TIỂU LUẬN HÌNH học GIẢI TÍCH mặt bậc HAI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KHOA TOÁN – TIN HỌC _ HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Sinh viên thực : Phù Quốc Vinh – 46.01.101.192 Giảng viên : TS Nguyễn Lê Chí Quyết Thành phố Hồ Chí Minh Tháng năm 2021 download by : skknchat@gmail.com Em chào thầy Quyết ạ! Đây lần em làm tiểu luận nên chắn trình thực có nhiều sai sót, mong thầy thơng cảm Em mong nhận đươc phản hồi từ thầy để em rút kinh nghiệm làm tốt lần sau Cuốn tiểu luận em biên soạn theo chương trình Hình học giải tích chương trình giảng dạy trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh có tham khảo thêm số tài liệu Cuốn tiểu luận chủ yếu đề cập đến vấn đề liên quan đến Mặt bậc hai không gian Thứ bảy, ngày 23 tháng 01 năm 2021 Phù Quốc Vinh 46.01.101.92 Mục lục Mặt bậc 2 Bài toán tương giao Tâm mặt bậc hai Tiếp tuyến Tiệm cận Đường kính, mặt kính Thu gọn phương trình mặt bậc hai Thư viện Hồng gia Alexandria hay gọi Đại thư viện tọa lạc thành phố Alexandria, Ai Cập, thời thư viện lớn giới Được xây dựng từ kỷ thứ trước công nguyên, thư viện phổ cập lịch sử nhân loại, thu hút nhiều nhà tư tưởng bác học tiếng đến nghiên cứu, tham khảo.Thư viện phần viện nghiên cứu lớn Mouseion, hay "Ngôi nhà Muse" - nữ thần thơ ca nghệ thuật download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Mặt bậc hai Định nghĩa 1.1 Mặt bậc hai không gian tập hợp gồm tất điểm M có tọa độ ( , , ) mục tiêu cho thoả mãn phương trình bậc hai dạng: F(x, y, z) = a x2 + a Trong đó: a211 + a222 + a233 + a212 + a223 + a213 > A = [aij]n ma trận đối xứng thực Phần bậc hai gọi phần toàn phương Phần bậc gọi phần tuyến tính a44 phần hệ số tự Một số ví dụ minh họa : 2 (S) ∶ x + 2y + 3z = 2 (S) ∶ x + 2y − 5z + 2xy + 3z + = download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Bài toán tương giao 2.1 Giao tuyến hai mặt bậc hai Phương pháp làm giải hệ phương trình gồm hai mặt bậc hai Bài tốn 2.1.1 : Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai (S1) ∶ x2 + y2 − z2 = a2 (S2) ∶ x2 − y2 = 2az với a ∈ ℛ Bài giải : Để tìm giao tuyến ( 1) ( 2), ta xét hệ phương trinh sau: ⇒{ [ 2 = + −2 2 = y√2 = z − a + +2 +2−2=2 {x2 − y2 = 2az ⟺ y√2 = a − z x√2 = z + a [ { x√2 = −z − a Vậy giao tuyến (S1) (S2) đường thẳng ∶ {y√2 − z + a = 0; x √2 − z − a = 2.2 {y√2 − z + a = 0; {y√2 + z − a = 0; {y√2 + z − a = x √2 + z + a = x √2 − z − a = x √2 + z + a = Giao tuyến mặt bậc hai với mặt phẳng Bài tốn 2.2.1 : Cho mặt nón trịn xoay : Bài giải : Ta có : Mặt nón nhận làm trục đối xứng nên giao măt nón với mặt phẳng song song đường trịn Do : ( ): − + + = ắ ( ) cho giao tuyến đường tròn ( ) ( ) ⟹ ( ) ó ℎươ ì ℎ∶+=0 