng năm sinh Nơi công tác (hoặc nơi thường trú) 17/09/1980 Trường THCS Nguyễn Văn Trỗi Chức danh Trình độ chun mơn Cử nhân Tốn Đại học Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến (ghi rõ đồng tác giả, có) 100% - Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến “Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” - Chủ đầu tư tạo sáng kiến: 100% - Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục - Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: 01/10/2019 Mơ tả chất sáng kiến Phân tích đa thức thành nhân tử mảng kiến thức rộng mơn Tốn đại số Trong q trình giải tốn khả tư sáng tạo người học phát triển mạnh Tổng hợp phân loại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ví dụ áp dụng hướng dẫn học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Một số biện pháp giúp học sinh có phương pháp học tập, củng cố kiến thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ giải toán thành thạo giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử 2.1 Phân tích tình trạng giải pháp biết - Đa số em chưa nắm phương pháp giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử; - Trình bày tập cịn chưa logic; - Hầu hết học sinh chưa thành thạo tập bản; - Điểm khảo sát đầu vào chuyên đề thấp Lớp Số lượng Chất lượng TB học sinh Số lượng Tỉ lệ (%) Chất lượng TB Số lượng Tỉ lệ (%) 8/1 38 12 31,58 26 68,42 8/2 37 21,62 29 78,38 Tổng 75 20 26,67 55 73,33 2.2 Nêu nội dung cải tiến, sáng tạo để khắc phục nhược điểm giải pháp biết Tổng hợp phân loại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ví dụ áp dụng hướng dẫn học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Một số biện pháp giúp học sinh có phương pháp học tập, củng cố kiến thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ giải tốn thành thạo giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử 2.3 Các bước thực giải pháp Để học sinh có phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử tốt hơn, từ em có ham muốn học mơn tốn tự giác làm tập tiến hành số phương pháp sau 2.3.1 Củng cố lý thuyết cho học sinh 2.3.1.1 Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung: - Tìm nhân tử chung hệ số (ƯCLN hệ số); LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com - Tìm nhân tử chung biến (mỗi biến lấy số mũ nhỏ nhất; - Đưa dạng A.B + A.C = A.(B + C) Chú ý: Nhiều để làm xuất nhân tử ta cần đổi dấu hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x2 y – 7xy2 + 28x2y2 thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số 14, 7, 28 hạng tử ? (Học sinh trả lời là: 7, ƯCLN(14, 7, 28 ) = ); - Tìm nhân tử chung biến x2 y, xy2, x2y2? (Học sinh trả lời xy ); - Nhân tử chung hạng tử đa thức cho 7xy Giải: 14x2 y – 7xy2 + 28x2y2 = 7xy.2x – 7xy.y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 6x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung hệ số ? (Học sinh trả lời là: 2) ; - Tìm nhân tử chung x(x – y) y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: (x – y) (y – x) ) ; - Hãy thực đổi dấu tích 6x(x – y) tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải ) Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết sai ) Sai lầm học là: Thực đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)(10y – x) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách tìm nhân tử chung hạng tử (tìm nhân tử chung hệ số nhân tử chung biến, biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) Quy tắc đổi dấu cách đổi dấu nhân tử tích Chú ý: Tích khơng đổi ta đổi dấu hai nhân tử tích (một cách tổng qt, tích khơng đổi ta đổi dấu số chẵn nhân tử tích đó) 2.3.1.2 Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp chung Sử dụng bảy đẳng thức đáng nhớ phân tích đa thức thành nhân tử