Nội dung của phần này được trình bày theo [14] và ở đây chúng ta xét
(R,m) là vành địa phương Noether. Ký hiệu E(R/m) là bao nội xạ của trường R/m
Định nghĩa 1.7.1. Cho M là R-môđun. Đối ngẫu Matlis của môđun M là môđun
D(M) = HomR(M, E(R/m)).
Sau đây chúng ta sẽ nhắc lại một số tính chất sẽ được sử dụng trong phần sau.
Mệnh đề 1.7.2. Cho M là R-môđun. Khi đó
(i) Ann(D(M)) =Ann(M).
(ii) Nếu M là môđun Noether thì D(M) là môđun Artin.
(iii) Nếu (R,m) là vành đầy đủ thì D(M) là môđun Noether khi và chỉ khi M là môđun Artin.
(iv) Nếu M là môđun Noether thì D(D(M)) ∼= Λ
m(M). (v) Nếu M là môđun Artin thì D(D(M)) ∼= M.
Mệnh đề 1.7.3. Cho M và N là R-môđun. Khi đó với mọi i ≥ 0
(i) D(TorRi (N, M)) ∼= Exti
R(N, D(M)).
(ii) Nếu N là môđun hữu hạn sinh thì D(ExtiR(N, D(M)))∼= TorR
i (N, D(M)). Mệnh đề 1.7.4. Cho {Nt} là hệ thuận các R-môđun. Khi đó
D(lim −→ t Nt) ∼= lim ←− t D(Nt).
Chương 2
Đầy đủ I-adic và môđun đồng điều địa phương
Trong chương này, chúng tôi trình bày theo [4] về đầy đủ I-adic và môđun đồng điều địa phương.
2.1 Hàm tử dẫn xuất của đầy đủ I-adic
Cho R là một vành giao hoán có đơn vị và I là iđêan của R. Cho M là một R-môđun. Xét hệ ngược của các R-môđun {M/ItM} với họ R-đồng cấu
πk,t : M/IkM →M/ItM
xác định bởi πk,t(m) = m +ItM với mỗi m ∈ M và với mọi k > t > 0. Chúng ta dùng ΛI(M) = lim←−
t
M/ItM để chỉ đầy đủ I-adic của M.
Cho f : M → N là một đồng cấu các R-môđun. Với mỗi t ∈ N, đặt đồng cấu
ft : M/ItM → N/ItN
xác định bởift(m+ItM) = f(m) +ItN với mỗi m ∈ M. Khi đó f = {ft} là một đồng cấu từ hệ nghịch{M/ItM} vào hệ nghịch{N/ItN}, thật vậy
ta có biểu đồ giao hoán M/IkM πk,t> M/ItM N/IkN fk ∨ νk,t > N/ItN ft ∨
với mọi k > t > 0. Do đó ta có lim
←− t ft : lim ←− t M/ItM → lim ←− t N/ItN. Xét phép gán • M ΛI(M); • M −→f N ΛI(M) ΛI(f)=lim ←−t ft −−−−−−−→ ΛI(N) .
Chúng ta dễ dàng kiểm tra rằng phép gán trên là một hàm tử cộng tính hiệp biến từ phạm trù Mod(R) vào chính nó.
Định nghĩa 2.1.1. Hàm tử ΛI(•) được gọi là hàm tử đầy đủ I-adic. Cho phức P• là phép giải xạ ảnh của R-môđun M
P• : · · · →Pn+1 −−→dn+1 Pn −d→n Pn−1 → · · · → P1 −d1→P0 → M → 0. Khi đó ta có phép giải xạ ảnh thu gọn của R-môđun M
P• : · · · → Pn+1 −−→dn+1 Pn −d→n Pn−1 → · · · → P1 −d1→ P0 →0. Tác động hàm tử hiệp biến ΛI(•) vào P• ta được dãy phức sau:
ΛI(P•) : · · · →ΛI(Pn+1) −−−−−→ΛI(dn+1) ΛI(Pn) −−−→ · · · →ΛI(dn) ΛI(P0) →0. Khi đó ta có môđun đồng điều thứ n của phức ΛI(P•)
Hn(ΛI(P•)) = Ker ΛI(dn)
Im ΛI(dn+1) với n > 0
và được gọi là môđun dẫn xuất trái thứ n của môđun M và ký hiệu là LIn(M).
Định nghĩa 2.1.2. Với mỗi n ∈ N0, hàm tử LIi(•) được gọi là hàm tử dẫn xuất trái thứ i của hàm tử ΛI(•).
