(LUẬN văn THẠC sĩ) đầy đủ i ADIC và đồng điều địa phương đối với môđun artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ PHƯƠNG THẢO ĐẦY ĐỦ I-ADIC VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ĐỐI VỚI MÔĐUN ARTIN LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định- Năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LÊ THỊ PHƯƠNG THẢO ĐẦY ĐỦ I-ADIC VÀ ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ĐỐI VỚI MÔĐUN ARTIN Chuyên ngành : Đại số lí thuyết số Mã số 46 01 04 : LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: TS NGUYỄN THÁI HOÀ download by : skknchat@gmail.com i Mục lục MỞ ĐẦU 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đầy đủ 1.2 Phạm trù hàm tử 1.2.1 Phạm trù hàm tử 1.2.2 Hàm tử Hom 1.2.3 Hàm tử tenxơ 1.2.4 Hàm tử a-xoắn 10 1.3 Đồng điều phức đối đồng điều đối phức 11 1.3.1 Phức đối phức 11 1.3.2 Đồng cấu phức đồng cấu đối phức 12 1.4 Hàm tử giới hạn thuận 14 1.5 Hàm tử giới hạn ngược 18 1.6 Hàm tử dẫn xuất 22 1.7 1.6.1 Hàm tử dẫn xuất phải 22 1.6.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương 26 1.6.3 Hàm tử mở rộng 27 1.6.4 Hàm tử dẫn xuất trái 28 1.6.5 Hàm tử xoắn 29 Đối ngẫu Matlis 30 ĐẦY ĐỦ I-ADIC VÀ MÔĐUN ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG download by : skknchat@gmail.com ii 32 2.1 Hàm tử dẫn xuất đầy đủ I-adic 32 2.2 Môđun đồng điều địa phương 38 ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG ĐỐI VỚI MÔDUN ARTIN 41 3.1 Dãy nối dương mạnh 41 3.2 Acyclic môđun đồng điều địa phương HiI (M ) 42 3.3 Tính Artin Noether mơđun đồng điều địa phương 44 3.4 Tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đồng điều địa phương 45 KẾT LUẬN 48 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU Năm 1966, A Grothendieck [7] đưa khái niệm đối đồng điều địa phương cho lớp môđun hữu hạn sinh vành Noether giao hốn địa phương Nó đóng vai trị quan trọng nhiều lĩnh vực tốn học, đặc biệt hình học đại số đại số giao hoán Một vấn đề đặt nghiên cứu đồng điều địa phương cho lớp mơđun Artin vành giao hốn, cụ thể là: Cho I iđêan vành giao hoán R M R-môđun Biết hàm tử đầy đủ I-adic ΛI định nghĩa ΛI (M ) = lim M/I t M ←− t hàm tử cộng tính, khớp, hiệp biến phạm trù R-môđun hữu hạn sinh R vành Noether Đáng tiếc, hàm tử ΛI không khớp trái không khớp phải phạm trù R-môđun, R vành Noether Tuy nhiên, xét dãy hàm tử dẫn xuất trái {LIi } ΛI , LI0 khớp phải tổng quát LI0 = ΛI Do việc tính tốn hàm tử nói chung khó khăn Đối với trường hợp R vành Noether địa phương với iđêan cực đại m I iđêan hữu hạn sinh dãy R-chính quy, Matlis [14,15] rằng: LIi D(M ) ∼ = D HiI (M ) , D(−) = HomR (•, E(R/m)) hàm tử đối ngẫu t LIi (M ) ∼ lim R/I ;M = Extn−i