TIỂU LUẬN HÌNH học GIẢI TÍCH PHƯƠNG PHÁP tọa độ TRÊN mặt PHẲNG

TR×˝NG I H¯C S× PH M TP HCM KHOA TO N-TIN o0o TI ULU NHNHH¯CGI ITCH PH×ÌNG PH P T¯A TR N M T PH NG GiÊng viản hữợng dÔn: Thy Nguyn Lả Ch Quyt Sinh viản: Nguyn Trồng Nh¥n Khâa: 46 TP H˙ CH MINH, 1/2021 Mưc lưc Mưc ti¶u affine 1.1 Mưc ti¶u affine 1.2 Ph†p Œi mưc ti¶u ÷íng thflng 2.1 Ph÷ìng tr…nh ÷íng thflng 2.2 Và tr‰ t÷ìng Łi cıa hai ÷íng thflng 2.3 Chịm ÷íng thflng Mưc ti¶u Euclide 3.1 Mưc ti¶u Euclid 3.2 Ph†p Œi mưc ti¶u Mºt sŁ ÷íng b“c hai °c biằt 4.1 ữớng trặn 4.2 Elip 4.3 ÷íng Hipebol 4.4 ÷íng Parabol ÷íng b“c hai 5.1 Ph÷ìng tr…nh ÷íng b“c hai 5.2 T¥m Łi xøng 5.3 B i to¡n t÷ìng giao 5.4 Ti‚p tuy‚n 5.5 Ti»m c“n MƯC LƯC 5.6 ÷íng knh liản hổp vợi mt phữỡng 5.7 C¡c lo⁄i cıa ÷íng b“c hai Chữỡng Mửc tiảu affine 1.1 Mửc ti¶u affine ! !! ! Trong khỉng gian cho i”m O v vector OI = i ; OJ = j khổng phữỡng !! Tp hổp gỗm im O v vector i ; j ÷ỉc gåi l h» tåa º affine m°t phflng Khi â: ÷íng thflng Ox i qua i”m O v i”m I gåi l trưc ho nh, ÷íng thflng Oy i qua i”m O v i”m J gåi l tröc tung !! i”m O gåi l gŁc tåa º H» tåa º affine nhữ vy ữổc kỵ hiằu l O i j hoc Oxy ! Vợi mỉi vector u bĐt k khổng gian, tỗn ti nhĐt mt b s (x; y) CH×ÌNG MƯC TI U AFFINE cho ! ! u=xi+yj ! x; y Khi â, ( Vợi mỉi im nghắa l Khi õ, (x; y) M = (x; y) Cho i”m M(x; y) v ! 0 Suy M M = (x Trong h» tåa º affine t‰nh ch§t cì b£n sau: !! u ! + v = ! ! ! u=v ! ! ! ! u cịng ph÷ìng v , u = t v ! , !! ! x1 i + y1 j = tx2 i + ty2 j > x < , = tx2 >y = ty : ! ! ! ! N‚u t > th u ;v hữợng Nu t < th u ;v ngữổc hữợng , : CHìèNG MƯC TI U AFFINE 1.2 Ph†p Œi mưc ti¶u !! !! Trong khæng gian, cho h» tåa º affine O i j O0 i0 j0 Gi£ sß Łi vỵi h» v tåa !!0 !0!0 º O i j , i”m O câ tåa º (a0; b0; ), i = (a1; b1); j = (a2; b2) Łi vỵi mºt i”m !! Oi 0 0 M b§t k…, gåi (x; y) l tåa º cıa M Łi vỵi h» OO0 = ! ! ! !! M(x ; y ) Łi vỵi h» O i j º i”m, ta câ: a i0 = j0 = !1 !2 ! ! i a i a OM =! xi ! ! O0 M0 = x 0i0 ! ! V… ! OM = OO xi Tł ! + y0j0 yj â, suy > x = a1x0 < + ! + a2y0 + a0 0 >y = b x + b y + b : Vit dữợi dng ma trn: 2x3 4y5 flng thức trản ÷æc gåi l cæng thøc bi‚n Œi tł h» tåa !! !! º O i j sang h» tåa º Oi j Tr÷íng hỉp °c bi»t: Ph†p tành ti‚n mưc ti¶u Trong khỉng gian, cho h» tåa º affine !! !! , i”m O Oij cıa M Łi vỵi h» x; y v Ta câ: !! 