Chú ý 2.1.3. (i) Vì hàm tử tenxơ không là khớp trái và giới hạn ngược không là khớp phải trên phạm trù Mod(R) nên hàm tử ΛI không là khớp trái và cũng không là khớp phải. Do đó LI0 6= ΛI. Tuy nhiên, LI0 là hàm tử khớp phải. Giả sử
0 −→N −→f P −→g M −→0
là một dãy khớp ngắn các R-môđun với P xạ ảnh. Khi đó ta có dãy sau (không nhất thiết khớp)
ΛI(N) −−−→ΛI(f) ΛI(P) −−−→ΛI(g) ΛI(M) −→ 0. Nhưng Im ΛI(f) ⊆Ker ΛI(g) và ΛI(g) là toàn cấu. Do đó
LI0(M) ∼= Λ
I(P)/Im ΛI(f) và ΛI(M) ∼= Λ
I(P)/Ker ΛI(g). Do đó có một toàn cấu tự nhiên ϕM : LI0(M) → ΛI(M).
(ii) Hai iđêan I và J của vành R được gọi là tương đương căn nếu tồn tại các số dương n và m sao cho In ⊆ J và Jm ⊆ I. Nếu hai iđêan I và J là tương đương căn thì ΛI(M) ∼= Λ
J(M) với mọi môđun M. Từ đó suy ra LIi(M) ∼= LJ
i (M) với mọi i > 0.
(iii) Giả sử R là vành Noether và M là một R-môđun hữu hạn sinh. Vì
ΛI là khớp trên phạm trù cácR-môđun hữu hạn sinh nên ta có LIi(M) = 0
với mọi i ≥0 và do đó LI0(M) ∼= Λ
I(M).
Về tính khớp của giới hạn ngược, chúng ta cần điều kiện sau (xem [9], trang 191).
Hệ ngược {Mi, θji} được gọi là thoả điều kiện Mittag-Leffer (ML) nếu với mỗi i ∈ N, họ dãy giảm {θji(Mj) ⊆ Mi|j ≥i} các môđun con của Mi là dừng. Một cách phát biểu khác, với mỗi i tồn tại một j0 > i sao cho với mọi j0, j00 > j0, θj0i(Mj0) = θj00i(Mj00) xem là môđun con của Mi. Nếu tất cả các đồng cấu θj0i : Mj0 → Mi là toàn cấu, hoặc với mỗi i, tồn tại j0
sao cho với mọi j0 > j0, θj0i(Mj0) = 0 thì họ {Mi} thoả mãn (ML). Nếu {Mi} là giới hạn ngược của những không gian vectơ hữu hạn chiều trên một trường, hoặc tổng quát, hệ ngược của những môđun Artin, thì {Mi} thoả mãn (ML).
Bổ đề 2.1.4. ([22, 9.1]) Giả sử
0 −→ {Mt}−−→ {{fi} Nt} −−→ {{gi} Pt} −→ 0
là một dãy khớp ngắn của các hệ nghịch của R-môđun. Khi đó (i) Nếu {Nt} thoả mãn (ML) thì {Pt} cũng vậy.
(ii) Nếu {Mt} thoả mãn (ML) thì dãy sau là khớp
0−→ lim ←− t Mt lim ←−t ft −−−→ lim ←− t Nt lim ←−t gt −−−→ lim ←− t Pt −→ 0.
Nói chung, toàn cấu tự nhiên ϕM đã định nghĩa trong Chú ý 2.1.3 (i) không là một đẳng cấu. Định lý sau đây cho chúng ta một điều kiện để ϕM trở thành một đẳng cấu.
Định lý 2.1.5. Giả sử M là một R-môđun và I là một iđêan của R. Giả sử rằng hệ {ItM} là dừng, nghĩa là tồn tại một số nguyên dương n sao cho ItM = InM với mọi t ≥ n. Khi đó toàn cấu tự nhiên
ϕM : LI0(M) → ΛI(M)
là một đẳng cấu.
Chứng minh. Xét dãy khớp ngắn 0 −→N −→f P →−g M −→ 0với P là môđun xạ ảnh. Ta có các dãy sau
N/ItN −→ft P/ItP −→gt M/ItM −→0 ΛI(N) −−−→ΛI(f) ΛI(P) −−−→ΛI(g) ΛI(M) −→ 0.