A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 – 2AB + B2 = (A – B)2 A2 – B2 = (A – B)(A + B) A3 + 3A2 B + 3AB2 + B3 = (A + B)3 A3 – 3A2 B + 3AB2 – B3 = (A – B)3 A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2) Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử Gợi ý: Đa thức có dạng đẳng thức ? (HS: có dạng A2 – B2 ) Lời giải sai:(x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = (kết sai) Sai lầm học sinh là: Thực thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng:(x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc; - Phép biến đổi, kĩ nhận dạng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương hiệu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giáo viên củng cố cho học sinh: Các đẳng thức đáng nhớ, kĩ nhận dạng đẳng thức qua toán, dựa vào hạng tử, số mũ hạng tử mà sử dụng đẳng thức cho thích hợp 2.3.1.3 Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp chung Lựa chọn hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hai dạng sau đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức Thông thường ta dựa vào mối quan hệ hệ số, biến hạng tử toán Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: - Mỗi nhóm phân tích được; - Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực * Nhóm hạng tử nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Cách 1: nhóm (x2 – xy) (x – y) Cách 2: nhóm (x2 + x) (– xy – y ) Lời giải sai: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0)(kết dấu sai bỏ sót số 1) Sai lầm học sinh là: bỏ sót hạng tử sau đặt nhân tử chung (HS cho ngoặc thứ hai đặt nhân tử chung (x – y) cịn lại số 0) Lời giải đúng: x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) * Nhóm hạng tử nhằm xuất phương pháp dùng đẳng thức: Ví dụ 7: Phân tích đa thức x2 – 2x + – 4y2 thành nhân tử Giải: x2 – 2x + – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – (2y)2 = (x – 1)2 – (2y)2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com = (x – – 2y)(x – + 2y) * Nhóm hạng tử nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết dấu sai) Sai lầm học sinh là: Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ngoặc thứ hai) Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Qua ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Cách nhóm hạng tử đặt dấu trừ “ – ” dấu cộng “ + ” trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu thực nhóm Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sai dấu, học sinh cần ý cách nhóm kiểm tra lại kết sau nhóm Lưu ý: Sau phân tích đa thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử khơng thực nữa, cách nhóm sai, phải thực lại 2.3.2 Giáo viên hướng dẫn học sinh phương pháp học tập Phương pháp học tập chưa tốt, chưa khoa học nguyên nhân dẫn đến tình trạng yếu học sinh giải tập Đại số nói chung Đại số nói riêng Vì vậy, giáo viên phải bồi dưỡng cho em cách thức học tập phân môn đại số: - Bước 1: Phải học lý thuyết trước, nắm thuộc định nghĩa, tính chất, quy tắc, cơng thức, bắt tay vào giải tập; - Bước 2: Khi làm tập phải đọc kỹ đề, hiểu nội dung đề, xem đề cho biết yêu cầu làm gì; - Bước 3: Nhớ lại bước giải dạng tập, vận dụng vào giải trình bày theo bước giải dạng +Cụ thể: Để rèn luyện kỹ phân tích đa thức thành nhân tử – phân môn đại số học sinh yếu kém: LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Bước 1: Giáo viên yêu cầu học sinh phải học thuộc nắm vững kiến thức bảy đẳng thức đáng nhớ, quy tắc dấu ngoặc, quy tắc đổi dấu, phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học * Bảy đẳng thức đáng nhớ: * Qui tắc dấu ngoặc: Khi bỏ dấu ngoặc (hoặc đưa hạng tử vào dấu ngoặc) có dấu “–” đằng trước dấu ngoặc, ta phải đổi dấu tất hạng tử dấu ngoặc: dấu “+” thành dấu “–” dấu “–” thành dấu “+” Khi