R −→ t Vấn đề A M Simon [21], Greenlees May [6] tiếp tục nghiên cứu Mục đích tác giả [4] nghiên cứu môđun đồng điều địa download by : skknchat@gmail.com phương phạm trù môđun Artin vành Noether, với phương pháp sơ cấp đồng điều đại số giao hoán.Nguyễn Tự Cường Trần Tuấn Nam [4] đưa khái niệm môđun đồng điều thứ i HiI (M ) t HiI (M ) = lim TorR R/I ;M i ←− t Với mục đích tìm hiểu sâu đại số giao hốn, chúng tơi chọn đề tài: Đầy đủ I-adic đồng điều địa phương môđun Artin Trong luận văn này, chúng tơi trình bày số phạm trù hàm tử, số kết [4] Luận văn phần Mục lục, Mở đầu, Kết luận danh mục tài liệu tham khảo có chương: Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương chúng tơi trình bày số kiến thức như: đầy đủ, phạm trù hàm tử, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, hàm tử a-xoắn, đồng điều phức đối đồng điều đối phức, hàm tử giới hạn thuận, hàm tử giới hạn ngược, hàm tử dẫn xuất phải, hàm tử đối đồng điều địa phương, hàm tử mở rộng, hàm tử dẫn xuất trái, hàm tử xoắn, đối ngẫu Matlis Chương Đầy đủ I-adic môđun đồng điều địa phương Trong chương này, trước hết chúng tơi trình bày hàm tử dẫn xuất trái hàm tử đầy đủ I -adic, ΛI (−) Tiếp theo chúng tơi trình bày định nghĩa mơđun đồng điều địa phương số tính chất Chương Đồng điều địa phương môđun Artin Trong chương trình bày số tính chất đồng điều địa phương cho lớp môđun Artin, cụ thể dãy nối dương mạnh, tính Acyclic, tính Artin Noether, tính triệt tiêu khơng triệt tiêu môđun đồng điều địa phương Luận văn hoàn thành nhờ hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy hướng dẫn TS Nguyễn Thái Hịa, Trường Đại học Quy Nhơn Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ download by : skknchat@gmail.com suốt q trình học tập thực luận văn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến quý Ban lãnh đạo Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Toán Thống kê quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Đại số lí thuyết số khóa 20 giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến người thân, bạn bè ln giúp đỡ động viên để tơi hồn thành khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện download by : skknchat@gmail.com Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Đầy đủ Nội dung phần trình bày theo tài liệu [16] cho R vành giao hốn có đơn vị Định nghĩa 1.1.1 Một vành lọc R vành R với họ (Rn )n≥0 nhóm R thoả điều kiện: (i) R0 = R; (ii) Rn+1 ⊂ Rn với n 0; (iii) Rn Rm ⊂ Rn+m với n, m Ví dụ 1.1.2 Giả sử R vành Lấy R0 = R Rn = với n Khi đó, ta kiểm tra định nghĩa (Rn )n lọc vành R gọi lọc tầm thường Cho I iđêan R Khi (I n )n lọc R gọi lọc I -adic Cho (Rn )n Khi (Rn ∩ S)n vành lọc R S vành R