Theo Chú ý 2.1.3 (i) ta chỉ cần chứng minh rằng ImΛI(f) = KerΛI(g). Đặt Kt = Kergt và xem N như là môđun con của P. Khi đó
Kt = (ItP +N)/ItP ∼= N/(It
P ∩ N), và {Kt} là hệ nghịch toàn cấu. Mặt khác ta có dãy khớp
0→ {Kt}−−→ {{jt} P/ItP}−−→ {{gt} M/ItM} → 0
do đó theo Bổ đề 2.1.4 (ii) ta có dãy khớp sau
0 −→lim ←− t Kt lim ←−t jt −−−→ ΛI(P) −−−→ΛI(g) λI(M) −→ 0. Với các đồng cấu chính tắc ht : N/ItN → N/(ItP ∩N) ∼= K
t chúng ta có đồng cấu chính tắc h : ΛI(N) → lim←−
t
Kt. Biểu đồ giao hoán
ΛI(N) ΛI(f) // h %% ΛI(P) lim ←−tKt lim ←−t jt 9 9
chứng minh rằng nếu h là toàn cấu thì Im (ΛI(f)) = Im (lim←−
t
jt) =
Ker (ΛI(g)). Do đó ta chỉ cần chứng minh h là toàn cấu.
Đặt Ht = Kerft. Dễ dàng thấy rằng Ht ∼= ItP ∩ N/ItN và {Ht} là hệ nghịch với các đồng cấu πtk cảm sinh từ đồng cấu của hệ {N/ItN}. Do dãy khớp các hệ nghịch
0−→ {Ht} −−→ {{jt} N/ItN}−−→ {{ht} Kt} −→ 0
nên nếu {Ht} thoả mãn (ML) thì h là toàn cấu (Bổ đề 2.1.4). Theo giả thuyết{ItM}là dừng nên tồn tại số nguyên dươngn0sao choItM = In0M với mọit ≥n0. TừItM ∼= (ItP+N)/N nên ta suy raItP+N = In0P+N với mọit≥ n0. Do đó, với bất kỳ số nguyên dươngk và với mọit ≥ k+n0,
ta có Im πtk = (N ∩ItP) +IkN/IkN = N ∩ Ik(It−kP +N) /IkN = N ∩Ik(In0P +N)/IkN.
Biểu thức trên không phụ thuộc vào t, điều này chỉ ra rằng {Ht}thoả mãn (ML). Do đó h là toàn cấu và định lý đã được chứng minh.
Môđun Artin hiển nhiên thoả mãn giả thiết của định lý trên. Do đó ta có hệ quả sau.
Hệ quả 2.1.6. Giả sử M là một R-môđun Artin. Khi đó toàn cấu tự nhiên
ϕM : LI0(M) → ΛI(M)
là đẳng cấu.
Hệ quả 2.1.7. Giả sử M là một R-môđun. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:
(i) IM = M;
(ii) LI0(M) = 0;
(iii) ΛI(M) = 0.
Chứng minh. (i) ⇒ (ii) Từ giả thiết ta có M = ItM với mọi t ≥ 0. Do đó theo Định lý 2.1.5 ta có
LI0(M) ∼= Λ
I(M) = lim←−
t
M/ItM = 0.
(ii) ⇒ (iii) Được suy ra từ toàn cấu tự nhiên ϕM : LI0(M) → ΛI(M).
2.2 Môđun đồng điều địa phương
Trong phần này, chúng ta xét các môđun trên vành Noether R và I là iđêan của R. Chúng ta đã biết rằng môđun đối đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan I, ký hiệu HIi(M) có thể định nghĩa bởi
HIi(M) = lim
−→
t
ExtiR R/It;M.
Điều này gợi ý định nghĩa sau. Có thể xem như là đối ngẫu với khái niệm trên.
Định nghĩa 2.2.1. Cho I là một iđêan của R và M là R-môđun. Môđun đồng điều địa phương thứ i của môđun M theo iđêan I, ký hiệu HiI(M), được xác định bởi HiI(M) = lim ←− t TorRi R/It;M. Chú ý 2.2.2. (i) Chú ý rằng HiI(M) = lim ←− t Hi R/It⊗F•với F• là phép giải xạ ảnh của môđun M. Mặt khác, LIi(M) = Hi lim←−
t
(R/It ⊗F•). Do đó ta có ánh xạ tự nhiên ϕi : LIi(M) →HiI(M), ánh xạ này là một toàn cấu theo xem([6],1·1)
. Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ thấy rằng các ánh xạ trên là đẳng cấu với M là Artin.
