Bài giảng môn toán lớp 10 Tích vô hướng của hai véctơ ������������ B – TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ ���� Góc giữa hai véctơ Cho a,b 0≠ � � � Từ một điểm O bất kì vẽ OA a, OB b= = � � � � Khi đó ( ) �a,b AOB= � � với �0 00 AOB 180≤ ≤ ���� Lưu ý ● ( ) 0a,b 90 a b= ⇔ ⊥ � � � � ● ( ) 0a,b 0 a,b= ⇔ � � � � cùng hướng ● ( ) 0a,b 180 a,b= ⇔ � � � � ngược hướng ● ( ) ( )a,b b,a= � � � � ���� Tích vô hướng của hai véctơ � Định nghĩa ( )a b a b cos a,b= � � � � � � Đặc biệt 22 a a a a= = � � � � � Tính chấ.
B – TÍCH VƠ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ Góc hai véctơ ≠ Từ điểm O vẽ Cho Khi ( )= ≤ với = = ≤ ) Lưu ý ( )= ● ( )= ⇔ ● ) ⊥ ⇔ ( )= ⇔ ● ( ) = ( ) ● ngược hướng hướng Tích vơ hướng hai véctơ = Định nghĩa: = ( ) Đặc biệt: = = ∀ ∈ ℝ , ta có: Tính chất: với ● >B ( ● ( ) = ( ) = ( ) ● ( + ) = + + ● − = ( − )( + ● < ⇔ ( ) góc tù ● )= + ≥ ● ( ● = )= − ● > ● = + ⇔ = − + ( ) góc nhọn ⇔ ( ) góc vng ⇔ Biểu thức tọa độ tích vơ hướng Cho =( ) =( ) Khi đó: = + = >B ( ) (Hoành nhân hoành + Tung nhân tung = số) ● ● >B ( )= ⊥ ⇔ >B + = + ( )= ● Để chứng minh ⇔ + = ⇔ + = ≠ không phương, ta chứng minh (Dùng để chứng minh ba đỉnh tam giác) ● V ới ( ) ( )⇒ DeThiMau.vn = ( − ) +( − ) ≠ Dạng Tính tích vơ hướng – Tính góc – Chứng minh & thiết lập vng góc Tính tích vơ hướng Ta lựa chọn hướng sau Hướng Sử dụng định nghĩa cách đưa hai véctơ xác góc α = ( ) , từ đó: = gốc để xác định >B α Hướng Sử dụng tính chất đẳng thức tích vơ hướng hai véctơ =( Hướng Nếu đề cho dạng tọa độ Tính góc: >B ( )= ) + = =( )⇒ = + + + Chứng minh vng góc Ta lựa chọn hướng sau Hướng Nếu đề khơng cho tọa độ, ta sử dụng tính chất tích vơ hướng Đặc biệt: = ⊥ ⇔ ⊥ ⇔ = ⇔ = ⇔ = >B >B = Hướng Nếu đề cho dạng tọa độ = ( ) = ( ) ( ) ⊥ ⇔ = ⇔ = = Bài 282 Cho ∆ABC vng A có a/ + ( ) = b/ Tính tích vơ hướng c/ c/ Bài 283 Cho ∆ABC cạnh a Tính tích vơ hướng a/ b/ = Bài 284 Cho ∆ABC vng cân có a/ = & b/ = Bài 285 Cho ∆ABC vuông A, có a/ Tính cạnh ∆ABC có AH đường cao Tính tích vơ hướng sau c/ = = a/ Tính tích vơ hướng: b/ Nếu = ( 5) = ( 5) = ) ( 5) DeThiMau.vn = b/ Gọi I, J điểm thỏa đẳng thức véctơ * + * = hai véctơ Bài 286 Cho ∆ABC vng A có + − + = Tính *+ theo Tính ( ) Trên cạnh AB lấy điểm D cho = Bài 287 Cho ∆ABC vng A có Hãy tính "= ( 5) Hãy tính ( ) " = - - trung điểm BC Biết Bài 288 Cho ∆ABC cạnh a AM trung tuyến tam giác Tính tích vơ hướng sau ( a/ - c/ e/ ) − AC ( d/ )( + a/ ) + = Bài 289 Cho ∆ABC có ( b/ ( )( − f/ = = + + ) + = Tính tích vô hướng sau theo a, b, c b/ Bài 290 Cho ∆ABC có = đường trung tuyến AM ) − = = c/ Suy độ dài cạnh BC độ Tính Bài 291 Cho ∆ABC có a/ = = = Hãy tính độ dài cạnh BC b/ = = = Hãy tính độ dài cạnh AC c/ = = = Hãy tính độ dài cạnh AB Bài 292 Cho ∆ABC có = () () () = = + − >B = + − >B = + − >B Bài 293 Cho ∆ABC có = a/ Tính cosA, cosB, cosC = Chứng minh rằng: (Định lý hàm cos) = = + + b/ Tính c/ Tính độ dài ba đường trung tuyến AM, BN, CP tam giác ABC Bài 294 Cho tam giác ABC có = = a/ Tính , suy giá trị góc A b/ Tính c/ Gọi D điểm CA cho = ) " = Tính " Bài 295 Cho hình vng ABCD cạnh a Tính giá trị biểu thức sau a/ b/ c/ " d/ e/ ( − )( "− ) DeThiMau.vn ( f/ ( ( ) + " )( )( + " + "+ ) + "+ ) g/ ( )( + + " " ) +" +" h/ Bài 296 Cho ∆ABC có = = = Gọi G trọng tâm D, E, F chân đường phân giác góc A, B, C Tính a/ Tích vơ hướng véctơ: % b/ Độ dài cạnh % % % % % c/ Tính giá trị < = % % + % % + % % = Bài 297 Cho tam giác ABC có = = , suy cosA, cosB, cosC a/ Tính % b/ Gọi G trọng tâm ∆ABC Tính c/ Tính giá trị biểu thức < = % % + % % + % % (" ∈ d/ Gọi AD phân giác góc = − , >B HD: a/ =− b/ d/ Đường phân giác " = " = Bài 298 Cho tam giác ABC có a/ Tính BC, AM = = -= " a/ Tính tích vơ hướng: b/ Gọi I trung điểm CD, tính , b/ *+ = đáy lớn " = "= "= a đáy nhỏ " * " Suy góc hai véctơ = , canh đáy * "= " = a " Suy góc nhọn tạo hai đường AC BD b/ Gọi G trọng tâm ∆BCD tính Bài 301 Cho hình chữ nhật ABCD có tâm I, cạnh a/ + + = + Bài 300 Cho hình thang vng ABCD có đường cao a/ Tính c/ < = − +* = = Bài 299 Cho hình thang vng ABCD, đường cao , suy AD Gọi M trung điểm BC b/ Tính IJ, I, J xác định bởi: * HD: a/ " theo = % "= ⇒ = ) Tính ( " − )( % = " = Tính theo a, b tích vơ hướng ) + " b/ - - + - -" với M điểm thuộc đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Bài 302 Cho tam giác ABC có a/ Tính ( ) (− ) ( )) Chứng minh tam giác ABC vng A b/ Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC c/ Tìm toạ độ trực tâm H trọng tâm G tam giác ABC DeThiMau.vn d/ Tính chu vi, diện tích tam giác ABC g/ Tìm toạ độ điểm D để ABDC hình chữ nhật h/ Tìm toạ độ điểm K Ox để AOKB hình thang đáy AO i/ Tìm toạ độ điểm T thoả + − = k/ Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B l/ Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác đỉnh C ∆ABC ( ) ( ) Bài 303 Cho tam giác ABC có ( ) Câu hỏi tương tự 302 Bài 304 Xác định hình dạng tam giác ABC biết a/ ( ) ( ) b/ ( ) c/ ( (− ) ( ) ) d/ Bài 305 Xác định hình dạng tứ giác biết a/ ( ) ( ) (− ) " (− ) c/ (− − ) ( − ) ( − ) "(− =( Bài 306 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho a/ Chứng minh c/ Tìm x để ⊥ b/ − ) d/ ) c/ = ( −) ) Bài 311 Cho ∆ABC với =( ⊥ 1= − 5) 5+ − ) (− ) ( ) b/ Tìm ( ∈ để A, B, N thẳng hàng trường hợp sau ) =( ) ( ) ( ) ( ) a/ Tìm tọa độ trực tâm H Bài 312 Cho tam giác ABC có ( ; ⊥ b/ Tìm x để điểm A, B, D thẳng hàng Bài 309 Trong mặt phẳng Oxy cho hai điểm - = ) ( ) ( ) ( ) "( a/ Tìm y để ∆ABC vng C ) =( b/ Tìm m để A ⊥ Bài 308 Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm: =( ) d/ Tìm tọa độ véctơ để a/ Tìm m để A phương với a/ =( − ( ) (− ) véctơ A = ( Bài 307 Trong mặt phẳng Oxy, cho Bài 310 Tính góc hai véctơ (− − ) (− ) ( ) " ( − ) ( ) ( ) (− ) " (− ) b/ Tìm x để phương với a/ Tìm - ∈ để ( ) (− ) ( )) ( ) () − ) ( − ) ) ( ; ) ( b/ =( d/ =( − b/ Vẽ ) ) '⊥ a/ Tính chu vi nhận dạng tam giác ABC b/ Tìm toạ độ điểm M biết - = − c/ Tìm tâm bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Bài 313 Cho ∆ABC cso ( ) ( − ) (− − ) a/ Chứng minh ∆ABC vng B tiếp tam giác ABC b/ Tìm tâm đường tròn ngoại DeThiMau.vn =( − ) ) = (− ) Xác định tọa độ điểm K ( ) (− Bài 314 Cho ∆ABC biết − ) a/ Tìm tọa độ hình chiếu A lên BC b/ Tìm diện tích tam giác ABC ( ) ( ) ( ) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc H A lên BC Từ Bài 315 Cho ba điểm suy tọa độ điểm A1 điểm đối xứng với A qua BC Bài 316 Cho ∆ABC, biết a/ c/ e/ g/ ( ) (− ) ( − ) Tính Tìm tọa độ chân đường cao A1 ∆ABC Tìm tọa độ trọng tâm G ∆ABC Chứng minh I, H, G thẳng hàng ( ) ( ) ( ) "( Bài 317 Cho ) a/ Chứng minh: ∆ABC vuông c/ Gọi C' thỏa 9= Bài 318 Cho ∆ABC có = -= b/ Tính cos sin góc A d/ Tìm tọa độ trực tâm H ∆ABC f/ Tìm tọa độ tâm I đường trịn ngoại tiếp ∆ b/ Chứng minh: ABCD hình chữ nhật Tìm C', suy D đối xứng với C' qua B = a Gọi D trung điểm cạnh - điểm thỏa Chứng minh BD vng góc với AM Bài 319 Cho ∆ABC có góc A nhọn Vẽ bên ngồi ∆ABC tam giác vng cân đỉnh A ∆ABD, ∆ACE Gọi M trung điểm BC Chứng minh rằng: - ⊥ "# Nếu góc A tù vng kết cịn khơng ? Tại ? Bài 320 Cho ∆ABC cân A, H trung điểm BC D hình chiếu H lên điểm HD Chứng minh - ⊥ " - trung Bài 321 Cho bốn điểm A, B, C, D a/ Chứng minh: " +" +" = b/ Từ suy cách chứng minh định lí: "Ba đường cao tam giác đồng qui" Bài 322 Cho tam giác ABC với ba trung tuyến AD, BE, CF Chứng minh: "+ #+ $= Bài 323 Cho ∆ABC đều, BC, CA, AB lấy điểm D, E, F thỏa " = $= Chứng minh: #= " ⊥ #$ Bài 324 Cho hình vng OACB điểm M thuộc OC Kẻ đường PP' qua M vng góc với OA, đường QQ' qua M vng góc với OB a/ Chứng minh: - = b/ Chứng minh: - ⊥ Bài 325 Cho ba điểm A, B, M Gọi O trung điểm AB Chứng minh