lọc cảm sinh S download by : skknchat@gmail.com Định nghĩa 1.1.3 Cho R vành lọc với lọc (Rn )n Một R-môđun M lọc R-môđun M với họ {Mn }n≥0 R-môđun M thoả mãn điều kiện: (i) M0 = M ; (ii) Mn+1 ⊂ Mn với n 0; (iii) Rn Mm ⊂ Mn+m với n, m Ví dụ 1.1.4 Cho M R-mơđun R có lọc tầm thường Khi M có lọc tầm thường định nghĩa M0 = M Mn = với n Cho I iđêan R xét lọc I -adic R Định nghĩa lọc I -adic M cách lấy Mn = I n M Khi M R-môđun lọc Cho M R-môđun lọc Lọc (Mn )n M xác định tơpơ M tương ứng với nhóm abel M mà (Mn )n sở lân cận cận Tôpô gọi tôpô cảm sinh lọc (Mn )n Cho M R-môđun với lọc (Mn )n Với tôpô định nghĩa lọc, M có bao đầy đủ M Một dãy (xn ) phần tử M gọi dãy Cauchy với k ∈ N, tồn n0 cho xm − xn ∈ Mk với m, n n0 Khi đó, bao đầy đủ M M tập lớp tương đương dãy Cauchy phần tử môđun M ứng với quan hệ tương đương định nghĩa sau: (xn ) ∼ (yn ) với m tồn n0 cho xn − yn ∈ Mm , với n n0 Định nghĩa 1.1.5 Tôpô định nghĩa M lọc I -adic gọi tôpô I-adic bao đầy đủ M gọi bao đầy đủ I-adic Cho M R-môđun I iđêan R Cho M R đầy đủ I -adic tương ứng M R Định nghĩa phép nhân vô hướng R lên M xác định (an )(xn ) = (an xn ) download by : skknchat@gmail.com (an ) dãy Cauchy R (xn ) dãy Cauchy M Với phép toán cộng phép nhân vơ hướng M R-mơđun 1.2 Phạm trù hàm tử Trong phần này, R vành giao hốn có đơn vị Nội dung phần trình bày theo [5], [15], [17] 1.2.1 Phạm trù hàm tử Định nghĩa 1.2.1.1 Một phạm trù K cho bởi: (K1 ) Một lớp vật Ob(K) mà phần tử Ob(K) gọi vật phạm trù K (K2 ) Với hai vật tuỳ ý A, B ∈ Ob(K) xác định tập hợp M orK (A, B) gọi tập hợp cấu xạ từ A đến B cho với hai cặp khác vật (A, B) = (C, D) MorK (A, B) ∩ MorK (C, D) = ∅ (K3 ) Với ba vật A, B, C ∈ Ob(K) có ánh xạ MorK (A, B) × MorK (B, C) −→ MorK (A, C) (f, g) → gf gọi phép nhân cho tiên đề sau thoả mãn: (i) Phép nhân có tính kết hợp, nghĩa với ba cấu xạ f ∈ Mor(A, B), g ∈ Mor(B, C) h ∈ Mor(C, D) (hg)f = h(gf ) (ii) Với A ∈ Ob(K) tồn cấu xạ 1A ∈ Mor(A, A), gọi cấu xạ đồng nhất, cho với B ∈ Ob(K), với f ∈ Mor(A,B), ta có f 1A = f 1B f = f, với 1B ∈ M or(B, B) download by : skknchat@gmail.com 36 ta có Im πtk = (N ∩ I t P ) + I k N /I k N = N ∩ I k (I t−k P + N ) /I k N = N ∩ I k (I n0 P + N ) /I k N Biểu thức không phụ thuộc vào t, điều {Ht } thoả mãn (ML) Do h tồn cấu định lý chứng minh Môđun Artin hiển nhiên thoả mãn giả thiết định lý Do ta có hệ sau Hệ 2.1.6 Giả sử M R-môđun Artin Khi tồn cấu tự nhiên ϕM : LI0 (M ) → ΛI (M ) đẳng cấu Hệ 2.1.7 Giả sử M R-mơđun Khi phát biểu sau tương đương: (i) IM = M ; (ii) LI0 (M ) = 0; (iii) ΛI (M ) = Chứng minh (i) ⇒ (ii) Từ giả thiết ta có M = I t M với t ≥ Do theo Định lý 2.1.5 ta có t LI0 (M ) ∼ lim = ΛI (M ) = ← − M/I M = t (ii) ⇒ (iii) Được suy từ toàn cấu tự nhiên ϕM : LI0 (M ) → ΛI (M ) (iii) ⇒ (i) Suy từ định nghĩa ΛI (M ) download by : skknchat@gmail.com 37 2.2 Môđun đồng điều địa phương Trong phần này, xét môđun vành Noether R I iđêan R Chúng ta biết môđun đối đồng điều địa phương thứ i môđun M theo iđêan I , ký hiệu HIi (M ) định nghĩa i t HIi (M ) = lim −→ ExtR R/I ; M t Điều gợi ý định nghĩa sau Có thể xem đối ngẫu với khái niệm Định nghĩa 2.2.1 Cho I iđêan R M R-môđun Môđun đồng điều địa phương thứ i môđun M theo iđêan I , ký hiệu HiI (M ), xác định R t HiI (M ) = lim ←− Tori R/I ; M t Chú ý 2.2.2 (i) Chú ý HiI (M ) = lim Hi R/I t ⊗ F• với F• phép ←− giải xạ ảnh mơđun M Mặt khác, t I Li (M ) t = Hi lim ←−(R/I ⊗ F• ) Do t ta có ánh xạ tự nhiên ϕi : LIi (M ) → HiI (M ), ánh xạ toàn cấu theo xem([6],1·1) Trong phần tiếp theo, thấy ánh xạ đẳng cấu với M Artin (ii) Rõ ràng H0I (M ) ∼ = ΛI (M ) Hơn M mơđun hữu hạn sinh theo Chú ý 2.1.3 (iii) ta có LIi (M ) = với i > Do HiI (M ) = theo (i) Tiếp theo chứng minh số tính chất mơđun đồng điều địa phương với giả thiết M môđun Artin Mệnh đề 2.2.3 Cho M R-mơđun Khi phát biểu sau (i) Với i ≥ 0, môđun đồng điều địa phương HiI (M ) I -tách, nghĩa I s HiI (M ) = s>0 download by : skknchat@gmail.com 38 (ii) Giả sử (R, m) vành địa phương Khi với i ≥ 0, ta có HiI D(M ) ∼ = D HIi (M ) với D(M ) = HomR (M, E) đối ngẫu Matlis môđun M E = E(R, m) bao nội xạ trường thương R/m Chứng minh (i) Chú ý với hệ nghịch {Mt }, ta có I lim ←− Mt ⊆ lim ←− IMt t t t Vì I s TorR i (R/I ; M ) = với s ≥ t nên s>0 s t I I s HiI (M ) ∼ lim TorR (R/I ; M) = lim i ←− ←− s t s R t ⊆ lim ←− lim ←− I Tori (R/I ; M ) s t s R t ∼ = lim ←− I Tori (R/I ; M ) = 0, ←− lim s t (ii) Chú ý với hệ trực tiếp R-mơđun {Nt }, ta có lim D(Nt ) ∼ = ←− t i t t xem ([19], 2.27) TorR i R/I , D(M ) = D ExtR (R/I ; M ) D lim −→ Nt t Do ta có R t HiI (D(M )) ∼ = lim ←− Tori R/I , D(M ) t i t ∼ = lim ←− D ExtR (R/I ; M ) t i t ∼ = D lim −→ ExtR (R/I ; M ) =D t HiI (M ) Mệnh đề chứng minh Cho f : R → R đồng cấu vành Noether M R -mơđun Khi M xem R-mơđun f Do HiI (M ) cịn có cấu trúc tự nhiên ΛI (R)-mơđun Chúng ta có mệnh đề sau download by : skknchat@gmail.com 39 Mệnh đề 2.2.4 Cho f : R → R đồng cấu vành Noether M R −mơđun Khi có đẳng cấu ΛI (R)-môđun HiI (M ) ∼ = HiIR (M ) với i download by : skknchat@gmail.com 40 Chương Đồng điều địa phương môdun Artin Trong chương nghiên cứu môđun đồng điều địa phương môđun Artin Biết Greenlees May đưa định nghĩa môđun đồng điều địa phương vành giao hoán (xem [6]) Định nghĩa không tương đương với định nghĩa Nguyễn Tự Cường Trần Tuấn Nam (xem [4, 3.1]) trường hợp tổng quát Tuy nhiên, định nghĩa tương đương