(ii) Rõ ràng H0I(M) ∼= Λ
I(M). Hơn nữa nếu M là một môđun hữu hạn sinh thì theo Chú ý 2.1.3 (iii) ta có LIi(M) = 0 với mọi i > 0. Do đó HiI(M) = 0 theo (i).
Tiếp theo chúng ta sẽ chứng minh một số tính chất của môđun đồng điều địa phương với giả thiết rằng M là môđun Artin.
Mệnh đề 2.2.3. Cho M là một R-môđun. Khi đó các phát biểu sau là đúng.
(i) Với mọi i ≥0, môđun đồng điều địa phương HiI(M) là I-tách, nghĩa là
\
s>0
(ii) Giả sử rằng (R,m) là vành địa phương. Khi đó với mọi i ≥ 0, ta có
HiI D(M)∼= D Hi
I(M)
với D(M) = HomR(M, E) là đối ngẫu Matlis của môđun M và E =
E(R,m) là bao nội xạ của trường thương R/m.
Chứng minh. (i) Chú ý rằng với bất kỳ hệ nghịch {Mt}, ta có Ilim←−
t
Mt ⊆lim←−
t
IMt.
Vì IsTorRi (R/It;M) = 0 với mọi s≥ t nên
\ s>0 IsHiI(M) ∼= lim ←− s Islim←− t TorRi (R/It;M) ⊆lim←− s lim ←− t IsTorRi (R/It;M) ∼ = lim←− t lim ←− s IsTorRi (R/It;M) = 0, (ii) Chú ý rằng với một hệ trực tiếp các R-môđun{Nt},ta có lim←−
t
D(Nt) ∼= D lim−→
t
Nt xem ([19], 2.27)và TorRi R/It, D(M)= D ExtiR(R/It;M). Do đó ta có HiI(D(M)) ∼= lim ←− t TorRi R/It, D(M) ∼ = lim←− t D ExtiR(R/It;M) ∼ = D lim−→ t ExtiR(R/It;M) = D HiI(M). Mệnh đề đã được chứng minh.
Cho f : R → R0 là đồng cấu của các vành Noether và M là R0-môđun. Khi đó M có thể được xem như R-môđun bởif. Do đó HiI(M) còn có cấu trúc tự nhiên của ΛI(R)-môđun. Chúng ta có mệnh đề sau.
Mệnh đề 2.2.4. Cho f : R → R0 là đồng cấu của các vành Noether và
M là R0−môđun. Khi đó chúng ta có đẳng cấu các ΛI(R)-môđun
HiI(M) ∼= HIR0 i (M)
Chương 3
Đồng điều địa phương đối với môdun Artin
Trong chương này chúng ta nghiên cứu về môđun đồng điều địa phương của môđun Artin. Biết rằng Greenlees và May đã đưa ra định nghĩa môđun đồng điều địa phương trên vành giao hoán bất kỳ (xem [6]). Định nghĩa này không tương đương với định nghĩa của Nguyễn Tự Cường và Trần Tuấn Nam (xem [4, 3.1]) trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, các định nghĩa này là tương đương trong trường hợp các môđun Artin. Nội dung của chương này được trình bày theo [4].
3.1 Dãy nối dương mạnh
Trước tiên, chúng ta chỉ ra sự tương đương giữa Định nghĩa2.2.1và định nghĩa của Greenlees-May (xem [6, 2.4]) về môđun đồng điều địa phương trong trường hợp M là Artin.
Mệnh đề 3.1.1. Cho I là iđêan của vành R và M là R-môđun Artin. Khi đó với mọi i > 0 ta có đẳng cấu
HiI(M) ∼= LI i(M).
Chứng minh. Theo [6, 1.1], với mọi i > 0 chúng ta có dãy khớp ngắn sau
0 −→ lim←−
t
TorRi+1(R/It;M) −→ LiI(M) −→ HiI(M) −→0.
Vì M là một môđun Artin trên vành Noether R nên dễ dàng kiểm tra rằng TorRi+1(R/It;M) là R-môđun Artin. Theo Bổ đề 2.1.4 (ii) ta có
lim
←−
t
TorRi+1(R/It;M) = 0.
Hệ quả sau suy ra trực tiếp từ Mệnh đề 3.1.1 và chứng tỏ rằng dãy các hàm tử {HiI(−)} là dãy nối dương mạnh từ phạm trù các môđun Artin vào chính nó.
Hệ quả 3.1.2. Cho dãy khớp ngắn các môđun Artin
0−→ M0 −→ M −→M”−→ 0.
