PhÇn 1 më ®Çu Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Lĩnh vực Toán Cấp học Trung học[.]
Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI MÃ SKKN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Lĩnh vực: Tốn Cấp học: Trung học sở Năm học 2016-2017 Sáng kiến kinh nghiệm skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Mục lục TT NỘI DUNG SKKN TRANG Phần I Đặt vấn đề Lý chọn đề tài Mục đích đề tài Giới hạn đề tài Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Kế hoạch nghiên cứu Phần II Giải vấn đề Cơ sở lý luận thực tiễn: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Thực trạng vấn đề 26 Bài học kinh nghiệm giải pháp thực 26 Kết áp dụng đề tài 27 Phần III Kết luận khuyến nghị Phần IV Tài liệu tham khảo Sáng kiến kinh nghiệm skkn 28 29 Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ Lí chọn đề tài a Cơ sở pháp chế Đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi công tác mũi nhọn ngành giáo dục & đào tạo Trong xu phát triển nay, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi nhu cầu cấp thiết xã hội, góp phần khơng nhỏ vào việc đào tạo, bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Chính vậy, năm gần đây, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi ngành giáo dục trọng b Cơ sở lý luận Toán học mơn học giữ vai trị quan trọng suốt bậc học phổ thơng Là mơn học khó, địi hỏi học sinh phải có nỗ lực lớn để chiếm lĩnh tri thức cho Chính vậy, việc tìm hiểu cấu trúc chương trình, nội dung SGK, nắm vững phương pháp dạy học, để từ tìm biện pháp dạy học có hiệu cơng việc mà thân giáo viên trực tiếp giảng dạy mơn tốn thường xun phải làm Trong cơng tác giảng dạy mơn Tốn, việc đào tạo, bồi dưỡng học sinh có khiếu mơn Toán Giúp cho em trở thành học sinh giỏi thực mơn tốn cơng tác mũi nhọn công tác chuyên môn ngành giáo dục trọng Các thi học sinh giỏi cấp tổ chức thường xuyên năm lần thể rõ điều Chương trình Tốn bậc THCS có nhiều chun đề bồi dưỡng học sinh giỏi, chuyên đề “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” chuyên đề giữ vai trò quan trọng, giúp cho học sinh hình thành kỹ biến đổi đồng biểu thức đại số Chẳng hạn, để thực rút gọn biểu thức đại số khơng thể thiếu việc phân tích đa thức thành nhân tử, hay việc giải phương trình bậc cao gặp nhiều khó khăn học sinh khơng thành thạo phân tích biểu thức vế trái thành nhân tử, chí nhiều đề thi học sinh giỏi cấp Quận, Thành phố, nhiều năm có tốn chun đề phân tích đa thức thành nhân tử Chính Sáng kiến kinh nghiệm skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử vậy, việc bồi dưỡng cho học sinh chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử vấn đề mà thân quan tâm c Cơ sở thực tiễn Năm học này, thân Nhà trường giao cho nhiệm vụ đào tạo bồi dưỡng học sinh Đây hội để đưa đề tài áp dụng vào công tác đào tạo bồi dưỡng học sinh giỏi Với tất lý nêu trên, định chọn đề tài “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” Mục đích đề tài - Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp giải tập thích hợp cho - Thực nghiệm việc sử dụng phương pháp giải tập phân tích đa thức thành nhân tử giảng dạy - Một số học kinh nghiệm trình nghiên cứu Giới hạn đề tài Đề tài áp dụng nhà trường dạy Đối tượng nghiên cứu Học sinh giỏi lớp lớp nhà trường Phương pháp nghiên cứu Để thực đề tài này, sử dụng phương pháp sau đây: a) Phương pháp nghiên cứu lý luận b) Phương pháp khảo sát thực tiễn c) Phương pháp quan sát d) Phương pháp phân tích, tổng hợp, khái quát hóa e) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Kế hoạch nghiên cứu -Từ tháng 8/2016 