Nội dung của tiết này được trình bày theo [2].
Định nghĩa 1.6.1.1. ChoM là mộtR-môđun. Mộtphép giải phải((E•, e•);b)
của R-môđun M gồm một đối phức các R-môđun (E•, e•) và một đồng cấu b : M → E• thoả mãn hai điều kiện sau:
(i) Ei = 0, với mọi i < 0;
(ii) Dãy 0 →M −→b E0 e
0
−→ E1 e1
−→E2 → · · · là khớp.
Định nghĩa 1.6.1.2. Cho M là một R-môđun. Một phép giải nội xạ của M là một phép giải phải ((I•, d•);a) của M sao cho tất cả các R-môđun Ii là nội xạ, tức là ta có dãy khớp
0 →M −→a I0 d
0
−→I1 d1
−→ I2 → · · · với các R-môđun I0, I1, I2, . . . là nội xạ.
Theo Bổ đề Eckmann-Schopf và bằng quy nạp theo n, chúng ta có thể xây dựng các R-môđun nội xạ I0, I2, . . . , In, . . . và các đồng cấu của các R-môđun:
M −→a I0, I0 −d→0 I1, . . . , In−1 −−→dn−1 In, . . . sao cho dãy
0 →M −→a I0 d
0
−→I1 −d1→ I2 → · · · là khớp. Khi đó, ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.6.1.3. Mỗi R-môđun M đều tồn tại một phép giải nội xạ
((I•, d•);a).
Định nghĩa 1.6.1.4. Cho h : M →N là một đồng cấu của cácR-môđun. Cho ((D•, d•);a), ((E•, e•);b) lần lượt là các phép giải phải của M và N. Khi đó,một phép giải phải của h(giữa((D•, d•);a)và((E•, e•);b)) là một đồng cấu của các đối phức h• : (D•, d•) → (E•, e•) sao cho h0 ◦a = b◦h, tức là biểu đồ sau giao hoán
0 > M a> D0 d 0 > D1 d 1 > D2 d 2 >· · · 0 > N h ∨ b > E0 h0 ∨ e0 > E1 h1 ∨ e1 > E2 h2 ∨ e2 >· · · .
Ghi chú 1.6.1.5. Cho h : M → N là một đồng cấu các R-môđun. Cho
((D•, d•);a) là một phép giải phải của M và ((I•, i•);a) là một phép giải nội xạ của N. Khi đó
1. Tồn tại h• : (D•, d•) → (I•, i•) là một phép giải phải của h.
2. Nếuh•, l• : (D•, d•) →(I•, i•) là các phép giải phải củah thì h• ∼ l•. 3. Giả sử F : ModR → ModR là một hàm tử cộng tính hiệp biến. Khi
đó ta có:
a. Cho h•, l• : (D•, d•) → (I•, i•) là hai phép giải phải của h. Khi đó với mọi n ∈ N, hai đồng cấu
là bằng nhau, tức là Hn(F(h•)) = Hn(F(l•)).
b. Đặt ((I•, i•);a) := I,((J•, j•);a) := J là hai phép giải nội xạ của R-môđun M và cho
k• : (I•, i•) →(J•, j•)
là một phép giải của idM : M → M. Khi đó với mỗi n ∈ N ta có đẳng cấu
Hn(F(k•)) : Hn(F(I•), F(i•)) −→∼= Hn(F(J•), F(j•)).
c. Chok•, h• : (I•, i•) →(J•, j•) là các phép giải phải củaidM. Khi đó, hai đẳng cấu
Hn(F(k•)), Hn(F(h•)) : Hn(F(I•), F(i•)) −→∼= Hn(F(J•), F(j•))
bằng nhau, tức là Hn(F(k•)) =Hn(F(h•)).
Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng hàm tử dẫn xuất phải của một hàm tử cho trước. Cho F : Mod(R) → Mod(R) là một hàm tử cộng tính hiệp biến. Khi đó mỗi R-môđun M ta có thể chọn một phép giải nội xạ IM = ((IM• , i•M);aM), nghĩa là với mỗi R-môđun M, ta có dãy khớp sau:
0→ M −→aM IM0 i 0 M −→ IM1 i 1 M −→ IM2 i 2 M −→ · · ·
với mọi môđun IMn là nội xạ. Khi đó ta ký hiệu I∗ là phép gán M IM = ((IM• , i•M);aM)
và gọi I∗ là sự lựa chọn của các phép giải nội xạ. Với mỗi môđun M tuỳ ý, ta định nghĩa
RnI
∗F(M) := Hn(F(IM• ), F(i•M)),(n∈ N). (N)
Thật vậy, chúng ta xét đối phức của các R-môđun · · · →0 F(i −1 M) −−−→ F(IM0 ) F(i 0 M) −−−→ F(IM1 ) F(i 1 M) −−−→ F(IM2 ) F(i 2 M) −−−→ F(IM3 ) F(i 3 M) −−−→ · · ·
và các R-môđun
RnI∗F(M) := Ker(F(inM))/Im(F(inM−1)). (N0) Cho h : M → N là đồng cấu các R-môđun. Khi đó h có một phép giải phải h• : (IM• , i•M) → (IN• , i•N) sao cho biểu đồ sau với các dòng khớp sau giao hoán 0 > M aM> IM0 i 0 M > i1M i 1 M > IM2 i 2 M >· · · 0 > N h ∨ b N > IN0 h0 ∨ i0 N > i1N h1 ∨ i1 N > IM2 h2 ∨ i2 M >· · · Khi đó ta có thể xem đồng cấu
Hn(F(h•)) : Hn(F(IM• ), F(i•M)) →Hn(F(IN• ), F(i•N))
như phép giải phải h• của h. Mở rộng định nghĩa (N) ở trên, ta có thể định nghĩa với bất kỳ n∈ N : Rn I∗F(M) R n I∗F(h):=Hn(F(h•)) −−−−−−−−−−−−→Rn I∗F(N). (NN) Khi đó ta có thể viết RnI∗F(h) : RnI∗F(M) =Ker(F(inM))/Im(F(iMn−1)) →Ker(F(inN))/Im(F(inN−1)) = RnI∗F(N) m+Im(F(inM−1)) 7→hn(m) +Im(F(inN−1)). Cố định n ∈ N. Khi đó phép gán Rn I∗F(·) = Rn I∗F : (M −→h N) (Rn I∗F(M) R n I∗F(h) −−−−→ Rn I∗F(N))
xác định một hàm tử tuyến tính hiệp biến từ phạm trù Mod(R) vào chính nó. Hàm tử Rn
I∗F(·) = Rn
I∗F được gọi là hàm tử dẫn xuất phải thứ n của F tương ứng với I∗.
Chúng ta có thể chứng minh rằng định nghĩa trên không phụ thuộc vào I∗.
Định nghĩa 1.6.1.6. Hàm tửRn
I∗F(·) = RnF gọi làhàm tử dẫn xuất phải thứ n của hàm tử F.
Ghi chú 1.6.1.7. 1. RnF(M) và RnF(f) được định nghĩa không phụ thuộc vào phép giải nội xạ. Hơn nữa, RnF (n ≥ 0) là hàm tử hiệp biến cộng tính.
2. Cho F là một hàm tử cộng tính hiệp biến. Khi đó (i) RnF(M) = 0, n ≥ 1 nếu M là nội xạ.
(ii) R0T ∼= F nếu F là khớp trái.
(iii) Cho bất kỳ dãy khớp các R-môđun 0 → M0 →−f M −→g M” → 0 thì tồn tại dãy khớp · · · → RnF(M”) R nF(g) −−−−→ RnF(M) R nF(f) −−−−→ RnF(M0) →Rn+1F(M0) → · · · 1.6.2 Hàm tử đối đồng điều địa phương
Cho R là một vành Noether và a là một iđêan của vành R. Xét hàm tử a-xoắn Γa(−). Nó là một hàm tử cộng tính hiệp biến. Cho M là một R-môđun. Tồn tại một phép giải nội xạ (I•, d•) của M, vì vậy ta có dãy khớp: 0 →M −→a I0 d 0 −→I1 d 1 −→ I2 → · · ·
với các R-môđun nội xạIi.Tiếp theo tác động hàm tử Γa(−) cho đối phức · · ·0 d 0 −→ I0 d 0 −→ I1 d 1 −→I2 → · · · ta có đối phức mới Γa(I•), Γa(d•): · · ·0 Γa(d 0) −−−→ Γa(I0) Γa(d 0) −−−→ Γa(I1) Γa(d 1) −−−→ Γa(I2) → · · · Sau đó áp dụng đối đồng điều thứ n cho đối phức này ta được
Han(M) = Hn Γa(I•), Γa(d•)
= Ker Γa(dn)/Im Γa(dn−1).
Cho h : M → N là một đồng cấu các R-môđun. Đồng cấu đối đồng điều địa phương thứ n ứng với iđêan a cảm sinh bởi h là đồng cấu
Định nghĩa 1.6.2.1. Môđun đối đồng điều địa phương thứ n của R- môđun M tương ứng với iđêan a được định nghĩa là Han(M).