trường hợp môđun Artin Nội dung chương trình bày theo [4] 3.1 Dãy nối dương mạnh Trước tiên, tương đương Định nghĩa 2.2.1 định nghĩa Greenlees-May (xem [6, 2.4]) môđun đồng điều địa phương trường hợp M Artin Mệnh đề 3.1.1 Cho I iđêan vành R M R-mơđun Artin Khi với i ta có đẳng cấu HiI (M ) ∼ = LIi (M ) download by : skknchat@gmail.com 41 Chứng minh Theo [6, 1.1], với i có dãy khớp ngắn sau R t I I −→ lim ←− Tori+1 (R/I ; M ) −→ Li (M ) −→ Hi (M ) −→ t Vì M mơđun Artin vành Noether R nên dễ dàng kiểm tra t TorR i+1 (R/I ; M ) R-môđun Artin Theo Bổ đề 2.1.4 (ii) ta có R t lim ←− Tori+1 (R/I ; M ) = t Hệ sau suy trực tiếp từ Mệnh đề 3.1.1 chứng tỏ dãy hàm tử {HiI (−)} dãy nối dương mạnh từ phạm trù mơđun Artin vào Hệ 3.1.2 Cho dãy khớp ngắn môđun Artin −→ M −→ M −→ M ” −→ Khi ta có dãy khớp dài môđun đồng điều địa phương · · · −→ HiI (M ) −→ HiI (M ) −→ HiI (M ”) −→ · · · −→ H0I (M ) −→ H0I (M ) −→ H0I (M ”) −→ 3.2 Acyclic môđun đồng điều địa phương HiI (M ) Bổ đề 3.2.1 Cho {Mt } hệ ngược R-môđun Artin N R-môđun hữu hạn sinh Khi ta có đẳng cấu R ∼ TorR lim i (N ; ← − Mt ) = lim ←− Tori (N ; Mt ) t t với i ≥ Chứng minh Vì N mơđun hữu hạn sinh nên lấy phép giải tự F• N gồm mơđun tự hữu hạn sinh F• : · · · −→ Fi −→ Fi−1 −→ · · · −→ F1 −→ F0 −→ N −→ download by : skknchat@gmail.com 42 Vì giới hạn nghịch giao hốn với tích trực tiếp nên ta có đẳng cấu F• ⊗R lim Mt ∼ = lim ←− ←−(F• ⊗R Mt ) t t Mặt khác, Fi ⊗R Mt Artin với i, t nên theo Bổ đề 2.1.4, ta có ∼ lim ←− Hi (F• ⊗R Mt ) = Hi lim ←−(F• ⊗R Mt ) t t Từ suy điều cần chứng minh Mệnh đề 3.2.2 (xem [4, 4.4]) Cho M R-mơđun Artin Khi HiI HjI (M ) ∼ = HjI (M ), i = 0, j 0, i > 0, j 0; Hệ 3.2.3 Cho M R-mơđun Artin Khi I tM ∼ = HiI t>0 0, i = 0; I Hi (M ), i > Chứng minh Vì M R-môđun Artin nên tồn số nguyên dương n cho I t M = I n M với t n Do ∩t>0 I t M = I n M ΛI (M ) ∼ = M/I n M (do t n M/I t M = M/I n M ) Do có dãy khớp ngắn môđun Artin sau −→ ∩t>0 I t M −→ M −→ ΛI (M ) −→ Theo Hệ 3.1.2, có dãy khớp dài môđun đồng điều địa phương I · · · −→ Hi+1 ΛI (M ) −→ HiI ∩t>0 I t M −→ HiI (M ) −→ HiI ΛI (M ) −→ · · · −→ H1I ΛI (M ) −→ H0I ∩t>0 I t M −→ H0I (M ) −→ H0I ΛI (M ) −→ Do theo Mệnh đề 3.2.2, với i > ta có I HiI ΛI (M ) = = Hi+1 ΛI (M ) nên HiI ∩t>0 I t M ∼ = HiI (M ) Với i = 0, H0I ΛI (M ) ∼ = H0I (M ), H0I ∩t>0 I t M = dẫn đến điều mâu thuẫn Vậy H0I ∩t>0 I t M = mệnh đề chứng minh download by : skknchat@gmail.com 43 3.3 Tính Artin Noether mơđun đồng điều địa phương Nếu M môđun Artin vành địa phương (R, m) với i t t > ta có TorR i (R/I ; M ) R-môđun Artin Điều dẫn đến t TorR i (R/I ; M ) có cấu trúc tự nhiên mơđun Artin vành đầy đủ m-adic R R Do HiI (M ) có cấu trúc