đến tháng 10/2016: Đọc tài liệu liên quan đến đề tài -Từ tháng 11/2016 đến tháng 12/2016: Lập đề cương đề tài -Từ tháng 1/2017 đến tháng 3/2017: Hoàn thiện đề tài Sáng kiến kinh nghiệm skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận thực tiễn: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nhiều định lý chứng tỏ đa thức phân tích thành tích đa thức trường số thực R Song mặt lí thuyết, cịn thực hành khó khăn nhiều, địi hỏi “kĩ thuật”, thói quen kĩ “sơ cấp” Dưới qua ví dụ ta xem xét số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp vận dụng trực tiếp tính chất phân phối phép nhân phép cộng (theo chiều ngược) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax - by) Giải: Ta có : A = 2ax3 + 4bx2y + 2x2(ax –by) = 2x2 (ax + 2by + ax – by) =2x2(2ax + by) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = (2a2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) Giải: Ta có: B = (2a2 – 3ax)(5y +2b) – (6a2 – 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a2 – 3ax) – (6a2 – 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a2 + ax) = (5y + 2b)(x – 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử C = 3x2(y – 2z ) – 15x(y – 2z)2 Giải: Ta thấy hạng tử có nhân tử chung y – 2z Do : C = 3x2(y – 2z) – 15x(y – 2z)2 = 3x(y – 2z)((x – 5(y – 2z)) =3x(y – 2z)(x – 5y + 10z) Bài : phân tích đa thức sau thành nhân tử D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: D = (2a2 – 3ax)(5c + 2d) – (6a2 – 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a2 – 3ax – 6a2 + 4ax) Sáng kiến kinh nghiệm skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (5c + 2d)(ax – 4a2) = a(5c + 2d)(x – 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy Giải: Ta có: E = 3x3y – 6x2y – 3xy3 – 6xy2z – xyz2 + 3xy = 3xy(x2 – 2x –y2 – 2yz – z2 + 1) = 3xy((x2 – 2x + 1) – (y2 + 2yz + z2)) = 3xy((x – 1)2 – (y + z)2) = 3xy((x – 1) –(y + z))((x – 1) + y+ z)) = 3xy(x - y –z –1)(x + y + z – 1) Bài : Phân tích đa thức thành nhân tử: F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) Giải: Ta có : F = 16x2(y – 2z) – 10y( y – 2z) = (y – 2z)(16x2 – 10y) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = x3 + 3x2 + 2x + Giải: Ta có : G = x3 + 3x2 + 2x + = x2(x + 3) + 2( x + 3) = (x2 + 2)(x + 3) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = 6z3 + 3z2 + 2z +1 Giải: Ta có : H = 6z3 + 3z2 + 2z +1 = 3z2(2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z2 + 1) Phương pháp nhóm hạng tử Phương pháp vận dụng cách thích hợp tính chất giao hốn, tính chất kết hợp phép cộng, để làm xuất nhóm hạng tử có nhân tử chung, sau vận dụng tính chất phân phối phép nhân với phép cộng Sau số ví dụ : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 Giải: Ta có : A = xy2 – xz2 + yz2 – yx2 + zx2 – zy2 = (xy2 – xz2) + (yz2 - zy2) + (zx2 – yx2) = x(y2 – z2) + yz(z – y) + x2(z – y) = x(y – z)(y + z) – yz(y – z) – x2(y – z) Sáng kiến kinh nghiệm skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (y – z)((x(y + z) – yz – x2)) = (y – z)((xy – x2) + (xz – yz) = (y – z)(x(y – x) + z(x – y)) = (y – z)(x – y)(z – x) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B= 4x5 +6x3 +6x2 +9 Giải: Ta có : B = 4x5 +6x3 +6x2 +9 = 2x3(2x2 + 3) + 3(2x3 + 3) = (2x3 + 3)(2x2 + 3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x6 + x4 + x2 + Giải: Ta có : C = x6 + x4 + x2 + = x4(x2 + 1) + ( x2 + 1) = (x2 + 1)(x4 + 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử D = x2 + 2x + – y2 Giải: Ta có: D = x2 + 2x + – y2 = (x2 + 2x + 1) – y2 = (x + 1)2 – y2 =(x +1 – y)(x + + y ) Bài : Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz Giải: Ta có : E = x2 + 2xy + y2 – xz - yz = (x2 + 2xy + y2) – (xz + yz) = (x + y)2 – z(x + y) = (x + y)(x + y – z) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = x m + + xm + – x - Giải: Ta có : G = xm + + xm + – x – = xm + 3(x + 1) – ( x + 1) = (x + 1)(xm + – 1) Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = x2(y – z) + y2(z - x) + z2(x – y) Sáng kiến kinh nghiệm skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Giải: Khai triển hai số hạng cuối nhóm số hạng làm xuất thừa số chung y - z Ta có : G = x2(y – z) + y2z – xy2 + xz2 – yz2 = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y2 – z2) = x2(y – z) + yz(y – z) – x(y – z)(y + z) = (y – z)((x2 + yz – x(y + z)) = (y – z)(x2 + yz – xy – xz) = (y – z)(x(x – y) – z(x – y)) = (y – z)(x – y)(x – z) Nhận xét : dễ thấy z – x = -((y – z) + (x – y) nên : G = x2(y – z) - y2((y – z) + (x – y)) + z2(x – y) =(y – z)(x2 – y2) – (x – y)(z2 – y2) = (y – z) (x – y)(x + y) - (x – y)(z - y)(z + y) = (y – z) (x – y)(x + y – (z + y)) = (y – z) (x – y)(x – z) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : I = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc2 + c2a + abc – abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c2( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c2) = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Giải: Ta có : K = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc = (a2b + ab2 + abc) + (b2c +bc2 +abc) + (c2a + ca2 + abc) = ab( a + b + c) + bc( a + b + c) +ca( a + b + c) = ( a + b + c)(ab + bc + ca) Bài 10: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc Giải: Ta có : Q = 2a2b + 4ab2 – a2c + ac2 – 4b2c + 2bc2 – 4abc = (2a2b + 4ab2) – (a2c + 2abc) + (ac2+ 2bc2) – (4b2c+ 2abc) Sáng kiến kinh nghiệm skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = 2ab(a + 2b) – ac(a + 2b) + c2(a + 2b) – 2bc(a + 2b) = (a + 2b)(2ab – ac + c2 – 2bc) = (a + 2b)(a(2b – c) – c(2b –c)) = (a + 2b)(2b – c)(a – c) Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp dùng đẳng thức để đưa đa thức dạng tích, luỹ thừa bậc hai, bậc ba đa thức khác Các đẳng thức thường dùng : A2 + 2AB + B2 = (A + B)2 A2 - 2AB + B2 = (A - B)2 A2 - B2 = (A + B) (A - B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3 A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) A3 + B3 = (A + B)( A2 - AB + B2) Sau số tập cụ thể: Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 Giải: Ta có : B = a6 – b6 + a4 + a2b2 + b4 = (a6 – b6) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a3 + b3) (a3 - b3) + (a4 + a2b2 + b4 ) = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) + (a4 + 2a2b2 + b4) – a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 + b2 )2– a2b2 = (a + b)( a2 - ab + b2) (a - b)( a2 + ab + b2) +(a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 ) ((a – b)(a + b) + 1)) = (a2 +ab + b2 )(a2 - ab + b2 )(a2 – b2 + 1) Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 Giải: Ta có : C = x4 + x2 + + (x2 – x + 1)2 = (x4 + 2x2 + 1) – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 + 1)2 – x2 + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + 1) + (x2 – x + 1)2 = (x2 – x + 1) (x2 + x + + x2 – x + 1) Sáng kiến kinh nghiệm skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = 2(x2 – x + 1)(x2 + 1) = (x – y – z) (x + y + z) (x – y + z)(x + y – z) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = (x + y)3 +(x - y)3 Giải: Dựa vào đặc điểm vế trái áp dụng đẳng thức ta có cách khác giải sau : Cách 1: E = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))3 – 3((x + y) +(x - y)) (x + y)(x - y) = 8x3 – 3.2x(x2 – y2) = 2x(4x2 – 3(x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Cách 2: E = (x + y)3 +(x - y)3 = ((x + y) +(x - y))((x + y)2 – (x + y)(x – y) + (x – y)2 = 2x(2(x2 + y2) - (x2 – y2)) = 2x(x2 + 3y2) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 16x2 + 40x + 25 Giải: Ta có: F = 16x2 + 40x + 25 = (4x)2 + 2.4.5.x + 52 = (4x + 5)2 Bài 5: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = (a + b+ c) – (a3 + b3+ c3) Giải: Ta có: G = (a + b+ c) –(a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + (b + c)3 - (a3 + b3+ c3) = a3 + 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + b3 + 3b2c + c3 - (a3 + b3+ c3) = 3a2(b + c) + 3a(b + c)2 + 3bc(b + c) = 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử H = x8 – 28 Giải: Ta có : H = x8 – 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 – (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 – 22)(x2 + 22) Sáng kiến kinh nghiệm 10 skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử D = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận xét: Từ lời giải tốn ta giải tốn tổng qt sau : phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) + m Nếu a + d = b + c Ta biến đổi A thành : A = ((x + a)(x + d))((x + b)(x + c)) + m (1) Bằng cách biến đổi tương tự 5, ta đưa đa thức (1) đa thức bậc hai từ phân tích đa thức A thành tích nhân tử Bài 6: Phân tích đa thức sau thành nhân tử E = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + Giải: Giả sử x , ta viết đa thức dạng : E = x2((x2 + Đặt y = x Do : ) + 6( x x2 + )+7) = y2 + E = x2(y2 + + 6y + 7) = x2( y + 3)2 = (xy + 3x) Thay y = x - , ta E= = (x2 + 3x – 1)2 Dạng phân tích với x = Nhận xét : Từ lời giải tập này, ta giải tập tổng quát sau : Phân tích đa thức sau thành nhân tử : A = a0x2n + a1xn – +…….+ an – 1xn – +anxn + an – 1xn – + … + a1x + a0 Bằng cách đưa xn làm nhân tử A, hay : A = xn(a0xn + a1xn – + …….+ an – 1x + an + Sau đặt y = x + +… + + ta phân tích A thành nhân tử cách dễ dàng tập Bài 7: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = x2 + 2xy + y2 – x – y - 12 Giải: Ta có: F = x2 + 2xy + y2 – x – y – 12 = (x + y)2 – (x + y) – 12 Sáng kiến kinh nghiệm 16 skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử - Đặt X = x + y, đa thức trở thành : F = X2 – X – 12 = X2 - 16 – X + = (X + 4)(X - 4) - (X - 4) = (X - 4)(X + - 1) = (X - 4)(X + 3) (1) - Thay X = x + y vào (1) ta : F = (x + y – 4)( x + y + 3) Bài 8: Phân tích đa thức sau thành nhân tử G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Giải: G = (x2 + y2 + z2)( x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2 Đặt : x2 + y2 + z2 = a xy + yz + zx = b ( x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = a + 2b Đa thức A trở thành : G = a(a + 2b) + b2 = a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (*) Thay : a = x2 + y2 + z2 b = xy + yz + zx vào (*) ta : G = (x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx)2 Phương pháp tách hạng tử; thêm bớt hạng tử Phương pháp tách; thêm, bớt hạng tử đa thức để làm xuất đa thức đưa đẳng thức đáng nhớ Sau số ví dụ : Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 – 6x + Giải: Ta giải toán số cách sau: Cách 1: A = x2 – 6x + = x2 – x – 5x + = x(x – 1) – 5(x – 1) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 - 2x + 1) – 4x + = (x – 1)2 – 4(x – 1) = (x – 1)(x – - 4) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + Sáng kiến kinh nghiệm 17 skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = (x2 – 6x + 9) – = (x – 3)2 – = (x – – 2) (x – + 2) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (x2 – 1) – 6x + = (x – 1)(x + 1) – 6(x – 1) = (x – 1)( x + – 6) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (3x2 – 6x + 3) – 2x2 + = 3(x – 1)2 - 2(x2 – 1) = 3(x – 1)(3(x – 1) – ( x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (5x2 – 10x + 5) – 4x2 + = (x – 1)2 – 4x(x – 1) = (x – 1)( (5(x – 1) – 4x)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + = (6x2 – 6x) – 5x2 + = 6x(x – 1) - 5(x – 1) (x + 1) = (x – 1)(6x – 5(x + 1)) = (x – 1)(x – 5) Cách : A = x2 – 6x + Đặt f(x) = x2 – 6x + Dễ thấy tổng hệ số f(x) hay f(x) = nên f(x) chia hết cho (x- 1) Thực phép chia f(x) cho (x –1) thương (x – 5) Vậy A = (x – 1)(x – 5) Chú ý: Để phân tích đa thức ax2 + bx + c (c 0) phương pháp tách số hạng ta làm sau : Bước : lấy tích a.c = t Bước : phân tích t thành hai nhân tử ( xét tất trường hợp) t = pi.qi Bươc : tìm cặp nhân tử pi, qi cặp pa, qa cho : pa + qa = b Bước : viết ax2 + bx + c = ax2 + pax + qax + c Sáng kiến kinh nghiệm 18 skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Bước : từ nhóm số hạng đưa nhân tủ chung ngồi dấu ngoặc Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 + 2x2 - Giải: Cách 1: B = x4 + 2x2 - = x4 – x2+ 3x2 – = x2(x2 – 1) + 3(x2 – 1) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách 2: B = x4 + 2x2 - = x4 + 3x2 – x2– = x2(x2 + 3) - (x2 + 3) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 ) + 2x2 – – = (x4 – 1) + 2x2– = (x2 – 1)(x2 + 1) + 2(x2 – 1) = (x2 – 1)(x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 + 2x2 + 1) - = (x2 + 1)2 – = (x2 + 1)2 – 22 = (x2 + – 2)(x2 + + 2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Cách : B = x4 + 2x2 - = (x4 – 9) + 2x2 + = (x2 + 3)(x2 - 3) + 2(x2 + 3) = (x2 + 3)( x2 - + 2) = (x2 + 3)(x2 – 1) = (x2 + 3)(x – 1)(x + 1) Cách : B = x4 + 2x2 - = (3x4 – 3) – 2x4 + 2x2 Sáng kiến kinh nghiệm 19 skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử = 3(x4 – 1) – 2x2(x2 – 1) = 3(x2 – 1)(x2 + 1) - 2x2(x2 – 1) = (x2 – 1)(3( x2 + 1) - 2x2) = (x2 – 1) (x2 + 3) = (x – 1)(x + 1)(x2 + 3) Bài 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x + x2 + Giải: Cách : C = x4 + x2 + = (x4 + 2x2 + 1) - x2 = (x2 + 1)2 - x2 = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : C = x4 + x2 + = (x4 + x3 + x2) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1) = (x2 + - x)(x2 + + x) Cách : C = x4 + x2 + = (x4 - x3 + x2) + (x3 - x2 + x) + (x2 - x + 1) = x2(x2 - x + 1) + x(x2 - x + 1) + (x2 - x + 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bài 4: Phân tích đa thức sau thành nhân tử D = 5x2 + 6xy + y2 Giải: Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) – (x2 - y2) = 6x(x + y) – (x – y)(x + y) = (x + y)(6x – x + y) = (x + y)(5x + y) Cách : D = 5x2 + 6xy + y2 = (4x2 + 4xy) +(x2 + 2xy + y2 ) = 4x(x + y) + (x + y)2 = (x + y)(4x + x + y) Sáng kiến kinh nghiệm 20 skkn Năm học 2016-2017 ... “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử? ?? Mục đích đề tài - Nghiên cứu lí luận phân tích đa thức thành nhân tử - Xây dựng hệ thống tập phân tích đa thức thành nhân tử với phương pháp. .. học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử dễ dàng phân tích thành nhân tử Sau số toán dùng phương pháp đặt ẩn phụ Bài 1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = (x2 + x)... kinh nghiệm skkn Năm học 2016-2017 Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử PHẦN II GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận thực tiễn: Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Nhiều