Định nghĩa 1.6.2.2. Cho a là một iđêan củaR. Hàm tử đối đồng điều địa phương thứn Han(•) = Hanlà hàm tử dẫn xuất phải thứn RnΓa(•) = RnΓa của hàm tử a-xoắn.
Định lý 1.6.2.3. (xem[3])Giả sử (R,m) là một vành Noether địa phương và cho M là R-môđun khác không hữu hạn sinh với dimM = d. Khi đó
1. Hmi(M) = 0 với mọi i > dimM;
2. Hmd(M) 6= 0;
3. Hmn(M) là R-môđun Artin với mọi n ∈ N0. 1.6.3 Hàm tử mở rộng
Định nghĩa 1.6.3.1. Hàm tử mở rộng thứ n ExtnR(M,•) là hàm tử dẫn xuất phải thứn RnFM(•) =RnFM của hàm tử FM = HomR(M,−),trong đó M là một R-môđun.
Với mỗi R-môđun N. Tồn tại phép giải nội xạ (I•, d•), a của N. Khi đó ta có dãy khớp
0−→ N −→a I0 −d→0 I1 −d→1 I2 → · · ·
với cácR-môđun nội xạIi.Tiếp theo tác động hàm tử HomR(M,−) =FM cho đối phức (I•, d•) tương ứng là
0 d −1 −−→ I0 d 0 −→I1 d 1 −→ I2 → · · · ta được đối phức mới FM(I•), FM(d•) :
0 FM(d −1) −−−−−→ FM(I0) FM(d 0) −−−−→FM(I1) FM(d 1) −−−−→ FM(I2) → · · ·
trong đó FM(di) = HomR(1M, di) với mọi i ∈ Z. Sau đó chúng ta áp dụng đối đồng điều thứ n cho đối phức này ta được
ExtnR(M, N) =Hn FM(I•), FM(d•)
= Ker FM(dn)/Im FM(dn−1)
với n∈ N.
Định nghĩa 1.6.3.2. Giả sửn∈ N.Tích mở rộng thứncủa các R-môđun M, N được định nghĩa là ExtnR(M, N).
Cho h :N →P là một đồng cấu các R-môđun, ta có đồng cấu tích mở rộng thứ n của đồng cấu 1M, h:
Extn(1M, h) : Extn(M, N) →Extn(M, P). Ghi chú 1.6.3.3. Vì hàm tử HomR(M,−) là khớp trái nên
Ext0R(M, N) ∼= Hom(M, N). 1.6.4 Hàm tử dẫn xuất trái
Nội dung của tiết này được trình bày theo [19].
Định nghĩa 1.6.4.1. Cho M là một R-môđun. Một phép giải xạ ảnh của M là một dãy khớp các R-môđun
X :· · · → Xn dn
−→ Xn−1 → · · · → X2 d2
−→ X1 d1
−→ X0 −→ M → 0
trong đó Xi là R-môđun xạ ảnh với mọi i > 0.
Nếu X là một phép giải xạ ảnh của M, chúng ta ký hiệu X −→ M →0. Mệnh đề 1.6.4.2. Cho X là một R-môđun. Khi đó tồn tại phép giải xạ ảnh của M.
Định lý 1.6.4.3. Cho f : M → M0 là một đồng cấu các R-môđun,
X −→ M và X0 →−0 M0 là các phép giải xạ ảnh của M và M0. Khi đó tồn tại một đồng cấu F = {Fn}n>0 từ phức X vào phức X0 sao cho f = 0F0. Hơn nữa F là duy nhất sai khác một tương đương đồng luân.
Xét phức thu gọn X : · · · → Xn dn −→Xn−1 → · · · → X2 d2 −→ X1 d1 −→X0 →0
và T là một hàm tử cộng tính hiệp biến từ phạm trù Mod(R) vào chính nó. Khi đó chúng ta có phức:
T(X) : · · · → T(Xn) −−−→T(dn) T(Xn−1) → · · ·−−−→T(d2) T(X1) −−−→T(d1) T(X0) →0. Với mỗi n∈ N môđun đồng điều thứ n của phức T(X)
Hn T(X) = KerT(dn)/ImT(dn+1)
được định nghĩa là LnT(X).
Cho f : M →M0 là một R-đồng cấu và X, X0 là hai phép giải xạ ảnh tương ứng của M và M0. Khi đó, tồn tại một đồng cấu T(f) : T(X) → T(X0). Khi đó từ T(f) dẫn đến các đồng cấu
Tn(f)∗ : Hn T(X)→ Hn T(X0)
với n> 0, tức là LnT(f) : LnT(M) → LnT(M0) với n> 0.