R-mơđun Mệnh đề 3.3.1 Cho (R, m) vành địa phương M R-mơđun Artin Khi Him (M ) R-mơđun Noether với i ≥ Chứng minh Áp dụng Hệ 2.2.4 với mR = R ta có đẳng cấu ΛI (R)môđun Him (M ) ∼ = HimR (M ) Do khơng tính tổng qt ta giả sử (R, m) vành địa phương đầy đủ Khi theo đối ngẫu Matlis D(M ) R-mơđun Noether Do Him (D(M )) R-mơđun Artin (xem [3, Định lí 7.1.3]) Mặt khác, D(D(M )) ∼ = M nên theo Mệnh đề 2.2.3 (ii) ta suy Him (M ) ∼ = Him D(D(M )) ∼ = D Hmi (D(M )) Vì Hmi (D(M )) mơđun Artin nên D Hmi (D(M )) mơđun Noether Do Him (M ) R-môđun Noether Mệnh đề 3.3.2 Cho M R-môđun Artin s số nguyên dương Khi mệnh đề sau tương đương: (i) HiI (M ) Artin với i < s; (ii) I ⊆ Rad(AnnR (HiI (M ))) với i < s Chứng minh (i) ⇒ (ii) Với i < s Do HiI (M ) Artin với i < s, có I t (HiI (M )) = với số nguyên dương t theo Mệnh đề 2.2.3 (i) Từ suy I ⊆ Rad(AnnR (HiI (M ))) download by : skknchat@gmail.com 44 (ii) ⇒ (i) Chúng ta chứng minh quy nạp theo s Với s = 1, M Artin nên tồn số nguyên dương n cho M/I n M ∼ = = ΛI (M ) ∼ H0I (M ) Do H0I (M ) Artin Với s > 1, theo Hệ 3.2.3 thay M ∩n>0 I n M Môđun cuối I n M với n đủ lớn Do giả sử IM = M Do M Artin nên tồn phần tử x I cho xM = M Do theo giả thiết, tồn số nguyên dương t cho xt HiI (M ) = với i < s Khi có dãy khớp ngắn xt 0→ − :M xt → − M− →M → − 0, cảm sinh dãy khớp môđun đồng điều địa phương theo Hệ 3.1.2 I I I −→ Hi+1 (M ) −→ H(0: t −→ Hi (M ) −→ 0, Mx ) với i < s − Điều dẫn đến I ⊆ Rad(AnnR (HiI (0 :M xt ))) theo giả thiết quy nạp HiI (0 :M xt ) Artin với i < s − Vậy HiI (M ) I Artin với i < s Do Hi+1 (M ) mơđun Artin với i < s − Từ có điều phải chứng minh 3.4 Tính triệt tiêu khơng triệt tiêu môđun đồng điều địa phương Để chứng minh tính chất tính triệt tiêu mơđun đồng điều địa phương nhắc lại khái niệm chiều Noether R-môđun Artin M , ký hiệu K -dim M , đưa Robert [18] Định nghĩa 3.4.1 Cho M R-môđun Artin Chiều Noether định nghĩa quy nạp sau: Khi M = ta đặt N -dim M = −1 Theo quy nạp, với số nguyên α, ta đặt N -dim M = α thoả mãn hai điều kiện sau: download by : skknchat@gmail.com 45 (i) N -dim M < α sai; (ii) Với dây chuyền tăng M0 ⊆ M1 ⊆ · · · môđun M , tồn số nguyên dương m0 thoả mãn K -dim (Mm+1 /Mm ) < α với m m0 Như vậy, M môđun Noether khác không N -dim M = Bây chứng minh định lý triệt tiêu đồng điều địa phương, xem đối ngẫu với định lý triệt tiêu Grothendieck đồng điều địa phương cho môđun Noether Mệnh đề 3.4.2 Cho M R-môđun Artin với N -dim M = d Khi với i > d ta có HiI (M ) = Chứng minh Chúng ta chứng minh quy nạp theo d = N -dim M Khi d = M Noether Do HiI (M ) = với i > theo Chú ý 2.2.2 (ii) Giả sử d > Chú ý N -dim M N− dim (∩t>0 I t M ) Bằng cách lập luận chứng minh Mệnh