0 x ;y CH×ÌNG MƯC TI U AFFINE Vỵi (a1; b1) = (1; 0) v (a2; b2) = (0; 1), flng thøc tr¶n trð th nh: 8x = x0 , > !! !! ¥y l cỉng thøc chuy”n tröc ph†p tành ti‚n tł O i j sang O i j Ch÷ìng ÷íng thflng 2.1 Ph÷ìng tr…nh ÷íng thflng ! Trong h» tåa º affine Oxy cho ÷íng thflng d i qua i”m M(x 0; y0) nh“n u (a; b) l m vector ch¿ ph÷ìng ! Khi õ, vợi im M(x; y) bĐt k thuc d, ta luổn cõ M0M phữỡng vợi u, hay !MM = t u vỵi t l sŁ thüc Do â, ÷íng thflng d câ th” xem nh÷ l t“p h c¡c i”m !M M=tu , (x x0; y y0) = t(a; b) (t R) , H» > < > : (1) ÷ỉc gåi l ph÷ìng tr…nh tham sŁ cı ta s‡ t…m÷ỉc bº sŁ (x; y) = (x0 + at; y0 + bt) l tåa º im thuc ữớng thflng d v ngữổc li, vợi mØi i”m M thuºc ÷íng thflng d, ta ln t…m ÷ỉc mºt sŁ thüc t t÷ìng øng N‚u c£ s a; b ãu khĂc 0, t phữỡng trnh tham sŁ, ta rót ÷ỉc, n‚u i”m t= Do â, hổp tĐt cÊ cĂc im M(x; y) thuc ữớng thflng d ãu thọa mÂn phữỡng CHìèNG MệC TI U EUCLIDE Trong khæng ! ! !0 º O i j , i = (cos ; sin ) ;j = ( gåi (x; y; z) l tåa º cıa 0 Ta t…m sü li¶n h» giœa c¡c sŁ x; y v x ; y QO : x y x = x0 > < ) >y = x0 : ¥y l cỉng thøc chuy”n trưc ph†p quay tł !! Ch÷ìng Mºt sŁ ÷íng b“c hai Ta x†t t§t c£ c¡c 4.1 °c bi»t ÷íng b“c hai sau mưc ti¶u trüc chu'n ÷íng trỈn Trong m°t phflng cho i”m I(x0; y0) cŁ ành, t“p hỉp t§t c£ c¡c i”m M cıa m°t phflng c¡ch cho M I = R (trong â R l mºt sŁ khỉng Œi v lỵn hìn khỉng v R gồi l bĂn knh ữớng trặn) ữổc gồi l mt ữớng trặn Ta cõ M(x; y) l mt im thuc ữớng trặn nản: 2 M I = R , M I = R , (x x0) + (y y0) = R Ơy chnh l phữỡng trnh chnh tc ca ữớng trặn tƠm I bĂn knh R 14 CHìèNG MáT Să ìNG B C HAI C BI T 4.2 Elip Trong m°t phflng cho hai i”m F1; F2 cŁ ành F1F2 = 2c (c > 0) T“p hỉp t§t c£ nhœng i”m M(x; y) cıa m°t phflng â cho M F1 + M F2 = 2a (trong â a l Ta câ M(x; y) l mt im thuc ữớng elip nản: M F1 + M F2 = 2a p , ( (x + c) p( )+ +4 x c , ( x c , p a , 2 a ((x c) + y ) = (a , , (a x 2 2 (a2 , c x , Do a > c °t a 2 c )x + a y a a + x2 y2 2 a b + Ơy chnh l phữỡng trnh chnh tc ca ữớng elip vợi hai tiảu im F 1; F2 v =1 c °t e = l hai ÷íng chu'n ca elip a tiảu CHìèNG MáT Să ìNG B C HAI C BI T Ta câ t‰nh ch§t sau: Nhữ vy ta cõ nh nghắa khĂc cho elip: cho i”m F1, ÷íng thflng d1 khỉng i qua F1 v mºt h‹ng sŁ e < T“p hỉp t§t c£ i”m M m°t phflng thäa 4.3 ÷íng Hipebol Trong m°t phflng cho hai i”m F1; F2 c£ nhœng i”m M(x; y) cıa m°t phflng â cho jM F1 mºt sŁ khỉng Œi nhä hìn c) ÷ỉc gåi l Ta câ M(x; y) l jM F1 M F2j = 2a , MF1 , p (x + c) (x + c) p( +)+ = , , cx a x c (c a )x , , x2 2 , Do a < c t c a c CHìèNG MáT Să ×˝NG B C HAI C BI T x 2 y 2 a +b Ơy chnh l phữỡng trnh chnh tc ca ữớng hypebol vợi hai tiảu v tiảu cü b‹ng 2c ành ngh¾a kh¡c cho hypebol: Cho i”m F1, ÷íng thflng d1 khỉng i qua F1 v T“p hỉp t§t c£ i”m M m°t phflng thäa hypebol 4.4 ÷íng Parabol Cho i”m F1, ÷íng thflng d1 khỉng i qua F1 v T“p hỉp t§t c£ i”m M m°t phflng thäa parabol i”m F1; F2 =1 Ch÷ìng ÷íng b“c hai 5.1 Ph÷ìng tr…nh Trong mºt h» tồa ữớng bc hai ảcac vuổng gõc Oxy mt ÷íng b“c hai tŒng qu¡t câ ph÷ìng tr…nh tŒng qu¡t: 2 Ax + 2Bxy + Cy + 2Dx + 2Ey + F = 5.2 T¥m < 2 Łi xøng Cho i”m I(x0; y0) câ tåa > â A + B + C 6= º thäa: F (x0; y0) = x >F (x ; y ) = : y Lúc n y I 5.3 ữổc gồi l tƠm Łi xøng cıa ÷íng b“c hai B i to¡n t÷ìng giao > x = x0 + at Cho ÷íng b“c hai (C) : F (x; y) = v ÷íng thflng (d) : < >y = y + bt : 2 (a + b 6= 0) Ph÷ìng tr…nh t÷ìng giao giœa (C) v (d) l : P t + Qt + R = 18 CH×ÌNG ×˝NG B C HAI > > > > < > > > > > R = F (x0; y0) : P=0 (a) > , (d) c›t (C) t⁄i hai i”m ph¥n bi»t (b) = , (d) ti‚p xóc vỵi (C) (c) < , (d) c›t (C) t⁄i hai i”m £o ph¥n bi»t P 6=0 (a) Q 6= , (d) c›t (C) t⁄i mºt i”m nh§t (b) Q = 5.4 i R 6= , (d) khæng c›t (C) ii R = , (d) (C) Ti‚p tuy‚n Cho ÷íng b“c hai (C) v i”m M(x0; y0) (C) H¢y vi‚t ph÷ìng tr…nh ti‚p tuy‚n (d) cıa (C) t⁄i M ÷íng thflng (d) câ d⁄ng: X†t ph÷ìng tr…nh t÷ìng P t + QT + R = (R = F (x0; y0) = 0) M (d) ti‚p xóc vỵi (C) n¶n: Do â: aFx0 (x0; y0) + bFy0 (x0; y > 8P 6= )=0 Chån 8a = F y > < > Suy (d) : (x b=F x (x0; y0) : CH×ÌNG ×˝NG B C HAI 5.5 Ti»m c“n Cho ÷íng b“c hai (C) : F (x; y) = v 2 (a + b = 0) Ph÷ìng tr…nh t÷ìng giao giœa (C) v (d) l : P t + Qt + R = Q R Ta câ: t ! : P + t + t2 ! 2 Suy P = , Aa + 2Bab + Cb = â (a; b) ÷ỉc gåi l ph÷ìng ti»m c“n Qt + R = Ta câ: t ! : Q + Suy Q = R t!0 Do â (d) i qua tƠm I ca 5.6 ữớng bc hai ữớng knh liản hổp vợi mt phữỡng CHìèNG ! Xt v (C) t⁄i hai i”m M; N Ta s‡ chøng minh: Quÿ t‰ch trung i”m I cıa M N l ÷íng k‰nh liản hổp vợi > x=x + at < >y = y + bt : Ph÷ìng tr…nh t÷ìng giao giœa (d) v P t + Qt + R = (1) câ nghi»m t1; t2: p döng nh lỵ Viet: > t1 + t2 = < t1t2 = > R P : Gåi M(x ; y + at ); N(x ; y + at ) l giao i”m cıa (d) v (C) Trung i”m I câ tåa º (x + a + t2 = (x0; y0) t1 + t2 ; y0 + a t1 2 0 Suy ra: t1 + t2 = , Q = , aFx (x0; y0) + bFy (x0; y0) = 0 V“y I thuºc Do õ: tƠm ca 5.7 ữớng thflng:aFx (x0; y0) + bFy (x0; y0) = ữớng bc luổn nm trản måi C¡c lo⁄i cıa ÷íng b“c hai 82 >x + y2 = 1(af f ine) < Elip: : a Elip £o: > > a2 : 2 8x + y < >x 2 + y = 1(euclide) ÷íng k‰nh cıa ÷íng b“c hai â Hai ÷íng thflng £o c›t nhau: 8x2 CH×ÌNG ×˝NG B C HAI 22 8x Hai ÷íng thflng th“t c›t nhau: < > 82 >x + 2y = 0(af f ine) Parabol: > < >x2 + 2py = 0(euclide) : : >x2 = 0(af f ine) Hai ÷íng thflng thüc trịng nhau: < >x2 = 0(euclide) : >x2 = 1(af f ine) Hai ÷íng thflng th“t song song: < >x2 = a2(euclide) : >x2 = 1(af f ine) Hai ÷íng thflng £o song song: < >x2 = 1(euclide) : ... Gồi N l i”m câ tåa ! vecto u câ t⁄o º ( B; A), ta câ: A(x Tøc l : > < : x = x0 y = y0 n‚u im M cõ tọa thọa m Ân phữỡng trnh (1) th nõ nm trản ữớng > thflng i qua i”m N v V“y 2.2 Và tr‰ t÷ìng Łi