Mệnh đề 1.6.4.4. LnT(M) và LnT(f) được xác định và không phụ thuộc vào phép giải xạ ảnh của M. Hơn nữa LnT với mọi n > 0 là những hàm tử cộng tính hiệp biến.
Định nghĩa 1.6.4.5. Hàm tử LnT(•) được gọi là hàm tử dẫn xuất trái thứ n của hàm tử T.
Định lý 1.6.4.6. Cho T là một hàm tử cộng tính hiệp biến. Khi đó
(i) Nếu M là xạ ảnh thì LnT(M) = 0 với mọi n> 1. (ii) L0T ∼= T nếu T là khớp phải.
(iii) Với một dãy khớp bất kỳ các R-môđun 0 → A →−f B −→g C → 0. Khi đó chúng ta có dãy khớp dài
· · · →LnT(A) −−−−→LnT(f) LnT(B) −−−−→LnT(g) LnT(C) ∂n
−→ Ln−1T(A) → · · · · · · →L1T(C) −∂1→L0T(A) −−−−→L0T(F) L0T(B) −−−−→(L0T)g L0T(C) →0.
1.6.5 Hàm tử xoắn
Bây giờ, chúng ta xét hàm tử dẫn xuất trái của hàm tử tích tenxơ. ChoN là các R-môđun cố định. Xét hàm tửT cho bởiT(M) =M⊗RN và T(f) = f ⊗1N với f : M → M0. Vì T là một hàm tử cộng tính hiệp biến nên LnT(n > 0) được xác định và chúng ta ký hiệu là TorRn(•, N)
thay cho LnT(•).
Từ định nghĩa của LnT, hiển nhiên nếu M là một R-môđun, X −→ M → 0 là một phép giải xạ ảnh của M và X ⊗R N là phức
X ⊗R N : · · · →Xn+1⊗R N → Xn⊗R N → · · · →→ X0 ⊗R N → 0
thì TorRn(M, N) = Hn(M ⊗R N).
Nếu f : M → M0 là một R-đồng cấu và X, X0 là các phép giải xạ ảnh tương ứng của M, M0. Ta có đồng cấu F :X → X0 sao cho f = 0F0
Từ đồng cấu F dẫn đến đồng cấu F = F ⊗R N : X ⊗R N → X0⊗R N. Ta có các đồng cấu cảm sinh từ F : F∗ n : TorRn(M, N) →TorRn(M0, N). Ký hiệu TorRn(f, N).
Nhận xét rằng: Nếu M là xạ ảnh thì TorRn(M, N) = 0 với mọi n > 1, với mọi N và TorR0 (M, N) ∼= M ⊗
R N với hai R-môđun bất kỳ M, N. Mệnh đề 1.6.5.1. Cho 0 →A −→f B −→g C →0 là một dãy khớp ngắn bất kỳ các R-môđun và N là một R-môđun bất kỳ. Khi đó ta có dãy khớp
· · · −→∂ TorRn(A, N) f ∗ −→TorRn(B, N) g ∗ −→TorRn(C, N) →−∂ TorRn−1(A, N) → · · · · · · → TorR1(C, N) −→∂ A⊗N −−→f⊗1 B ⊗N −−→g⊗1 C ⊗N →0,
1.7 Đối ngẫu Matlis
Nội dung của phần này được trình bày theo [14] và ở đây chúng ta xét
(R,m) là vành địa phương Noether. Ký hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường R/m
Định nghĩa 1.7.1. Cho M là R-môđun. Đối ngẫu Matlis của môđun M là môđun
D(M) = HomR(M, E(R/m)).
Sau đây chúng ta sẽ nhắc lại một số tính chất sẽ được sử dụng trong phần sau.
Mệnh đề 1.7.2. Cho M là R-môđun. Khi đó
(i) Ann(D(M)) =Ann(M).
(ii) Nếu M là môđun Noether thì D(M) là môđun Artin.
(iii) Nếu (R,m) là vành đầy đủ thì D(M) là môđun Noether khi và chỉ khi M là môđun Artin.
(iv) Nếu M là môđun Noether thì D(D(M)) ∼= Λ
m(M). (v) Nếu M là môđun Artin thì D(D(M)) ∼= M.
Mệnh đề 1.7.3. Cho M và N là R-môđun. Khi đó với mọi i ≥ 0
(i) D(TorRi (N, M)) ∼= Exti
R(N, D(M)).