đề 3.3.2, thay M ∩t>0 I t M Khi N -dim M < d tồn phần tử x ∈ I thoả mãn xM = M Như thế, dãy khớp ngắn môđun Artin x −→ :M x −→ M − → M −→ cảm sinh dãy khớp dài môđun đồng điều địa phương x I · · · −→ HiI (0 :M x) −→ HiI (M ) − → HiI (M ) −→ Hi−1 (0 :M x) −→ · · · Theo chứng minh Mệnh đề [18] có N -dim (0 :M x) N -dim M − Do theo giả thiết quy nạp suy HiI (0 :M x) = với i > d − Do HiI (M ) ∼ = xHiI (M ) với i > d, từ suy H I (M ) ∼ = ∩t>0 xs H I (M ) = theo Mệnh đề 2.2.3 (i) Vậy ta có điều cần i i chứng minh Để chứng minh tính chất khơng triệt tiêu R-môđun đồng điều địa phương sử dụng đến kiến thức iđêan nguyên tố đối gắn kết, download by : skknchat@gmail.com 46 xem lý thuyết đối ngẫu iđêan nguyên tố gắn kết theo Macdonald [11] Mệnh đề 3.4.3 Cho (R, m) vành địa phương M R-môđun Artin khác không với N -dim M = d Khi Hdm (M ) = AssR (Hdm (M )) = {p ∈ AttR (M )| dim R/p = d} Chứng minh Theo Hệ 2.2.4 có đẳng cấu R-môđun Hdm (M ) ∼ = HdmR (M ) Chú ý mR = m (R, m) vành địa phương, theo ta có N -dimR M = N -dimR M theo ([21, 1.12]) Như không tính tổng qt ta giả sử (R, m) vành địa phương đầy đủ Khi đó, theo đối ngẫu Matlis D(M ) R-môđun hữu hạn sinh khác không Hơn nữa, Att(M )= Ass(D(M )) theo ([20, 2.3]), dim D(M ) = N -dim M = d Vì Hmd (D(M )) = theo ([11, 2.2]) Att(Hmd (D(M ))) = {p ∈ Ass(D(M )) = Att(M ) | dim R/p = d} Kết suy từ đối ngẫu Matlis download by : skknchat@gmail.com 47 KẾT LUẬN Trong luận văn chúng tơi trình bày chứng minh chi tiết số kết [4], cụ thể là: Chương 1, chúng tơi trình bày số kiến thức như: đầy đủ, phạm trù hàm tử, hàm tử Hom, hàm tử tenxơ, hàm tử a-xoắn, đồng điều phức đối đồng điều phức, hàm tử giới hạn thuận, hàm tử giới hạn ngược, hàm tử dẫn xuất phải, hàm tử đối đồng điều địa phương, hàm tử mở rộng, hàm tử dẫn xuất trái, đối ngẫu Matlis Chương 2, giới thiệu hàm tử dẫn xuất trái hàm tử đầy đủ I -adic, ΛI (−) điều kiện để LI (M ) ∼ = ΛI (M ) (xem 2.1.4) Tiếp theo chúng tơi trình bày định nghĩa môđun đồng điều địa phương (2.2.1) số tính chất Chương 3, chúng tơi số tính chất đồng điều địa phương cho lớp môđun Artin, cụ thể dãy nối dương mạnh, tính Acyclic, tính Artin Noether, tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đồng điều địa phương download by : skknchat@gmail.com 48 Tài liệu tham khảo [1] Atiyah M F., Macdonald I.G.,Introduction to Commutative Algebra, Reading Mass (1969) [2] Brodmann M P., Lectures on local cohomology, Institute of Mathematics Hanoi 2001 [3] Brodmann M P and Sharp R Y Local cohomology: an algebraic introduction with geometric applications Cambridge University Press, 1998 [4] N T Cuong, T T Nam, The I-adic completion and local homology for Artinian