Vậy điều kiện cần tìm thỏa mãn u cầu tốn : − + + − = Hãy cắt mặt nón mặt phẳng = Tìm điều kiện mặt phẳng để giao tuyến chúng đường tròn + = = 2.3 Giao tuyến mặt bậc hai với đường thẳng Cho mặt bậc hai ( )∶ ( , ,)=0 = + = + Cho đường thẳng (d) : { = 0+ Phương trình tương giao : Trong : = = ( 0, , ) 11 + 22 + 33 +2 12 +2 23 + + +2 13 ′ { = ( 0, =0 0, 0) ′ + ( 0, 0, 0) ′ + ( 0, 0, 0) download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Nhận xét : ∆> ∶ ( ) ắ ( ) ℎ { = 0{ ≠ ∶ ( ) ℎô đ ể ắ () Tâm mặt bậc hai Định nghĩa 3.1 Gọi ( 0, 0, 0) tâm mặt bậc hai tọa độ I nghiệm hệ phương trình: ′ ( { ′ ( Nhận xét 3.2 Tương tự tâm đường bậc hai mặt phẳng, tâm mặt bậc hai tâm đối xứng Điều có nghĩa phép đối xứng qua biến ( ) thành Nhận xét 3.3 Khi tịnh tiến mặt bậc hai tới tâm phương trình số hạng bậc một, phương trình bậc hai sau tịnh tiến : ( , ,)= 11 + Nhận xét 3.4 Nếu 22 + 33 +2 +2 12 tâm ( ) ∈ ( ) 23 +2 13 + ( 0, 0, 0) =0 gọi điểm kỳ dị ( ) Tiếp tuyến Định nghĩa 4.1 Đường thẳng cắt mặt bậc hai hai điểm trùng gọi tiếp tuyến với mặt bậc hai điểm trùng Quỹ tích tiếp tuyến điểm gọi mặt phẳng tiếp xúc với mặt điểm Gọi ( , , ) điểm thuộc mặt ( ) 0 Điều kiện để đường thẳng ( ) qua M, tiếp xúc ( ) ≠0 ∆= { Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai ( ) điểm ( 0, 0, 0) có dạng : Nhận xét 4.2 Mặt phẳng tiếp xúc giao với mặt bậc hai theo đường cong bậc hai suy biến download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Bài tốn 4.3 : Cho mặt bậc hai (S): 2x2 + 5y + 8z2 + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z = Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với ( ) (1,1,2) 2 (S): 2x + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y + 18z = Bài giải : F′x = 4x + 2y + 6z + Ta có : {F′y = 2x + 10y + 12z + 14 F′z = 6x + 12y + 16z + Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với ( ) (1,1,2) có dạng : ⇔ ⇔ (x − 1)Fx′(1, 1, 2) + (y − 1)F y′(1, 1, 2) + (z − 2)Fz′(1, 1, 2) = 27(x − 1) + 50(y − 1) + 68(z − 2) = 27x + 50y + 68z − 213 = Tiệm cận 5.1 Phương tiệm cận đường tiệm cận Định nghĩa 5.1.1 Ta nói = ( , , nghiệm phương trình : phương tiệm cận mặt bậc hai ( , , ) ) ≠ 2 a11α + a22β + a33γ + 2a12αβ + 2a23βγ + 2a13γα = Mặt bậc hai ( ) có tâm Tiệm cận ( ) đường thẳng ( ) qua , nhận = ( , , ) ≠ làm phương không cắt ( ) Nhận xét 5.1.2 Nếu ( ) có tâm có phương tiệm cận đường thẳng qua tâm nhận làm phương gọi đường tiệm cận mặt bậc hai ( ) download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Bài tốn 5.1.3 : Cho mặt bậc hai (S) ∶ 2x2 + 5y2 + 8z2 + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y − 16z = Tìm vector phương tiệm cận ( ) 2 (S) ∶ 2x + 5y + 8z + 2xy + 12yz + 