rằng: - = ⇔- ⊥- Bài 326 Cho ∆ABC có = = = Chứng minh điều kiện cần đủ để hai trung tuyến BM CN vng góc + = Bài 327 Chứng minh điều kiện cần đủ để tam giác ABC vuông A = Bài 328 Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm (.) Gọi H điểm xác định & = + + a/ Tính % Suy H trực tâm tam giác ABC DeThiMau.vn b/ Tìm hệ thức độ dài ba cạnh tam giác ABC a, b, c cho &⊥ - với M trung Bài 329 Cho hình vng ABCD a/ Gọi M, N trung điểm BC, CD Chứng minh = b/ Gọi P, Q tương ứng BC, CD cho ⊥ Chứng minh - ⊥ ( = " Bài 330 Cho hình chữ nhật ABCD có a/ = "= b/ = "= Chứng minh: Gọi K trung điểm AD Chứng minh: Gọi K trung điểm AD L tia DC cho ", = '⊥ Bài 331 Cho tứ giác ABCD có - ⊥ '⊥ , ⊥ " M Gọi P trung điểm AD Chứng minh rằng: ⇔ - - = - -" -= Bài 332 Cho hình vng ABCD, điểm M nằm AC cho Gọi N trung điểm DC Chứng minh tam giác BMN tam giác vuông cân = , cạnh đáy b/ * = Bài 333 Cho hình thang vng ABCD có đường cao kiện a, b, h để: a/ ⊥ " Bài 334 Cho hình thang vng ABCD, đường cao = "= "= = Tìm điều với I trung điểm CD = a a/ Tính " Suy góc AC BD b/ Gọi I trung điểm CD, J điểm di động cạnh BC Dùng tích vơ hướng để tính BJ cho AJ BI vng góc Bài 335 Cho hình thang vng ABCD, hai đáy " = = , đường cao = liên hệ a, b, h để a/ " ⊥ * với I trung điểm AB b/ ⊥ "* c/ - ⊥ ( với M, N theo thứ tự trung điểm AC BD ĐS: a/ = b/ = c/ = − Tìm hệ thức Bài 336 Cho tứ giác ABCD a/ Chứng minh: − + " −" = " b/ Suy điều kiện cần đủ để tứ giác có hai đường chéo vng góc là: + " = +" Bài 337 Cho ∆ABC vuông A, gọi M trung điểm BC Lấy điểm B1, C1 AB AC = cho Chứng minh: - ⊥ Bài 338 Cho ∆ABC cân đỉnh A, O tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC, M trung điểm AB, E trọng tâm ∆ACM Chứng minh: # ⊥ - Bài 339 Cho ∆ABC cân đỉnh A, O tâm đương tròn ngoại tiếp, gọi BB1 CC1 đường cao tam giác ABC Chứng minh: ⊥ Bài 340 Cho đường tròn tâm O điểm P thuộc miền đường tròn Qua P, kẻ hai dây AB, CD vng góc Gọi M trung điểm dây BD Chứng minh: - ⊥ DeThiMau.vn ... >B α Hướng Sử dụng tính chất đẳng thức tích vô hướng hai véctơ =( Hướng Nếu đề cho dạng tọa độ Tính góc: >B ( )= ) + = =( )⇒ = + + + Chứng minh vng góc Ta lựa chọn hướng sau Hướng Nếu...Dạng Tính tích vơ hướng – Tính góc – Chứng minh & thiết lập vng góc Tính tích vơ hướng Ta lựa chọn hướng sau Hướng Sử dụng định nghĩa cách đưa hai véctơ xác góc α = ( ) , từ... hướng c/ c/ Bài 283 Cho ∆ABC cạnh a Tính tích vơ hướng a/ b/ = Bài 284 Cho ∆ABC vuông cân có a/ = & b/ = Bài 285 Cho ∆ABC vng A, có a/ Tính cạnh ∆ABC có AH đường cao Tính tích vơ hướng sau