bỏ dấu ngoặc (hoặc đưa hạng tử vào dấu ngoặc) có dấu “+” đằng trước dấu dấu ngoặc hạng tử ngoặc giữ nguyên Quy tắc đổi dấu: A = – (–A) Bước 2: Khi làm tập phải đọc kỹ đề, hiểu nội dung đề, xem đề cho biết đề yêu cầu làm gì? Biểu thức có dạng đẳng thức hiệu hai bình phương nên HS phải phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức áp dụng quy tắc dấu ngoặc Giáo viên rèn cho học sinh cách trình bày theo bước, xác với đơn vị kiến thức Bước 3: Nhớ lại bước giải dạng tập vận dụng vào giải trình bày theo bước giải dạng 2.3.3 Luyện tập vừa sức cho học đối tượng sinh yếu Luyện tập vừa sức nhằm phát triển tư rèn luyện kỹ giải tập đại số cho học sinh yếu Đối với học sinh yếu tốn, giáo viên coi trọng tính vững kiến thức, kỹ chạy theo mục tiêu đề cao, mở rộng kiến thức Do đó, giáo viên hướng dẫn, rèn luyện kỹ giải tập đại số 8, cần đặc biệt ý đến điểm sau: - Giáo viên sử dụng mạch tập (phân bậc mịn) khoảng cách mức độ khó bậc liên tiếp khơng nên q xa, q cao Ta hình dung nhiều bậc học sinh yếu gộp lại bậc cho trình độ học sinh trung bình, khá, giỏi Được bước theo bậc thang vừa sức mình, học sinh yếu đỡ bị hẫng, bị tụt, bị ngã Nhờ đó, em có nhiều khả lên hết nấc thang dành cho em để chiếm kiến thức mà chương trình yêu cầu Những nấc thang đầu dù có thấp, bước chuyển bậc dù có ngắn em thành cơng tạo nên tâm lý quan trọng Các em tin vào thân, tin vào sức Từ em cảm thấy có đủ nghị lực tâm vượt qua tình trạng yếu Giáo viên ý nên cho học sinh yếu LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com làm tập bản, tránh nêu thêm tập có tính chất mở rộng, nâng cao kiến thức ; Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức: (x + y)2 – (x – y)2 Giáo viên cần thiết lập hệ thống tập từ mức độ thật đơn giản đến đơn giản, đến dạng tập cần rèn luyện cho học sinh Cụ thể: Bài 1: Viết đẳng thức bình phương hiệu: 2xy – x2 – y2 (nhằm rèn củng cố kĩ vận dụng đẳng thức quy tắc dấu ngoặ Bài 2: Viết đẳng thức hiệu hai bình phương: 2xy – x2 – y2 + 16 (nhằm rèn củng cố phương pháp nhóm hạng tử ) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 16 – (x2 – 2xy + y2) (nhằm rèn kỹ phân tích đa thức thành nhân tử) ; - Gia tăng số lượng tập thể loại, mức độ nhằm rèn luyện kỹ năng, củng cố bước giải rút Vì với học sinh yếu kém, lực tư kém, hình thành kỹ giải tập chậm, nên cần phải cho em giải nhiều tập mức độ, để kỹ luyện tập thành tự động hóa, gặp lại dạng tập đó, em nhớ trình tự giải, tránh sai sót khơng đáng có xảy ; - Để hình thành kỹ giải tập phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần tiến hành giai đoạn sau: + Giai đoạn 1: Giáo viên hướng dẫn học sinh làm tập thật tỉ mỉ, chi tiết, từ rút bước giải cho dạng tập đó; + Giai đoạn 2: Tổ chức cho học sinh luyện tập tương tự, thể loại, mức độ; + Giai đoạn 3: Tổ chức cho học sinh giải tập nâng cao dần có biến đổi Nhằm phát triển tư duy, óc sáng tạo cho học sinh yếu Củng cố phát triển kỹ vừa tạo được; + Giai đoạn 4: Tổ chức luyện tập thường xuyên để củng cố kỹ 2.3.4 Giáo viên nghiên cứu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp để rèn luyện cho học sinh yếu hệ thống lại Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung: a) 3x – 6y e) 2 x(y – 1) – y(y – 1) 3 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b) 2 x + 5x3 + x2y f) x(x – 1) – y(1 – x) c) 14x2y – 21xy2 + 28x2y2 g) 16x2(x – z) – 10y(z – x) d) – 17x3y – 34x2y2 + 51xy3 h) 10x(x – y) – 8y(y – x) Phương pháp 2: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp dùng đẳng thức: a) – x2 – 6x – e) 8x3 – b) 4x2 + 9y2 – 12xy f) 8x3 + 12x2y + 6xy2 + y3 c) x3 + d) 27 g) – x3 + 9x2 – 27x + 27 x – 64y2 25 h) 10x – 25 – x2 Phương pháp 3: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp nhóm hạng tử: a) x2 – xy + x – y e) x3 – 3x2 – 4x + 12 b) xz + yz – 5(x + y) f) 2x – 2y – x2 + 2xy – y2 c) 3x2 – 3xy – 5x + 5y g) x2 – x – y2 – y d) x2 + 4x – y2 + h) x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y Phương pháp 4: Phân tích đa thức thành nhân tử cách phối hợp nhiều phương pháp: a) x3 – 2x2 + x e) x3 + 2x2y + xy2 – 9x b) 2x2 + 4x + – 2z2 f) x4 – 2x2 c) 3x2 + 6xy + 3y2 – 3z2 g) x2(x – 3) + 12 – 4x d) 2xy – x2 – y2 + 16 h) x3 – xyz + x2y – x2z Sau hệ thống số dạng tập phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên lập kế hoạch phụ đạo riêng cho đối tượng học sinh yếu Trong buổi phụ đạo riêng, giáo viên cần rèn số dạng tập phân tích đa thức thành nhân tử, khắc sâu bước giải dạng tập Có thể giáo viên tiến hành theo bước sau: Bước 1: Giáo viên cần xác định rõ mục tiêu buổi phụ đạo để xác định kiến thức, kỹ có liên quan trực tiếp đến việc luyện tập tới Đồng LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com thời phải nắm vững tình trạng kiến thức, kỹ học sinh, để hình thành phương pháp ơn tập, củng cố kiến thức, kỹ cho em Bước 2: Giáo viên thiết lập hệ thống tập từ thật đơn giản đến đơn giản, đến tập phức tạp chút Giáo viên cần tách kỹ cần phụ đạo thành nhiều kỹ nhỏ, xác định đâu kỹ chính, học sinh để tập trung giải khắc sâu cho học sinh Giáo viên cần phát sai sót học sinh để kịp thời xử lý Bước 3: Giáo viên cần nêu đặc điểm nhận dạng dạng tập bước tiến hành để giải dạng tập 2.4 Nêu điều kiện cần thiết để áp dụng giải pháp Đội tuyển học sinh giỏi Toán trường THCS Nguyễn Văn Trỗi, huyện Duy Xuyên, tỉnh Quảng Nam Sách giáo khoa, tài liệu tham khảo, sách nâng cao toán 2.5 Chứng minh khả áp dụng sáng kiến Qua thực tế áp dụng phương pháp nêu trên, thấy em học sinh có hứng thú, tích cực học tập Phần đông em nắm phương pháp học tập Kỹ giải tập đại số nói chung kỹ phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng thành thạo Thể qua kết đạt kiểm tra cuối chuyên đề lớp mà trực tiếp giảng dạy sau: - Các em nắm tốt phương pháp giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Vận dụng vào làm tập cách thành thạo; - Chất lượng kiểm tra tương đối tốt, trình bày giải logic Lớp Số lượng Chất lượng TB học sinh Số lượng Tỉ lệ (%) Chất lượng TB Số lượng Tỉ lệ (%) 8/1 38 30 78,94 21,05 8/2 37 31 83,78 16,22 Tổng 75 61 81,33 14 18,67 2.6 Những thơng tin cần bảo mật (nếu có) 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Hiệu sáng kiến Giúp học sinh hình thành kỹ giải tập, rèn luyện tư suy luận q trình phân tích đa thức thành nhân tử toán vân dụng phương pháp phân tích thành nhân tử để giải Hình thành cho học sinh kỹ tự học, tự nguyên cứu vấn đề đưa phương pháp giải Rèn luyện cho học sinh kỹ làm việc theo nhóm Giúp học sinh thành thạo kỹ giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Danh sách người tham gia áp dụng thử áp dụng sáng kiến lần đầu (nếu có): Khơng Tơi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật Duy Nghĩa, ngày 24 tháng 04 năm 2020 Người nộp đơn Xác nhận đề nghị Cơ quan, đơn vị tác giả cơng tác Nguyễn Đình Sang 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... giải pháp biết Tổng hợp phân loại phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ví dụ áp dụng hướng dẫn học sinh giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử Một số biện pháp giúp học sinh có phương pháp. .. viên nghiên cứu phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường gặp để rèn luyện cho học sinh yếu hệ thống lại Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử phương pháp đặt nhân tử chung: a)... thức thành nhân tử nhóm q trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực * Nhóm hạng tử nhằm xuất phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Cách