6zx + 8x + 14y − 16z = Bài giải : phương tiệm cận ( ) ( , , ) nghiệm phương Ta có = ( , , ) = (2,0,2) ≠ trình: 5.2 2α^2 + 5β^2 + 6γ^2 + 2αβ + 12βγ − 8γα = Nón tiệm cận Định nghĩa 5.2.1 Quỹ tích đường tiệm2 cận gọi nón tiệm cận mặt bậc hai ( ) 2 a11a + a22b + a33c + 2a12ab + 2a23bc + 2a13ca = = + Đường tiệm cận { = + = 0+ Phương trình mặt : a11(x − x0)2 + a22(y − y0)2 + a33γ(z − z0)2 + 2a12(x − x0)(y − y0) + 2a23(y − y0)(z − z0) + 2a13(z − z0)(x − x0) = Đường kính,mặt kính 6.1 Mặt kính liên hợp với phương Định nghĩa 6.1.1 Ta có = ( , , ) ≠ khơng phải phương tiệm cận mặt kính liên hợp với phương có phương trình : αFx′(x, y, z) + βFy′(x, y, z) + γF′z(x, y, z) = Gọi đường thẳng ( ) có phương cắt mặt bậc hai ( ) hai điểm , download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH Mặt kính liên hợp quỹ tích trung điểm Chú ý : mặt kính vng góc với phương liên hợp ta gọi mặt kính phương 6.2 Đường kính liên hợp với phương Đường kính liên hợp với phương mặt phẳng ( ) ∶ + + + = (liên hợp với phương ( , , ) ) Quỹ tích tâm thiết diện tạo mặt bậc hai ( ) mặt phẳng song song với mặt phẳng ( ) ′ ( , , ) = ′ ( , , ) = ′ ( , , ) Bài tốn 6.2.1 : Tìm phương trình mặt kính x2 + y2 + z2 = liên hợp với phương = (2,1,2) 16 x y z ()∶ 9+16+4=1 Bài giải : Phương trình mặt kính cần tìm : 2Fx′(2,1,4x2) + F′y(2,1, 2) + 2Fz′(2,1, 2) = y ⇔ 9+ 8+z=0 ⇔ 32x + 9y + 72z = download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Thu gọn phương trình mặt bậc hai 7.1 Dùng phép biến đổi mục tiêu afin Phương pháp : nhóm bình phương Dạng tắc : 2 + 2 + =−1( 2 − − 2 + =( 2 2 + + =1( +2 −2 − 2 ầ = ( ặ =1( ặ + = −1 ( ặ = (ℎ = (ℎ + −2 ụ =1( ặ ụ ê ầ ) ) ) ả ) 2 ) ự ) 2 ụℎ ) ) 2 ả ) 7.2 = ( ặ = (ℎ ặ ℎẳ =2 −1 (ℎ + + + − +2 − = (ℎ = (ℎ = (ℎ ặ ặ ặ ℎẳ ℎẳ ặ ắ ù ) ụ ) ℎẳ =0( ặ ó ả ) =0( ặ ó ) ℎ ℎ ) ả ) ℎẳ ả ắ ℎ ) ) Dùng phép biến đổi mục tiêu trực chuẩn 7.2.1 Phép tịnh tiến tâm Mục tiêu : ( ; ; ; ) ( ; ;) ′ ; ; ( 0 = ( 1; 2, 3) = ( 1; 2, 3) = ( ; , 3) = + { = + = + 7.2.2 Phép quay quanh trục tọa độ Mất hệ số: Mất hệ số Mất hệ số ∶ ∶ 10 download by : skknchat@gmail.com ... skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Bài tốn tương giao 2.1 Giao tuyến hai mặt bậc hai Phương pháp làm giải hệ phương trình gồm hai mặt bậc hai Bài tốn 2.1.1 : Tìm giao tuyến hai mặt bậc hai (S1)... download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC GIẢI TÍCH MẶT BẬC HAI Thu gọn phương trình mặt bậc hai 7.1 Dùng phép biến đổi mục tiêu... trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt bậc hai ( ) điểm ( 0, 0, 0) có dạng : Nhận xét 4.2 Mặt phẳng tiếp xúc giao với mặt bậc hai theo đường cong bậc hai suy biến download by : skknchat@gmail.com HÌNH HỌC