Khi đó ta có dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương
· · · −→HiI(M0) −→HiI(M) −→ HiI(M”) −→ · · · −→ H0I(M0) −→H0I(M) −→ H0I(M”) −→0.
3.2 Acyclic của môđun đồng điều địa phương HiI(M)
Bổ đề 3.2.1. Cho {Mt}là hệ ngược của các R-môđun Artin và N là một
R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó ta có đẳng cấu
TorRi (N; lim←− t Mt) ∼= lim ←− t TorRi (N;Mt) với mọi i ≥0.
Chứng minh. Vì N là môđun hữu hạn sinh nên chúng ta có thể lấy phép giải tự do F• của N gồm các môđun tự do hữu hạn sinh
Vì giới hạn nghịch giao hoán với tích trực tiếp nên ta có đẳng cấu F• ⊗R lim←− t Mt ∼= lim ←− t (F• ⊗R Mt).
Mặt khác, vì Fi ⊗R Mt là Artin với mọi i, t nên theo Bổ đề 2.1.4, ta có
lim ←− t Hi(F• ⊗R Mt) ∼= H i lim←− t (F• ⊗R Mt). Từ đây suy ra điều cần chứng minh.
Mệnh đề 3.2.2. (xem [4, 4.4]) Cho M là R-môđun Artin. Khi đó
HiI HjI(M) ∼= HjI(M), i = 0, j > 0; 0, i >0, j > 0. Hệ quả 3.2.3. Cho M là R-môđun Artin. Khi đó
HiI \
t>0
ItM ∼= 0, i = 0; HiI(M), i > 0.
Chứng minh. Vì M là R-môđun Artin nên tồn tại số nguyên dương n sao cho ItM = InM với mọi t > n. Do đó ∩t>0ItM = InM và ΛI(M) ∼= M/InM (do t> n thì M/ItM = M/InM). Do đó chúng ta có dãy khớp ngắn các môđun Artin sau
0 −→ ∩t>0ItM −→M −→ ΛI(M) −→0.
Theo Hệ quả 3.1.2, chúng ta có dãy khớp dài các môđun đồng điều địa phương · · · −→HiI+1 ΛI(M) −→ HiI ∩t>0ItM −→HiI(M) −→ HiI ΛI(M) −→ · · · −→H1I ΛI(M)−→ H0I ∩t>0ItM −→ H0I(M) −→ H0I ΛI(M) −→0. Do đó theo Mệnh đề 3.2.2, với i >0 ta có HiI ΛI(M) = 0 = HiI+1 ΛI(M) nên HiI ∩t>0 ItM ∼= HI i(M). Với i = 0, H0I ΛI(M) ∼= HI 0(M), do đó nếuH0I ∩t>0ItM = 06 thì dẫn đến điều mâu thuẫn. VậyH0I ∩t>0ItM= 0 và mệnh đề đã được chứng minh.
3.3 Tính Artin và Noether của môđun đồng điều địa phương
Nếu M là môđun Artin trên vành địa phương (R,m) thì với mọi i >
0 và t > 0 ta có TorRi (R/It;M) là R-môđun Artin. Điều này dẫn đến TorRi (R/It;M) có cấu trúc tự nhiên của môđun Artin trên vành đầy đủ m-adic Rb của R. Do đó HiI(M) có cấu trúc Rb-môđun.
Mệnh đề 3.3.1. Cho (R,m) là vành địa phương và M là R-môđun Artin. Khi đó Him(M) là Rb-môđun Noether với mọi i ≥ 0.
Chứng minh. Áp dụng Hệ quả 2.2.4 với mR0 = Rb ta có đẳng cấu ΛI(R)- môđun
Him(M) ∼= HmR0 i (M).
Do đó không mất tính tổng quát ta có thể giả sử(R,m)là vành địa phương đầy đủ. Khi đó theo đối ngẫu Matlis thì D(M) là R-môđun Noether. Do đó Him(D(M)) là R-môđun Artin (xem [3, Định lí 7.1.3]). Mặt khác, vì D(D(M)) ∼= M nên theo Mệnh đề 2.2.3 (ii) ta có thể suy ra
Him(M) ∼= Hm
i D(D(M)) ∼= D Hi
m(D(M)).
VìHmi (D(M)) là môđun Artin nênD Hmi(D(M))là môđun Noether. Do đó Him(M) là R-môđun Noether.
Mệnh đề 3.3.2. Cho M là một R-môđun Artin và s là một số nguyên