modules, Math Proc Caub, Phil Soc (2001), pp 131-161 [5] Gopalakrishman N S., Commutative Algebra Dume, 1954 [6] Greenlees J P C and May J P Derived factors of I-adic completion and local homology J Algebra 149 (1992), 438-453 [7] Grothendieck A Local cohomology Lect Notes in Math, 20 SpringerVerlag, 1966 [8] Hartshorne R Algebraic geometry Springer-Verlag, 1977 [9] Jensen C U., Les Foncteurs Dérivés de lim et leurs Applications en ←− Théorie des Modules Springer-Verlag, 1972 [10] Kirby D Coprimary decomposition of Artinian J London Math Soc (1973), pp 571-576 download by : skknchat@gmail.com modules 49 [11] Macdonald I G Secondary representation of modules over a commutative ring Symmposia Mathematica 11 (1973), pp 23-43 [12] Macdonald I G and Sharp R Y.,An elementary proof of the nonvanish-ing of certain local cohomology modules, Quart J Math Oxford (2), 22(1972), pp 197-204 [13] Matlis E (1958), Injective modules over Noetherian rings, Pacific J Math, (8), pp 511-529 [14] Matlis E The Kosul complex and duality Comm Algebra (2), (1974), pp 87-144 [15] Matlis E The higher properties of R-sequences J Algebra 50 (1978), pp 77-112 [16] Matsumura H Commutative ring theory Cambridge University Press, 1986 [17] Northcott D G An introduction to homological algebra Cambridge University Press, 1960 [18] Roberts R N Krull dimension for Artinian modules over quasi-local commutative rings Quarl J Math Oxford (3), 26 (1975), pp 269-273 [19] Rotman J J An introduction to homological algebra Academic Press, 1979 [20] Sharp R Y A method for the study of Artinian modules with an application to asymptotic behavior In: Commutative Algebra, Math Sciences Research Inst Publ No 15 Springer-Verlag (1989), pp 443465 [21] Sharp R Y Some results on vanishing of local cohomology module Proc London Math Soc (3),30 (1975), pp 177-195 download by : skknchat@gmail.com 50 [22] Tang Z Local homology theory for Artinian modules Comm Algebra (5), 22 (1994), pp 1675-1684 download by : skknchat@gmail.com ... j, đặt µj ,i : Mj → Mi R -đồng cấu giả sử ? ?i? ??u kiện sau thoả mãn: (i) ? ?i, i = idMi v? ?i i ∈ I; (ii) µk ,i = µj ,i ◦ µk,j v? ?i i j k Khi họ R -môđun {Mi }i? ? ?I v? ?i họ R -đồng cấu {µj ,i }i j g? ?i hệ ngược... Artin v? ?i i < s − Vậy HiI (M ) I Artin v? ?i i < s Do Hi+1 (M ) mơđun Artin v? ?i i < s − Từ có ? ?i? ??u ph? ?i chứng minh 3.4 Tính triệt tiêu không triệt tiêu môđun đồng ? ?i? ??u địa phương Để chứng minh tính... tính chất mơđun đồng ? ?i? ??u địa phương v? ?i giả thiết M môđun Artin Mệnh đề 2.2.3 Cho M R -môđun Khi phát biểu sau (i) V? ?i i ≥ 0, môđun đồng ? ?i? ??u địa phương HiI (M ) I -tách, nghĩa I s HiI (M ) = s>0