(ii) Nếu N là môđun hữu hạn sinh thì D(ExtiR(N, D(M)))∼= TorR
i (N, D(M)). Mệnh đề 1.7.4. Cho {Nt} là hệ thuận các R-môđun. Khi đó
D(lim −→ t Nt) ∼= lim ←− t D(Nt).
Chương 2
Đầy đủ I-adic và môđun đồng điều địa phương
Trong chương này, chúng tôi trình bày theo [4] về đầy đủ I-adic và môđun đồng điều địa phương.
2.1 Hàm tử dẫn xuất của đầy đủ I-adic
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan của R. Cho M là một R-môđun. Xét hệ ngược của các R-môđun {M/ItM} với họ R-đồng cấu
πk,t : M/IkM →M/ItM
xác định bởi πk,t(m) = m +ItM với mỗi m ∈ M và với mọi k > t > 0. Chúng ta dùng ΛI(M) = lim←−
t
M/ItM để chỉ đầy đủ I-adic của M.
Cho f : M → N là một đồng cấu các R-môđun. Với mỗi t ∈ N, đặt đồng cấu
ft : M/ItM → N/ItN
xác định bởift(m+ItM) = f(m) +ItN với mỗi m ∈ M. Khi đó f = {ft} là một đồng cấu từ hệ nghịch{M/ItM} vào hệ nghịch{N/ItN}, thật vậy
ta có biểu đồ giao hoán M/IkM πk,t> M/ItM N/IkN fk ∨ νk,t > N/ItN ft ∨
với mọi k > t > 0. Do đó ta có lim
←− t ft : lim ←− t M/ItM → lim ←− t N/ItN. Xét phép gán • M ΛI(M); • M −→f N ΛI(M) ΛI(f)=lim ←−t ft −−−−−−−→ ΛI(N) .
Chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng phép gán trên là một hàm tử cộng tính hiệp biến từ phạm trù Mod(R) vào chính nó.
Định nghĩa 2.1.1. Hàm tử ΛI(•) được gọi là hàm tử đầy đủ I-adic. Cho phức P• là phép giải xạ ảnh của R-môđun M
P• : · · · →Pn+1 −−→dn+1 Pn −d→n Pn−1 → · · · → P1 −d1→P0 → M → 0. Khi đó ta có phép giải xạ ảnh thu gọn của R-môđun M
P• : · · · → Pn+1 −−→dn+1 Pn −d→n Pn−1 → · · · → P1 −d1→ P0 →0. Tác động hàm tử hiệp biến ΛI(•) vào P• ta được dãy phức sau:
ΛI(P•) : · · · →ΛI(Pn+1) −−−−−→ΛI(dn+1) ΛI(Pn) −−−→ · · · →ΛI(dn) ΛI(P0) →0. Khi đó ta có môđun đồng điều thứ n của phức ΛI(P•)
Hn(ΛI(P•)) = Ker ΛI(dn)
Im ΛI(dn+1) với n > 0
và được gọi là môđun dẫn xuất trái thứ n của môđun M và ký hiệu là LIn(M).
Định nghĩa 2.1.2. Với mỗi n ∈ N0, hàm tử LIi(•) được gọi là hàm tử dẫn xuất trái thứ i của hàm tử ΛI(•).
Chú ý 2.1.3. (i) Vì hàm tử tenxơ không là khớp trái và giới hạn ngược không là khớp phải trên phạm trù Mod(R) nên hàm tử ΛI không là khớp trái và cũng không là khớp phải. Do đó LI0 6= ΛI. Tuy nhiên, LI0 là hàm tử khớp phải. Giả sử
0 −→N −→f P −→g M −→0
là một dãy khớp ngắn các R-môđun với P xạ ảnh. Khi đó ta có dãy sau (không nhất thiết khớp)
ΛI(N) −−−→ΛI(f) ΛI(P) −−−→ΛI(g) ΛI(M) −→ 0. Nhưng Im ΛI(f) ⊆Ker ΛI(g) và ΛI(g) là toàn cấu. Do đó
LI0(M) ∼= Λ
I(P)/Im ΛI(f) và ΛI(M) ∼= Λ
I(P)/Ker ΛI(g). Do đó có một toàn cấu tự nhiên ϕM : LI0(M) → ΛI(M).
(ii) Hai iđêan I và J của vành R được gọi là tương đương căn nếu tồn tại các số dương n và m sao cho In ⊆ J và Jm ⊆ I. Nếu hai iđêan I và J là tương đương căn thì ΛI(M) ∼= Λ
J(M) với mọi môđun M. Từ đó suy ra LIi(M) ∼= LJ
i (M) với mọi i > 0.
(iii) Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Vì